Introducción En el capítulo anterior, abordamos la descripción del movimiento de un cuerpo, describiéndolo en función de la posición (x), tiempo (t), velocidad (v) y aceleración (a), de tal forma que mediante el análisis decíamos hacia donde se mueve, como se mueve, y en un determinado instante de tiempo predecir en que posición se encontraba y con que velocidad se estaba moviendo. En tal descripción, no nos interesaba el porque se mueve el cuerpo. En el presente capítulo abordaremos las causas del movimiento de los cuerpos, que es el objeto de estudio de la Dinámica. Desde el punto de vista de la Mecánica Clásica que es el nivel que nos atañe, al igual que en Cinemática, restringiremos nuestro estudio considerando: Cuerpos grandes como si fuesen partículas o corpúsculos (modelo corpuscular) y que además se mueven con velocidades mucho muy pequeñas en comparación con la velocidad de la luz (c = 3 x 108 m/s ). Las causas que originan el movimiento de los cuerpos se deben a la interacción con otros cuerpos que conforman su medio ambiente, entendiendo por medio ambiente todo aquello que lo rodea, como pueden ser: planos horizontales, verticales, inclinados, lisos o ásperos; cuerdas; poleas; la Tierra; el Sol, etc.
Introducción Dentro del medio ambiente, restringiremos aún más nuestro problema, considerando únicamente cuerpos cercanos ya que la interacción que ejercen los cuerpos lejanos como el Sol o la Luna es insignificante y se puede despreciar. El problema a resolver es el siguiente: Se nos proporciona un cuerpo del cual conocemos sus principales características como pueden ser: su masa, peso, densidad, volumen, composición, rugosidad, carga eléctrica, temperatura, etc. Colocamos dicho cuerpo con una velocidad inicial en un medio ambiente adecuado, del cual tenemos una descripción completa, es decir, si hay un plano, si es liso o rugoso, si existen cuerdas, poleas, otros cuerpos, etc. Las preguntas a contestar serían: ¿Por que se mueve? ¿Como se seguirá moviendo? Dicho problema fue resuelto por Isaac Newton para una gran variedad de medios ambientes y fue cuando formuló las Leyes de Movimiento y la Ley de la Gravitación Universal.
Introducción Las interacciones entre cuerpos se deben a cuatro tipo de fuerzas llamadas fundamentales y son las que gobiernan el Universo: Fuerza Gravitacional.- Mantiene unidos a cuerpos grandes: Tierra – personas; Tierra – Luna; Tierra – Sol). Fuerza Electromagnética.- Mantiene unidas a las moléculas y a los átomos y en el interior de estos últimos, hace que los electrones permanezcan cerca del núcleo. Fuerza Nuclear Fuerte.- Actúa a nivel nuclear y hace que las partículas se mantengan juntas dentro del núcleo atómico. Fuerza Nuclear Débil.- Permite que algunos núcleos atómicos se separen produciendo radioactividad. De acuerdo a su magnitud pueden ser: Constantes Variables Por su aplicación en sistemas o procesos pueden ser: Conservativas No conservativas o disipativas Por su forma de actuar o interacción con otros cuerpos pueden ser: Por contacto A distancia
Introducción En nuestro caso, abordaremos el concepto de interacción que es una fuerza, la cual se define en función de la aceleración que experimenta un cuerpo patrón cuando es colocado en un medio ambiente, estableciendo una técnica para asociarle una masa m a cualquier cuerpo, con el fin de entender que cuerpos de la misma naturaleza (por ejemplo madera), experimentan diferentes aceleraciones cuando son colocados en el mismo medio ambiente. El concepto de fuerza y masa se encuentran íntimamente relacionados, asociamos a: la fuerza con jalar o empujar un objeto y, la masa como la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado (movido). Los tres conceptos: fuerza, masa y aceleración, se relacionan entre sí por medio de: las Leyes de la Naturaleza o Leyes de Fuerzas y las Leyes de Movimiento o Leyes de Newton, Las primeras son aquéllas mediante las cuales se rigen los fenómenos naturales e involucran a las propiedades del cuerpo con su medio ambiente. Las segundas, son las que rigen su comportamiento en ese medio ambiente.
