El curso tendrá los siguientes componentes básicos:
Sistemas difusos. Redes neuronales algoritmos genéticos. Aplicaciones. Introducción
Objetivos Este módulo pretende introducir los sistemas difusos como una herramienta para su utilización en diversas aplicaciones en ingeniería
Los sistemas difusos pueden usarse en muchos campos de la ingeniería:
Control de procesos. Modelado no lineal. procesamiento de imágenes. Comunicaciones. Problemas de optimización. Sistemas para toma de decisiones.
Sistemas difusos (introducción)
Introducción
Los sistemas difusos son utilizado en muchos campos de la ingeniería. Hacen del parte del área se que se ha denominado softcomputing.
Lotfi A. Zadeh (1992):
“Soft computing is an emerging approach to computing which parallels the remarkable ability of the human mind to reason and learn in an environment of uncertainty and imprecision”.
Inteligencia computacional:
Softcomputing cubre en algunos paradigmas recientes:
– Redes neuronales. – Lógica difusa y sistemas basados en razonamiento difuso. – Técnicas de optimización basadas en algoritmos genéticos y re-cocimiento simulado.
Sistemas difusos (introducción)
Los sistemas difusos: Han sido desarrolladas buscando modelar la forma como el cerebro manipula información imprecisa.
La redes neuronales: Son modeladas a partir de la arquitectura física del cerebro. Sistemas difusos (introducción)
Los sistemas difusos y las redes neuronales:
Estimadores libres de modelos. Sistemas dinámicos. Ambos tienen la capacidad de modelar procesos no lineales complejos con un grado arbitrario de exactitud. Son tecnologías complementarias: Sistemas difusos con habilidades de aprendizaje. Redes neuronales con una estructura determinada por la forma y el proceso de razonamiento propio de las reglas difusas “If-then”. Sistemas difusos (introducción)
Los sistemas difusos y las redes neuronales
Redes neuronales:
Realizan un mapeo no lineal de entrada-salida. Poseen la capacidad de generalización. Tienen la propiedad de la “adaptabilidad”. Son tolerantes a fallas. Tienen habilidad de aprendizaje.
Sistemas difusos (introducción)
La fusión de las dos tecnologías produce sistemas con diferentes características: Sistemas neurodifusos: Sistemas difusos provistos de métodos de sintonía propios de las redes neuronales pero sin alterar su funcionalidad. Redes neuronales difusas: Conservan las propiedades y la arquitectura de las redes neuronales y simplemente se “fuzifican” algunos de sus elementos.
Sistemas difusos (introducción)
Contenido del módulo:
Introducción a los sistemas difusos. Teoría de los conjuntos difusos. Variables lingüísticas. Relaciones difusas, composición de relaciones. Introducción a la lógica difusa. Reglas de inferencia difusas. Sistemas difusos. Identificación de los sistemas difusos. Aplicación de los sistemas difusos Estudio de casos. Sistemas difusos (introducción)
Material de referencia:
Fuzzy Logic Systems for Engineering: A tutorial, J. M. Mendel, Proceeding of the IEEE, Vol 83. No. 3. pp. 345-377.
Neuro-fuzzy modeling and control, J.S. Jang an C. T Sun Proceeding of the IEEE, Vol 83. No. 3. pp. 378-406.
Neuro-Fuzzy and Soft Computing, J. S. Roger Jang, Prentice Hall, 1997. Cuatro primeros capítulos. Sistemas difusos (introducción)
La expresión del conocimiento
Cuando se trabaja con la solución de problemas existen dos tipos de conocimiento:
Conocimiento objetivo: El cual se expresa en forma de modelos matemáticos. Estos modelos son usados corrientemente en la solución de problemas en el campo de la ingeniería.
Conocimiento subjetivo: el cual es representado en forma lingüística que es imposible de cualificar con modelos matemáticos tradicionales.
Ex: “Si el valor de la ganancia es muy alto entonces el sistema puede ser inestable” Sistemas difusos (introducción)
Como utilizar los dos tipos de conocimiento en la solución de problemas:
Existen dos estrategias:
Una estrategia basada en modelo en la cual la información objetiva es expresada en modelos matemáticos y la información subjetiva es expresada en reglas (lingüísticas) que luego son cuantificadas usando lógica difusa.
Una estrategia libre de modelo: en la cual, las reglas son extraídas de datos numéricos, estas reglas también pueden ser combinadas con información lingüística suministrada por expertos. Sistemas difusos (introducción)
Sistemas difusos (modelo difuso): una visión de alto nivel
Establecen un mapeo no lineal entre un vector de datos de entrada a una salida escalar (MISO). ¨Fuzificador¨ Mecanismo inferencia ¨Defuzificador¨ Reglas x?Un Vector de entrada salida y Sistema Difuso Y= f(x) Sistemas difusos (introducción)
Qué es un conjunto de acuerdo con la teoría clásica?
Es una reunión de elementos que cumplen alguna condición pre-establecida.
Notación: A = { x / x cumple alguna condición}
Ejemplo: A = { x ? R / x > 5 }
Conjuntos discretos se pueden representar con diagramas. Por ejemplo el conjunto B (de números enteros entre 1 y 5):
B 1 Así: 2 1 ? B 3 2 ? B 4 3 ? B 5 4 ? B 5 ? B conjuntos difusos
La función característica o de pertenencia
Se puede definir un conjunto estableciendo su función de pertenencia ( también llamada función característica).
