Construcciones geométricas

Introducción

Alguna vez has tratado de trisecar un ángulo, cuadrar un círculo o duplicar un cubo solamente con regla y compás. ¡Qué sorpresa! Te pasó como a los matemáticos de la antigua Grecia, que no pudieron realizar dichas operaciones.

Precisamente la trisección del ángulo, la cuadratura del círculo y la duplicación del cubo son tres clásicos problemas de la antigua Grecia sobre construcciones geométricas que pasaron al siglo XX sin resolver.

Las construcciones geométricas han estado presentes a lo largo de la historia incluso desde el propio surgimiento de la humanidad. La podemos ver en las inmensas construcciones que ha realizado el hombre como el Partenón, en la plástica la vemos en la obra de Da Vinci "La figura humana", utilizando la proporción áurea o número de 60oro y es un tema muy polémico en la actualidad y al cual no se le ha prestado la suficiente atención que lleva el tema.

La sociedad actual exige que nosotros los docentes eduquemos a las nuevas generaciones, les brindemos conocimientos que tengan gran calidad, que formemos un joven con una cultura general, y el tema de las construcciones geométricas no se queda exenta de esta cultura.

A veces vemos como los estudiantes cuando van a realizar un problema geométrico, no realizan correctamente la construcción de la figura, y a veces no pueden realizar un análisis objetivo del problema que les permita resolver el mismo y este es uno de los elementos más afectados dentro de aquellos estudiantes que participan en los diferentes concursos de matemática y de los que no participan cuando se enfrentan a diferentes tipos de evaluaciones.

El principal requisito para resolver un problema de geometría es realizar la figura con toda la exactitud posible, como lo exige el problema, y ahí es donde intervienen los conocimientos que tienen los estudiantes sobre construcciones geométricas.

A lo largo de los años, se ha venido disminuyendo la cantidad de horas clases dedicadas a las construcciones geométricas dentro de los programas de la asignatura de Matemática, solo se reducen a las construcciones de una recta perpendicular o paralela que pasa por un punto exterior a una recta, la construcción de la mediatriz y la bisectriz (que además constituyen lugares geométricos), e incluso en la carrera de Matemática – Física, solo se trabajan las construcciones a partir de los movimientos del plano.

E incluso dentro de los temas que se trabajan para la preparación de concursos y olimpiadas no hay un material dedicado a las construcciones geométricas, y el tema es un objetivo clave para aquellos que año tras año se entrenan para participar en los diferentes eventos.

Nos hemos preguntado ¿dónde han quedado las construcciones con regla y compás? ¿Dónde han quedado las construcciones de triángulos y de circunferencias que tanta utilidad tiene dentro de la Matemática para resolver problemas de geometría?

Precisamente este el propósito del libro que hoy estás leyendo: acercarte a las construcciones geométricas que por un motivo o por otro, no tienes al alcance de tus manos.

El libro contiene 4 capítulos que están dedicados a la construcción de los elementos fundamentales de la geometría, a la construcción de triángulos, a la construcción de cuadriláteros y a la construcción de polígonos, y para todo ello utilizaremos solamente la regla y el compás, además en un anexo 1, mostramos algunos ejercicios propuestos para que ejercites lo que ya has aprendido incluyendo los lugares geométricos más utilizados y un segundo anexo donde presentamos un resumen de los teoremas en los cuales intervienen las figuras antes mencionadas.

Este tipo de problema es relativamente fácil de resolver, solo tienes que tener un poco de ingenio y saber utilizar correctamente la regla y el compás.

No nos podemos olvidar que resolver un problema de construcción en el plano consiste en construir determinados elementos geométricos que satisfagan ciertas condiciones o relaciones pedidas, dado un conjunto de elementos geométricos y utilizando un número determinado de instrumentos de dibujo.

En cada problema de construcción propuesto, te sugerimos que realices los siguientes pasos:

– Análisis: En este primer paso se debe encontrar las condiciones necesarias para la existencia de soluciones. Para esto se supone el problema resuelto, se dibuja una figura que cumpla aproximadamente las condiciones dadas, luego se trata de investigar las relaciones que existen entre los elementos dados y los elementos que deseamos construir, hasta reducir el problema propuesto a problemas ya conocidos. El análisis prepara las condiciones necesarias para la construcción de la figura y solución del problema.

