Definición (de Olinde Rodrigues): El polinomio de Legendre de grado n se define de la manera siguiente:
(1)
Puesto que 
y teniendo en cuenta que la derivada de orden cero de una función es la función misma, resulta que
y 
(2)
Teorema 1: Los polinomios de Legendre verifican la relación:
(3)
Demostración: Notando 
se calcula la derivada de orden 
de 
utilizando la fórmula de Leibniz:
(4)
Resulta que:
(5)
Por otra parte,
(6)
Igualando los resultados (5) y (6), se obtiene que
(7)
Ahora, utilizando las relaciones (1) y (7) y la regla de Leibniz, resulta que:
, es decir,
Al dividir ambas partes de esta última igualdad entre
resulta que
, es decir,
La fórmula de recurrencia (3) permite calcular cómodamente los coeficientes de los polinomios de Legendre, a partir de los coeficientes de 
Por ejemplo, si 
la relación (3) se transforma en:
, de donde, teniendo en cuenta a (2), resulta que
Para calcular a 
se procede de la misma manera. Poniendo 
en la relación (3)
, se obtiene que:
, de donde, teniendo en cuenta las expresiones de 
y 
resulta que
Continuando así, se obtienen los resultados siguientes:
(8)
Lema 1: Cualquier producto de números naturales consecutivos es un múltiplo de 
Demostración: Si 
hay que demostrar que el producto
, es un múltiplo de . La demostración se hace por recurrencia respecto al número de los factores en el producto.
Obviamente, el lema se cumple en el caso de un producto de dos factores consecutivos
, puesto que en este caso uno de los factores es par y por tanto es divisible por 
Supongamos ahora que el lema se cumple para los productos de p factores. Así
, es un múltiplo de 
Para que el lema sea verdadero para un número cualquiera de factores, hay que demostrar que el producto de 
factores
, es un múltiplo de 
Se observa que,
, es decir,
.
Dado que 
es múltiplo de 
será múltiplo de 
Por tanto, 
es múltiplo de si, y solamente si, 
lo es.
Con otras palabras,
, donde 
significa que 
es múltiplo de 
Así,
Dado que 
es múltiplo de de las equivalencias anteriores resulta que lo es también, y así el lema queda demostrado.
Lema 2: Todos los coeficientes del polinomio 
son múltiplos de
Demostración: Dado que 
es un polinomio de grado 
, y así
Teniendo en cuenta que todos los coeficientes de son productos de números naturales consecutivos, según el lema 1 resulta que sus coeficientes son múltiplos de
Para el cálculo de los polinomios de Legendre por programa no es conveniente determinar los coeficientes de 
puesto que, según el lema 2, estos son múltiplos de y así, crecen de manera muy rápida con el aumento de Por este razón, es conveniente buscar una fórmula de recurrencia para el cálculo de
Obviamente, según (3),
(9)
, donde 
y 
El procedimiento siguiente, que utiliza la fórmula (9), sirve para el cálculo de los polinomios de Legendre, hasta el grado 24:
Public Function CalPolLegendre(ByVal g) As String
Dim i As Integer, p As Double, y() As Double, z() As Double
Dim res As String, res0 As String, rc As String
ReDim z(g)
rc = Chr$(13) + Chr$(10)
y() = PolLeg(g)
For i = 0 To g