Introducción ( Leyes de Fuerza ) Dentro de las Leyes de Fuerza se tienen dos clasificaciones: Interacción por contacto Interacción a distancia Interacción por contacto Fuerzas de fricción F = mN Por ejemplo un cuerpo al ser arrastrado por una superficie áspera. F = mv Un cuerpo que se mueve en un medio que puede ser aire o un líquido. Fuerza elástica: F = kx Por ejemplo al comprimir o estirar un resorte. Fuerza de sostén o soporte: F = P/A Por ejemplo cuando aplicamos una presión sobre un objeto.
Introducción ( Leyes de Fuerza ) Interacción a distancia Fuerza gravitacional (de atracción) F = may Por ejemplo el peso de un cuerpo (donde ¦ ay ¦ = g) F = (GmM/r2) r Por ejemplo la fuerza de atracción que existe entre el Sol y la Tierra. Fuerza Eléctrica (atracción o repulsión) F = (kq1q2/r2 ) r Por ejemplo la fuerza de repulsión que existe entre dos electrones. Fuerza magnética (atracción o repulsión) F = q (v x B) Por ejemplo un electrón que se mueve en un campo magnético.
Introducción (Leyes de Movimiento) De las Leyes de Movimiento, tenemos los siguientes enunciados de las Leyes de Newton: Primera Ley.- Todo cuerpo permanecerá en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme, a menos que se vea obligado a cambiar dicho estado por medio de un agente externo que le aplique una fuerza. Segunda Ley.- La aceleración que experimenta un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza resultante e inversamente proporcional su masa. Tercera Ley.- A toda acción le corresponde una reacción de igual magnitud pero en sentido contrario.
Introducción En esta primera parte de la Dinámica de los cuerpos, consideraremos únicamente casos ideales en los cuales: No existe fricción, adicionalmente, trabajaremos exclusivamente con Fuerzas constantes, es decir que en todo el movimiento del cuerpo se esta ejerciendo una fuerza que no cambia de magnitud ni de dirección ni sentido. En la segunda parte de la Dinámica se abordarán problemas que involucran fricción. Posteriormente (Capítulo de Trabajo y Energía) se abordarán fuerzas tanto constantes como variables, así como conservativas y disipativas.
LEYES DE MOVIMIENTO PRIMERA LEY DE NEWTON En la época de Aristóteles, se creía firmemente que un cuerpo se encontraba en su estado natural cuando estaba en reposo, que se requería la presencia de un agente externo que lo impulsara y que cambiara dicho estado. Cuando el agente externo dejaba de impulsarlo, tendía nuevamente a su estado natural. Dicha aseveración aún persiste en muchas personas en nuestros días, ya que por experiencia propia, cuando arrojamos un objeto con una cierta velocidad inicial sobre un plano, el cuerpo recorre una distancia y se detiene. Nuestro error así como el de Aristóteles lo aclara Galileo con el siguiente experimento: Él argumentaba que si arrojábamos un cuerpo sobre una superficie, este tendería al reposo después de recorrer una distancia. v0 ? 0 v = 0 d = ¦ ? x¦
PRIMERA LEY DE NEWTON Pero que si arrojamos el cuerpo con la misma velocidad inicial una vez pulidas las superficies, el cuerpo recorrerá una mayor distancia. Si además de pulir las superficies las lubricamos, entonces el cuerpo va a recorrer una mayor distancia. Si usamos cada vez superficies más tersas y mejor lubricadas, el cuerpo recorrerá cada vez una mayor distancia. (Gp:) v0 ? 0 (Gp:) v = 0 (Gp:) d = ¦ ? x¦ v0 ? 0 v = 0 d = ¦ ? x¦ v0 ? 0 v = 0 d = ¦ ? x¦
Primera Ley de Newton En el experimento anterior, se está eliminando la fricción, por lo que al evitarla completamente, lo que tendremos será un cuerpo que se mueve siempre con la misma velocidad con la que se arroja, es decir, será un movimiento rectilíneo uniforme. El experimento, Galileo lo resumió en el siguiente enunciado: “Se requiere la presencia de un agente externo para cambiar la velocidad inicial de un cuerpo, pero no se requiere tal presencia para que el cuerpo continúe moviéndose con la misma velocidad”. Como se puede apreciar, aunque con otras palabras, la idea de Galileo se encuentra expresada en el enunciado de la Primera Ley de Newton. (Gp:) v0 ? 0 (Gp:) v = ctte. (Gp:) ? x (Gp:) v = ctte. (Gp:) ? x (Gp:) v = ctte. (Gp:) ? x
