Agenda Introducción Sistemas de partículas Cuerpos rígidos Usos y aplicaciones Animación computarizada ¿Qué es la animación? Es un proceso utilizado para dar la sensación de movimiento a imágenes o dibujos, de acuerdo a una secuencia de acciones. ¿Qué es la simulación? Es predecir como cambian los objetos a lo largo del tiempo, de acuerdo a las leyes físicas.
Agenda Introducción Sistemas de partículas Cuerpos rígidos Usos y aplicaciones Dinámica Pasiva Activa
Agenda Introducción Sistemas de partículas Cuerpos rígidos Usos y aplicaciones Sistema de partículas Los Sistemas de Partículas para computación gráfica constituyen un método de modelado de objetos difusos como fuego, nubes y agua. Los sistemas de partículas modelan un objeto como una nube de partículas primitivas que definen su volumen.
Agenda Introducción Sistemas de partículas Cuerpos rígidos Usos y aplicaciones Se generan nuevas partículas en el sistema. Sistema de partículasWilliam T. Reeves (1983) 2. A cada una de ellas se les asigna sus atributos individuales. 3. Cualquier partícula en el sistema cuyo tiempo de vida haya expirado es eliminada. 4. El resto de las partículas son desplazadas y transformadas de acuerdo a sus atributos dinámicos. 5. Se despliega (render) una imagen de las partículas vivas en el buffer de cuadros de imagen (frame buffer).
Agenda Introducción Sistemas de partículas Cuerpos rígidos Usos y aplicaciones Generación de partículas Un proceso determina el número de partículas que entran al sistema durante cada intervalo de tiempo, esto es, en un frame dado. Método 1: Método 2: Rand retorna un numero aleatorio entre –1.0 y +1.0 MediaPart es la media del numero de partículas VarPart es su varianza MediaPart es la media por área de pantalla VarPart es su varianza AreaPantalla el área de pantalla del sistema de partículas
Agenda Introducción Sistemas de partículas Cuerpos rígidos Usos y aplicaciones Generación de partículas Para controlar la generación de partículas en el sistema, esto es, aumentar o disminuir la cantidad, el diseñador puede variar en el tiempo la media del número de partículas generadas por frame, utilizando una simple funcional lineal: f es el frame actual f0 es el primer frame MediaPartInicial es la media del numero de partículas DeltaMediaPart es el radio de cambio
Agenda Introducción Sistemas de partículas Cuerpos rígidos Usos y aplicaciones Generación de partículas El número de partículas generadas es importante debido a su enorme influencia en la densidad del objeto difuso.
Agenda Introducción Sistemas de partículas Cuerpos rígidos Usos y aplicaciones Atributos de las partículas Posición Inicial • Velocidad Inicial (velocidad y dirección) • Tamaño inicial • Color Inicial • Transparencia Inicial • Forma Tiempo de vida
Agenda Introducción Sistemas de partículas Cuerpos rígidos Usos y aplicaciones Posición de la partículas Cada partícula tiene movimiento en el campo de flujo. Posición X = Velocidad V = La función de campo de flujo determina la velocidad de la partícula.
Agenda Introducción Sistemas de partículas Cuerpos rígidos Usos y aplicaciones El campo de flujo g(X,t) es un campo vectorial que define un vector de cualquier partícula en la posición X en el instante de tiempo t.
Agenda Introducción Sistemas de partículas Cuerpos rígidos Usos y aplicaciones Ecuaciones diferenciales La ecuación V=g(X,t) es una ecuación diferencial de primer orden: La posición es computarizada al integrar la ecuación diferencial anterior:
Agenda Introducción Sistemas de partículas Cuerpos rígidos Usos y aplicaciones Integración numérica Partimos de un punto inicial: Pasa a lo largo del campo vectorial para calcular la posición en cada instante de tiempo. Esto es conocido como el problema del valor inicial.
Agenda Introducción Sistemas de partículas Cuerpos rígidos Usos y aplicaciones Método de Euler Es una solución simple al problema del valor inicial. Comienza en un valor inicial Toma pequeños intervalos a lo largo del campo.
Agenda Introducción Sistemas de partículas Cuerpos rígidos Usos y aplicaciones Método de Euler Ventajas: Simplicidad Usualmente es suficiente Desventajas: Requiere intervalos muy pequeños En algunos casos es inestable
Agenda Introducción Sistemas de partículas Cuerpos rígidos Usos y aplicaciones Otros métodos Runge-Kutta (4to y 6to orden) con constantes propias del esquema numérico. Adams
Agenda Introducción Sistemas de partículas Cuerpos rígidos Usos y aplicaciones Otros métodos Midpoint (2do orden Runge-Kutta) Computar primer intervalo con Euler Evaluar f en el punto medio, donde f=g(X,t) Tomar un intervalo y aplicar Midpoint:
Agenda Introducción Sistemas de partículas Cuerpos rígidos Usos y aplicaciones Otros métodos Intervalo adecuado Evaluar tomando un intervalo de tamaño h Evaluar tomando dos intervalos de tamaño h/2 Error = Ajustar el tamaño del intervalo a donde f=g(X,t)
Agenda Introducción Sistemas de partículas Cuerpos rígidos Usos y aplicaciones Movimiento y transformaciones de las partículas Las partículas se mueven de acuerdo a la ley Newton: La masa m determina las propiedades inerciales de la partícula; las partículas mas robustas se mueven más fácilmente que las livianas. El campo vectorial en un instante dado t, depende de la velocidad y de la posición.
