4. Construir un triángulo concociendo dos lados y el ángulo comprendido.
Sean b y c los dos lados dados y A el ángulo que comprenden (fig. 72). Se construye un ángulo igual al dado, según aprendimos, y se llevan sobre sus lados lo segmentos AC = b y AB = c. Se unen los puntos B y C así obtenidos y se tiene el triángulo ABC pedido.
5. Construir un triángulo rectángulo conocidos la hipotenusa y un cateto.
Se construye un ángulo recta A (fig. 73), y sobre uno de sus lados se lleva el cateto conocido AC = b. Con centro en C y una abertura de compás igual a la longitud de la hipotenusa a se traza el arco B. Uniendo C con B se tiene el triángulo rectángulo pedido.
6. Construir un triángulo rectángulo conocidos un cateto y un ángulo agudo.
Supongamos que el segmento c representa el cateto dado y que B representa el ángulo agudo también conocido (fig. 74). Se construye un ángulo B igual al dado y sobre uno de sus lados se lleva el cateto conocido BA = c. Se levanta una perpendicular AC en el punto A a la recta BA y se tiene el triángulo pedido ABC.
Capítulo 3
Construcciones de cuadriláteros
Las figuras 75, 76, 77 y 78 representan cuadriláteros. Se ve que en todos ellos hay cuatro segmentos que se encuentran dos a dos y que limitan una porción del plano.
En la figura 75 estos cuatro segmentos son AB, BC, CD y DA. Estos segmentos se llaman lados del cuadrilátero. Los puntos A, B, C, D, comunes a dos segmentos, son los vértices del cuadrilátero, y los ángulos 1, 2, 3, 4 son sus ángulos. Un cuadrilátero tiene cuatro ángulos, es decir, tantos como lados. Los vértices A y D, así como los C y B, son contiguos o consecutivos; los A y C y los D y B no lo son. Se llama diagonal de un cuadrilátero al segmento que determinan dos vértices no consecutivos. Así, AC y BD son las diagonales del cuadrilátero de la figura. Un cuadrilátero sólo tiene dos diagonales. ¿Hay diagonales en un triángulo? Explique su respuesta.
Hay cuadriláteros como el de la figura 76 que presentan un ángulo como el C, que se llama ángulo entrante; los otros ángulos se llaman salientes. Los cuadriláteros que tienen algún ángulo entrante se llaman cóncavos; los que no lo presentan se llaman convexos. Estos son los que nos interesan ahora.
Clasificación de los cuadriláteros. La clasificación de los cuadriláteros convexos se considera como un modelo de clasificación.
Los cuadriláteros se dividen en paralelogramos, trapecios y trapezoides.
Se llama paralelogramo al cuadrilátero que tiene sus lados paralelos dos a dos. (fig. 77).
Se llama trapecio al cuadrilátero que solo tiene dos de sus lados paralelos sin serlo los otros dos (fig. 78). En todo trapecio los lados paralelos se llaman bases.
Se llama trapezoide al cuadrilátero en que no hay lados paralelos (fig. 79)
Los paralelogramos se dividen en rectángulos, cuadrados, rombos y romboides+el rectángulo (fig. 80) – llamado raras veces cuadrilongo – es el paralelogramo que tiene todos sus ángulos rectos y sus lados iguales dos a dos.
El cuadrado (fig. 81) es el paralelogramo que tiene sus cuatro ángulos rectos y sus cuatro lados iguales. El rombo (fig. 82) es el cuadrilátero que tiene sus cuatro lados iguales y sus ángulos no son rectos. El romboide (fig. 83) es el paralelogramo que tiene sus lados iguales dos a dos y sus ángulos no son rectos.
El trapecio puede ser rectángulo, isósceles y escaleno
Trapecio rectángulo es el que tiene uno de sus lados no paralelos perpendicular a los lados paralelos (fig. 84). Trapecio isósceles es el que tiene iguales sus dos lados no paralelos (fig. 85). Trapecio escaleno es el que tiene desiguales sus lados no paralelos (fig. 86).
Fig. 87
Área de un paralelogramo. Para hallar el área o superficie de un paralelogramo es necesario definir su base y su altura. Si se traza la perpendicular EF a uno de los lados de un paralelogramo, esta recta es también perpendicular al otro lado paralelo (fig. 87). El segmento EF de la perpendicular se llama entonces atura del paralelogramo, en tanto que el lado AD se llama Base. Igual puede llamarse base al lado BC. Para hallar el área de un paralelogramo basta multiplicar su base por su altura.
