Ecuación diferencial

1. Coeficientes indeterminados
2. Series de potencias
3. Soluciones por medio de series
4. Tipos de Singularidades
5. Leyes fundamentales de operación

 Coeficientes indeterminados

Si aplicamos o componemos por un operador la ecuación a ambos lados, llamémoslo operador anulador, de forma que el lado derecho de la ecuación sea cero, nos quedaría

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Si comparamos la ecuación anterior con lo que hemos visto de EDO homogéneas, tenemos que

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Podemos inferir dos cosas:

La primera que el operador anulador de la función f(t) debe de ser como la parte izquierda de la ecuación diferencial, en pocas palabras, un operador diferencial.

La segunda, es que las funciones que bajo operadores diferenciales se anulan son soluciones de EDO lineales. ¿Cómo son las soluciones de EDO lineales con coeficientes constantes?. Pues son exponenciales, Senos y Cosenos, polinomios y combinaciones de ellas.

Lo anterior nos restringe a tipos específicos en la forma de la función del lado derecho de la ecuación. Aunque también nos da la pauta como encontrar al operador anulador.

Propiedades del operador anulador.

1. El operador anulador es un operador lineal. Como todo operador anulador es un operador diferencial y todo operador diferencial es lineal. Por tanto, todo operador anulador es un operador lineal.

2. El operador anulador de una suma de funciones es la composición de los operadores anuladores.

3. La composición de operadores diferenciales opera como si se estuvieran multiplicando polinomios en D.

Una vez que tenemos el operador anulador se aplica a ambos lados de la EDO y queda una EDO lineal homogénea, pero de orden mayor.

Los coeficientes de la parte homogénea se determinan con base en las condiciones iniciales, los coeficientes de la parte particular se deben encontrar sustituyendo directamente en la ecuación original para determinarlos. (De ahí el nombre de método de coeficientes indeterminados).

Resumen coeficientes indeterminados.

 El método de coeficientes indeterminados sólo es aplicable cuando la parte no homogénea de la EDO es una función del tipo:

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 Polinomio

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 Exponencial

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 Seno o Coseno

Combinaciones de ellas.

•  El operador anulador transforma la EDO lineal no homogénea en una EDO homogénea de orden mayor.
•  El método del operador anulador nos sirve para determinar sólo la forma que debe tener la solución particular.
•  Para determinar los coeficientes de la forma en la solución particular se sustituye la solución particular y nos lleva a un sistema de ecuaciones lineales.
•  Los coeficientes en la solución de la homogénea se determinan con los valores iniciales o con los valores en la frontera.

resolucion por serie

Soluciones por medio de series

Planteamiento

En este capítulo nos aproximaremos a la resolución de ecuaciones de segundo orden lineales y homogéneas con coeficientes variables desde un estudio de series de potencias.

Se intenta atacar el siguiente tipo de ecuaciones: edo2 lineales homogénas con coeficientes variables

A( x) y+B( x) y+C( x) y=0

convenientemente reescribibles como

y+P( x) y+Q( x) y=0 (4.1)

Se llama función algebraica a cualquier y=y( x) que sea solución de una ecuación del tipo Pn( x) yn++P1( x) y+P0( x) = 0 (los coeficientes son polinomios en x ). El resto de las funciones elementales queda representado por las trigonométricas, hiperbólicas, exponenciales y logarítmicas (funciones trascendentes, que no son solución de la ecuación planteada). Hay muchas otras funciones trascendentes, pero no se tratan en el Cálculo elemental. Las otras funciones trascendentes proceden de soluciones de ed, y a veces tienen gran interés. En Física Matemática se suele llamar funciones especiales a las soluciones de la edo2 ec..

El método más accesible en la práctica para calcular estas funciones especiales es trabajar con series de potencias.

Series de potencias

Esta sección debe oficiar de escueto recordatorio de los resultados principales relativos al las series de potencias.

