Interés compuesto

• Concepto
• Uso de la fórmula del interés compuesto
• Tasa anticipada
• Tasas equivalentes
• Devaluacion
• Inflación
• Sistema de valor constante
• Rentabilidad de activos financieros

La gran mayoría de las operaciones financieras se realizan a interés compuesto con el objeto de tener en cuenta la reinversión de los intereses que genera la inversión.

Concepto

La diferencia fundamental entre el interés simple y el interés compuesto estriba en que, en el primero, el capital permanece constante durante todo el tiempo de la inversión; en cambio, en el segundo, el capital cambia al final de cada período, debido a que los intereses se adicionan al capital para formar un nuevo capital denominado monto y sobre este monto volver a calcular intereses.

EJEMPLO 1.

Mostrar los valores acumulados al final de cada trimestre, cuando se invierte la suma de $5000 a una tasa del 8% trimestral durante un año.

SOLUCION

Si hacemos la tabla anterior pero en forma algebraica, tenemos:

Con lo que llegamos a concluir que la fórmula del interés compuesto es:

S = P(1+i)n

Donde:

S = Capital final

P = Capital inicial

t = Tasa de interés para el periodo

n = Número de períodos

PERIODO

El tiempo que transcurre entre un pago de interés y otro se denomina período y el total de períodos se representa por n, mientras que el número de períodos que hay en un año ser representa por m, por ejemplo, si un documento ofrece pagos semestrales y tiene una duración de 21/2, por lo tanto habrán 5 períodos ( n = 5, m = 2).

TASA NOMINAL

Se denomina tasa nominal la que se da para todo el año, se representará por J, pero no es aplicable directamente en las fórmulas. A la tasa nominal, siempre se le adiciona (como si fueran apellidos) dos palabras que indican el número de liquidaciones de interés con su respectiva conversión a capital, durante un año, (esto es el número de veces que se calculan montos durante un año).

TASA EFECTIVA

Es la tasa para un período; la representaremos por i y es la que se utiliza en las fórmulas. De lo expuesto anteriormente, se deduce que la tasa efectiva del período es igual a la tasa del año (nominal) dividida por el número de períodos que hay en un año, esto es:

i= J/m

EJEMPLO 2

Decir que J = 24% CT (convertible trimestralmente) significa que la tasa para todo el año es el 24%, pero cada 3 meses se liquidan los intereses y se adicionan al capital para formar un nuevo monto; naturalmente, la tasa que se cobra cada 3 meses se liquidan al capital para formar un nuevo monto; naturalmente, la tasa que se cobra cada 3 meses es del 6% y esta última recibe el nombre de tasa efectiva para el trimestre.

Si aplicamos la fórmula t= J/m = 24/4 = 6% efectivo trimestral, porque m = 4 debido a que en un año hay 4 trimestres. También se puede escribir como 6% ET.

Otra forma muy utilizada para indicar la tasa del 24% CT es 24% NTV que significa nominal trimestre vencido o simplemente se puede escribir 24% NT que significa nominal trimestral que es vencida.

EJEMPLO 3

Si J = 30% CM (convertible mensualmente), entonces;

i=J/m=30/12=2.5% efectivo mensual = 2.5%EM

Uso de la fórmula del interés compuesto

EJEMPLO 4

Hallar el monto simple de $25000, al 30% CS 3n 3 años

Solución.

Primero hallamos la tasa efectiva que se usa en la formula

i=J/m=30/2=15% efectivo semestral = 15%ES

Luego hallamos el numero total de periodos. Como en un año hay 2 periodos en 3 años habrán 6 periodos (n=6). Reemplazando en la formula se tiene:

P = S/(1+i)n = 25000 (1+0.15)6=$57826.52

EJEMPLO 5

Hallar el valor presente de $70.000 en 3 años y 8 meses, suponiendo una tasa del 32% CT.

