Dividiendo la ecuación (29) entre 
y teniendo en cuenta la definición (1) de los polinomios de Legendre se obtiene que
, lo que quiere decir que los polinomios de Legendre 
son soluciones de la ecuación (27). Para hallar la solución general de la ecuación (27) se multiplica la ecuación por -1,
(27")
, luego se busca la solución general en la forma
(30)
Teniendo en cuenta que
, la ecuación (27") se transforma en:
(31)
Si los ceros de 
son 
entonces
Descomponiendo en fracciones simples,
(32)
, donde
, 
Se observa que 
Por derivación,
Escribiendo que 
es una solución de la ecuación diferencial (27") resulta que
(33)
Poniendo 
en (33) resulta que
Así, según la relación (31),
(34)
(34")
, donde
(34")
, es un polinomio de grado menor o igual que 
Por tanto, según (30), la solución general de la ecuación diferencial (27) es
(35)
Definición 2: Las funciones
(36)
, se llaman las funciones de Legendre de tipo 2.
Evidentemente, las funciones (36) son soluciones de la ecuación (27), y los polinomios 
se pueden determinar sustituyendo las funciones (36) en la ecuación (27).
Lema 6: 
En efecto, si se introducen las notaciones
,
, entonces
(37)
Escribiendo que 
son soluciones de la ecuación (27), resulta que
(38)
(39)
Luego, teniendo en cuenta que 
es solución de la ecuación (27) los coeficientes de t y de s en las igualdades (38) y (39) son nulos. Así (38) y (39) son equivalentes a las siguientes:
(40)
(41)
, respectivamente. Sumando las últimas dos ecuaciones se obtiene que
(42)
Teniendo en cuenta que las únicas soluciones de tipo polinomio de la ecuación diferencial (27) son los polinomios de Legendre de grado el polinomio nulo y que los polinomios 
son de grado
resulta que
(43)
Para hallar 
hay que sustituir 
en la ecuación (36) y tener en cuenta que
y 
y que 
es una constante:
Entonces, 
y
Para hallar 
hay que sustituir 
en la ecuación (40) y tener en cuenta que
y 
y que 
Para hallar 
hay que sustituir 
en la ecuación (40) y tener en cuenta que
y 
y que 
Para hallar 
hay que sustituir 
en la ecuación (36) y tener en cuenta que
Lema 7: En los polinomios 
los exponentes de 
son todos pares o todos impares (se considera que 0 es par), según que n-1 es par o impar.
En efecto, según la fórmula (34"),
, donde se 
son los ceros de 
en orden creciente. Entonces, teniendo en cuenta el lema 3, 
Así, 
es una función polinomio par o impar según que es par o impar.
Observación 4: Teniendo en cuenta el lema 7, en el cálculo de los polinomios
se puede reducir considerablemente el volumen de los cálculos:
Para hallar 
teniendo en cuenta el lema (7) resulta que puesto que Luego, puesto que
, 
, y sustituyendo en la relación (36) para 
a las expresiones siguientes
, resulta que
Así,
Utilizando la observación 4, se puede averiguar que
El código siguiente permite calcular los polinomios 
utilizando las operaciones con números enteros y decimales largos [4] y [5] y las funciones para operar con facciones expuestas a continuación.
Public Function PolLegWNG(ByVal g As Integer) As String
Dim i As Integer, j As Integer, i1 As Integer, pg As String, y() As String, z() As String
Dim res() As String, rc As String, dpleg() As String, dy() As String, y1() As String, resf As String
Dim n As Integer, pot2 As String, cw() As String, gm As Integer, cw1() As String, cw2() As String
Dim expot2 As Integer, rr() As String, nm As Integer, x(2) As String ', cw22() As String
If g < 3 Then
If g = 2 Then
PolLegWNG = "(-3/2)x": Exit Function
End If
If g = 1 Then
PolLegWNG = "-1": Exit Function
End If
Else
ReDim res(g – 1, 2)
rc = Chr$(13) + Chr$(10): gm = Int(g / 2): n = 7
ReDim z(g), cw(g – 1), dy(g – 1), y(g), dpleg(g – 1, 2) ', cw1(g – 1), cw2(g – 2)
y1() = PolLegNG(g)
For i = 0 To g: y(i) = y1(i): Next i
expot2 = y1(g + 1)
x(1) = "2": x(2) = expot2: pot2 = Potencias(x(), n): j = 0
dy() = PolDerivadoNG(y(), n)
For j = 0 To g – 1
x(1) = dy(j): x(2) = "2": dpleg(j, 1) = Multiplicar(x(), n)
Next j
For j = 0 To g – 1: dpleg(j, 2) = pot2: Next j
For i = 0 To g – 1
i1 = i Mod 2
If i1 = 0 Then cw(i) = "1" Else cw(i) = "0"
Next i
cw1() = PolDerivadoNG(cw(), n)
cw2() = PolDerivadoNG(cw1(), n)
nm = Str$(g * (g + 1)): If Left$(nm, 1) = " " Then nm = Mid$(nm, 2)
For i = 0 To g – 1
x(1) = nm: x(2) = cw(i): cw(i) = Multiplicar(x(), n)
Next i
For i = 0 To g – 2
x(1) = "-2": x(2) = cw1(i): x(1) = Multiplicar(x(), n)