Una serie de potencias es una expresión del tipo

donde los an son números reales. La serie se dice “centrada en el punto x0 ''. Como basta un cambio de variable es habitual estudiarlas centradas en el cero

Una serie se dice convergente si existe (es un número finito)

La convergencia de las series de funciones es fácil de determinar si las funciones que se suman son potencias. Si uno se pregunta para qué x es convergente una serie como ésta

tiene la ayuda de que si converge en un punto, digamos R , converge en todos los anteriores, porque el valor de la serie es menor. Es decir, que la serie converge en un intervalo definido por

[ x0R,x0+R]

Para saber si, para un x dado, la serie de números converge, se puede aplicar el criterio del cociente

si el límite es <1 hay convergencia, si es >1 hay divergencia (el caso = 1 es más complejo). Para obtener el radio de convergencia, transformamos la expresión

lo que conduce a que

Ejemplo

(radio de convergencia). La serie

Converge en [1,1] , como queda justificado por el límite

Analiticidad

Cuando la función f( x) es desarrollable en serie de potencias convergente y sus valores coinciden con los de la serie, es decir, hay un entorno de x0 donde los valores coinciden, se dice que la función es analítica en x0 . Es decir, cuando

Con

lo es si g( x0)  0

la función compuesta de dos funciones analíticas es analítica: si g es analítica en x0 y f lo es en g( x0) , entonces f( g( x) ) es analítica en x0 .

la función suma de una serie de potencias es analítica en todos los puntos de su intervalo de convergencia.

Sabemos que si la hay, la serie que representa a una función analítica, es única, porque podemos calcular sus coeficientes como

entonces, insistimos, si es posible hacerlo, el desarrollo en serie de TAYLOR será

Métodos de solución

El objetivo de esta sección es sustituir en la ed la expresión de la solución de modo que al final quede un polinomio igualado a cero. Para esto necesitamos calcular las derivadas de la solución en forma de serie

(lo que hemos hecho es un cambio de índice mudo

estas operaciones no son más que cambios de nombre del índice. Este sube–baja tiene interés porque podemos escribir todo en función de xn y así anular los coeficientes. El método consiste en que si reduzco en k el índice bajo el sumatorio, debo aumentarlo en k dentro del sumatorio.

Ejemplo

(muy sencillo)

la serie propuesta como solución

cumple con la ecuación si le exigimos a los coeficientes que

el término general es

la solución general de esa ecuación es la exponencial y sus mútiplos (era una edo1, por lo que queda una constante por determinar). Otro ejemplo sencillo es

Estos ejemplos son fáciles porque las leyes de recurrencia son simples (un término sólo depende de otro anterior) y de paso 1 (depende del anterior).

Ejemplo

esta ecuación no es lineal.

es el término general, y

que no converge en ninguna parte

(sólo en el punto trivial, que es el centro de la serie).

Ejemplo

(2º orden con coeficientes constantes, ya conocemos la solución)

el resultado es una recurrencia simple de paso dos, de modo que los términos de índice par y los de índice impar van separados. Quedan dos constantes por determinar, a0 y a1 .

las condiciones iniciales se introducen como

Debo examinar por separado la cadena de los números pares y la de los números impares. La serie par resulta ser la del coseno, y la impar, la del seno.

Ejemplo

 2 (para no relacionar ingenuamente orden de la ecuación y tamaño del paso en la recurrencia

es la ecuación de AIRY y es de paso 3.

Tipos de Singularidades

La solución de la ecuación homogénea de segundo orden

A(x)y’’ + B(x)y’ + C(x)y = 0 (1)

Cerca del punto singular. Recuerde que las funciones A, B y C son polinomios que no tienen factores comunes de modo de los puntos singulares de la ecuación (1) son simplemente aquellos en que A(x) se anula. Por ejemplo, x = 0 es el único punto singular de la ecuación de Bessel de orden n,

x2y’’ + xy’ + (x2 – n2)y = 0

En tanto que la ecuación de Legendre de orden n

(1 – X2)y’’ – 2xy’ + n(n + 1)y = 0,

Tiene los dos puntos singulares x = -1 y x = 1. De ello resulta que algunas de las características de la soluciones de ecuaciones muy importantes para las aplicaciones son determinadas en gran medida por su comportamiento cerca de los puntos singulares.

Restringiremos nuestra atención al caso en el que x = 0 es un punto singular de la ecuación (1). Una ecuación diferencial que tenga como punto singular de x = a se transforma fácilmente mediante la sustitución t = x –a en una que tenga el punto singular correspondiente en 0. Por ejemplo, sustituyamos t = x -1 en la ecuación de Legendre anterior. Dado que

y 1 – x2 = 1 – (t + 1)2 = -2t – t2, obtenemos la ecuación

Esta nueva ecuación tiene el punto singular t = 0 correspondiente a x=1 de la ecuación original; tiene también el punto singular t = -2 correspondiente a x = -1.