Primera Ley de Newton Si nos adelantamos e interpretamos la Segunda Ley, apreciaremos que si la fuerza neta sobre un cuerpo es cero, entonces no habrá aceleración y por consiguiente el cuerpo estará en reposo o moviéndose con velocidad constante. Por tal razón, algunos autores atribuyen que la Primera Ley es un caso especial de la Segunda Ley, sin embargo, la Primera Ley se atribuye a marcos de referencia inerciales, ya que sobre un cuerpo puede estar obrando una fuerza neta diferente de cero y la aceleración del cuerpo es cero. Ejemplo de lo anterior, es cuando una persona parada en tierra observa como se acelera un automóvil, un pasajero que vaya en el auto, observará que todas las cosas en el interior del auto están en reposo con respecto a él. (Gp:) x´ (Gp:) y´ (Gp:) y (Gp:) x (Gp:) a (Gp:) a = 0 (Gp:) Visto desde Tierra, el sistema x´, y´ está acelerado (Gp:) Visto desde el interior del auto, el sistema está en reposo
SEGUNDA LEY DE NEWTON Como se mencionó en la introducción, el concepto de Fuerza lo relacionamos con jalar o empujar un objeto, sin embargo en Física se requiere una definición mas precisa y se define en función de la aceleración que experimenta un cuerpo patrón en un medio ambiente adecuado. Por convención Internacional, el cuerpo patrón es un cilindro de Platino e Iridio, al cual se le a asignado una masa de 1 kilogramo por lo que se le denomina kilogramo patrón. Como medio ambiente, se elige una superficie lisa (sin fricción) y un resorte de longitud L Para determinar la Fuerza que el medio ambiente ejerce sobre el cuerpo, se realiza el siguiente experimento: se ata el kilogramo patrón al resorte, colocándolo sobre la superficie horizontal y estirando el resorte una cierta longitud ?L, de tal forma que el cuerpo empiece a moverse (al iniciar el movimiento, el cuerpo que estaba en reposo cambia de velocidad) acelerándose. Mientras mantengamos elongado el resorte la misma longitud ?L, la aceleración, que podemos medir experimentalmente, será constante, su valor numérico dependerá de que tanto incrementemos la longitud del resorte.
Segunda Ley de Newton Si para un cierto ?L encontramos una aceleración de 1 m/s2, entonces decimos que el medio ambiente está ejerciendo una Fuerza de 1 Newton sobre el cuerpo patrón. Luego entonces, el Newton se define como: 1 Newton = 1 Kg m/s2 Si continuamos con el experimento pero incrementando al doble la elongación del resorte, entonces la aceleración que encontraremos será el doble de la anterior y en este caso decimos que el medio ambiente está ejerciendo una fuerza de 2 Newton sobre el cuerpo. (Gp:) L (Gp:) a= 0 (Gp:) L (Gp:) 2 ?L (Gp:) 2F1 (Gp:) F1 (Gp:) L (Gp:) ?L (Gp:) a1 (Gp:) F1 (Gp:) L (Gp:) ?L (Gp:) L (Gp:) 2 ?L (Gp:) 2F1 (Gp:) 2 a1
Segunda Ley de Newton Una conclusión de nuestro experimento es que: la Fuerza aplicada es directamente proporcional a la aceleración que experimenta el cuerpo. Para determinar la constante de proporcionalidad, incrementamos nuevamente la elongación del resorte aplicando una mayor fuerza, de tal forma que al medir las aceleraciones encontramos los siguientes valores para las respectivas elongaciones del resorte:
Segunda Ley de Newton Al graficar nuestros resultados de Fuerza contra aceleración, obtenemos: 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 a (m/s2) F (Newton) (Gp:) Pendiente = tan ? = (Gp:) 6 Newton – 4 Newton (Gp:) 6 m/s2 – 4 m/s2 (Gp:) = (Gp:) 6 kg m/s2 – 4 kg m/s2 (Gp:) 6 m/s2 – 4 m/s2 Pendiente = tan ? = 1 kg ? ?