– Construcción y descripción: Este segundo paso consiste en hacer la construcción de la figura con las condiciones pedidas, considerando los resultados y relaciones obtenidas en el análisis del problema. La construcción debe hacerse con los instrumentos que se permiten utilizar, pues la solubilidad del problema, está estrechamente vinculado con estos. Debe hacerse una descripción de los pasos fundamentales de la construcción.

– Demostración: En el tercer paso, la demostración, se justifica la construcción realizada al probar que la figura obtenida satisface las condiciones del problema. Se debe demostrar la proposición siguiente, "si la construcción es siempre realizable, entonces cada figura que así se construya satisface todas las condiciones del problema".

– Discusión: El cuarto paso consiste en dar un resumen sobre el conjunto de soluciones del problema. Aquí se determinan los casos de posibilidad e imposibilidad, los casos de determinación e indeterminación y los casos particulares interesantes que puedan presentarse. Es importante destacar que las figuras que resultan congruentes constituyen una misma solución.

No queda más por decir, yo sé que este libro te va a servir de mucha ayuda y que en tus manos contribuirá en ti, a ver la matemática desde otros puntos de vista.

EL AUTOR

Capítulo 1

Elementos de geometría

El punto y la línea

El punto es un elemento geométrico que se representa por una cruceta o por una pequeña marca, de modo que A, B, C y D, representan puntos (fig. 1). Estas marcas se obtienen aplicando la punta afilada del lápiz en el papel; también puede obtenerse la representación de un punto aplicando la punta de un alfiler en cualquier superficie. Es costumbre designar los puntos por letras mayúsculas; así se dice: el punto A; el punto C, etc.

Una línea se representa por un trazo fino. Así (fig. 2), AB y EFG representan líneas. Las líneas se designan generalmente por una, dos o más letras convenientemente dispuestas, como acabamos de hacerlo.

Línea recta

La línea recta, de la cual da idea un hilo bien estirado, se representa como se ve en la figura 3, y se supone indefinida, es decir, que se extiende a la izquierda de A y a la derecha de B, pues no está limitada, no termina es estos puntos. La línea recta suele llamarse simplemente recta, y en la práctica se representa como se ve en la fig. 4. A veces se designa por dos letras mayúsculas y se lee recta AB, pero es más corriente ahora designarla por una sola letra minúscula r, y se dice la recta r.

Las líneas están formadas por puntos.

Cuando consideramos dos puntos A y B en una recta (Fig. 5), decimos que AB es un segmento de recta. Los puntos A y B son los extremos del segmento.

La línea de la fig. 6 es una línea quebrada o poligonal; está formada por varios segmentos de recta a, b, c, d y e. Los puntos A y B son los extremos de la poligonal.

Cuando se dice recta, se sobreentiende que ésta es indefinida, es decir, que no termina por una parte ni por la otra, que no tiene extremos, aunque en el dibujo se represente limitada.

Si en una recta se marca un punto A, (fig. 7) se obtienen dos semirrectas, de las cuales una parte de A y se extiende indefinidamente hacia X, y la otra parte de A y se extiende, también indefinidamente, hacia Y.

Propiedades de la recta

1ª) Si tenemos dos puntos A y B (fig. 8) por ellos puede pasar una recta r, pero si tratamos de trazar otra u otras. Todas se confunden, esto es, coinciden con r. esto se expresa así:

Por dos puntos dados puede pasar una línea recta y sólo una.

O bien:

Dos puntos determinan la posición de una recta.

2ª) Si tratamos de ir desde un punto M hasta un punto N (fig 9) podemos seguir muchos caminos 1, 2, 3, …, etc., pero de todos ellos el más corto es el segmento MN de la recta que los une. Tenemos así la segunda propiedad:

Entre dos puntos, el camino más corto es el que da la recta que pasa por ellos.

La longitud del segmento MN que une dos puntos dados, M y N, se llama distancia entre estos puntos.