z(i) = y(i)
Next i
p = y(g + 1)
res = "Polinomio de Legendre de grado " + Str$(g)
res = res + ", multiplicado por: " + "2^" + Str$(p)
res0 = FormatoPol(z())
res = res + rc + rc + res0
CalPolLegendre = res
End Function
' ———————————————————————————
Public Function PolLeg(ByVal g As Integer) As Variant
If g > 24 Then
MsgBox "El grado tiene que ser menor que 25"
End
End If
Dim i As Integer, j As Integer, k As Integer, res0 As String
Dim sw As Integer, y() As Double, res As String, rc As String
Dim a() As Double, b() As Double, t() As Double
If g < 3 Then
If g = 0 Then
ReDim y(1): y(0) = "1": y(1) = "0"
End If
If g = 1 Then
ReDim y(2)
y(0) = "1": y(1) = "0"
End If
If g = 2 Then
ReDim y(3): y(0) = "3": y(1) = "0": y(2) = "-1": y(3) = "1"
End If
PolLeg = y()
Exit Function
End If
ReDim a(g), b(g + 1), t(g – 1, g + 1), y(g + 1)
rc = Chr$(13) + Chr$(10): p = g
t(0, 0) = 0: t(0, 1) = 2 'Coeficiente de 2* L1(x)
t(1, 0) = -2: t(1, 1) = 0: t(1, 2) = 6 ' Coeficientes de 2*L2(x)
For i = 2 To g – 1
For j = 0 To g
If j <> g – 1 Then
a(j) = -4 * i * t(i – 2, j)
End If
b(j + 1) = (4 * i + 2) * t(i – 1, j)
b(j) = b(j) + a(j)
Next j
For k = 0 To i + 1
t(i, k) = b(k) / (i + 1)
b(k) = 0
Next k
Next i
For i = 1 To g
For j = 0 To g
If Int(t(g – 1, j) / 2) <> t(g – 1, j) / 2 Then
sw = 1: Exit For
End If
Next j
If sw = 1 Then
Exit For
End If
p = p – 1
For j = 0 To g
t(g – 1, j) = t(g – 1, j) / 2
Next j
Next i
For i = 0 To g
y(i) = t(g – 1, g – i)
Next i
y(g + 1) = p
PolLeg = y()
End Function
' ———————————————————————————
Public Function FormatoPol(ByRef x() As Double) As Variant
Dim i As Integer, gx As Integer, ax As String, cx As String
gx = UBound(x())
For i = 0 To gx
If x(i) <> 0 Then
If i = 0 Then
If Abs(x(0)) <> 1 Then
If x(0) < 0 Then
cx = Str$(x(0))
Else
cx = Mid$(Str$(x(0)), 2)
End If
Else
If gx <> 0 Then
If x(0) = -1 Then
cx = "-"
End If
Else
If x(0) = -1 Then
cx = Str$(-1)
Else
cx = Mid$(Str$(1), 2)
End If
End If
End If
If gx <> 0 Then
If gx = 1 Then
cx = cx + " X"
Else
cx = cx + " X^" + Mid$(Str$(gx), 2)
End If
End If
Else
If x(i) > 0 Then
ax = " + "
Else
ax = " – "
End If
If Abs(x(i)) <> 1 Or i = gx Then
ax = ax + Mid$(Str$(x(i)), 2)
End If
If gx > 1 Then
If i < gx – 1 Then
ax = ax + " X^"
ax = ax + Mid$(Str$(gx – i), 2)
Else
If i = gx – 1 Then
ax = ax + " X"
End If
End If
End If
cx = cx + ax: ax = ""
End If
End If
Next i
FormatoPol = cx
End Function
Utilizando el procedimiento anterior se obtienen los resultados (8) y se pueden calcular los coeficientes para más polinomios de Legendre de grados menores que 25:
Para hallar polinomios de Legendre de grado muy grande, hay que utilizar los programas para operar con enteros extra-largos [4]. En este caso el código a utilizar es el siguiente:
Public Function CalPLegNG(ByVal g As Integer) As String
Dim i As Integer, pg As String, y() As String, z() As String
Dim res As String, res0 As String, rc As String
ReDim z(g)
rc = Chr$(13) + Chr$(10)
y() = PolLegNG(g)
For i = 0 To g
z(i) = y(i)
Next i
pg = y(g + 1)
res = "Polinomio de Legendre de grado " + Str$(g)