Una ecuación diferencial que tenga un punto singular en 0 por lo regular no tiene soluciones en serie de potencia de la forma y = ∑Cnxn, así que el método directo de la sección falla en este caso. Para ver la forma que podría tomar la solución de una ecuación analítica y rescribámosla como

Y’’ + P(x) + Q(x)y = 0 (2)

Donde P =B/A y Q = C/A. Recuerde que x = 0 es un punto ordinario (en vez de un punto singular) de la ecuación (2) si las funciones P(x) y Q(x) son analíticas para x = 0; es decir, si P(x) y Q(x) tienen desarrollos en series de potencias de x convergentes en algún intervalo abierto que contenga x = 0. Ahora se puede desmostar que casa una de las funciones P(x) y Q(x) es o bien analítica en x = 0 o bien tiene a ¥ cuando x ® 0. En consecuencia x = 0 es un punto singular de la ecuación (2) con tal de que P(x) o Q(x) (o ambas) se aproximen a ¥ cuando x ® 0. Por ejemplo, si rescribimos la ecuación de Bessel anterior en la forma

vemos que tanto P(x) = 1/x como Q(x) = 1 – (n/x)2 tienden a infinito cuando x ® 0.

Veremos que el método de series de potencias puede generalizarse para aplicarlo cerca del punto singular x = 0 de la ecuación (2) siempre que P(x) tienda al infinito menos rápido que 1/x y Q(x) menos rápido que 1/x2 cuando x ® 0. Esto es una manera de decir que P(x) y Q(x) tienen solamente singularidades débiles en x = 0 . Para establecerlo con más precisión, escribamos la ecuación (2) en la forma

(3)

donde

p(x) = xP(x) y q(x) = x2Q(x) (4)

Definición de Punto Singular Regular

El punto singular x =0 de la ecuación (23) es un punto singular regular si las punciones P(x) y q(x) son ambas analíticas en x = 0. De otro modo, es un punto singular irregular.

En particular, el punto singular x = 0 es un punto singular regular si tanto p(x) como q(x) son polinomio. Por ejemplo, veamos que x = 0 es un punto singular regular de la ecuación de Bessel de orden n, al escribir la ecuación en la forma

y observando que p(x) = 1 y q(x) = x2 – n2 son polinomio en x.

Por el contrario, considere la ecuación

2x3y’ + (1 + x)y’ + 3xy = 0,

que tiene el punto singular x = 0. Si escribimos la ecuación en la forma (3) obtenemos

puesto que

a medida que x ® 0 (aunque q(x) = 3/2 es un polinomio), vemos que x = 0 es un punto singular irregular. No analizaremos la solución de ecuaciones diferenciales cerca de puntos singulares irregulares; esto es un asunto mas avanzado que la resolución de ecuaciones diferenciales cerca de puntos singulares regulares.

Ejemplo1 considere la ecuación diferencia

X2(1 + x)y’’ + (4 – x2)y’ + (2 + 3x)y =0

En la forma canónica y’’ + Py’ + Qy = 0 esto es

debido a que

y

Ambos tienden a ¥ a medida que x ® 0, vemos que x = 0 es un punto singular. Para determinar la naturaleza de este punto singular escribimos la ecuación diferencial en la de la ecuación (3):

Así

y

Debido a que el cociente de los polinomios es analítico, siempre que el denominador se anule, vemos que p(x) y q(x) son analíticos en x = 0. De aquí, x = 0 es un punto singular regular de la ecuación diferencial dada.

Puede suceder que, cuando comenzamos con una ecuación diferencial de la forma general (1) y la rescribimos en la forma (3), las funciones p(x) y q(x) que aparecen en la formula 4 sean formas indeterminadas para x = 0. En este caso la situación se determina mediante los limites de:

(5)

y

(6)

si p0 = 0 = q0, x = 0 puede ser un poco ordinario. De otro modo, si los limites de (5) y (6) existen y son finitos, entonces x = 0 es un punto singular regular. Hay alguno de los limites no existe o es infinito, x = 0 es un punto singular irregular.

Nota: en las aplicación, el caso más común de las ecuaciones diferenciales escritas en la forma

es que las funciones p(x) y q(x) sean polinomios. En este caso p0 = p(0) y q0 = q(0) son simplemente los términos constantes de esos polinomio, de modo que los límites (5) y (6) no necesitan evaluarse.