Ejemplo 1: Hallar el área de un paralelogramo cuya base es de 20 m. y cuya altura es de 12 m
El área es A = 20 . 12 = 240 m2, esto es, vale 240 metros cuadrados
Ejemplo 2: Hallar el área de un paralelogramo cuya base es de 60 cm y cuya altura es de 7,2 cm
A = 60. 7,2 = 432 cm2
Ejercicios resueltos:
1. Construir un cuadrado cuando se conoce el lado.
Se construye un ángulo recta A, (fig. 88), levantando una perpendicular en un punto A de una recta, tal como ya sabemos. Se llevan sobre los lados del ángulo recto así obtenido longitudes AB y AC iguales al lado a. Con centro en B y una abertura de compás igual al lado dado se traza el arco 1. Con centro en C y la misma abertura se traza el arco 2. Se tiene así el punto D, que unido con B y C, nos da el cuadrado ABCD pedido.
2. Construir un cuadrado cuando se conoce la diagonal.
Sea HK la diagonal (fig. 89). En un punto O de una recta indefinida r se levanta una perpendicular p. Se divide la diagonal HK en dos partes iguales y con una abertura de compás igual a su mitad se hace centro en O y se marcan los puntos A, B, C, D. Uniendo estos puntos de dos en dos se tiene el cuadrado pedido ABCD.
3. Construir un rectángulo (cuadrilongo) dados los dos lados distintos.
Sean a y b los dos lados dados (fig. 90). Sobre una recta cualquiera r se lleva uno de estos lados, el a por ejemplo, en AB, y en uno de sus extremos A se levanta una perpendicular AC. Sobre esta perpendicular se lleva, a partir de A, el otro lado b, dado; con centro en B, y una abertura igual a b, se traza un arco; con centro en C, y una abertura igual al lado a, se traza otro arco. Estos arcos se cortan en el punto P que unido con B y C nos da el cuadrilátero ABCP pedido.
4. Construir un rombo conociendo las diagonales.
Sean a y b las dos diagonales dadas (fig. 91). En un punto O de una indefinida r se traza una perpendicular p a esta recta, como ya sabemos. Se dividen las diagonales a y b en dos partes iguales. Con una abertura de compás igual a la mitad de a se hace centro en O y se marcan los puntos A y B. Con una abertura de compás igual a la mitad de b se hace centro en O y se marcan los puntos C y D. Uniendo os cuatro puntos así obtenidos resulta el rombo ACBD.
5. Construir un romboide conociendo los dos lados y el ángulo que forman.
Sean a y b los dos lados y A el ángulo que forman (fig 92). Se construye en A un ángulo igual al dado por el método que sabemos. Sobre uno de los lados de este ángulo se lleva un segmento AB igual al lado a, y sobre el otro, un segmento AC igual al lado b. Con centro en B y una abertura de compás igual a b se traza el arco 1 y con centro en C y una abertura de compás igual al segmento a de traza el arco 2. Estos dos arcos determinan el punto D, que unido con B y C, nos da el romboide pedido ABDC.
6. Construir un trapecio rectángulo conociendo las dos bases y la altura.
Sean a y b las dos bases y h la altura (fig. 93). Sobre una recta indefinida r se lleva un segmento AB, igual a la base dada b. En un extremo A de este segmento se levante una perpendicular AC; y sobre ella, y a partir de A, se lleva el segmento CD, igual a la otra base b. Se determina así el punto D, que unido con B, nos da el trapecio pedido ABDC.
Capítulo 4
Construcciones de polígonos
Las figuras 94, 95, 96 y 97 representan polígonos. Se ve que estos polígonos están limitados por una línea quebrada o poligonal cerrada. Los segmentos que forman la poligonal son los lados del polígono. En la fig. 96, AB, BC, CD, DE y EA son los lados del polígono. Los puntos A, B, C, D y E son sus vértices. A cada vértice del polígono corresponde un ángulo del mismo. Cuando un polígono no presenta ángulos entrantes, como los tres primeros de los anteriores, se llama convexo; cuando presenta ángulos entrantes, como el D en la figura 97, se llama cóncavo. Los ángulos de un polígono que están formados por dos lados consecutivos se llaman interiores, tales como los citados antes. Los que están formados por un lado y la prolongación de otro, se llaman externos. Así, en la fig. 114, el ángulo 1 es exterior. Los triángulos y los cuadriláteros estudiados antes son polígonos.