Superficie plana

Llegamos a la idea de superficie observando los cuerpos que nos rodean.

De la superficie plana, que se llama también plano simplemente, nos formamos idea cuando observamos la superficie de un líquido, en reposo, o un piso bien trabajado, o uno de los cristales de nuestras ventanas. Los planos, como las rectas son indefinidos, lo cual quiere decir que no terminan en parte alguna, pero los representamos en el dibujo como se ve en P, en la fig. 10, y se dice el plano P. cuando toco la superficie de la mesa con la punta del lápiz, comprendo lo que quiere decir que esta punta está en el plano de la mesa. Si separo la punta del lápiz de la mesa, digo que esta punta está fuera del plano de la mesa. Una propiedad fundamental del plano es la siguiente:

Dos puntos de un plano determinan una línea recta que se encuentra toda ella en el plano.

Así, los dos puntos A y B del plano P, es decir, que están en el plano P, determinan la recta r, cuyos puntos están todos situados en el plano P, (fig. 11).

Ángulos, lados y vértices

La fig. 12 representa un ángulo cuyo vértice es O y cuyos lados son las dos semirrectas OA y OB. El lado OA se supone prolongado indefinidamente hacia A y el OB hacia B. UN ángulo se designa por medio de tres letras que se disponen, una en el vértice como O, y las otras dos próximas a los lados, como A y B. Para leerlo se enuncian las tres letras de modo que la del vértice vaya en el medio. Así, el ángulo de la figura anterior se lee AOB, o bien, BOA. Cuando no puede haber confusión, se dice también el ángulo O y también el ángulo en O. Otras veces se designa un ángulo por medio de una letra m dispuesta en su interior y se lee el ángulo m. A veces se usan números en lugar de letras.

Se dice que dos ángulos son iguales o congruentes, cuando haciendo coincidir el vértice y uno de sus lados, los otros lados coinciden.

Para tener una idea del tamaño, la magnitud o el valor de un ángulo, basta observar la figura 13. En ella se ve que los ángulos 1 y 2 son iguales; que el ángulo 3 es mucho mayor que cualquiera de los anteriores y que el 4 es mucho menor que el 1 o que el 2 o que el 2. Se ve así que el valor de un ángulo no depende de la longitud de sus lados.

Cuando una recta MN encuentra a otra PQ, (fig. 14), ambas forman cuatro ángulos: 1, 2, 3 y 4. Los ángulos 1 y 3 son opuestos por el vértice y se observa que son iguales. Asimismo, los ángulos 2 y 4 son opuestos por el vértice y son iguales a su vez.

Se dice entonces que dos rectas son perpendiculares cuando, al encontrarse forman cuatros ángulos rectos. Así, (fig. 15), las dos recta AB y CD, que se encuentran en el punto O, son perpendiculares, porque los cuatro ángulos r, s, t y u son iguales.

En ese caso se dice que los lados de los cuatro ángulos formados son perpendiculares unos a otros por ejemplo, se dice que el lado OC es perpendicular al OA y se llama:

Ángulo recto al ángulo que tiene sus lados perpendiculares. Los ángulos 1, 2 y 3 de la fig. 16 son todos ángulos rectos. Todo ángulo menor que un ángulo recto se llama ángulo agudo; tales son representados en la figura 17.

Todo ángulo mayor que un ángulo recto se llama ángulo obtuso (fig. 18)

Complemento de un ángulo agudo es lo que le falta para valer un ángulo recto. Así, en el caso de la figura 19, el complemento del ángulo ABC es el ángulo CBD, porque BD es perpendicular a BA y el ángulo ABD es de 90º.

Complemento de un ángulo obtuso es un exceso con respecto a un ángulo recto. En la figura 20 el ángulo DBC es el complemento del ángulo ABC.

Bisectriz de un ángulo es una semirrecta que lo divide en dos ángulos iguales. En las figuras (fig. 21, BD es la bisectriz del ángulo ABC.

Se dice que dos rectas son oblicuas cuando no son perpendiculares. Las rectas MN y PQ (fig. 14) son oblicuas. Los lados ON y OP del ángulo NOP, son oblicuos. En la fig. 22 se observa que DC es perpendicular a AB, en tanto que MC, HC y LC son oblicuas a ella. Se observa que, en un punto de una recta que, solo hay una perpendicular; en cambio hay tantas oblicuas como se quiera.