res = res + ", multiplicado por: " + "2^" + pg
res0 = FormatoPolLegNG(z())
res = res + rc + rc + res0
CalPLegNG = res
End Function
' ———————————————————————————
Public Function PolLegNG(ByVal g As Integer) As Variant
Dim i0 As Integer, i1 As Integer, j0 As Integer, sw1 As Integer, w4 As Integer
Dim w3 As String, q() As String, s() As String, t() As String, rr() As String
Dim x0() As String, x(2) As String, res As String, res0 As String, rc As String
Dim n As Integer, pq As Integer
If g < 3 Then
If g = 0 Then
ReDim x0(1): x0(0) = "1": x0(1) = "0"
End If
If g = 1 Then
ReDim x0(2)
x0(0) = "1": x0(1) = "0"
End If
If g = 2 Then
ReDim x0(3): x0(0) = "3": x0(1) = "0": x0(2) = "-1": x0(3) = "1"
End If
PolLegNG = x0()
Exit Function
End If
ReDim q(g), s(g + 1), t(g – 1, g + 1)
n = 7: t(0, 1) = "2": pg = g
t(1, 0) = "-2": t(1, 1) = "0": t(1, 2) = "6"
rc = Chr$(13) + Chr$(10): sw1 = 0
For i0 = 2 To g – 1
For j0 = 0 To g
If j0 <> g – 1 Then
x(1) = Str$(-4 * i0): x(2) = t(i0 – 2, j0)
q(j0) = Multiplicar(x(), n)
End If
x(1) = Mid$(Str$(4 * i0 + 2), 2)
x(2) = t(i0 – 1, j0)
s(j0 + 1) = Multiplicar(x(), n)
x(1) = s(j0): x(2) = q(j0)
s(j0) = Sumar(x(), n)
Next j0
For i1 = 0 To i0 + 1
x(1) = s(i1): x(2) = Mid$(Str$(i0 + 1), 2)
rr() = DivisionEuclidea(x(), n)
t(i0, i1) = rr(1)
s(i1) = "0"
Next i1
Next i0
For i0 = 1 To g
For j0 = 0 To g
w3 = Right$(t(g – 1, j0), 1)
x(1) = w3: x(2) = 2: rr() = DivisionEuclidea(x(), n): w4 = rr(2)
If w4 <> 0 Then
sw1 = 1: Exit For
End If
Next j0
If sw1 = 1 Then
Exit For
End If
pg = pg – 1
For j0 = 0 To g
x(1) = t(g – 1, j0): x(2) = "2"
rr() = DivisionEuclidea(x(), n)
t(g – 1, j0) = rr(1)
Next j0
Next i0
ReDim x0(g + 1)
For i = 0 To g
x0(i) = t(g – 1, g – i)
Next i
x0(g + 1) = Str$(pg)
PolLegNG = x0()
End Function
' ———————————————————————————
Public Function FormatoPolLegNG(ByRef x0() As String) As String
Dim i As Integer, gx As Integer, ax As String, cx As String
gx = UBound(x0())
For i = 0 To gx
If x0(i) <> "0" Then
If i = 0 Then
If x0(0) <> "1" And x0(0) <> "-1" Then
cx = x0(0)
Else
If gx <> 0 Then
If x0(0) = "-1" Then
cx = "-"
End If
Else
If x0(0) = "-1" Then
cx = Str$(-1)
Else
cx = Mid$(Str$(1), 2)
End If
End If
End If
If gx <> 0 Then
If gx = 1 Then
cx = cx + " X"
Else
cx = cx + " X^" + Mid$(Str$(gx), 2)
End If
End If
Else
If Left$(x0(i), 1) = "-" Then
ax = " – "
Else
ax = " + "
End If
If (x0(i) <> "1" And x0(i) <> "-1") Or i = gx Then
If Left$(x0(i), 1) = "-" Then
ax = ax + Mid$(x0(i), 2)
Else
ax = ax + x0(i)
End If
End If
If gx > 1 Then
If i < gx – 1 Then
ax = ax + " X^"
ax = ax + Mid$(Str$(gx – i), 2)
Else
If i = gx – 1 Then
ax = ax + " X"
End If
End If
End If
cx = cx + ax: ax = ""
End If
End If
Next i
FormatoPolLegNG = cx
End Function
Haciendo los cálculos con el código anterior se obtiene, por ejemplo, el resultado siguiente:
Teorema 2: Cualquiera que sea 
(10)
Según las igualdades (2), la propiedad se cumple para 
Suponiendo que se cumple para 
según la fórmula de recurrencia (3) resulta que
Lema 3: Si la función 
es derivable y par (impar) su derivada 
es impar (par).