Propiedad 1: La suma de los ángulos exteriores de un polígono cualquiera vale 360º.
Propiedad 2: La suma de los ángulos interiores de un polígono cualquiera vale tantas veces 180º como lados tiene menos dos.
Así, para calcular el valor de la suma de los ángulos del polígono de la figura 96, decimos: su número de lados es 5; restándole 2 a este número nos queda el número 3, y a la suma de los ángulos interiores del polígono es 180º. 3 = 540º.
Diagonal de un polígono es el segmento que une un vértice con otro no inmediato o consecutivo. Así, en la figura 99, AB, AC y AD son diagonales.
Propiedad: Desde un vértice en un polígono se le pueden trazar a éste tantas diagonales como lados tiene menos tres. En caso de la figura 99 el número de lados es 8. El número de diagonales que se le pueden trazar desde A, por ejemplo, es 8 – 3 = 5.
Las figuras 100 y 101 representan poligonales cerradas en que hay dos o más lados que se cortan. Estas figuras se llaman líneas o poligonales estrelladas; muchos los denominan polígonos estrellados.
Según el número de lados, un polígono se llama triángulo, cuando tiene tres lados; cuadrilátero, cuando tiene cuatro lados; pentágono, cuando tiene cinco; hexágono, cuando tiene seis; heptágono, cuando tiene siete; octógono u octágono, cuando tiene ocho; eneágono, cuando tiene nueve; decágono, cuando tiene diez. Aunque se usan poco estos nombres, el polígono de once lados se llama endecágono, el de doce dodecágono, el de quince pentadecágono, y el de veinte icoságono. Los otros no tienen nombre particular.
Se dice que un polígono está inscrito en una circunferencia, y se llama polígono inscrito, cuando tiene todos sus vértices en esta circunferencia. Tal ocurre en el caso de la figura 102. Se dice que un polígono está circunscrito a una circunferencia, cuando todos sus lados son tangentes a esta circunferencia, y se llama entonces polígono circunscrito. Así ocurre en la figura 103.
Un polígono se llama regular, cuando tiene todos sus lados iguales y todos sus ángulos también iguales. Son polígonos regulares el triángulo equilátero y el cuadrado; también lo es el pentágono de la figura 104. Se llama irregular el polígono que no cumple las condiciones anteriores. Los polígonos de las figuras 98, 102 y 103, por ejemplo, son irregulares. Si un polígono tiene todos sus lados iguales, se llama equilátero; si sus ángulos, equiángulo.
Ejercicios resueltos:
1. Inscribir un hexágono regular y un triángulo equilátero en una circunferencia.
Con una abertura de compás igual al radio OA, se marcan en la circunferencia, a partir de un punto cualquiera A de la misma, los puntos B, C, D, E y F, (fig. 105), y se comprueba que esta operación se puede realizar seis veces exactamente. Uniendo los puntos de dos en dos sucesivamente se obtiene el hexágono regular.
Si se unen los puntos de dos en dos saltando un en cada caso, se obtiene el triángulo equilátero ACE de la figura.
2. Inscribir un cuadrado y un Octógono en la circunferencia.
Se trazan dos diámetros perpendiculares (fig. 105, a) y se unen de dos en dos los puntos A, D, B y C, en que estas perpendiculares cortan a la circunferencia.
Para llegar al octógono se trazan las bisectrices OM, ON, de los ángulos rectos BOD y AOD. Se prolongan estas bisectrices y se unen de dos en dos los ocho puntos que se obtienen en la circunferencia.
3. Inscribir un heptágono regular en una circunferencia.
Se traza un diámetro AB (fig 106), y con centro en uno de sus extremos A, y una abertura igual al radio AO, de la circunferencia, se traza el arco MON. Uniendo los puntos M y N se obtiene el segmento MC que da el lado del heptágono regular.
4. Inscribir un pentágono regular en la circunferencia.
Se trazan dos diámetros perpendiculares AB y CD (fig. 107). Se determina el punto medio M del radio OB levantando la perpendicular en este punto, y haciendo centro en M, y con una abertura de compás igual a MD, se traza el arco DE, cuya cuerda DE es el lado del pentágono. Así que, llevando DE sucesivamente sobre la circunferencia, se obtienen cinco puntos, que unidos dan un pentágono regular.