Se dice que varias recta están situadas en un mismo plano y no se encuentran. Las rectas AB, CD y EF (fig. 23) son tales que están situadas en el plano del papel y no pueden encontrarse por mucho que las prolonguemos: esto da idea de las rectas paralelas. Esto quiere decir que las rectas paralelas. Esto quiere decir que las rectas paralelas no se cortan. Cuando dos rectas se cortan, esto es, se encuentran, se dice que son secantes.

Cuando dos rectas son secantes se dice que convergen hacia el punto donde se cortan, o tienden a cortarse, o que divergen del mismo. Las dos rectas r y s, suficientemente prolongadas (fig. 24) se cortarían en A, que es su punto de encuentro, de intersección o de concurso. Si las consideramos en el sentido de las flechas, se llaman convergentes; si en el sentido opuesto, se llaman divergentes.

Circunferencia

Se llama circunferencia a una línea curva, plana y cerrada, cada uno de cuyos puntos está a una misma distancia de un punto llamado centro. La línea L (fig. 25) es una circunferencia. Si en ella se toman puntos cualesquiera A, B, C, D,…, todos estos puntos se hallan a una misma distancia del punto O que es el centro de la circunferencia. Radio de una circunferencia es el segmento de recta que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia. Así, (fig. 26), OA es un radio, el radio correspondiente al punto A y se ve que:

En una misma circunferencia todos los radios son iguales.

Diámetro es el segmento que pasa por el centro y tiene sus extremos en la circunferencia: DOE es un diámetro. Se ve que el diámetro es el doble del radio y divide en dos partes iguales o congruentes a la circunferencia.

Arco es una porción cualquiera de la circunferencia. Así, cuando marcamos dos puntos B y C en una circunferencia, obtenemos dos arcos, el arco BMC que se escribe y el arco BDEAC. Los puntos B y C son los extremos de estos arcos.

Cuerda es el segmento que une los extremos de un arco. Como ejemplo, BC es la cuerda que corresponde al arco BMC.

Secante es toda recta que corta a la circunferencia en dos puntos, como MN (fig.27) que la corta en A y en B.

Tangente es toda recta que toca a la circunferencia en un punto, que se llama punto de contacto o de tangencia. Así, CD es una tangente: toca a la circunferencia en T, que es el punto de tangencia o de contacto. El radio OT es el radio de contacto y es perpendicular a la tangente, como se ve en la figura.

La sagita es el segmento que une el punto medio de una cuerda con el punto medio del arco correspondiente. En la figura, FG es una sagita.

Se llama círculo a la porción del plano limitada por la circunferencia. Por eso suele llamarse a la circunferencia de círculo. El círculo se ve rayado en la figura 28.

Segmento circular, o simplemente segmento, es la porción del círculo comprendido entre una cuerda y uno de sus arcos. En la figura 29, AMB es un segmento.

Sector circular o simplemente sector, es aquella parte del círculo comprendida entre un arco y los radios que van a sus extremos. COD es un sector.

Zona es la porción de círculo que determinan dos cuerdas paralelas y las porciones de arcos comprendidas entre ellas. ZZ es una zona.

Cuando se consideran dos circunferencias en un plano, éstas se llaman concéntricas, cuando tienen el mismo centro (fig. 30). En este caso la parte del plano comprendida entre ambas se llama corona o anillo circular. Tal es la porción rayada en la figura.

Si se trazan dos radios, se obtiene una porción de la corona o anillo – ABCD en la figura 31 – que es el trapecio circular.

Dos circunferencias que situadas en un plano, tienen por centros puntos distintos, se llaman excéntricas (fig. 32) y el segmento que une sus centros se llama línea de los centros.

Cuando las circunferencias se cortan, (fig. 33), se llaman secantes, y la porción del plano común a ambas es una lentícula L. Cuando solo tienen un punto común, se llaman tangentes.

Pueden ser tangentes exteriormente (fig. 34) o interiormente (fig. 35).