En efecto, si 
, entonces según la regla de derivación de las funciones compuestas
, es decir
Si es impar,
, es decir
Lema 4: si 
es una función par 
derivable y 
es su dominio de definición, entonces según el lema 3
En efecto, si 
es una función par entonces 
es impar, 
es par, 
es impar, 
es par, 
es impar 
es par, 
es impar. Así el lema 4 queda demostrado.
Teorema 3: Cualquiera que sea
(11)
Demostración: El caso 
resulta de la definición1. Si 
y teniendo en cuenta que la función 
es una función par, según el lema 4 resulta que
, es decir
Consecuencia: Puesto que según el teoremas 2 del teorema 3 resulta que
Teorema 4: Cualquiera que sea 
Según las igualdades (2), la propiedad se cumple para Derivando la fórmula de recurrencia (3) resulta que
(12)
Suponiendo que el teorema se cumple para y poniendo
en la igualdad (12) se obtiene que
Así el teorema queda demostrado.
Lema 5: Si y 
entonces
(13)
Demostración: Dado que 1 y 1 son raíces de orden n para 
y teniendo en cuenta que 
resulta que 1 y 1 seguirán siendo raíces de 
Integrando por partes,
, resulta que se verifica la igualdad (12), puesto que
Teorema 5: Si 
es el polinomio de Legendre de grado 
y Q es una función polinomio de grado menor que entonces
(14)
Demostración: Puesto que la función polinomio Q es combinación lineal de las funciones polinomios 
es suficiente demostrar que
, donde 
Aplicando kveces sucesivamente el lema 5, y teniendo en cuenta que 
se obtiene que
………………………………………………………….
Dado que, 1 y 1 son ceros de orden 
de , 1 y 1 serán ceros también y así
Por tanto 
y el teorema queda demostrado.
Observación 1: Si 
y 
entonces
(15)
En efecto, suponiendo que en el teorema anterior 
resulta que la integral (14) es una combinación lineal la de integrales del tipo (14) que son todas nulas.
Teorema 6: Si 
es el polinomio de Legendre de grado n, entonces
(16)
Demostración: De la definición (1) de los polinomios de Legendre resulta que
, donde
(17)
Así,
(18)
, puesto que, según el teorema 5, los integrales que contienen 
son nulos. Por otra parte, sustituyendo a 
por 
en la fórmula de recurrencia (3), se obtiene que
, y así
(19)
Dado que, según el teorema 5, la segunda integral en la expresión de 
es cero, resulta que
(20)
Es fácil comprobar que 
y así 
, cualquiera que sea 
en N*. Según (20),
, y así
(21)
Ahora, de (16) y (18) resulta que
, donde
, 
Observación 2: En el espacio vectorial 
de las funciones polinomio de grado menor o igual que 
el producto escalar de 
se puede definir de la manera siguiente:
(22)
, y por tanto
Si las funciones 
se definen por
, entonces, según la observación1 y el teorema 4, las funciones 
forman una base orto-normal de 
lo que quiere decir que
Ahora se puede considerar la seria Fourier asociada a la función
(23)
Para que pueda tener lugar la igualdad
(24)
, es preciso determinar los coeficientes de Fourier 
teniendo en cuenta que las funciones 
forman un sistema orto-normal sobre el intervalo 
, es decir
(25)
En la teoría general de las series Fourier se demuestra que si la función 
cumple ciertas condiciones sobre el intervalo 
entonces la serie Fourier con los coeficientes (23) converge a
Ejercicio 1: Calcular la integral
De la relación de recurrencia (3) resulta que
, y así
Según la observación 1, la primera integral es nula, luego, según el teorema 6, la segunda integral vale . Por tanto,
Ejercicio 2: Calcular la integral:
Sustituyendo en la fórmula de recurrencia (3) 
por 
, de donde resulta que
Continuando con el mismo tipo de razonamiento que en el ejercicio anterior, se obtiene que
Teorema 7: En el intervalo 
el polinomio 
tiene 
ceros reales.