5. Dividir un segmento en partes iguales.
Se quiere dividir un segmento AB (fig.108) en partes iguales; en siete, por ejemplo. Para ello, se traza una semirrecta cualquiera A7, a partir de uno de sus extremos, y sobre esta semirrecta se lleva, a partir de A, un número de segmentos iguales, igual al número de partes en que se quiere dividir el segmento dado. En la figura se han llevado los segmentos A1, 1-2, 2-3, 3-4, 4-5, 5-6, 6-7, esto es, siete segmentos todos iguales. Se une ahora el punto 7 con el extremo B del segmento dado, y por los puntos de división 1-2-3-4-5-6 se trazan paralelas a 7B. Estas paralelas determinan los puntos de división pedidos en AB.
6. División de la circunferencia en cualquier número de partes iguales.
Se da la circunferencia de centro O (fig. 109). Se traza un diámetro AB y se divide este diámetro en tanteas partes como en partes se quiera dividir la circunferencia. Se hace centro en los extremos A y B del diámetro, y con aberturas iguales a este diámetro, se trazan los arcos B1 y A2, que se cortan en C. Se traza CD, que une el punto C con el segundo punto de división del diámetro, y la cuerda del arco AD cabe aproximadamente en la circunferencia el número de veces deseado. En el caso de la figura se ha dividido la circunferencia en siete partes iguales.
7. Dado el lado de un polígono regular, construir este polígono.
Sea AB (fig. 110) el lado dado que, para fijar las ideas, supondremos que es el de un pentágono regular. Tracemos una circunferencia cualquiera, que es la de radio OC en la figura, e inscribamos en la misma, por uno de los métodos conocidos, un polígono de igual número de lados que el que se busca – pentágono en este caso. Sea CD su lado. Unamos CE = AB, y tracemos EF paralela a CO y FG paralela a CE. Si se traza ahora una circunferencia de centro O y radio OG, el segmento GF es el lado del pentágono inscrito en ella, y este lado es igual al lado AB.
8. Trisección del ángulo
Es la operación por la cual se divide un ángulo cualquiera entre partes iguales. Para esta operación solo existen métodos aproximados empleando la regla y el compás.
Sea ABC el ángulo dado (fig. 111). Con centro en el vértice B tracemos una semicircunferencia ACF de radio cualquiera. Tracemos la bisectriz BE del ángulo dado, y tomemos DE = DB. Uniendo E con F se obtiene el punto H que determina el arco CH que cabe tres veces aproximadamente en el arco CA.
Otro método: Con centro en el vértice B, y radio cualquiera BA, (fig. 112), se traza una semicircunferencia ACE. Sobre el borde de una hoja de papel, o sobre el canto de una regla, se marca una longitud igual al radio de esta circunferencia y se traslada de modo que uno de los extremos de este segmento coincida con E, mientras que el otro cae en D, pasando su prolongación por C. Marcando este punto E, y uniéndolo con C, se tiene la recta DEC cuyo segmento DE es igual al radio de la semicircunferencia y que forma con DA el ángulo CDA igual a la tercera parte del ángulo dado. El procedimiento es riguroso, pero no es un método de regla y compás.
Cuando el ángulo dado es obtuso se divide en dos ángulos agudos y se obtiene la tercera parte de cada uno de ellos.
9. Rectificación de la circunferencia.
Rectificar una curva es una operación que se propone hallar un segmento de igual longitud que la de la curva. En el caso de la circunferencia, como otros muchos, solo puede llegarse a este resultado aproximadamente, sea por métodos gráficos o por el cálculo. Esto quiere decir que la cuadratura rigurosa del círculo es imposible.
Primer método; Sea una circunferencia de centro O. (fig. 113). Tracémosle, por uno de sus puntos, A, una tangente AB, y a la vez el diámetro de contacto AOC. Con una abertura de compás igual al radio, y centro en A. marquemos el punto D y dividamos el arco AD, así obtenido, en dos partes iguales por medio de los arcos M. Se tiene así el punto E determinado por OM sobre la tangente. A partir de este punto E se lleva ahora, sobre la tangente, tres veces el radio, con lo cual obtenemos el punto B. Uniendo B con C resulta el segmento BC que representa aproximadamente la mitad de la circunferencia.