El punto común T es el punto de tangencia.

Realengo. – La porción del plano limitada por varias circunferencias tangentes o secantes se llama realengo (fig. 36)

Ángulos que se consideran en la circunferencia

Se llama ángulo central al que tiene su vértice en la circunferencia y los lados coinciden con los radios de la misma. El AOB (fig. 37) es un ángulo central.

Ángulo inscrito es el que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados coinciden con cuerdas de la misma. El ángulo CDE es inscrito.

Ángulo semiinscrito es el que tiene su vértice en la circunferencia y uno de sus lados coincide con una cuerda y el otro con una tangente. Tal es el ABC (fig. 38)

Ángulo exterior o externo es el que tiene su vértice fuera del círculo, y sus lados coinciden con dos secantes, como el DEF

Ángulo interior o interno es el que tiene su vértice dentro del círculo. Como el ABC (fig. 39). Todo ángulo central es interior.

Ejemplos resueltos:

• 1. Levantar una perpendicular en el punto medio de un segmento.

Sea el segmento AB (fig.40). Se hace centro en uno de sus extremos A, y con una abertura de compás mayor que la mitad de AB, se trazan los arcos 1 y 2. Se hace centro en B, y con la misma abertura, se trazan los arcos 3 y 4, que corten a los primeros. Se unen los puntos C y D así obtenidos y se tiene la perpendicular pedida CD. Queda así determinado el punto medio M del segmento AB, que es el punto que lo divide en dos partes iguales.

En la figura 41 se ha modificado el método de modo que se interpreta fácilmente. La perpendicular CD se llama mediatriz del segmento AB.

• 2. Levantar la perpendicular en un punto de una recta.

Dada una recta y el punto M de la misma (fig. 42), se hace centro en M, y con una apertura cualquiera del compás, se marcan los puntos A y B situados a igual distancia (equidistantes) de M. haciendo ahora centro en B, con igual abertura de compás mayor que AM, se traza el arco 1; haciendo centro en B, con igual abertura, se traza el arco 2 que corte al primero. Queda así determinado el punto C que unido con M da la perpendicular pedida. La longitud del segmento CM se llama distancia del punto C a la recta r. El punto M es el pie de la perpendicular.

• 3. Levantar la perpendicular en el extremo de una semirrecta

• a) Sea AB la semirrecta dada (fig. 43) que suponemos que no puede prolongarse hacia la izquierda de A. Se hace centro en A, y con una abertura cualquiera de compás, se traza el arco CDE. Haciendo ahora centro en C, y con la misma abertura de compás, se marca el punto D. haciendo centro en D, y con igual abertura, se marca el punto E.

Haciendo ahora centro en D y en E, con una misma abertura de compás, se trazan los arcos 1 y 2 que se corten, y el punto H así obtenido, unido con A, da la perpendicular pedida AH.

• b)  Otro método, se marca un punto cualquiera C, situado fuera de la semirrecta dada (fig. 44), y haciendo centro en él, y con una abertura de compás igual a CA, se traza una semicircunferencia. Esta circunferencia encuentra a la semirrecta en el punto D, que unido con E, determina el otro punto E de la circunferencia, que unido a su vez con A, determina la perpendicular AE

• c) Otro método. Con radio cualquiera y centro en A (fig. 45), se traza el arco CD. Con centro en el punto C, y la misma abertura de compás, se marca el punto D. Se une C con D, prolongando hacia DE. Se toma DE igual a DC y uniendo E con A se tiene la perpendicular AE.

• 4. Trazar una perpendicular a una recta desde un punto no situado en ella.

Sea r la recta dada y A el punto (fig. 46). Se hace centro en A, y con abertura suficiente, se traza un arco BC que encuentre a la recta r en dos puntos B y C. Haciendo ahora centro en estos puntos, y con una abertura mayor que la mitad de BC, se traza los arcos 1 y 2 que se cortan en D. Uniendo este punto D con A se tiene la perpendicular pedida AD. Es claro que los arcos 1 y 2 pueden trazarse en la región superior del plano, de modo que D no se confunda – no coincida – con A.