Demostración: Obviamente 1 y 1 son ceros de orden 
de la función
, y así 1 y 1 son ceros también para sus derivadas, hasta la derivada de orden inclusive:
Sea 
la propiedad de que una función tiene por lo menos 
ceros en el intervalo 
y sea 
Puesto que 
se anula para 
resulta que 
Si 
entonces existen 
tal que
, 
Aplicando ahora el teorema de Rolle para la función 
en los
intervalos
, resultará que 
se anulará por lo menos una vez en el interior de cada uno de estos intervalos. Por tanto 
Así 
y la función 
tendrá la propiedad 
Teniendo en cuenta que la función 
es un polinomio de grado 
y que no puede tener más que ceros, resulta que resulta que 
tendrá exactamente ceros reales distintos, situados en el intervalo
Observación 3: De la relación (11) resulta que la función es par o impar, según que es un número par o impar, respectivamente. En los dos casos, los ceros de 
serán dispuestas de manera simétrica en el intervalo es decir, si son los ceros de en orden creciente, entonces
(26)
, cualquiera que sea i, tal que 
Si es impar, es decir 
entonces para 
en la relación (26) resulta que es decir 
El código siguiente permite calcular los ceros de los polinomios de Legendre de grado menor que 25 y se exponen los 14 decimales después del punto decimal.
Public Function CerosPolLeg(ByVal g) As String
Dim i As Integer, y() As Double, z() As Double
Dim ceros() As Double, rr() As Double, m As Integer, st As Double
Dim res As String, rc As String, n1 As Integer, g1 As Integer
If g = 0 Then
CerosPolLeg = "¡P0 no tiene ceros!"
Exit Function
End If
If g = 1 Then
CerosPolLeg = "El único cero de P1 es x = 0"
Exit Function
End If
rc = Chr$(13) + Chr$(10): g1 = Int(g / 2): st = 0.013
ReDim z(g), ceros(g1)
y() = PolLeg(g)
For i = 0 To g: z(i) = y(i): Next i
Do
rr() = Rastreo(z(), 0, 1, st)
n1 = UBound(rr())
If rr(n1, 1) <> 0 Then
Exit Do
Else
st = st * 0.13
End If
Loop
For i = 1 To n1
ceros(i) = Bipartp(z(), rr(i, 1), rr(i, 2))
Next i
res = "": m = g Mod 2
For i = n1 To 1 Step -1
res = res + "-" + Format$(ceros(i), "0.##############") + rc
Next i
If m = 1 Then res = res + "0" + rc
For i = 1 To n1
res = res + Format$(ceros(i), "0.##############") + rc
Next i
CerosPolLeg = res
End Function
' —————————————————————————————————————
Public Function Bipartp(ByRef p() As Double, ByVal xa As Double, ByVal xb As Double) As Double
Dim a As Double, b As Double, c As Double, fc As Double
Dim n1 As Integer, n0 As Integer, n As Integer
a = xa: b = xb
Do
c = (a + b) / 2
fc = Vp(p(), c)
If Sgn(Vp(p(), a)) <> Sgn(fc) Then
b = c
Else
a = c
End If
If Abs(a – b) < 0.00000000000001 Then Exit Do
Loop
If Abs(c) < 0.000000000001 Then c = 0
Bipartp = c
End Function
' ———————————————————————————