Segunda Ley de Newton Como se podrá observar en la gráfica, se obtiene una línea recta por lo que la proporción que guarda la fuerza aplicada con respecto a la aceleración del cuerpo patrón es una proporción lineal. Al calcular la pendiente de la recta y aplicar la definición de fuerza, se tiene que las unidades de la pendiente son unidades de masa, con lo cual se infiere que la constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo patrón. Luego entonces, la Fuerza aplicada es directamente proporcional a la aceleración del cuerpo, siendo la constante de proporcionalidad la masa del mismo, lo cual expresado en terminología matemática es: F = m a Dicha ecuación es la segunda Ley de Newton. Ya que la aceleración es un vector que es multiplicado por un escalar como lo es la masa, se obtiene un nuevo vector que tiene la misma dirección y sentido que el vector que le da origen. Consecuentemente, la Fuerza es una cantidad vectorial, por lo que: F = m a
Segunda Ley de Newton Debemos de realizar nuevos experimentos para conocer los efectos que una misma fuerza ejerce sobre otros cuerpos y comparar los resultados con el efecto que se producen en el kilogramo patrón. Para ello, escojamos otros cuerpos de masa desconocida y procedamos a realizar los experimentos. (Gp:) 1 (Gp:) F (Gp:) F (Gp:) m (Gp:) 0 (Gp:) Se aplica una fuerza F al kilogramo patrón (Gp:) y experimentalmente determinamos la ace- (Gp:) leración que experimenta, teniendo ésta un (Gp:) cierto valor a. (Gp:) F (Gp:) A otro cuerpo de masa desconocida M, le (Gp:) aplicamos la misma fuerza F, encontrando (Gp:) que su aceleración es la mitad de la que — (Gp:) experimento el kilogramo patrón. (Gp:) m (Gp:) 0 (Gp:) m (Gp:) m (Gp:) a (Gp:) 0 (Gp:) a (Gp:) 0 (Gp:) a (Gp:) = (Gp:) 2 (Gp:) F (Gp:) F (Gp:) A un segundo cuerpo de masa desconocida (Gp:) m2 le aplicamos la misma fuerza F, encon- (Gp:) trando que su aceleración es el doble de la (Gp:) que experimentó el kilogramo patrón. (Gp:) m (Gp:) m (Gp:) a (Gp:) = 2 (Gp:) F (Gp:) F (Gp:) a (Gp:) = 4 (Gp:) Por último, a un tercer cuerpo de masa des- (Gp:) conocida m3 le aplicamos la misma fuerza F (Gp:) encontrando que su aceleración es el cua— (Gp:) druple de la que experimentó el kilogramo — (Gp:) patrón. (Gp:) m (Gp:) m (Gp:) 1 (Gp:) 1 (Gp:) 2 (Gp:) 2 (Gp:) 2 (Gp:) 3 (Gp:) 3 (Gp:) 3 (Gp:) a (Gp:) 0 (Gp:) a (Gp:) 0 (Gp:) a (Gp:) 0 (Gp:) l (Gp:) D (Gp:) l (Gp:) D (Gp:) l (Gp:) D (Gp:) l (Gp:) D (Gp:) l (Gp:) D (Gp:) l (Gp:) D (Gp:) l (Gp:) D (Gp:) l (Gp:) D (Gp:) l (Gp:) l (Gp:) l (Gp:) l (Gp:) l (Gp:) l (Gp:) l
Segunda Ley de Newton De lo anterior concluimos que: cuerpos de la misma naturaleza experimentan diferentes aceleraciones cuando son colocados en un mismo medio ambiente. Así mismo, al tomar el cociente de la aceleración que experimenta el cuerpo patrón y la aceleración que experimenta cualquiera de las masas desconocidas, obtenemos: o bien: conocida como relación de masas y aceleraciones, con la cual podemos determinar la masa de cualquier cuerpo despejándola de la relación. Por ejemplo:
Segunda Ley de Newton Cuando unimos varios cuerpos y aplicamos una fuerza, los cuerpos se moverán en conjunto, experimentando la misma aceleración, lo cual es equivalente a tener un solo cuerpo de masa M = m1 + m2 + m3 + … La aceleración se determina mediante: donde P es la magnitud de la fuerza aplicada. P Equivale a: P M = m1 + m2 + m3 m1 m2 m3