Ejemplo 2 Investigue la naturaleza del punto x = 0 para la ecuación diferencial

X4y’’ + (x2sen x)y’ + (1 – cos x)y = 0

Primero la reescribimos en la forma (3):

Después, la regla del Hospital da los valores

y

para los límites (5) y (6). Puesto que ninguno de los dos es cero, vemos que x = 0 es un punto singular regular, dado que ambos límites son finitos. En forma alternativa podemos escribir

Estas series de potencias (convergentes) demuestran explícitamente que p(x) y q(x) son analíticas, además de que p0 = p(0) = 1 y que q0 = q(0) =

ECUACIÓN de airy

y’’ = ty t Î R

Para esta ecuación el origen es un punto ordinario, ensayemos una solución analítica.

Sustituyendo en la ecuación dada

e identificando coeficientes

a2 = 0

(n + 2)(n + 1)an+2 = an-1 n Î N

por consiguiente la solución depende de dos parámetros

por tanto

y(t)= a0y1(1) + a1y2(1)

donde y1(t), y2(t) son funciones analíticas definidas por toda T Î R linealmente independiente, dadas mediante

Operador diferencial

Suponga que D denota la derivación con respecto de x, D2 la derivación doble con respecto de x, y así sucesivamente; es, para cualquier entero positivo k,

La expresión:

A = a0Dn + a1Dn-1 + … + an-1D + an (1)

Se llama operador diferencial de orden n. Puede definirse como el operador tal que, cuando se aplica a cualquier función y, produce:

(2)

Los coeficientes a0, a1, …, en el operador A pueden ser funciones de x, pero la mayor parte de los operadores utilizados tendrá coeficientes constantes.

Dos Operadores A y B son iguales, sí y solo si, se obtiene el mismo resultado cuando se aplica cada operador a la función y. Esto es A = B si, y sólo si, Ay = By para todas las funciones y que tengan las derivadas necesarias para las operaciones implicadas.

El producto AB de los operadores A y B se define como el operador que produce el mismo resultado obtenido al usar el operador B seguido por el operador A. Así ABy = A(By). El producto de dos operadores diferenciales siempre existe y es un operador diferencial. Para operadores con coeficientes constantes, pero por lo regular no para aquellos con coeficientes variables, se comple que AB –BA.

Sean A = D +2 y B = 3D -1. Entonces,

De aquí que AB = (D + 2)(3D – 1) = 3D2 + 5D – 2

Ahora considere el operador BA. Al Actuar este operador sobre y se obtiene,

Ejemplo

Sean G = xD + 2 y H = D -1 . Entonces,

por otra parte,

esto es,

HG = xD2 + (3 – x) D – 2.

Es importante hacer notar que aquí tenemos dos operadores G y H (uno de ellos con coeficientes variables) cuyo producto depende del orden de los factores.

La suma de dos operadores diferenciales se obtiene expresando cada uno en la forma:

a0Dn + a1Dn-1 + … + an-1D + an

y sumando los coeficientes correspondientes. Por ejemplo, si:

A = 3D2 – D + x – 2

Y

B = x2D2 + 4 D +7,

Entonces,

A + B = (3 + x2) D2 + 3D + x +5.

Los operadores diferenciales son operadores linéales; esto es, si A es cualquier operador diferencial, c1 y c2 son constantes y f1 y f2 son cualesquiera deos funciones de x con el número requerido de derivadas cada una, entonces:

A(c1f1 + c2f2) = c1Af1 + c2Af2

Leyes fundamentales de operación

Sean A, B y C operadores diferenciales cualesquiera como se definió anteriormente. A partir de las definiciones anteriores de suma y multiplicación, se deduce que los operadores diferenciales satisfaces lo siguiente:

Ley Conmutativa de la suma: A + B = B + A

Ley Asociativa de la suma: (A + B) + C = A + (B + C)

Ley Asociativa de la multiplicación: (AB)C = A(BC)

Ley distributiva de la multiplicación respecto a ala suma: A(B + C) = AB +AC.

Si A y B son operadores con coeficientes constantes, entonces también sastiface la ley conmutativa de la multiplicación.

AB = BA

Por lo tanto, podemos afirmar que los operadores diferenciales con coeficientes constantes satisfacen todas las leyes del álgenbra de polinomios con respecto de las operaciones de suma y multiplicación.

Si m y n son enteros positivos cualesquiera, tenemos que

DmDn = Dm+n,

Un resultado muy útil que surge de inmediato de las definiciones anteriores.

Ya que para propósitos de suma y multiplicaciones, los operadores con coeficientes constantes se comportan igual que los polinomios algebraicos, es válido utilizar en esos casos las herramientas del álgebra elemental. En particular, se puede emplear la división sintética para factorizar operadores con coeficientes constantes.

Creado Por

Sergio E. D’Ambrosio