Public Function Vp(ByRef pz() As Double, ByVal z As Double) As Double
Dim fz As Double, gz As Integer, j As Integer
gz = UBound(pz())
fz = pz(0)
For j = 1 To gz
fz = fz * z + pz(j)
Next j
Vp = fz
End Function
' ———————————————————————————
Public Function Rastreo(ByRef py() As Double, ByVal ai As Double, ByVal bi As Double, st As Double)
Dim i As Double, g As Integer, k As Integer
Dim c As Double, fa As Double, fb As Double, fc As Double
Dim u() As Double, ni As Integer, g1 As Integer
g = UBound(py): k = 1: g1 = Int(g / 2)
ReDim u(g1, 2)
For i = ai To bi Step st
If i <> ai Then
fa = fb
Else
c = i
fc = Vp(py(), c)
fa = fc
End If
If i + st < bi Then
c = i + st
Else
c = bi
End If
fc = Vp(py(), c)
fb = fc
If (fa < 0 And fb > 0) Or (fa > 0 And fb < 0) Then
u(k, 1) = i: u(k, 2) = i + st
ni = k
k = k + 1
End If
Next i
Rastreo = u()
End Function
En el caso del polinomio 
se obtienen los ceros siguientes:
-0.94910791234275, -0.7415311855994, -0.4058451513774, 0, 0.94910791234275, 0.7415311855994, 0.4058451513774
Si se quieren obtener los ceros de los polinomios con mayor precisión o se quieren calcular los ceros de un polinomio de grado mayor que 24, hay que utilizar otro código que trabaja con enteros y decimales extra-largos [4], [5] y que se expone a continuación.
Public Function CalCPLegNG(ByRef g As Integer, pr) As String
Dim i As Integer, y() As String, z() As String, gg As Integer
Dim ceros() As String, rr() As String, m As Integer, n1 As Integer
Dim res As String, rc As String, st As String
If g = 0 Then
CalCPLegNG = "¡P0 no tiene ceros!"
Exit Function
End If
If g = 1 Then
CalCPLegNG = "El único cero de P1 es x = 0"
Exit Function
End If
If g < 32 Then st = "0.013" Else st = "0.0013"
ReDim z(g), ceros(g)
rc = Chr$(13) + Chr$(10)
y() = PolLegNG(g)
For i = 0 To g
z(i) = y(i)
Next i
Do
rr() = RastreoNG(z(), 0, 1, st)
n1 = UBound(rr())
If rr(n1, 1) <> "" Then
Exit Do
Else
x(1) = st: x(2) = "0.13": st = MultiplicarDec(x(), n)
End If
Loop
For i = 1 To n1
ceros(i) = BipartpNG(z(), rr(i, 1), rr(i, 2), pr)
Next i
res = "Los ceros del polinomio " + "P" + Mid$(Str$(g), 2) + "(x) son: " + rc
m = g Mod 2
For i = n1 To 1 Step -1
res = res + "-" + ceros(i) + rc
Next i
If m = 1 Then res = res + "0" + rc
For i = 1 To n1
res = res + ceros(i) + rc
Next i
CalCPLegNG = res
End Function
' ———————————————————————————
Public Function BipartpNG(ByRef p() As String, ByVal xa As String, ByVal xb As String, ByVal pr As Integer) As String
Dim i As Integer, a As String, b As String, c As String, fc As String, x(2) As String
Dim fa As String, dif As String, n As Integer, prod As String, prec As String
' pr es el número de cifras a calcular después del punto decimal.
n = 7: a = xa: b = xb: prec = "0."