• 5. Por un punto no situado en una recta, trazar una paralela a esta recta.

Sea r la recta y A el punto no situado en ella (fig. 47). Haciendo centro en A, y con una abertura suficiente, para cortar a r en un punto B, se traza el arco BC. Haciendo centro en B, y con la misma abertura, se traza el arco AD. Se mide con el compás la distancia AD, y haciendo centro en B, se marca el punto C con esta abertura. Uniendo los puntos A y C se tiene la paralela pedida p.

• 6. Trazar una tangente a una circunferencia por un punto dado de la misma.

Se da la circunferencia de centro C y el punto A de esta curva (fig. 48). Para resolver el problema propuesto se traza el radio CA del punto A y se levanta al mismo una perpendicular en su extremo A, por uno de los métodos dados en el problema tercero. Esta perpendicular AT es tangente a la circunferencia en el punto A.

• 7. Por tres puntos no situados en línea recta trazar una circunferencia.

Sean A, B y C los tres puntos dados (fig. 49). Por el método del problema 1 levantemos la perpendicular EF en el punto medio del segmento que une A con C. por el mismo método levantemos la perpendicular GH en el punto medio del segmento que une B con C; estas dos perpendiculares se encuentran en un punto O. Haciendo centro en O, y con una abertura igual a OA, se traza una circunferencia; ésta pasa por los tres puntos dados.

• 8. Construir un ángulo, igual a otro ángulo dado.

Dado el ángulo ABC, (fig. 50), para construir otro igual o congruente con él, se hace centro en el vértice B del ángulo dado, y con una abertura cualquiera de compás, se traza el arco DE, comprendido entre sus lados.

Se traza una semirrecta NM, y haciendo centro en su origen N, y con igual abertura de compás, se traza el arco FG. Se mide entonces con el compás la cuerda DE del primer arco, y haciendo centro en F, y con esta abertura, se marca el punto G. Uniendo N con G se tiene el ángulo MNP que es igual al dado.

• 9. Dividir un ángulo recto en tres partes iguales.

Sea el ángulo ABC (fig. 51). Haciendo centro en su vértice B, y con una abertura cualquiera de compás, tracemos el arco AC comprendido entre sus lados. Con esta misma abertura se hace ahora centro en A y se traza el arco a y en seguida centro en C y se traza el arco b con igual abertura. Trazando las semirrectas BD y BE se tiene el ángulo dividido en tres partes iguales 1, 2 y 3.

• 10. Trazar la bisectriz de un ángulo.

Sea el ángulo recto ABC (fig. 52). Haciendo centro en su vértice B, y con una abertura arbitraria, tracemos un arco cualquiera DE, y haciendo centro en D y en E, con una misma abertura suficiente, tracemos los arcos 1 y 2 que se cortan en F. Uniendo B con F se tiene la bisectriz pedida BF.

• 11. Construir ángulos de 30º, 45º, 60º y 120º.

• a) Construir un ángulo de 60º. – Se traza una semirrecta AB (fig. 53), se hace centro en su origen A y, con una abertura cualquiera del compás, se traza un arco CD. Con esta misma abertura se hace centro en C y se marca el punto D. Trazando la semirrecta AD se tiene el ángulo pedido.

• b) Construir un ángulo de 30º. 1- Se construye, según el método anterior, un ángulo de 60º; se le traza la bisectriz a este ángulo y resultan dos ángulos de 30º

2- Se construye un ángulo recto (fig. 54), según vimos en el problema 3. Se traza, con centro en su vértice B, el arco AC, comprendido entre sus lados. Con esa abertura, y centro en C, se marca el punto D, y trazando BD, se tiene un ángulo de 30º. A la vez se obtiene otro de 60º.

• c) Construir un ángulo de 45º. – Basta construir un ángulo recto (fig. 55) y trazarle la bisectriz según el problema 10. Se tienen así dos ángulos de 45º.

• d) Trazar un ángulo de 120º. – Se traza una semirrecta AB (fig. 56), y con centro en su origen A, y una abertura cualquiera de compás, se traza el arco CE. Con centro en C, y la misma abertura, se marca el punto D, y con centro en D e igual abertura se marca el punto E. Uniendo A con E se tiene un ángulo de 120º.