Solución

i=J/m=32/4=8% efectivo mensual = 8%ES

El número total de períodos puede calcularse hallando, primero, el número total de meses y dividiendo entre 3, puesto que el período tiene 3 meses, 36+8=44 períodos n = 44/3 = 14.666…

Si despejamos P de la fórmula del monto, tenemos:

P = S/(1+i)n = S(1 + i)-n

Esto es:

P = S(1+i)-n

Reemplazando P = 70.000 (1 + 0.08)-14.666…. = $22.640.34

En la práctica el número de períodos debe ser un número entero, puesto que no es acostumbrado pagar intereses por fracción de período, sino únicamente por períodos completos.

EJEMPLO 6

Hallar la tasa nominal mensual, a la cual $30.000 se triplicarán en 2 años y 6 meses.

SOLUCION

S = P(1+ i)n entonces 90 000 = 30 000 (1 + i)30

Simplificando por 30 000 3 = (1 + i)30

Extrayendo la raíz 30 31/30 = 1 + i

1.037299 = 1 + i

entonces i = 3.7299% efectivo mensual

finalmente J = i x m = 3.7299 x 12 = 44.76% CM

EJEMPLO 7

Cuánto tiempo es necesario esperar para doblar un capital al 30% CT?

SOLUCION

i= J/m = 30/4 = 7.5% efectivo trimestral

Como la tasa tiene un período de efectividad trimestral, entonces, el número total de períodos n será el número de trimestres.

Por otra parte, para que un capital se duplique, basta que $1 se convierta en $2. Si reemplazamos en la fórmula tenemos:

S = P(1 + i)n entonces 2 = (1 + 0.075)n

2 = 1.075n

log 2 = n log 1.075

n = log2/log 1.075 = 9.584 trimestrales

En la práctica debemos tomar trimestres completos por tanto sería 10 trimestres y en este tiempo se tendría un poco más que duplicado el capital.

Tasa anticipada

La fórmula del interés implica una tasa i ordinaria; es decir que el pago de intereses se hace al final del período. Hay ocasiones en que los intereses se pagan anticipadamente, o sea el principio del período; en este caso se calculan sobre el valor final del documento; entonces, la tasa se representa por ia pero debemos tener en cuenta que, en casi todas las fórmulas de la matemática financiera, se utiliza i. Cuando la información que tengamos de la tasa sea la tasa ia y no i en la mayoría de los casos lo primero que debemos hacer es convertirla en i de acuerdo a la fórmula que deduciremos a continuación.

La tasa de interés i viene siendo igual al interés ganado I, sobre el capital invertido P. esto es: i = I/P.

Cuando se cobra anticipado el interés se tiene que I = Sia y también sabemos que P = S – I , entonces:

i= I/P= Sia/(S-Sia)= Sia/S(1-ia)=ia/1-ia

i= ia/1-ia

A veces, es necesario cambiar de una tasa i a una tasa ia en consecuencia si despejamos a ia de la fórmula anterior tenemos:

ia=i/(1+i)

EJEMPLO 8

Hallar una tasa mensual ordinaria la cual debe producir el mismo resultado que 3% mensual anticipado.

SOLUCION

i=ia/(1-ia)=0.03/(1-0.03)=0.030927835=3.09% EM

Tasas equivalentes

Las tasas equivalentes son aquellas que teniendo diferente efectividad producen el mismo monto en la unidad de tiempo.

Normalmente la unidad de tiempo es el año pero en casos especiales la unidad de tiempo puede ser un quinquenio, un decenio, etc.

EJEMPLO 9

Si un documento paga el 24% nominal trimestral, cuál es la tasa efectiva anual que está pagando?

SOLUCION

De acuerdo a la definición anterior debemos calcular los montos con cada tasa al final de un año (el año viene a ser la unidad de tiempo) si suponemos un capital inicial de $1 a una tasa del 24% CT se procederá así:

Primero calculamos la tasa efectiva trimestral,

i = 24/4 = 6% ET

Entonces, el monto al final de un año con la tasa efectiva será:

S = 1 (1+ 0.06)4

Ahora procedemos a calcular el monto con una tasa anual desconocida así:

S = 1 (1+i)1

Si igualamos los dos montos y simplificamos el 1 se tendrá:

(1+ 0.06)4 (1 + i)1

Despejando se obtiene que: i = 0.26247696 = 26.2477% efectivo anual, lo anterior significa que cobrar el 6% efectivo trimestral da el mismo resultado que cobrar el 26.2477% efectivo anual.