Otro método: Se traza un diámetro AB (fig. 114) y con centro en A y en B, y una abertura de compás igual al radio, se trazan los arcos OC y OD. Con centro en A, y una abertura igual a AD, se traza el arco DE, y con centro en B e igual abertura, se traza el arco CE. Finalmente, con centro en C, y abertura CE, se traza el arco EF. El segmento AF es aproximadamente igual a la cuarta parte de la circunferencia.
Calcular la longitud de la circunferencia. Para calcular la longitud de la circunferencia, dado el radio, basta saber que la relación de la circunferencia al diámetro, o lo que lo mismo, el cociente de dividir la longitud de la circunferencia por la longitud del diámetro, es un número conocido que se representa por la letra griega 
que se llama pi. El valor de se puede obtener con todas las cifras decimales que se quiera, pero no exactamente. Nosotros lo usaremos con el valor 3.14.
La longitud de la circunferencia es igual al producto de 2 por el número y por el radio de la circunferencia.
Esto equivale a escribir la fórmula
L = 2r, donde L es la longitud de la circunferencia y r su radio.
Ejemplo 1: Calcular la longitud de una circunferencia de 20 m de radio.
Se tiene L = 2r = 2 . 3,14 . 20 = 125,664 m
Ejemplo 2: Calcular la longitud de una circunferencia cuyo radio es de 14,5 cm
L = 2 . 3,14 . 14,5 = 91, 1064 cm
Anexos
Antes de empezar es necesario definir qué es un lugar geométrico:
Un lugar geométrico, es un conjunto de entes geométricos cualesquiera (puntos, rectas, segmentos, etc.), que posean determinada propiedad, de manera que están satisfechos los requisitos siguientes:
Todos los entes del conjunto sin excepción poseen la propiedad
No existen otros entes fuera del conjunto que posean la propiedad.
Veamos un ejemplo de cómo resolver un problema donde vamos a construir un lugar geométrico, puesto que no lo tratamos en capítulos anteriores. Además nos va a servir para que observes como poner en práctica los pasos que indicamos en la introducción para resolver problemas de construcción. Recuerda que no te damos las soluciones, que estos problemas son relativamente fáciles, solo está en el empeño que pongas y como sepas utilizar la regla y el compás.
Ejercicio resuelto:
1. Construya el lugar geométrico de todos los puntos tales, que los pares de tangentes que desde ellos pueden trazarse a una circunferencia dada, formen entre sí ángulos cuya amplitud sea constante.
Análisis: Figura de análisis (fig. 115)
Se supone el problema resuelto. Según la figura de análisis tenemos que:
Ejercicios propuestos:
1. Construya el lugar geométrico de todos los puntos que están a una distancia dada, de una recta dada.
2. Construya el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de dos rectas paralelas.
3. Construya el lugar geométrico de todos los puntos que están a una distancia dada, de una circunferencia dada.
4. Construya el lugar geométrico de todos los puntos que están a una distancia dada de un punto dado.
5. Construya un segmento de longitud dada, en una semirrecta, a partir del origen de dicha semirrecta.
6. Construya un ángulo de amplitud dada, en una bandera dada.
7. Construir la mediatriz de un segmento.
8. Construir las mediatrices a los tres lados de un triángulo.
9. Construye un triángulo ABC dados:
a) La longitud de un lado y las amplitudes de los ángulos adyacentes correspondientes al lado.
b) Las longitudes de dos lados y la amplitud del ángulo opuesto al mayor de los lados dados.
c) Construye un paralelogramo, dadas las longitudes de los dos lados no paralelos y la amplitud del ángulo entre estos dos lados.
10. Construya un cuadrilátero, dadas las longitudes de sus cuatro lados y la amplitud del ángulo comprendido entre dos lados consecutivos.
11. Construye un triángulo dado un lado, y dos ángulos, el opuesto a ese lado y uno de los adyacentes al mismo.
12. Construye un triángulo rectángulo dado sus dos catetos.
13. Construye un triángulo rectángulo dados sus dos catetos.
14. Construya el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo.
15. Construya el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos puntos fijos.
16. Construya el lugar geométrico de todos los puntos del plano que lados del ángulo.
17. Construya el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan una distancia fija r a una recta fija l.
18. Construya el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de dos puntos fijos A y B
19. Construya el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de dos rectas fijas l y m que se intersecan en O.
20. Construya el lugar geométrico de los centros de todas las circunferencias tangentes a una recta dada en un punto de ella
21. Construya el lugar geométrico de los centros de todas las circunferencias tangentes a dos rectas dadas.
22. Construya el lugar geométrico de los centros de todas las circunferencias de radio dado, tangentes a una circunferencia dada.