• 12. Trazar las tangentes a una circunferencia desde un punto exterior. – Sea la circunferencia de centro O y un punto exterior A (fig. 57). Para trazar las tangentes desde A, se traza una circunferencia que tenga por diámetro la distancia AO; el centro B de esta circunferencia se determina levantando la perpendicular en el punto medio de AO. Los puntos M y N, en que las dos circunferencias se cortan, son los puntos de contacto de las tangentes. AM y AN son las tangentes pedidas.

• 13. Trazar las tangentes comunes exteriores a dos circunferencias dadas.

Sean 1 y 2 las dos circunferencias dadas, de centros O y O´, respectivamente (fig. 58). Haciendo centro en O´ de la mayor, y con un radio igual a la diferencia de los radios de las dos circunferencias dadas, se traza la circunferencia 3. Hecho esto, se trazan a esta última circunferencia las tangentes posibles OA y OB, desde el punto O, por el método dados antes. Desde el centro O´ se trazan ahora las perpendiculares O´M y O´P a estas tangentes, y por O las perpendiculares ON y OQ a las mismas tangentes. Se tienen así los cuatro puntos de contacto M, N, P y Q. Uniendo M y N se tienen una tangente; uniendo M y N se tiene una tangente; uniendo P y Q se tiene la otra. Estas tangentes se llaman exteriores porque se cortan fuera del segmento OO¨.

• 14. trazar las tangentes comunes interiores a dos circunferencias dadas.

El problema es semejante al anterior. Con centro en O´(fig. 59), centro de la circunferencia mayor, y con un radio igual a la suma de los radios de las circunferencias dadas, se traza una circunferencia 3. Se trazan entonces desde O las tangentes posibles, OA y OB, a esta circunferencia. Desde O y O´ se trazan las perpendiculares O´A y O´B, OP y ON a estas tangentes, y se tienen así los cuatro puntos de ocntacto M, N, P y R; una de las tangentes es MN y la otra PR. Estas tangentes se llaman interiores porque se cortan en D, comprendido entre O y O´.

Capítulo 2

Triángulos

La figura 60 representa cuatro triángulos. Se ve que todos ellos limitados por tres segmentos que se encuentran dos a dos en tres puntos. Considerando cualquiera de los triángulos, el T, por ejemplo, los segmentos son AB, BC, CA. Cada uno de estos segmentos es un lado del triángulo y todo triángulo tiene tres lados. Los puntos A, B y C donde se encuentran los segmentos, son los vértices del triángulo: todo triángulo tiene tres vértices. Además, todo, todo triángulo tiene tres ángulos – 1, 2 y 3 en la figura – y de ahí le viene el nombre.

Los lados de un triángulo se nombren como los segmentos, esto es, por las dos letras de sus extremos y se dice, por ejemplo, en T: el lado BC del triángulo T, o del triángulo ABC. Pero es más sencillo denominar cada lado con letra minúscula correspondiente a la letra del vértice opuesto. Es costumbre decir que el lado AB es opuesto al vértice C y por eso se designa con la letra c.

Los ángulos se pueden nombrar de cualquiera de las maneras ya explicadas. Así, en el triángulo T se dice: el ángulo A, o el ángulo 1, o el ángulo ABC.

Clasificación de los triángulos según la longitud relativa de sus lados. Según esta longitud relativa, los triángulos pueden ser: equiláteros, isósceles y escalenos. Equilátero es el triángulo que tiene sus tres lados iguales, como el ABC (fig. 61). Se observa que tiene sus tres ángulos también iguales. Isósceles es el que tiene dos lados iguales, como el DEF (fig. 62). En este caso el lado desigual DF se llama base del triángulo isósceles. Escaleno es el que tiene sus tres lados desiguales (fig. 63). Así es el GHI. El lector puede comprobar, dibujando correctamente un triángulo y midiendo sus lados, que en todo triángulo cada lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

Clasificación de los triángulos atendiendo a sus ángulos.