Lo anterior se puede comprobar calculando el monto de cualquier capital por ejemplo de $5000 en tres años primero usando una tasa del 6% efectivo trimestral y después usando el 26.2477% efectivo anual.

5000(1+0.06)12 = $10.060.98

5000 ( 1+0.262477)3 = $10.060.98

En general cuando se desea calcular una tasa efectiva equivalente basta con llenar el siguiente formato:

(1 + ?)? = (1 + i)?

Donde el signo "? " debe ser reemplazado por los datos que se conozcan así por ejemplo si resolvemos el ejemplo 9 usando el formato se tendrá que el primer ? se debe reemplazar por la tasa conocida 6%, como esta tasa tiene efectividad trimestral entonces para completar el año (la unidad de tiempo es el año) este primer paréntesis deberá ser elevado a la 4, al otro lado de la igualdad es decir, en el segundo paréntesis la tasa i debe ser efectiva anual por tanto para completar el año basta con reemplazar el tercer ? por 1 y finalmente se tendrá:

(1 + 0.06)4 = (1 + i)1

Ahora despejamos i y obtenemos la misma respuesta hallada anteriormente.

Un interesante sistema que puede utilizarse para cambiar de una tasa de interés a otra manteniendo su equivalencia, consiste en seguir la trayectoria que sea necesaria de acuerdo a la siguiente gráfica:

Donde:

i= tasa efectiva vencida

J = tasa nominal vendida

ta= tasa efectiva anticipada

Ja = tasa nominal anticipada

m= número de períodos en la unidad de tiempo

Los puntos 1, 2…….8 solo sirven para identificar cada posición.

Los puntos 1, 2 y 4 dependen del punto 3 es decir que si en 3 i es una tasa efectiva trimestral entonces en 4, J es una nominal convertible trimestral; en 2, ia es una tasa efectiva trimestral anticipada y en 1, Ja será una tasa nominal trimestre anticipada. En forma similar los 6, 7 y 8 dependen del punto 5.

Solamente está permitido transitar en el sentido izquierda a derecha de las flechas y para el paso de un punto a otro deberá utilizarse la fórmula indicada.

Siempre comenzaremos en algún punto del sector conocido (uno cualquier de los puntos 1, 2, 3 o 4) y el punto de llegada o destino final será uno cualquiera de los puntos del sector desconocido (puntos 5, 6, 7 u 8).

Los siguientes ejemplos nos mostrarán su utilidad.

EJEMPLO 10

Dado el 10% efectivo semestral anticipado, calcular una tasa nominal convertible trimestralmente que sea equivalente.

SOLUCION:

Como lo que se conoce es la tasa efectiva anticipada entonces el punto de partida será el 2, donde ia = 10% efectivo semestre anticipado y debemos llegar al punto 8 que corresponde a una tasa nominal convertible trimestralmente, pero para llegar allá debemos pasar primero por los puntos 3 y 5.

El paso de 2 a 3 implica que en 3, i = 0.1/ 1 – 0.1 = 11.111…% efectivo semestral

El paso de 3 a 5 (es decir cuando se atraviesa la frontera de lo conocido a lo desconocido) se efectúa llenando el formato de equivalencia así:

(1 + 0.111…)2 = (1 + i)4 despejando i = 5.4092553% ET

Obsérvase que en el primer paréntesis se usó una tasa semestral y por esa razón el exponente fue 2 y en el segundo paréntesis la tasa debe tener efectividad trimestral y por eso su exponente es 4.

Para el paso de 5 a 8, usamos la fórmula J = ix m ;

Entonces J = 5.4092553 x 4 = 21.637% CT

Finalmente llegamos a concluir que el 10% efectivo semestre anticipado es equivalente al 21.637% capitalizable trimestralmente.

EJEMPLO 11

Dado el 24% CM hallar una tasa nominal semestre anticipado equivalente.