For i = 1 To pr: prec = prec + "0": Next i
prec = prec + "1"
Do
x(1) = a: x(2) = b: c = SumarDec(x(), n): c = DividirPor2Dec(c, n)
fc = VpNG(p(), c): fa = VpNG(p(), a)
x(1) = fa: x(2) = fc: prod = MultiplicarDec(x(), n)
If Left$(prod, 1) = "-" Then
b = c
Else
a = c
End If
x(1) = a: x(2) = b: dif = RestarDec(x(), n)
If Left$(dif, 1) = "-" Then dif = Mid$(dif, 2)
x(1) = dif: x(2) = prec: dif = RestarDec(x(), n)
If Left$(dif, 1) = "-" Then Exit Do
Loop
BipartpNG = Left$(c, pr + 2)
End Function
' ———————————————————————————
Public Function VpNG(ByRef pz() As String, ByVal z As String) As String
Dim fz As String, gz As Integer, j As Integer, x(2) As String, n As Integer
n = 7: gz = UBound(pz())
fz = pz(0)
For j = 1 To gz
x(1) = fz: x(2) = z: x(1) = MultiplicarDec(x(), n)
x(2) = pz(j): fz = SumarDec(x(), n)
Next j
VpNG = fz
End Function
' —————————————————————————————————–
Public Function RastreoNG(ByRef py() As String, ByVal ai As String, ByVal bi As String, ByVal st As String) As Variant
Dim i As String, g As Integer, k As Integer, x(2) As String
Dim c As String, fa As String, fb As String, fc As String, r As String
Dim u() As String, sgfa As String, sgfb As String, dif As String
Dim g1 As Integer, t As Single, ist As String, n As Integer
g = UBound(py): g1 = Int(g / 2): k = 1: n = 7
ReDim u(g1, 2)
i = ai
Do
If i <> ai Then
fa = fb
Else
fa = VpNG(py(), ai)
End If
x(1) = i: x(2) = st: ist = SumarDec(x(), n)
x(1) = ist: x(2) = bi: r = RestarDec(x(), n)
If Left$(r, 1) = "-" Then
c = ist
Else
c = bi
End If
fc = VpNG(py(), c)
fb = fc
x(1) = fa: x(2) = fb: r = MultiplicarDec(x(), n)
If Left$(r, 1) = "-" Then
u(k, 1) = i: u(k, 2) = ist
k = k + 1
End If
x(1) = bi: x(2) = ist
dif = RestarDec(x(), n)
If Left$(dif, 1) = "-" Then Exit Do
i = ist
Loop
RastreoNG = u()
End Function
Si en el caso del polinomio 
los ceros se quieren calcular con 24 decimales después del punto decimal 
el resultado de los cálculos (sin redondeo) será el siguiente:
Los ceros de calculados con 12 cifras después del punto decimal son:
-0.998540200636, -0.992316392138, -0.981151833077, -0.965099650422,
-0.944239509118, -0.918675259984, -0.888534238285, -0.853966595004,
-0.815144539645, -0.772261479248, -0.725531053660, -0.675186070666,
-0.621477345903, -0.564672453185, -0.505054391388, -0.442920174525,
-0.378579352014, -0.312352466502, -0.244569456928, -0.175568014775,
-0.105691901708, -0.035289236964, 0.035289236964, 0.105691901708,
0.175568014775, 0.244569456928, 0.312352466502, 0.378579352014,
0.442920174525, 0.505054391388, 0.564672453185, 0.621477345903,
0.675186070666, 0.725531053660, 0.772261479248, 0.815144539645,
0.853966595004, 0.888534238285, 0.918675259984, 0.944239509118,
0.965099650422, 0.981151833077, 0.992316392138, 0.998540200636
Teorema 8: Los polinomios
de Legendre son soluciones de la ecuación diferencial siguiente:
(27)
Si 
, por derivación resulta que
(28)
Derivando 
a ambas partes la última igualdad de (28) según la fórmula (4) de Leibniz, se obtiene que
(29)
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