Según el valor de sus ángulos, los triángulos pueden ser acutángulos, obtusángulos y rectángulos. Acutángulo es el triángulo que tiene sus tres ángulos agudo, como cualquiera de los tres de la figura anterior. Obtusángulo es el triángulo que tiene obtuso uno de sus ángulos, como el ABC (fig. 64), que tiene obtuso el ángulo B. los otros dos ángulos son agudos. Rectángulo es el triángulo que tiene uno de sus ángulos rectos, como el ABC (fig. 65), que tiene recto el ángulo B. en todo triángulo rectángulo los lados AB y BC, que forman el ángulo recto, se llaman catetos, y el tercer lado AC, opuesto al ángulo recto, se llama hipotenusa. El lector puede comprobar, dibujando cuidadosamente un triángulo y midiendo sus ángulos, que: la suma de los tres ángulos de un triángulo vale 180º.

Base y altura.

Si desde uno de los vértices de un triángulo se baja una perpendicular a la recta que determina uno de sus lados, (fig. 66), se obtiene un segmento que es la altura del triángulo dado correspondiente al lado considerado. Así, en las figuras 66 y 67, BD o h y B´D´ o h´ son las alturas de los triángulos representados. Es decir, h es la altura del triángulo ABC correspondiente al lado AC, en tanto que h´ es la altura del triángulo A´B´C´ correspondiente al lado A´C´. EL lado considerado para trazar la altura es la base del triángulo. Así, en la primera figura, la base del triángulo es AC; en la segunda es A´C´. Como cualquier lado puede servir de base, es claro que un triángulo tiene tres alturas. Cuando el triángulo es isósceles, el nombre de altura se aplica particularmente a la que corresponde al lado desigual, que se llama base, en cambio, cualquiera de los lados iguales recibe el nombre de lado del triángulo isósceles.

Área del triángulo. El conjunto de los tres lados de un triángulo limita una porción del plano que puede medirse. El resultado de esta medida es el área o la superficie del triángulo. El área o la superficie del triángulo ABC (fig. 68) es la porción del plano limitada por los tres lados.

Para hallar el área de un triángulo se traza la altura BD o h correspondiente a uno de sus lados y se mide esta altura y el lado correspondiente AC = b, y el área A está dada por la siguiente fórmula: A = 1/2b.h, que corresponde a esta regla: el área de un triángulo es igual a la mitad del producto de su base por su altura.

Ejemplo 1: Calcular el área de un triángulo cuya base es de 30 m. y cuya altura es de 12 m.

En este caso b = 30 m., h = 12 m. y el área es A = ½ . 30 . 12 = 30 . 6 = 180 m2.

Ejemplo 2: Calcular el área del triángulo cuya base es de 32,5 cm. Y cuya altura es de 15,4 cm.

Ahora b = 35,5 cm.; h = 15,4 cm. Y el área es A = ½ . 32,5 . 15,4 = 250,25 cm2.

Ejercicios resueltos:

• 1. Construir un triángulo equilátero conociendo el lado.

Sobre una recta r (fig.69) se lleva el segmento AB igual lado dado. Con una abertura de compás igual a este lado y centro en A, se traza el arco 1, y con la misma abertura y centro en B, se traza el arco 2. Estos dos arcos se cortan en el punto C, que unido con A y B, nos da el triángulo buscado ABC.

• 2. Construir un triángulo isósceles concociendo la base y la altura.

La base del triángulo es el segmento b y su altura el segmento h (fig. 70). Sobre una recta cualquiera r llevamos la base dada AB = b. Por el procedimiento ya conocido levantamos la perpendicular MD en su punto medio, y a partir del punto D, llevamos sobre ella en DC el segmento h, igual a la altura. Obtenemos así el punto C, que unido con A y B, nos da el triángulo isósceles pedido.

• 3. Construir un triángulo conociendo tres lados.

Sean a, b y c los tres lados dados (fig. 71). Sobre una recta r llevamos uno de los lados, BC = a, por ejemplo. Con centro en B y una abertura de compás igual a otro de los lados, el c, por ejemplo, tracemos el arco 1, y con centro en C y una abertura de compás igual al otro lado b, tracemos el arco 2. Estos arcos se cortan en el punto A que unido con B y C nos resuelve el problema.