SOLUCION

Nos ubicamos en el punto 4 como punto de partida y nuestro destino final será el punto 7, entonces la trayectoria será: 4 – 3 – 5 – 6 – 7.

El paso de 4 a 3 implica el uso de la fórmula

I = J/m = 24/12 = 2% EM

El paso de 3 a 5 implica llenar el formato ( 1 + ?)? = (1 + i) ?

(1 + 0.02)12 = (1 + i)2

Obsérvese, que en el primer paréntesis usamos una tasa efectiva mensual y por ello hemos elevado el paréntesis a las 12 para calcular el monto de un peso en un año, el segundo paréntesis fue elevado a la 2 porque la tasa debe tener una efectividad semestral. Al despejar i de la ecuación se obtiene que i = 0.126162419 efectiva semestral en por uno.

El paso de 5 a 6 implica

ia = i/1 + i = 0.126162419/1+0.126162419 =0.112028617 efectiva semestre anticipado en tasa por uno

El paso de 6 a 7 se hará aplicando la fórmula Ja = i a xm

Ja = 0.112028617 x 2 = 0.224057235 aproximado a 22.4% NSA (NSA es la abreviatura de nominal semestre anticipado).

Observación: en los pasos de 5 a 6 y a 7 se utilizaron todos los decimales porque una aproximación va a causar errores en el resultado final. La norma general es que en equivalencia de tasas se debe trabajar con todos los decimales que se tengan a disposición y solo aproximar la respuesta final.

EJEMPLO 12

Hallar una tasa nominal capitalizable trimestralmente equivalente al 30% efectivo anual.

SOLUCION

El punto de partida es el 3 y el punto de llegada es el 8.

El paso de 3 a 5 será:

(1 + 0.3)1 = (1 + i)4 despejando i = 0.067789972 ET

El paso de 5 a 6 será: J=i x m, esto es:

J = 0.067789972 x 4 = 27.12% CT

EJEMPLO 13

Dado el 25% efectivo anual, hallar una tasa efectiva quinquenal equivalente.

SOLUCION

El punto inicial es el 3 y el punto es el 5, por lo tanto solo es necesario llenar el formato teniendo presente que la unidad de tiempo es el quinquenio (5 años).

(1 + 0.25)5 = (1 + i)1

Despejando, i = 2.051757812 efectivo quinquenal en tasa por uno,

205.1757812% efectivo quinquenal en tasa por ciento.

EJEMPLO 14

Dado el 20% efectivo anual hallar una tasa equivalente efectiva para un trieno (3 años).

SOLUCION

En este caso la unidad de tiempo será el trieno y el formato para cambio de efectividad será:

(1 + ?)? = (1 + i)?

El primer signo ? deberá ser reemplazado por 0,2, el exponente de éste paréntesis deberá ser 3 porque como la unidad de tiempo es el trieno yel 20% es anual entonces para completar el trieno deberá elevarse a la 3, en el segundo paréntesis si exponente deberá ser 1 porque la tasa debe ser efectiva para el trieno, por tanto se tendrá;

(1 +0.2)3 = (1 + i)1

De donde se obtiene que i = 72.8% efectivo trienal (cada 3 años)

Devaluacion

La pérdida de valor de la moneda frente a otra moneda se denomina devaluación, por ejemplo habrá devaluación si inicialmente hay que pagar $800 por US$1 y después de un año hay que pagar $960 por el mismo dólar, en este caso se dice que la devaluación del año fue:

Variación del precio/precio inicial =(960-800)/800=0.20=20%

Lo contrario de la devaluación es la revaluación que significa que habrá que pagar menos pesos por el mismo dólar, por ejemplo si al principio del año hay que pagar $800 por un dólar y al final del año hay que pagar $760 por el mismo dólar entonces la revaluación será:

Variación del precio/precio inicial =(800-760)/800=0.05=5%

Antiguamente, la devaluación se definía como la pérdida de precio de la moneda frente al patrón oro, dicho en otras palabras, era el aumento del precio del oro, pero en la actualidad las monedas se comparan frente al dólar de los Estados Unidos.

