1.- Introducción. Las matemáticas es uno de los conocimientos más antiguos que el ser humano ha estudiado e investigado y están presentes en todos los ámbitos de nuestra vida cotidiana. Aprender matemáticas es importante porque: Son un medio de comunicación: son un lenguaje. Son importantes para otros campos del conocimiento. Contribuyen, junto con otras materias, al desarrollo del pensamiento lógico y a la precisión y visión espacial. Suscitan un interés intrínseco en muchas personas.
Aunque es uno de los conocimientos más valorados en nuestra sociedad también es uno de los más inaccesibles para los alumnos. Los índices de fracaso son altos, sobre todo en los años de escolaridad. Las primeras dificultades surgen durante la adquisición de las nociones básicas que son imprescindibles para la compresión del número como son: clasificación, seriación, correspondencia, valor cardinal, reversibilidad, etc.
Los modelos cognitivos son actualmente los que dan una explicación más satisfactoria de cómo se aprenden las matemáticas. Se pueden dividir en: Modelos de comprensión: analizan cómo se traducen los enunciados de un problema en representaciones mentales. Modelos de procesos: identifican los pasos o procesos que da una persona para realizar una operación matemática bien definida (v.gr., una división) Modelos de estrategias: estudian la forma de escoger, controlar y alcanzar las metas en la resolución de actividades cognitivas complejas (v.gr., un problema de geometría) Modelos de esquemas: describen el modo de seleccionar e integrar la información en representaciones coherentes.
2.- Ámbitos del conocimiento matemático. El conocimiento matemático se organiza de forma jerárquica siguiendo una lógica que le dota de gran coherencia. Los ámbitos son tres: 1.- Numeración. 2.- Aritmética. 3.- Resolución de problemas. De ellos nos ocuparemos en los apartados siguientes.
2.1.- Concepto de número. El concepto de número es una abstracción que se forma lentamente en el niño a través de diversas experiencias. Para su elaboración se requieren dos condiciones psicológicas (operaciones lógico-matemáticas: la conservación del todo y la seriación de los elementos.
Se da la conservación cuando el niño llega a la certeza de que el todo es un conjunto de partes que se pueden distribuir cómo se quiera. Para que haya conservación tiene que haber reversibilidad del pensamiento, es decir, el niño tiene que descentrarse de uno de los puntos de vista (el todo y las partes) para adaptar el otro (las partes y el todo)
La segunda condición es la seriación: el número se construye en la media en que los elementos de la serie son concebidos a la vez como “equivalentes y no equivalentes”: Significa que los elementos se pueden seriar siendo cada término de la serie semejante a los demás y diferente por el lugar que ocupa en dicha serie (una cantidad es simultáneamente superior a una primera e inferior a una segunda)
El conteo es un proceso cognitivo complejo que sirve de base a la adquisición de habilidades numéricas posteriores. Para su desarrollo, el niño tiene que adquirir (además de la condiciones psicológicas) cinco principios de naturaleza cognitiva: 1.- Correspondencia 1 a 1 (biunívoca): en el conteo a un objeto le corresponde un solo número y viceversa. 2.- Orden estable de la secuencia numérica: el conteo sigue un orden determinado (v.gr., 1, 2, 3, 4, 5…) 3.- Principio de cardinalidad: el último número de la secuencia representa no sólo el elemento situado en la última posición sino también el conjunto formado por todos los elementos. 4.- Orden irrelevante: los elementos se pueden contar de izquierda a derecha o al revés sin que esto afecte al resultado del conteo. 5.- El principio de abstracción: permite contar tanto objetos homogéneos como heterogéneos, sin que se altere el resultado.
Además de los principios, para el conteo es necesario: a.- percibir visualmente una cantidad. b.- evocar el símbolo correspondiente. c.- realizar el grafismo de dicho símbolo (representación motora del número)
Para que la numeración no se aprenda mecánicamente es imprescindible que el niño comprenda desde el inicio del aprendizaje conceptos como unidades, decenas, centenas, el valor posicional de los números dentro de las cifras, etc. Para ello, antes del aprendizaje de las representaciones gráficas de los números es aconsejable que: El niño manipule objetos formando cantidades (v.gr., fichas)
2.3.- Operaciones aritméticas básicas. Son la suma, resta, multiplicación y división. A la hora de introducirlas hay que prestar atención al vocabulario. Los niños deben saber conceptos como juntar y separar antes que sumar y restar. El aprendizaje de las operaciones debe seguir el orden de dificultad que presente cada una de ellas. Primero se suman unidades, después decenas sin llevar, llevando, etc. Después se pasa a la resta, la multiplicación y por último la división.
Las operaciones no se realizan si no se comprenden. Por ello el niño debe entender que: La suma es esencialmente una operación de reunión. La resta es compleja, ya que sirve para calcular una diferencia, una comparación y la parte desconocida de una suma (lo contrario de sumar) La multiplicación es una suma abreviada de números iguales. La división corresponde a dos acciones diferentes: una partición y una distribución.
El mecanismo de las operaciones implica la noción de espacio y orientación: los números se escriben de izquierda a derecha pero las operaciones se calculan de derecha a izquierda.
2.3.- Resolución de problemas. Los problemas matemáticos se representan de distinta manera: Problemas de cambio: Alberto tiene 7 caramelos. María le da 3 caramelos más. ¿Cuántos caramelos tiene ahora Alberto? Problemas de combinación: Antonio tiene 5 caramelos y María 8. ¿Cuántos caramelos tiene entre los dos? Problemas de comparación: Elena tiene 6 caramelos. Sergio tiene 3 caramelos más que Elena. ¿Cuántos caramelos tiene Sergio?