23. Dados dos puntos, trace por estos dos rectas paralelas que están a una distancia dada m.
24. Dados tres puntos A, B y C, trace por C una recta igualmente distante de los otros dos.
25. Trace una recta que sea paralela a otra dada y que pase a igual distancia de dos puntos dados.
26. Por un punto dado trace una recta que forma ángulos iguales con dos rectas dadas.
27. Dados un ángulo y un punto exterior, construya un ángulo igual al dado y que tenga por vértice al punto dado.
28. Construya el triángulo ABC, dados:
a) Dos lados y la mediana a uno de sus lados
b) Un lado, la altura relativa al lado y un ángulo
c) La suma de las longitudes de los tres lados, y un ángulo
29. Construya una circunferencia que pase por un punto dado y que sea tangente a una circunferencia dada en un punto de esta.
30. Construya una circunferencia tangente a otra y a una recta, conocido el punto de tangencia con esta.
31. (Concurso Nacional, Cuba 2006 – 2007) Dos medianas de un triángulo son perpendiculares. Prueba que con las longitudes de las medianas del triángulo se puede construir un triángulo rectángulo.
Triángulos:
En todo triángulo cada lado es menor que la suma de los otros des y mayor que su diferencia.
La suma de los ángulos de un triángulo cualquiera es igual a 180º.
En todo triángulo cada ángulo es suplemento de la suma de los otros dos.
Si dos triángulos tienen dos ángulos respectivamente iguales, los terceros ángulos también son iguales.
Un triángulo no puede tener más de un ángulo recto, ni más de uno obtuso, ni uno recto y otro obtuso.
En un triángulo rectángulo los ángulos agudos son complementarios.
Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes a él.
Todo ángulo exterior de un triángulo es mayor que cualquiera de los interiores no adyacentes a él.
Si un triángulo tiene dos lados iguales, los ángulos opuestos a estos lados son también iguales.
Los ángulos bases (o sea, los adyacentes a la base) de un triángulo isósceles son iguales.
Los tres ángulos de un triángulo equilátero son iguales, o sea, todo triángulo equilátero es equiángulo.
Si en un triángulo dos lados son desiguales, a mayor lado se opone mayor ángulo.
En todo triángulo a ángulos iguales se oponen lados iguales y a mayor ángulo se opone mayor lado.
Dos triángulos son iguales cuando tienen dos lados y el ángulo comprendido respectivamente iguales.
Dos triángulos son iguales cuando tienen un lado igual y respectivamente iguales los ángulos adyacentes a ese lado (es decir, los formados por él).
Dos triángulos son iguales cuando tienen un lado igual y respectivamente iguales dos ángulos que guarden la misma posición con respecto a ese lado.
Dos triángulos son iguales cuando tienen sus tres lados respectivamente iguales.
Dos triángulos rectángulos son iguales cuando tienen respectivamente iguales la hipotenusa y un ángulo agudo.
Dos triángulos rectángulos son iguales cuando tienen respectivamente iguales un cateto y un ángulo de la misma posición (con respecto a ese cateto).
Dos triángulos rectángulos son iguales cuando tienen respectivamente iguales los dos catetos.
Dos triángulos rectángulos son iguales cuando tienen respectivamente iguales la hipotenusa y un cateto.
La suma de dos segmentos que se cortan es mayor que la suma de los segmentos que unen sus extremos.
Si dos triángulos tienen dos lados respectivamente iguales y desiguales el ángulo comprendido, los terceros lados son desiguales, oponiéndose al mayor ángulo el mayor lado.
Todo punto situado en la mediatriz de un segmento equidista de los extremos del segmento, y todo punto fuera de esa mediatriz no equidista.
Todo punto situado en la bisectriz de un ángulo equidista de los lados del ángulo, y todo punto fuera de esa bisectriz, no equidista.
Polígonos:
En todo polígono la suma de sus ángulos interiores es igual a tantas veces 180º como lados tiene menos dos.
Si se prolongan en un mismo sentido todos los lados de un polígono, la suma de los ángulos exteriores que resultan es igual a 360º.