Inflación

El proceso económico en el cual se presenta un aumento general de precios se denomina inflación, por ejemplo, hay inflación cuando se sube el precio de los combustibles, se sube el precio del transporte y se aumenta el salario mínimo, etc. En general la inflación es un fenómeno intento de un país.

Aunque la inflación y la devaluación son fenómenos económicos diferentes si hay una relación entre ellos dado que el uno tiene influencia sobre el otro por, ejemplo si en un país se presenta una fuerte devaluación del peso significa que habrá que pagar más pesos por el mismo dólar y las importaciones de bienes y servicios, tendrá un precio interno mayor y por lo tanto causa la inflación.

Ahora veamos cómo la inflación puede ser la causa de una devaluación. Supongamos que actualmente un industrial fabrica un artículo en Colombia a un costo de $800 y que el cambio actual es US$1 – $800 entonces ese artículo podrá ser vendido en Estados Unidos de América a un precio de US$1, si en Colombia se llega a presentar una inflación del 22% anual (por simplicidad supondremos que el índice de precios al productor es igual al índice de inflación) y si no hubiese la devaluación entonces el precio en dólares también se incrementaría en un 22% y el costo al final del año de ese mismo artículo sería de 800 (1+0.22) = $976 que en dólares equivaldría a US$1.22 tal como se puede apreciar en el siguiente cuadro:

Us$

Inicio de año 800$ 1 tipo de cambio Us$1= $800

Al final del año 976$ 1.22 tipo de cambio Us$1= $800

Lo anterior no es bueno para un industrial que exporte sus productos a los Estados Unidos puesto que allá no habrán subido los artículos en un 22% sino en el equivalente a la inflación de allá que puede ser de 3% lo cual implica que artículos similares se estarán vendiendo en US$1.03 y el industrial a fin de no perder los mercados tendrá que rebajar el precio de sus artículos lo cual lo podrá hacer siendo más eficiente en la producción y/o reduciendo su margen de utilidad. Sin embargo, si se produce una devaluación se salvarán sus exportaciones porque recibirá más pesos por el mismo dólar que exporte sin aumentar los precios en el exterior. Esto significa que sus productos recuperarán su competitividad internacional.

Ahora supongamos que en Colombia se presenta una devaluación del 18.45%, esto significa que el industrial recibirá un 18.45% más pesos por cada dólar que exporte y el cambio al final del año será 800(1+0.1845) = $947.60.

Si el industrial vende sus artículos a US$1.03 entonces recibirá 1.03 x 947.60 = 976.03 aproximado a $976 que es la cantidad necesaria que debe recibir en pesos sin que haya habido necesidad de subir el precio de sus productos en el extranjero más allá de la inflación que se presentó en aquel país, lo cual se puede apreciar en el siguiente cuadro:

Us$

Inicio de año 800$ 1 tipo de cambio Us$1= $800

Al final del año 976$ 1.03 tipo de cambio Us$1= $947.60

Lo anterior nos muestra que la devaluación puede ser buena para un exportador pero puede ser mala para un importador porque los productos importados saldrán más costosos.

Cuando en un país la devaluación es baja y se prevé que va a permanecer así durante un tiempo, el sector privado puede pensar en solicitar préstamos en el exterior, por ejemplo en Estados Unidos, y pagarlo en dólares (con el objeto de adquirir materia prima o maquinaria) porque las tasas de interés en dólares pueden ser del orden del 12% y habría que adicionarle la devaluación, pero si la devaluación es alta probablemente el resultado final puede ser superior a la tasa de interés que le cobren por un préstamo en la moneda de su país.

Sistema de valor constante

En algunos países, debido a la inflación y a la devaluación (puesto que la devaluación causa una inflación y viceversa) el dinero va perdiendo capacidad de compra. De este modo se desestimula el ahorro, se favorece a los deudores, quienes devuelven el dinero con una capacidad de compra inferior, lo cual hace que los prestamistas presionen la subida de las tasas de interés como compensación. A fin de evitar estos inconvenientes, al menos en forma parcial, se ha experimentado, en algunos países, el sistema de valor constante, que consiste en reconocerle a los dineros invertidos un interés llamado constante, de corrección monetaria. El índice de corrección monetaria se representa por ic' teóricamente es una tasa de interés a la cual debe colocarse un dinero, de tal forma que lo que hoy pueda hacerse con $X, pueda hacerse con el monto de ese dinero, en un futuro, esto equivale a una tasa de inflación.