Segunda Ley de Newton Sin embargo, sobre un cuerpo pueden actuar varias fuerzas como por ejemplo: (Gp:) donde FR es la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre o FUERZA RESULTANTE O NETA, lo que equivale a que sobre el cuerpo estuviera actuando únicamente esta fuerza (Gp:) Como son vectores, debemos sumarlos como vectores (Gp:) F5 (Gp:) F1 (Gp:) F2 (Gp:) F3 (Gp:) F4 (Gp:) FR (Gp:) FR (Gp:) x (Gp:) y (Gp:) F1 (Gp:) F2 (Gp:) F3 (Gp:) F5 (Gp:) F4
Segunda Ley de Newton Para determinar analíticamente a la fuerza resultante, debemos descomponer a las fuerzas individuales en sus componentes rectangulares sobre los ejes, de tal forma que: Donde: Además, la segunda ley expresada en forma de componentes es: En la cual la aceleración del cuerpo se determina mediante cálculos y en algunos casos mediante la observación del cuerpo, como por ejemplo, cuando se va deslizando sobre el piso (eje x), la aceleración en el eje vertical es cero (ay = 0).
Segunda Ley de Newton Al resolver problemas que involucren fuerzas, es conveniente realizar Diagramas de Cuerpo Libre o aislado en los cuales consideramos al cuerpo como si fuese un punto situado en el origen de coordenadas, colocando ahí todas las fuerzas que actúan sobre él así como los respectivos ángulos que dichas fuerzas forman con respecto a un determinado eje, esto último para poder calcular las componentes de dichas fuerzas sobre los ejes. Del ejemplo anterior, el Diagrama de Cuerpo Libre es: F5 F1 F2 F3 F4 x + y + F1 F2 F3 F5 F4 ? DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE Se elije un sistema de referencia con su convención de signos y las fuerzas se colocan en él y saliendo del origen
Segunda Ley de Newton Para determinar las componentes, se procede como en el tema de vectores, teniendo cuidado al seleccionar el ángulo, ya que en algunos problemas el ángulo se mide con respecto al eje de las y´s, por lo que las funciones trigonométricas que relacionan a las componentes con la magnitud del vector y el ángulo cambian. Por tal motivo se recomienda siempre formar el triángulo rectángulo y a él aplicarle las funciones sen ?, cos ? y tan ? Aplicación de las funciones de acuerdo al ángulo x + y + F2 ? x + y + F2 ? Fx = ¦F2¦cos ? Fy = ¦F2¦sen ? Fx = ¦F2¦sen ? Fy = ¦F2¦cos ? Fx Fy Fy Fx
TERCERA LEY DE NEWTON Todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, provienen de la interacción mutua del mismo con el medio ambiente, debido a que es mutua, una fuerza sola o aislada es una imposibilidad física, las fuerzas actúan por parejas, una de ellas es la que ejerce el cuerpo sobre el medio ambiente y la otra es la que el medio ambiente ejerce sobre el cuerpo (para efecto de aplicaciones, ésta es la que nos interesa). A una de ellas (cualquiera) se le llama Fuerza de Acción en tanto que a la otra Fuerza de Reacción. Ambas son de igual magnitud pero en sentido diferente, se encuentran sobre la línea de acción que une a los dos cuerpos y lo importante de la tercera ley es que actúan sobre cuerpos diferentes. Si actuasen sobre el mismo cuerpo, al aplicar la segunda ley tendríamos que ambas se anularían y consecuentemente no tendríamos movimiento (aceleración). Para ilustrar lo anterior, imaginemos que nos recargamos con la palma de la mano sobre un muro. El muro nos detiene y evita que caigamos, esa es la fuerza que el muro ejerce sobre nosotros, la otra fuerza, es la que nosotros ejercemos sobre el muro, si éste no estuviese bien pegado, al aplicarle una mayor fuerza podríamos derribarlo.
