- Justificación y Objetivo
- Aproximaciones polinomiales mediante la formula de Taylor
- Sucesiones
- Series infinitas de términos positivos
- Series infinitas de términos positivos y negativos
- Series de potencias
- Diferenciación e integración de series de potencias
- Series de Taylor
- Serie de potencias para logaritmos naturales y serie binomial
- Conclusiones
- Bibliografía
El objetivo primordial de este tema es aproximar funciones mediante series de potencias. Sin embargo, antes del estudio de las series de potencias se prepara el terreno.
Mientras que los valores de funciones polinomiales pueden determinarse efectuando un numero finito de adiciones y multiplicaciones, otras funciones, entre ellas las funciones logarítmicas, exponenciales y trigonometricas, no pueden evaluarse tan fácilmente. En esta sección se mostrara que muchas funciones pueden aproximarse mediante polinomios y que el polinomio, en lugar de la función original, puede emplearse para realizar cálculos cuando la diferencia entre el valor real de la función y la aproximación polinomial es suficientemente pequeña.
Varios métodos pueden emplearse para aproximar una función dada mediante polinomios. Uno de los mas ampliamente utilizados hace uso de la formula de Taylor, llamada así en honor del matemático ingles brook Taylor (1685-1731). El teorema siguiente, el cual puede considerarse como una generalización del teorema del valor medio, proporciona la formula de Taylor.
Este es el segundo trabajo del curso de calculo diferencial e integral, en donde el cual aprenderemos como las aproximaciones polinomiales, sucesiones y series infinitas, forman parte importante dentro del calculo diferencial e integral, tal es así que este trabajo es parte de una evaluación y esta diseñado de tal manera dirigido a estudiantes del mismo nivel con una redacción sencilla y explicada del tema mismo.
Objetivo
Uno de los objetivos primordiales es aprender como funcionan las aproximaciones polinomiales, sucesiones y series infinitas, ya que es de gran importancia para poder así calcular las unciones logarítmicas, exponenciales y trigonometricas. También como mencionaba así darle una visión mas amplia al lector sobre este tema, llevando un lenguaje no tan extenso y mas centrado en lo practico y lo necesario para llevarse acabo este tipo de cálculos matemáticos, tanto en el calculo diferencial e integral, encontramos infinidad de temas que a veces no nos llaman la atención de practicar, en las aproximaciones polinomiales veremos lo sencillo que es hacer una aproximación por medo de teoremas.
Existen infinidad de métodos para aproximar una función dada mediante polinomios, unos de los mas importantes que se usan es la fórmula de Taylor.
El teorema siguiente, el cual puede considerarse como una generalización del teorema del valor medio, proporciona la fórmula de Taylor.
Teorema 1
Sea ƒ una función tal que ƒ y sus primeras n derivadas son continuas en el intervalo cerrado [a, b]. Además
, considere que ƒ (x) existe para toda x del intervalo abierto (a, b). Entonces existe un número z en el intervalo abierto (a, b). Tal que
(1)
La ecuación (1) también se cumple si b < a; en tal caso [a, b] se reemplaza por [b, a], y (a, b) se sustituye por (b, a).
Observe que cuando n = 0, (1) se convierte en
Donde z esta entre a y b. esta es la conclusión del teorema del valor medio.
La demostración del teorema 1 se presentara mas adelante.
Si en (1) se reemplaza b por x, se obtiene la fórmula de Taylor:
(2)Donde z esta entre a y x.
La condición en la que se cumple (2) es que ƒ y sus primeras n derivadas sean continuas en un intervalo cerrado que contenga a a y x, y la (n + 1 )-esima derivada de ƒ exista en todos los puntos del intervalo abierto correspondiente. La formula (2) puede escribirse como:
Continua….
(3)Donde
(4)Y
Donde z esta entre a y x (5)
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