En Colombia a los sistemas que trabajan en valor constante se les conoce como sistema UPAC (Unidad de Poder de Adquisición Constante).

EJEMPLO 15

Supogamos que el índice de corrección monetaria es del 21% efectivo anual:

• a. Cuál será el índice diario de corrección monetaria?

• b. Si se invierten hoy $1000, cuál será su valor al cabo de 20 días?

SOLUCION

• a. Para calcular el índice diario de corrección monetaria haremos uso del concepto de tasas equivalentes.

(1 + 0.21)1 = ( 1 + ic )365

de donde ic = 0.000522384 = 0.0522384% efectivo diario

• b. el monto en 20 días será:

1000(1+ 0.000522384)20 = $ 1010.50

DEPOSITOS A TERMINO FIJO

Las entidades financieras tales como bancos y corporaciones financieras, con el objeto de captar dinero del público, emiten unos títulos valores, denominados depósitos a término fijo en los cuales se paga un interés al inversionista cuya tasa se denomina tasa de captación. Los dineros así recolectados son vueltos a prestar a una tasa más alta denominada tasa de colocación, obteniendo de esta forma utilidades cuya tasa se denomina margen de intermediación.

Como norma general los depósitos a término fijo no deben ser emitidos a plazos mayores de un año, debido a la incertidumbre en la tasa de interés pues si la tasa de colocación llega a bajar, el margen de intermediación se reduce y puede llegar a no ser rentable para la entidad financiera, cuando el depósito a término fijo se constituye a un plazo mayor de un año es costumbre de las entidades financiera pagar una tasa inferior a la vigente en el mercado, o al menos pagar una tasa de captación que varíe de acuerdo a las condiciones del mercado y este caso se dice que paga una tasa de captación atada a la DTF.

Para calcular el valor final de un depósito a término fijo antes de impuestos basta aplicar la fórmula del interés compuesto.

El depósito a término fijo también puede ser efectuado en una moneda extranjera en cuyo caso se gana la tasa de interés que estipule el documento más la devaluación o menos la revaluación que se haya presentado durante la vigencia del documento.

EJEMPLO 16

Un inversionista constituye un depósito a término fijo a 6 meses. Si la inversión inicial es de $800.000 y se garantiza un interés del 30% CM determinar:

• a. el monto antes de impuestos y,

• b. el monto y la rentabilidad después de impuestos suponiendo una tasa impositiva del 7% sobre las utilidades.

SOLUCION

a. i= J/m= 30/12 = 2.5% EM

Ahora calculamos el monto antes de impuestos.

S = P(1+i)n = 800.000 (1+0.025)6 = $927.754.73

La utilidad es la diferencia entre el valor final y el valor inicial

Utilidad = 927.754.73 – 800.000 = $127.754.73

Impuesto = 0.07 x 127.754.73 = $8.942.83

Monto después de impuestos: 927.754.73 – 8.942.83 = $918.811.90

• c. La rentabilidad después de impuesto calcula reemplazando en la fórmula del interés compuesto el valor final después de impuestos y el valor inicial así:

918.811.90 = 800.000 ( 1+i)6 despejando i = 2.33% EM

EJEMPLO 17

Un inversionista residente en un país cuya moneda es el peso, tiene un capital de $900.000 y desea hacer una inversión durante 2 años en una moneda extranjera (en dólares de los Estados Unidos) que le garantiza una tasa del 12% efectivo anual, el cambio actual es US$1 = $800. Se estima que la tasa de devaluación de la moneda local frente a la moneda extranjera va a ser del 6% en el primer año y del 10% para el segundo año, calcular la rentabilidad que la producirá la inversión.