Tercera Ley de Newton Otro ejemplo es cuando queremos cerrar una puerta de un golpe utilizando nuestro pie descalzo. Nosotros ejercemos una fuerza sobre la puerta y ésta hace que se cierre (acción); la puerta a su vez ejerce una fuerza sobre nosotros, la cual experimentamos mediante el dolor del pie (reacción). Para que nos quede claro el concepto, analicemos el siguiente ejemplo donde se tiene un bloque de masa m colocado sobre un piso horizontal apoyado en ladrillos. En éste ejemplo tenemos dos cuerpos; uno es el bloque y el otro el piso, hagamos el análisis para ambos cuerpos utilizando diagramas de cuerpo libre:
Tercera Ley de Newton Sobre el bloque x y N W N = Fuerza que el piso ejerce sobre el bloque (evita que el bloque se hunda) W = Fuerza que la Tierra ejerce sobre el bloque, (lo que llamamos peso) Sobre el piso y x N´ W W´ N´ = Fuerza que los ladrillos ejercen sobre el piso W´ = Fuerza que la Tierra ejerce sobre El Piso (peso del piso) piso (peso del piso) W = Fuerza que el bloque ejerce sobre el Piso (peso del bloque) bloque piso ladrillo Como el sistema está en reposo, las fuerzas que apuntan hacia arriba deben de ser iguales a las que apuntan hacia abajo N = W ; N´ = W´ + W
Tercera Ley de Newton Si deseamos encontrar por parejas a las fuerzas (acción y reacción), debemos expresarlas de la siguiente forma: Si se observa bien, al encontrar una de las fuerzas, la otra surge inmediatamente, lo único que tenemos que hacer es invertir los subíndices. Por ejemplo: FT / b (acción), Fb / T (reacción).
Tercera Ley de Newton Sobre la caja N P´´ W F Sobre la cuña N W Sobre el hombre N P´ W P Son las fuerzas Normales y Pesos de los cuerpos. Es la fuerza que el hombre ejerce sobre la cuña. Es la fuerza que la cuña ejerce sobre el hombre. Es la fuerza que el hombre ejerce sobre la caja, y es la suma de P´ + f´ Es la fuerza que el hombre ejerce sobre la Tierra (fuerza de rozamiento), el hombre empuja a la Tierra hacia atrás Es la fuerza que la Tierra ejerce sobre el hombre, es la contraparte de la anterior y es la que nos hace avanzar o caminar Es la fuerza de rozamiento entre la caja y la Tierra, ésta fuerza puede ser menor que f N, W P P´ P´´ f f´ F f´ f P* P* Es la fuerza que la caja ejerce sobre el hombre, es la contrparte de P´´
Tercera Ley de Newton La fuerza normal recibe ese nombre debido a que es normal o perpendicular a las superficies en contacto. El peso siempre es vertical y dirigido hacia el centro de la Tierra. La fuerza de rozamiento es paralela a las superficies en contacto y siempre se oponen al movimiento (o bien son contrarias a la dirección del movimiento).
Aplicaciones de las Leyes de Newton Para resolver problemas aplicando las leyes de Newton, se recomienda: Hacer el dibujo. Hacer el diagrama de cuerpo libre o aislado, considerando al cuerpo como si fuese un punto. Colocar en el diagrama y saliendo del punto, todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. Elegir un sistema de referencia (plano cartesiano) Colocar en el sistema la convención de signos. Tomar como eje positivo el de la dirección de movimiento del cuerpo. Marcar los ángulos que forman las fuerzas con respecto a los ejes. Descomponer a las fuerzas en sus componentes rectangulares. Cuando se trabaje con planos inclinados, uno de los ejes debe de ser paralelo al plano. Aplicar la Segunda Ley de Newton, haciendo la sumatoria de las componentes de las fuerzas sobre los ejes.