El esquema de estos problemas sería el siguiente: (Gp:) PROBLEMAS DE CAMBIO (Gp:) Estado inicial (Gp:) Cambio (Gp:) Estado final
(Gp:) PROBLEMAS DE COMBINACIÓN (Gp:) Parte (Gp:) Parte (Gp:) Todo
(Gp:) PROBLEMAS DE COMPARACIÓN (Gp:) Conjunto grande (Gp:) Conjunto pequeño (Gp:) Conjunto Diferenc.
La representación de los problemas proporciona una base para su comprensión y facilita: El establecimiento de relaciones entre los términos del enunciado. La selección del procedimiento para resolverlo.
Esto evita que los problemas se asocien a la idea de número, de operación, por no al de búsqueda: lo más importante de los problemas no son los datos sino la relación que hay que establecer entre ellos para llegar a la solución correcta.
Por lo que respecta al conocimiento para solucionar un problema, éstos son: a.- conocimiento lingüístico: interviene en la traducción del problema. b.- conocimiento general acerca del mundo y conocimiento de esquemas: interviene en la fase de integración de los datos del problema. c.- conocimiento estratégico o de análisis medios-fines: necesario para la planificación de la resolución. d.- conocimiento operativo o del procedimiento (v.gr., cómo sumar): interviene en la fase de ejecución.
3.- Dificultades en el aprendizaje de las matemáticas. No existe una definición clara y precisa que englobe todos los trastornos o dificultades en el aprendizaje de las matemáticas (DAM) Aquí nos referiremos a DAM cómo a todos aquellos alumnos que no llegan al dominio de ciertas formas de pensamiento matemático o que encuentran grandes dificultades para alcanzar los objetivos que establece el currículum escolar. Las dificultades más importantes son: No establecer la asociación número-objetos. No comprender que un sistema de numeración está formado por grupos iguales de unidades que dan lugar a unidades de orden superior. No comprender el valor posicional de las cifras dentro de una cantidad. No descubrir la relación de los números en una serie. Mostrar alteraciones en la escritura de números (omisiones, confusiones, reiteraciones, números en espejo, etc.) Manifestar dificultades en la estructura espacial de las operaciones o en la comprensión de las acciones correctas que debe realizar. Confundir los signos.
No conocer las operaciones necesarias para resolver un problema. No considerar los datos de un problema u operar con ellos sin tener en cuenta el resultado.
3.1.- Dificultades en áreas específicas. Existen 8 áreas específicas: numeración, cálculo, álgebra, resolución de problemas, geometría, gráficas, fracciones, y uso del lenguaje matemático. a.- Numeración. El conocimiento y memorización de los números no suele entrañar dificultad. Lo que produce mayor dificultad en el aprendizaje es: La asociación número-objetos. La concepción del número como la unión de operaciones de clasificar y seriar. Los fundamentos del sistema decimal. La escritura de los números debido a problemas de lateralidad. La comprensión del valor posicional de las cifras.
b.- Cálculo. La primera dificultad es la comprensión y la mecánica de las cuatro operaciones básicas. La resta suele ser la operación que entraña mayor dificultad.
c.- Álgebra. Con frecuencia los alumnos no comprenden que las letras simbolizan números y que pueden tener un único valor (como en x + 5 = 9) o infinitos valores (x + y = 0); tienden a sustituir expresiones aditivas (3 + x) por multiplicaciones (3x); no respetan ni comprenden el significado del paréntesis.
c.- Resolución de problemas (lo trataremos en un apartado posterior)
d.- Geometría. Las dificultades vienen originadas por la abstracción de algunas nociones (línea, plano, etc.) y por la dificultad de la terminología (pentágono, polígono)
e.- Gráficas. Falta en la comprensión de que una gráfica muestra la relación entre dos variables y no es sólo un dibujo.
f.- Fracciones. El concepto de fracciones es difícil de entender. La mayor dificultad es cuando se tiene que sumar o restar una fracción con un número entero. Otro error común es considerar que numerador y denominador son elementos independientes, por lo que operan con ellos aisladamente. El no saber cómo interpretar el valor del cero en la fracción es otro error muy frecuente.
g.- Lenguaje matemático. Las dificultades se producen por: Cantidad de vocabulario teórico nuevo que los alumnos deben asimilar. Distinto significado que los términos tienen a veces respecto a su uso habitual. Legibilidad del texto por el uso del léxico, sintaxis, gráficas, tablas, diagramas, etc. Símbolos matemáticos.
3.2.- Dificultades en la resolución de problemas. Traducción del problema: transformar cada paso en la secuencia de realización de un problema en una representación interna. Para ello necesitamos el conocimiento del lenguaje y del mundo (semántico)
Integración del problema: consiste en aunar cada una de las informaciones o representaciones que se van obteniendo de la traducción. Se trata de construir una representación global del problema.
Planificación y supervisión del problema: para establecer un plan primero tenemos que preguntarnos si conocemos algún problema que sea parecido. Si la respuesta es afirmativa lo reconocemos (identificamos el problema), realizamos una abstracción (extraemos el método de solución) y trazamos el plan (aplicamos el método al objetivo actual)
Puesta en marcha de la solución: aplicamos o realizamos los cálculos pertinentes.
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