SOLUCION

Hacemos un cuadro del problema poniendo a un lado la situación en dólares y en el otro lado situación en pesos.

Las condiciones iniciales quedan así:

Inversión inicial en pesos $900.000

Cambio US$ = $800

Inversión inicial en dólares 900.000/800 = US$1 125

Las condiciones finales serán:

Monto en dólares al final de 2 años: 1 125(1+0.12)2 = US$1 411.20

Valor de un dólar después de 2 años:

Al final del primer año 800 x 1.06 = $848

Al final del segundo año 848 x 1.1 = $932.80

Si al final de 2 años tiene US$1 411.20 que convertidos a pesos a razón de $932.80 por cada dólar darán: 1 411.20 x 932.80 = $1.316.367.36

Tomando las condiciones iniciales y las condiciones finales del cuadro anterior podemos obtener las rentabilidades en pesos como en dólares, pero como la persona reside en el país cuya moneda es el peso la rentabilidad que le interesa calcular es la que corresponde a pesos debido a que él gasta pesos y gana pesos, entonces su rentabilidad se pude calcular usando la fórmula del interés compuesto así:

1 316 367.36 = 900 000 (1+i)2

entonces i = 20.94% efectivo anual

EJEMPLO 18

Se constituye un depósito a término fijo en UPAC con una inversión inicial de $800.000

• a. Cuánto se entregará al vencimiento?

• b. Cuál será la rentabilidad obtenida antes de impuestos?

• c. Cuál será la rentabilidad obtenida después de impuestos?

Tenga en cuenta la siguiente información:

• Tasa de corrección monetaria ic 22% efectivo anual

• Tasa de interés en UPAC 4.5% efectivo anual

• Impuesto 7% sobre intereses (la corrección monetaria es exenta de impuestos)

• Cambio actual UPAC = $7 000

SOLUCION

Los $800 000 equivalen a 800 000/7 000 = 114.2857 UPAC

El monto al final de un año en UPAC será:

114.2857 (1 + 0.045)1 = 119.4286

El valor futuro de una UPAC será: 7 000 (1 + 0.22) 1 = $8 540

La rentabilidad antes de impuestos será:

1 019.928 = 800 000 (1 + i) 1 despejando i = 27.49% EA

Intereses en UPAC = 119.4286 – 114.2857 = 5.1429

Intereses en pesos = 5.1429 x 8.540 = $43.920

(Se usa el cambio de 1 a $8 540 porque los intereses son pagaderos a final del año)

Impuesto 0.07 x 43 920 = $3 074

Monto después de impuestos 1 019 920 = 3 074 = $1 016 846

Rentabilidad después de impuestos:

1 016 846 = 800 000 ( 1 + i) 1 despejando i = 27.11% EA

TASAS COMBINADAS

Cuando se combina una tasa i1 con una tasa i2' con el objeto de facilitar los cálculos, podemos usar una tasa i equivalente a la combinación de las dos anteriores. El siguiente análisis nos permitirá deducir una fórmula para hallar esta tasa i.

El monto al final de un período de $ 1 a la tasa i1 será:

(1 + i1)

El monto de $(1 + i1 ) a la tasa i2 es

(1 + i1) (1 + i2 )

El monto al final del mismo período de $1 a la tasa i será:

(1 + i )

Igualando los dos montos tenemos

(1 + i1 ) = (1 + i1 ) (1 + i2 )

Al despejar i. de ésta ecuación tenemos:

i. = i1 + i2 + i1 x i2

EJEMPLO 19

Un depósito a término fijo en dólares paga un interés del 14%, suponiendo una tasa de devaluación del 20% hallar la rentabilidad del documento.

SOLUCION

Hagamos i1 14% y hagamos i2 = 20%

Entonces i. = 0.14 + 0.20 + 0.14 x 0.20 = 0.368 = 36.8%

Observación: Para poder usar la fórmula las dos tasas deben estar en tasa por uno y además deben tener el mismo período de efectividad.