Aplicaciones de las Leyes de Newton EJEMPLO: Una persona empuja una caja de 50 kg sobre una superficie horizontal lisa aplicando una fuerza de 30 Nt. Determine la aceleración de la caja. La única fuerza que está actuando sobre el eje de las x es la Fuerza P aplicada, además, tal fuerza es igual a la componente Px , por lo tanto: despejando a la aceleración: (Gp:) Diagrama de Cuerpo libre (Gp:) N (Gp:) P (Gp:) W (Gp:) x+ (Gp:) y+
Aplicaciones de las Leyes de Newton En este tipo de problemas donde no existe fricción, no es necesario realizar la suma de fuerzas en el eje de las y a menos que se solicite. Las fuerzas que actúan sobre el eje de las y son la Normal (positiva hacia arriba) y el peso (negativo hacia abajo). Como no hay movimiento en dicho eje, la aceleración aquí es cero (no hay cambios de velocidad). Por lo tanto: ya que el peso es igual a la masa por la aceleración de la gravedad.
Aplicaciones de las Leyes de Newton EJEMPLO.- Del ejemplo anterior, la persona le aplica a la caja la misma fuerza pero haciendo un ángulo de 200 con respecto a la horizontal. Determine la aceleración que tal fuerza le produce a la caja. donde las componentes rectangulares de P se determinan a partir del triángulo que se forma: Aplicando la suma de fuerzas en x: (Gp:) Diagrama de Cuerpo libre (Gp:) N (Gp:) P (Gp:) W (Gp:) x+ (Gp:) y+ (Gp:) 200 (Gp:) Px (Gp:) Py
Aplicaciones de las Leyes de Newton Como se puede observar de los dos resultados, la aceleración máxima se obtiene cuando la fuerza aplicada es horizontal. A medida que aumentamos el ángulo de aplicación de la fuerza, la aceleración disminuye.
Aplicaciones de las Leyes de Newton EJEMPLO: Del mismo problema pero cuando la caja es subida por un plano inclinado 200 con respecto a la horizontal. (Gp:) Diagrama de Cuerpo libre (Gp:) N (Gp:) P (Gp:) W (Gp:) x+ (Gp:) y+ (Gp:) 200 (Gp:) 200 (Gp:) Wy (Gp:) Wx
Aplicaciones de las Leyes de Newton Suma de fuerzas en x Suma de fuerzas en y
Aplicaciones de las Leyes de Newton Como se obtiene un valor negativo para la aceleración, implica que la dirección de movimiento que supusimos era incorrecta, es decir que el cuerpo en lugar de subir baja. Lo anterior podemos reforzarlo si analizamos las fuerzas (o componentes) que actúan en el eje x. La componente del peso es: y la fuerza aplicada P tiene un valor de: P = 30 Nt. Como la componente del peso es mayor que la fuerza aplicada, la dirección de la resultante de ambas tendrá esa misma dirección. Lo cual nos lleva al siguiente ejemplo.
Aplicaciones de las Leyes de Newton EJEMPLO: Del mismo problema anterior, ¿ cuál debe de ser la magnitud de la fuerza aplicada para poder sostener al cuerpo sobre el plano inclinado? En este caso, la caja estaría en equilibrio, es decir en reposo, por lo que la aceleración ax = 0 y ay = 0 consecuentemente, P – Wx = 0 P – mg sen ? = 0 P = mg sen ? P = 167.76 Nt EJEMPLO: Del mismo problema, si deseo subir la caja con velocidad constante, ¿qué fuerza debo aplicar? En este caso, el cuerpo se estaría moviendo pero con velocidad constante, es decir que nuevamente la aceleración sería nula por lo que la fuerza necesaria sería igual a la componente del peso. P = Wx = 167.76 Nt
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