El número total de diagonales de un polígono de n lados es
.
Dos polígonos de igual número de lados son iguales se descomponen en el mismo número de triángulos respectivamente iguales e igualmente dispuestos.
Cuadriláteros:
La suma de los ángulos interiores es igual a 360º.
Tienen dos diagonales en total; y desde un vértice solo se puede trazar una diagonal.
Las diagonales se cortan en un punto interior al cuadrilátero.
En todo paralelogramo los lados opuestos son iguales.
Si un paralelogramo tiene dos lados consecutivos iguales, tiene cuatro lados iguales.
Los ángulos opuestos son iguales.
Los ángulos consecutivos son suplementarios.
Si en un paralelogramo un ángulo es recto, los demás son rectos.
Las diagonales se cortan recíprocamente en su punto medio.
Si un cuadrilátero tiene sus lados iguales, es cuadrilátero es un paralelogramo.
Si un cuadrilátero tiene dos lados opuestos iguales y paralelos, ese cuadrilátero es un paralelogramo.
Si un cuadrilátero tiene iguales los ángulos opuestos, dicho cuadrilátero es un paralelogramo.
Si en un cuadrilátero son suplementarios los ángulos consecutivos, ese cuadrilátero es un paralelogramo.
Si las diagonales de un cuadrilátero se cortan por su mitad, éste es un paralelogramo.
Las diagonales del rectángulo son iguales.
Las diagonales del cuadrado son iguales.
Si las diagonales de un paralelogramo son iguales, ese paralelogramo es un rectángulo.
Las diagonales del rombo se cortan perpendicularmente y cada una es bisectriz de los ángulos cuyos vértices une.
Las diagonales del cuadrado se cortan perpendicularmente y cada una es bisectriz de los ángulos cuyos vértices une.
Si las diagonales de un paralelogramo se cortan perpendicularmente, ese paralelogramo es un rombo.
Si una de las diagonales de un paralelogramo es bisectriz de uno de los ángulos, dicho paralelogramo es un rombo.
La paralela media de un trapecio es paralela a las bases, e igual a su semisuma.
Dos cuadriláteros son iguales cuando se descomponen en triángulos respectivamente iguales e igualmente dispuestos.
Dos cuadriláteros son iguales si tienen respectivamente iguales tres lados y los dos ángulos que forman.
Dos cuadriláteros son iguales cuando tienen respectivamente iguales dos lados consecutivos y los tres ángulos de que forman parte.
Dos paralelogramos son iguales cuando tienen dos lados consecutivos y el ángulo comprendido respectivamente iguales.
Dos rectángulos son iguales cuando tienen dos lados consecutivos respectivamente iguales.
Dos rombos son iguales cuando tienen un lado y un ángulo respectivamente iguales.
Dos cuadrados son iguales cuando tienen dos lados consecutivos y una diagonal respectivamente iguales
Dos paralelogramos son iguales cuando tienen una diagonal igual y respectivamente iguales los ángulos que esa diagonal forma con dos lados consecutivos.
Circunferencia:
Si en circunferencias de igual radio se tienen ángulos centrales iguales, los arcos que éstos interceptan son iguales.
Si en circunferencias de igual radio se tienen ángulos centrales que interceptan arcos iguales. Esos ángulos son iguales.
Si en circunferencias de igual radio se tienen ángulos centrales desiguales, los arcos que éstos interceptan también son desiguales, correspondiendo al mayor ángulo el mayor arco.
Si en circunferencias de igual radio se tienen ángulos centrales que interceptan arcos desiguales, esos, ángulos también son desiguales, correspondiendo a mayor arco el mayor ángulo.
A ángulos centrales iguales corresponden arcos iguales.
A arcos iguales corresponden ángulos centrales iguales.
A mayor ángulo central corresponde mayor arco, o sea, a menor ángulo central, menor arco.
A mayor arco corresponde mayor ángulo central, o sea, a menor arco, menor ángulo central.
El diámetro es la mayor de las cuerdas.
Todo diámetro divide a la circunferencia y al círculo en dos partes iguales llamados semicircunferencia y semicírculo respectivamente.
Todo diámetro perpendicular a una cuerda divide a ésta y a los arcos que subtiende en dos partes iguales.
A arcos iguales corresponde cuerdas iguales.
Si dos arcos menores que una semicircunferencia son desiguales, al mayor arco corresponde mayor cuerda.