x(2) = cw(i): cw(i) = Sumar(x(), n)
Next i
'cw22() = cw2()
For i = 0 To g – 3
x(1) = "-1": x(2) = cw2(i): x(1) = Multiplicar(x(), n)
x(2) = cw(i): cw(i) = Sumar(x(), n)
Next i
For i = 0 To g – 1 Step 2
If i = 0 Then
x(1) = dpleg(i, 1): x(2) = dpleg(i, 2)
z(1) = "-1": z(2) = cw(i): rr() = mufr(x(), z())
res(i, 1) = rr(1): res(i, 2) = rr(2)
Else
x(1) = res(i – 2, 1): x(2) = res(i – 2, 2): z(1) = cw2(i – 2): z(2) = "1": rr() = mufr(x(), z())
x(1) = dpleg(i, 1): x(2) = dpleg(i, 2): z(1) = rr(1): z(2) = rr(2)
rr() = sufr(x(), z())
x(1) = "-1": x(2) = cw(i): rr() = mufr(rr(), x())
res(i, 1) = rr(1): res(i, 2) = rr(2)
End If
Next i
End If
resf = "W" + Mid$(Str$(g – 1), 2) + "(x) = "
For i = 0 To g – 1 Step 2
resf = resf + "(" + res(i, 1) + "/" + res(i, 2) + ")" + "x^" + Str$(g – 1 – i)
If g – 1 – i = 0 Or g – 1 – i = 1 Then
Exit For
Else
resf = resf + " + "
End If
Next i
PolLegWNG = resf
End Function
' ———————————————————————————
Public Function PolDerivadoNG(ByRef p() As String, n As Integer) As Variant
Dim i As Integer, gx As Integer, x(2) As String, xd() As String
gx = UBound(p())
ReDim xd(gx – 1)
For i = 0 To gx – 1
x(1) = Mid$(Str$(gx – i), 2): x(2) = p(i)
xd(i) = Multiplicar(x(), n)
Next i
PolDerivadoNG = xd()
End Function
' ——————————————————————
Public Function sufr(xa() As String, ya() As String) As Variant
Dim x(2) As String, fr(2) As String, rr() As String
Dim n As Integer, r1 As String, r2 As String
n = 7
x(1) = xa(1): x(2) = ya(2): r1 = Multiplicar(x(), n)
x(1) = xa(2): x(2) = ya(1): r2 = Multiplicar(x(), n)
x(1) = r1: x(2) = r2: fr(1) = Sumar(x(), n)
x(1) = xa(2): x(2) = ya(2): fr(2) = Multiplicar(x(), n)
x(1) = fr(1): x(2) = fr(2): rr() = sifr(x())
fr(1) = rr(1): fr(2) = rr(2)
sufr = fr()
End Function
' ——————————————————————-
Public Function refr(xa() As String, ya() As String) As Variant
Dim x(2) As String, fr(2) As etring, rr() As String
Dim n As Integer, r1 As String, r2 As String
n = 7
x(1) = xa(1): x(2) = ya(2): r1 = Multiplicar(x(), n)
x(1) = xa(2): x(2) = ya(1): r2 = Multiplicar(x(), n)
x(1) = r1: x(2) = r2: fr(1) = Restar(x(), n)
x(1) = xa(2): x(2) = ya(2): fr(2) = Multiplicar(x(), n)
x(1) = fr(1): x(2) = fr(2): rr() = sifr(x())
fr(1) = rr(1): fr(2) = rr(2)
refr = fr()
End Function
' ——————————————————————–
Public Function mufr(xa() As String, ya() As String) As Variant
Dim x(2) As String, fr(2) As String, rr() As String
Dim n As Integer
n = 7
x(1) = xa(1): x(2) = ya(1): fr(1) = Multiplicar(x(), n)
x(1) = xa(2): x(2) = ya(2): fr(2) = Multiplicar(x(), n)
rr() = sifr(fr())
fr(1) = rr(1): fr(2) = rr(2)
mufr = fr()
End Function
' ———————————————————————————
Public Function sifr(xa() As String) As Variant
Dim x(2) As String, fr(2) As String, rr() As String
Dim n As Integer, mcd As String, r As String
n = 7
mcd = MaxComDiv(xa(), n)
x(1) = xa(1): x(2) = mcd
rr() = DivisionEuclidea(x(), n): fr(1) = rr(1)
x(1) = xa(2): x(2) = mcd
rr() = DivisionEuclidea(x(), n): fr(2) = rr(1)
sifr = fr()
End Function
Para darse cuenta de la eficacia del código anterior, se obtiene con mucha rapidez el resultado siguiente:
Lema 8: 
(44)
En efecto, según el binomio de Newton,
(45)
Derivando la igualdad (45) sucesivamente se obtiene que
Definición 3: Se llama función generatriz de los polinomios de Legendre la función:
(46)
Para desarrollar en una serie de potencias a la función (46), según la variable 
se considera el desarrollo
(47)
, convergente para 
Teniendo en cuenta que 
se puede elegir a 
tan pequeño para que tengan lugar las desigualdades
Entonces poniendo 
en el desarrollo (45) se obtiene que
(48)
Desarrollado y ordenando a (48) según las potencias de t, resulta que
, donde
, y en general el coeficiente del término de 
que contiene a 
es 
Por tanto, según el lema 8,
Bibliografía:
[1 ] Nicolae Cioranescu, Tratat de Matematici Speciale, Edititura de Stat Didactic? si Pedagogica,
Bucuresti, 1962
[2] I. GH. Sabac, MATEMATICI SPECIALE, I-II, Edititura de Stat Didactic? si Pedagogica,
Bucuresti, 1962
[ 3] V.Rudner, Editura Didactica si Pegagogic?, Bucuresti, 1970 .
[4] Aladar Peter Santha, Cálculos con números enteros largos en ordenadores, Monografias.com, 2012
[5] Aladar Peter Santha, Cálculos con números decimales largos en ordenadores, Monografias.com, 2012
Autor:
Aladar Peter Santha
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