La función asume la siguiente forma para conjuntos clásicos: Sea el conjunto A, la función de pertenencia µA(x) será:
1, si x ? A µA(x) = 0, a x? A.
Ejercicio: Considere el conjunto de todos los estudiantes del curso como conjunto universal. Considere C, como el conjunto de los estudiantes con promedio mayor a 4. Evalúe µC(x) para algunos valores de x. conjuntos difusos
Ejemplo: sea el conjunto A:
A ={ El conjunto de los números reales mayores que 5}
o equivalentemente:
A = { x ? R / x = 5}
Entonces: µA(4) = 0 µA(6) = 1
Gráfica de µA(x)
3 4 5 6 7 …. µA 1 R conjuntos difusos
Conjuntos difusos
La pertenencia de los elementos al conjunto puede ser gradual, lo cual se expresa mediante la función de pertenencia, que en este caso puede tomar valores dentro del intervalo [0,1]
Ejemplo: Sea el conjunto universal X ={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Sea el conjunto A = {el número apropiado de cursos que un estudiante debe tomar en el primer semestre de Ingeniería electrónica}
A, lo podríamos definir considerando sus elementos junto con sus valores de pertenencia: A ={ (1, 0.1), (2,0.3), (3,0.4), (4,0.6), (5,1), (6,0.9), (7,0.6), (8,0.3) (9, 0.1) }
conjuntos difusos
Definición de Conjuntos difusos
Sea U una colección de objetos denotados genéricamente por u, entonces un conjunto difuso A en U se define como el conjunto de pares ordenados: A = { (u, µA(u)) / u ? U}
µA(u) es la función de pertenencia de u en A, la cual mapea cada elemento de U a un valor de pertenencia entre 0 y 1.
Función de pertenencia
u1 u2 U µA(u1)= 0.6 µA(u2)= 1.0 µA(u) 1
0.6 conjuntos difusos
Ejemplo
Sea B= “El conjunto de números enteros cercanos a 9”
B = 0.1/6 + 0.5/7 + 0.8/8 + 1/9 + 0.8/10 + 0.5/11 + 0.1/12
1 0.8 0.5 0.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 N
Notación B = ?N µB(x)/ x (Representación de conjuntos discretos)
Conjuntos difusos
Tipos corrientes de funciones de pertenencia Tipo Z Tipo triangular Tipo trapezoidal Lineal por trazos Tipo S Otras formas: gaussiana, en forma de campana, etc. Conjuntos difusos
Algunas definiciones relacionadas con conjuntos difusos :
1. El soporte de un conjunto difuso:
Support(A) = { x / µA(x) > 0}
2. Core: Core(A) = { x / µA(x) = 1}
3. Conjuntos difusos normales: si su “core” no es vacio.
4. Fuzzy singleton: es un conjunto normal con soporte en un solo punto
Conjuntos difusos
Representación de los conjuntos difusos :
Dado un conjunto universal U ={x1, x2, ….,xn}, un conjunto A definido en U puede ser representado usando el conjunto de pares ordenados:
Igualmente puede ser representado como:
Donde + indica unión de los elementos (no suma). Conjuntos difusos
? – cuts
Un ?-cut (o conjunto de nivel ?) de un conjunto difuso A* es un conjunto A? clásico que contiene todos los elementos del conjunto universo U que tienen un grado de pertenencia en A* más grande o igual a ?. O sea:
El conjunto de todos los niveles ??(0,1] que representan distintos ?-cuts de un conjunto A dado es llamado el conjunto de nivel de A. O sea: Conjuntos difusos
Primero recordemos las operaciones entre conjuntos clásicos
Para conjuntos clásicos, consideremos dos conjuntos A y B:
– entonces la unión de A y B será un conjunto C = A ? B, que contendrá tanto los elementos de A como los de B.
– La intersección de A y B , será un conjunto D = A ? B, que contendrá los elementos comunes entre A y B.
– El complemento de A, será un conjunto A, que contendrá todos los elementos del conjunto universal que no pertenezcan a A. Conjuntos difusos
Ejemplo (conjuntos clásicos):
Sean los conjuntos A = { 1, 2 , 3, 4, 5, 6} B = {4, 5, 6, 7, 8, 9} y U = { 0, 1, 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} el conjunto universal.
Entonces: C = A ? B = {1, 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} D = A ? B = {4, 5, 6 } A = {0, 7, 8, 9, 10, 11}
Conjuntos difusos
Operaciones entre conjuntos clásicos: se pueden realizar operación entre conjuntos clásicos usando la función pertenencia. Se realizan con base a las funciones de pertenencia Función de pertenencia del conjunto resultado Operador Conjuntos difusos
Propiedades de las operaciones entre conjuntos clásicos: Sean A, B y C conjuntos clásicos y A, B, y C sus complementos Sea X el conjunto universo y ? el conjunto vacío Propiedad
Conmutativa A?B = B?A, A?B = B?A
Asociativa (A?B) ? C = A?(B ? C) (A?B) ? C = A?(B ? C)
Distributiva A?(B?C) = (A?B) ? (A? C) A ?(B?C) = (A?B) ? (A?C) Conjuntos difusos
Propiedad
Contradicción A ? A = ? Tercero excluido A ? A = X
ley de Morgan A? B = A ? B A ? B = A ? B Conjuntos difusos
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