En una circunferencia o en circunferencias iguales, las cuerdas iguales equidistan del centro; y si dos cuerdas son desiguales, la mayor dista menos.
Si dos cuerdas equidistan del centro son iguales, y si dos cuerdas no equidistan del centro, la que dista menos es la mayor.
La menor curda que se puede trazar por un punto interior a una circunferencia es la perpendicular al diámetro correspondiente a ese punto.
Los arcos comprendidos entre cuerdas paralelas son iguales.
La perpendicular trazada en el extremo de un radio es tangente a la circunferencia en ese punto.
Toda tangente a una circunferencia es perpendicular al radio correspondiente al punto de tangencia.
Si se traza la perpendicular a una tangente en el punto de tangencia, es perpendicular pasa por el centro de la circunferencia.
Si se traza la perpendicular a una tangente desde el centro de la circunferencia, esa perpendicular pasa por el punto de tangencia.
La menor distancia de un punto a una circunferencia es el segmento normal correspondiente a ese punto.
Por tres puntos no situados en línea recta puede hacerse pasar siempre una circunferencia y solo una, o sea, tres puntos no alineados determinan siempre una circunferencia.
Dos ángulos son proporcionales a sus arcos correspondientes trazados con el mismo radio.
La medida de todo ángulo inscrito es igual a la mitad de la medida del arco comprendido entre sus lados.
Todos los ángulos inscritos en un mismo arco son iguales.
Todos los ángulos inscritos en una semicircunferencia, es decir, que sus lados pasan por los extremos de un diámetro, miden 90º.
La medida de todo ángulo semiinscrito es igual a la mitad de la medida del arco comprendido entre sus lados.
La medida de todo ángulo interior es igual a la semisuma de los arcos comprendidos entre sus lados y entre las prolongaciones de éstos.
La medida de todo ángulo exterior es igual a la semidiferencia de los arcos comprendidos entre sus lados.
La medida del ángulo que tiene su vértice en la circunferencia y está formado por una cuerda y la prolongación de otra, es igual a la semisuma de los arcos comprendidos entre sus lados y entre las prolongaciones de éstos.
Bibliografía
Campistrous Pérez, Luis: Aprende a resolver problemas aritméticos, Ed. Pueblo y Educación, La Habana, Cuba, 1996.
Campistrous Pérez, Luis y Muñoz Baños, Féliz: Problemas de Matemática Elemental 10 y 11 grados, Ed. Pueblo y Educación, Cuba, 1985.
Colectivo de autores: Libros de texto 7mo, 8vo, 9no, 10mo,11no, 12mo (primera y segunda parte), ed. Pueblo y Educación, Cuba, 1991.
Davidson, Lus J y otros: Problemas de Matemática Elemental Tomo II, Ed Pueblo y Educación, Cuba, 1995.
Díaz González, Mario: Problemas de matemática para los entrenamiento en la educación secundaria básica Tomo I, Ed. Pueblo y Educación, Cuba, 2004.
___________________________: Problemas de matemática para los entrenamiento en la educación secundaria básica Tomo II, Ed. Pueblo y Educación, Cuba, 2006.
___________________________: Problemas de matemática para los entrenamiento en la educación secundaria básica Tomo III, Ed. Pueblo y Educación, Cuba, 2011.
Escalona, Miyares: Matemática segundo curso, Ed Ministerio de Educación, Cuba, 1964.
Gusiev, V. Litvinenko, V. Mordkovich, A: Prácticas para resolver Problemas de Matemática. Geometría, Ed. Mir, Moscú, 1989.
Guzmán, Miguel de: Tendencias Innovadoras en Educación Matemática, OMA, 1992.
__________________: Para pensar mejor, Editorial Labor, España, 1991.
Paz Sordía, Antonio: Matemática tercer curso, Ed. Pueblo y Eucación, Cuba.
Olimpiadas de Matemática de varios países. Sitios de Internet relacionados con las Olimpiadas Matemáticas.
Valle Castañeda, Wilmer: "Un sistema de actividades para el fortalecimiento de la habilidad formular problemas en los estudiantes de secundaria básica", tesis de diploma, Pinar del Río, 2009
_________________________________: Guía para la preparación de los alumnos para los concursos provinciales, Folleto digital.
Autor:
Wilmer Valle Castañeda
| Página siguiente |