EJEMPLO 20

Usando tasas combinadas calcular la rentabilidad antes de impuestos del ejemplo 18

SOLUCION

i= 0.22 + 0.045 + 0.22 x 0.045 = 0.2749 = 27.49% EA

TASA DEFLACTADA

De nada sirve hacer una inversión si la inflación es igual o mayor que la genera el documento, por esa razón es importante tener en cuenta este fenómeno al hacer análisis de proyectos de inversión.

Supongamos que la tasa de inflación de cada período es f y que hoy invertimos $P, entonces para que el dinero invertido no pierda su poder adquisitivo, los $P, deberán convertirse en: P(1 + f)n . Así el inversionista ni gana ni pierde; pero, si desea tener alguna utilidad por encima de la inflación, los $P(1 + f)n pueden considerarse como capital inicial y por lo tanto deberán convertirse en:

P(1 + f)n (1 + iR)n

Donde iR es la tasa real que produce utilidad por encima de la inflación.

De otra parte, si hubiéramos utilizado la tasa i que combine la tasa real y la tasa de inflación, el monto de los $P, habría sido: P(1 + i)n

Igualando resultados tenemos:

P(1 + i)n = P(1 + f)n (1 + iR)n

Simplificando y despejando i se tiene:

i = f + iR + fx iR

Si despejamos iR se tendrá:

iR=(i-f)/(1+f)

Hacemos énfasis en que iR es el incremento en el poder adquisitivo ó capacidad de compra del inversionista, después de retirar la inflación y se la conoce con el nombre de tasa real o tasa deflectada.

EJEMPLO 21

Una persona hizo un depósito a término fijo de 2 años, al 31%. Si la inflación fue del 24%. Cuál es la tasa real ganada?

SOLUCION

Sea i = 31% y sea f = 24% reemplazando tenemos

IR = 0.31 – 0.24/1 + 0.24 = 5.645%

EJEMPLO 22

Si deseo que mis inversiones rindan una tasa real del 8% y la inflación estimada es del 25%. A qué tasa debo invertir?

SOLUCION

iR = 8%, f = 25%

reemplazando:

i = 0.025 + 0.08 + 0.025 x 0.08 = 35%

Rentabilidad de activos financieros

Cuando un inversionista paga $P por un documento, espera que al vencimiento de éste recupere la inversión inicial más un interés. Tales documentos se pueden adquirir en el mercado primario o en el mercado secundario. En este caso es importante calcular la rentabilidad que producen estos documentos.

La costumbre comercial en el mercado secundario es el interés ordinario con tiempo aproximado (Interés Comercial)

Es de advertir que las operaciones de descuento que vimos en el capítulo anterior corresponden a tasas de colocación utilizando el interés simple, mientras que en el mercado secundario, que se realiza principalmente a través de bolsas de valores, las tasas de interés corresponden aproximadamente a las tasas de captación pero a interés compuesto.

EJEMPLO 23

Un documento emitido a 180 días puede adquirirse actualmente al 87% de su valor nominal. Calcular la rentabilidad efectiva anual que se obtendrá en caso de adquirirse.

SOLUCION

Cuando no se da su valor nominal, podemos asumir que éste sea de $100; el precio de compra será 0.87 x 100 = $87 y su valor de vencimiento será de $100 (al valor de vencimiento también se le denomina valor de maduración), a interés comercial 180 días correspondan a un semestre entonces el número de períodos será uno.

100 = 87 (1+i)1 de donde i = 14.9425287% ES, equivalente al 32.12% EA

EJEMPLO 24

Una entidad financiera está pensando en financiarse a través de emisión de títulos con vencimiento en 90 días, estima que serían atractivos al público si éstos rentaran un 30% nominal trimestral. Cuál debería ser el precio de emisión?

SOLUCION

Podemos asumir que el valor nominal sea de $100, la tasa sería de: 30/4 = 7.5% efectivo trimestral, el número de períodos es 1 y se desea calcular su precio de compra.

100=P(1+0.075)1 de donde P = $39.02

Lo que significa que pueden ser colocados en el mercado al 93.02% de su valor comercial.

Autor:

Briceño, Francisco

Delgado, Erika

López, Roberto

PUERTO ORDAZ, JULIO DE 2006