Agenda Introducción Sistemas de partículas Cuerpos rígidos Usos y aplicaciones Para representar el movimiento de acuerdo a la ley de Newton, usamos ecuaciones diferenciales de segundo orden: Movimiento y transformaciones de las partículas Sin embrago, para ahorrar cálculos, podemos reutilizar los resultados de la ecuación de 1er orden. Definimos un nuevo vector y, que concatena la posición y la velocidad: Obtenemos una nueva ecuación diferencial de 1er orden que soluciona la de 2do orden.
Agenda Introducción Sistemas de partículas Cuerpos rígidos Usos y aplicaciones Animación de partículas
Agenda Introducción Sistemas de partículas Cuerpos rígidos Usos y aplicaciones Cuerpos Rígidos ¿Qué es un cuerpo rígido? Idealización de un cuerpo sólido Sistema de partículas Invariabilidad de la distancia No se deforma Mismas ecuaciones de un sistema de partículas
Agenda Introducción Sistemas de partículas Cuerpos rígidos Usos y aplicaciones Dinámica de Cuerpos Rígidos Diseño de modelos matemáticos y físicos para predecir el movimiento de los cuerpos y las fuerzas presentes entre ellos. Aplicaciones más importantes: Robótica Videojuegos Ingeniería Diseño de máquinas
Agenda Introducción Sistemas de partículas Cuerpos rígidos Usos y aplicaciones Para empezar a estudiar la dinámica Una sola partícula Nos interesa su posición y velocidad
Agenda Introducción Sistemas de partículas Cuerpos rígidos Usos y aplicaciones Fuerza Neta ¿Qué es la fuerza neta? Existe un cambio en la cantidad de movimiento de un objeto. Involucrados: Cuerpo al que se le aplica la fuerza Cuerpo que aplica la fuerza Matemáticamente:
Agenda Introducción Sistemas de partículas Cuerpos rígidos Usos y aplicaciones Ecuación de Fuerza Neta (Gp:) Donde: es la fuerza neta que recibe el objeto es la cantidad de movimiento del objeto es el cambio en la cantidad de movimiento del objeto t es el tiempo es la variación del tiempo es la derivada de la cantidad de movimiento es la derivada del tiempo
Agenda Introducción Sistemas de partículas Cuerpos rígidos Usos y aplicaciones Valor de la Fuerza Neta A) Una sola fuerza sobre un objeto dinámicamente aislado. Donde: es la aceleración del objeto es la fuerza neta que recibe el objeto Msistema es la masa total del sistema
Agenda Introducción Sistemas de partículas Cuerpos rígidos Usos y aplicaciones Valor de la Fuerza Neta B) Dos fuerzas paralelas separadas una cierta distancia Donde: M es el momento del par o torque. F es la fuerza aplicada. d es la distancia entre las dos fuerzas.
Agenda Introducción Sistemas de partículas Cuerpos rígidos Usos y aplicaciones Valor de la Fuerza Neta ¿ Por qué una puerta gira? Al cerrar una puerta, se aplica una fuerza F con cierta dirección y sentido. Debido al eje determinado por las bisagras, se produce una fuerza F’ la cual, junto con F, producen la rotación.
Agenda Introducción Sistemas de partículas Cuerpos rígidos Usos y aplicaciones Torque Involucrados: Cuerpo al que se le aplica la fuerza Cuerpo que aplica la fuerza Eje sobre el cual se realiza movimiento de rotación ¿Qué es el torque de una fuerza?
Agenda Introducción Sistemas de partículas Cuerpos rígidos Usos y aplicaciones Torque Neto Donde: T(t) es el torque ejercido en el cuerpo x(t) es el centro de masa del cuerpo fi es la fuerza aplicada en el punto i. pi es la posición del cuerpo ¿Qué es el torque neto?
Agenda Introducción Sistemas de partículas Cuerpos rígidos Usos y aplicaciones Ecuación de Movimiento para los Cuerpos Rígidos Donde: x(t) es el centro de masa del cuerpo R(t) es la rotación del cuerpo Mv(t) es la momento lineal del cuerpo I(t) w (t) momento angular del cuerpo
Agenda Introducción Sistemas de partículas Cuerpos rígidos Usos y aplicaciones Simulaciones con colisiones Para simular movimientos con colisiones en cuerpos rígidos se requiere: que las detectemos (detección de colisiones) que respondamos a ellas (respuesta de colisiones) Seguimiento de la trayectoria
Agenda Introducción Sistemas de partículas Cuerpos rígidos Usos y aplicaciones Enfoque Computacional 1) Un cuerpo rígido como una superficie poligonal o superficie NURBS 2) Colisionan, no atraviesan 3) Para la animación se toman en cuenta: expresiones, restricciones, colisiones, movimientos
Agenda Introducción Sistemas de partículas Cuerpos rígidos Usos y aplicaciones Usos y aplicaciones Próxima clase… Muchas gracias por su atención. ¿Preguntas?
Universidad Simón BolívarDepartamento de ComputaciónCI5321 Computación Gráfica II SubDinámica Parte II 05-38161 Jessica Fariñas 05-38076 Yessica De Ascencao
Agenda Introducción Sistemas de partículas Cuerpos rígidos Usos y aplicaciones Usos y aplicaciones Al tomar en cuenta todos los aspectos y características físicas de los objetos a simular, podemos crear una aproximación muy cercana a lo que es la realidad. A continuación algunas imágenes y videos que muestran los efectos logrados al tomar en cuenta la dinámica en el proceso de modelado de figuras y objetos.
Agenda Introducción Sistemas de partículas Cuerpos rígidos Usos y aplicaciones Sistema de partículas para generar una pared de fuego y explosiones
Agenda Introducción Sistemas de partículas Cuerpos rígidos Usos y aplicaciones Sistema de partículas para generar fuegos artificiales
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