Prueba de hipótesis con la razón F de Fisher

A diferencia de otras pruebas de medias que se basan en la diferencia existente entre dos valores, el análisis de varianza emplea la razón de las estimaciones, dividiendo la estimación intermediante entre la estimación interna

Esta razón F fue creada por Ronald Fisher (1890-1962), matemático británico, cuyas teorías estadísticas hicieron mucho más precisos los experimentos científicos. Sus proyectos estadísticos, primero utilizados en biología, rápidamente cobraron importancia y fueron aplicados a la experimentación agrícola, médica e industrial. Fisher también contribuyó a clarificar las funciones que desempeñan la mutación y la selección natural en la genética, particularmente en la población humana.

El valor estadístico de prueba resultante se debe comparar con un valor tabular de F, que indicará el valor máximo del valor estadístico de prueba que ocurría si H0 fuera verdadera, a un nivel de significación seleccionado. Antes de proceder a efectuar este cálculo, se debe considerar las características de la distribución F

Características de la distribución F

– Existe una distribución F diferente para cada combinación de tamaño de muestra y número de muestras. Por tanto, existe una distribución F que se aplica cuando se toman cinco muestras de seis observaciones cada una, al igual que una distribución F diferente para cinco muestras de siete observaciones cada una. A propósito de esto, el número distribuciones de muestreo diferentes es tan grande que sería poco práctico hacer una extensa tabulación de distribuciones. Por tanto, como se hizo en el caso de la distribución t, solamente se tabulan los valores que más comúnmente se utilizan. En el caso de la distribución F, los valores críticos para los niveles 0,05 y 0,01 generalmente se proporcionan para determinadas combinaciones de tamaños de muestra y número de muestras.

La razón más pequeña es 0. La razón no puede ser negativa, ya que ambos términos de la razón F están elevados al cuadrado.

Por otra parte, grandes diferencias entre los valores medios de la muestra, acompañadas de pequeñas variancias muestrales pueden dar como resultado valores extremadamente grandes de la razón F.

– La forma de cada distribución de muestreo teórico F depende del número de grados de libertad que estén asociados a ella. Tanto el numerador como el denominador tienen grados de libertad relacionados.

Determinación de los grados de libertad

Los grados de libertad para el numerador y el denominador de la razón F se basan en los cálculos necesarios para derivar cada estimación de la variancia de la población. La estimación intermediante de variancia (numerador) comprende la división de la suma de las diferencias elevadas al cuadrado entre el número de medias (muestras) menos uno, o bien, k – 1. Así, k – 1 es el número de grados de libertad para el numerador.

En forma semejante, el calcular cada variancia muestral, la suma de las diferencias elevadas al cuadrado entre el valor medio de la muestra y cada valor de la misma se divide entre el número de observaciones de la muestra menos uno, o bien, n – 1. Por tanto, el promedio de las variancias muestrales se determina dividiendo la suma de las variancias de la muestra entre el número de muestras, o k. Los grados de libertad para el denominador son entonces, k(n -l).

Uso de la tabla de F del análisis de variancia (ANOVA)

En la tabla 5 se ilustra la estructura de una tabla de F para un nivel de significación de 0,01 o 1% y 0,05 o 5%.

Cálculo de la razón F a partir de datos muestrales

Para calcular F se debe seguir el siguiente procedimiento

1) Calcular la estimación interna (Denominador)

2) Calcular la estimación intermediante (Numerador)

Ejemplo ilustrativo

Los pesos en kg por 1,7 m de estatura se ilustran en la siguiente tabla. La finalidad es determinar si existen diferencias reales entre las cuatro muestras. Emplear un nivel de significación de 0,05

Solución:

Las hipótesis Nula y Alternativa son:

Calculando las medias aritméticas se obtiene:

Se llena la siguiente tabla para calcular las varianzas muestrales:

Remplazando los datos en la fórmula de la varianza se obtienen las varianzas de las 4 muestras.

Calculando la estimación interna de varianza se obtiene:

Para calcular la estimación intermediante de varianza primero se calcular la varianza de las medias aritméticas

Se llena la siguiente tabla:

Se remplaza los datos de la tabla para calcular varianza de las medias aritméticas

Calculando la estimación intermediante de varianza se obtiene:

Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente figura:

La gráfica elaborada en Winstats y Paint se muestra en la siguiente figura:

Decisión:

Bibliografía

SUÁREZ, Mario, (2012), Interaprendizaje de Probabilidades y Estadística Inferencial con Excel, Winstats y Graph, Primera Edición. Imprenta M & V, Ibarra, Ecuador.

Autor:

Mario Orlando Suárez Ibujes