De aquí, tenemos nuestra fórmula de aproximación:
Esta aproximación puede ser suficientemente buena, si el valor de h es realmente pequeño, digamos de una décima ó menos. Pero si el valor de h es más grande, entonces podemos cometer mucho error al aplicar dicha fórmula. Una forma de reducir el error y obtener de hecho un método iterativo, es dividir la distancia 
en n partes iguales (procurando que estas partes sean de longitud suficientemente pequeña) y obtener entonces la aproximación en n pasos, aplicando la fórmula anterior n veces de un paso a otro, con la nueva h igual a 
En una gráfica, tenemos lo siguiente:
Ahora bien, sabemos que: 
Para obtener 
únicamente hay que pensar que ahora el papel de 
lo toma el punto 
y por lo tanto, si sustituimos los datos adecuadamente, obtendremos que:
De aquí se ve claramente que la fórmula recursiva general, está dada por:
Esta es la conocida fórmula de Euler que se usa para aproximar el valor de 
aplicándola sucesivamente desde 
hasta 
en pasos de longitud h.
MÉTODO DE EULER MEJORADO
Otro método sencillo es el método de Euler Mejorado. Este método es reductor corrector. Sus fórmulas son:
Este método es de orden O(H2).
Este método también puede expresarse como un método implícito. Si solo consideramos la ecuación del corrector tenemos:
yi+1 depende de sí mismo. Para aplicar este método en esta forma se requiere resolver una ecuación no lineal, ya que se puede escribir en la forma:
En la práctica se prefiere un procedimiento más simple. Comenzando con un valor inicial obtenido de la ecuación del predictor, se sustituye en la ecuación. Con esto se genera un valor nuevo de. Este se vuelve a sustituir y se obtiene otro valor de . El procedimiento se repite hasta que no cambie. Esto lo verificamos con un criterio de convergencia, el cual puede ser:
En este caso m es el índice de la iteración. Este procedimiento se conoce como rectificación. El valor final es el que se tabula. Por supuesto que más laborioso que si se considera el método como predictor corrector. En algunos textos, el método se presenta como predictor corrector. En otros se expresa como un método implícito.
Este método se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes.
La fórmula es la siguiente:
Donde
Para entender esta fórmula, analicemos el primer paso de la aproximación, con base en la siguiente gráfica:
En la gráfica, vemos que la pendiente promedio 
corresponde a la pendiente de la recta bisectriz de la recta tangente a la curva en el punto de la condición inicial y la "recta tangente" a la curva en el punto donde 
es la aproximación obtenida con la primera fórmula de Euler. Finalmente, esta recta bisectriz se traslada paralelamente hasta el punto de la condición inicial, y se considera el valor de esta recta en el punto 
como la aproximación de Euler mejorada.
MÉTODO DE RUNGE – KUTTA
Sin entrar en mucho detalle, mencionamos solamente que el método de Runge-Kutta cambia la dirección en el sentido de que no sigue la misma línea de los métodos de Euler. De hecho está basado en una aplicación de los polinomios de Taylor.
Comentamos sin embargo, que el método de Runge-Kutta si contiene como casos especiales los de Euler.
Las fórmulas
Donde
Se conocen como las reglas o fórmulas de Runge-Kutta de orden cuatro para la ecuación diferencial:
Así, el siguiente valor (yn+1) es determinado por el presente valor (yn) mas el producto del tamaño del intervalo (h) por una pendiente estimada. La pendiente es un promedio ponderado de pendientes:
k1 es la pendiente al principio del intervalo;
k2 es la pendiente en el punto medio del intervalo, usando k1 para determinar el valor de y en el punto tn + h/2 usando el método de Euler
k3 es otra vez la pendiente del punto medio, pero ahora usando k2 para determinar el valor de y
k4 es la pendiente al final del intervalo, con el valor de y determinado por k3
Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio:
El método RK4 es un método de cuarto orden lo cual significa que el error por paso es del orden de h5, mientras que el error total acumulado tiene el orden h4.
Es un método de un paso, es decir, para determinar Yn+1 se necesita conocer únicamente los valores de Xn y Yn del punto anterior, además no requieren evaluar ninguna derivada, sino únicamente valores de la función f(x,y). Todo ello hace que el método de Runge Kutta, sea más fácil de aplicar que otros sistemas, como por ejemplo la serie de Taylor. Siendo:
y con las ecuaciones anteriormente explicadas.
CONCLUSION
Cada método que se presento en este proyecto como ejercicios resuelto que fueron puestos en este trabajo, fue colocado con el único objetivo de que fuera más fácil su compresión de cada método que fue investigado en este proyecto, también podemos decir que estos métodos para poder resolver un problema es necesario tener una calculadora programable por la razón de que si hace sin una de ellas resulta demasiado largo la resolución de cada problema.
Tener en cuenta que para resolver cada problema de los métodos numéricos es necesario tener orden porque la cantidad de datos son demasiados, también se necesita tener los programas para resolver cada método.
Estos métodos numéricos nos dan una introducción a los medos numéricos más complicados que se presenta en nuestro libro.
BIBLOGRAFIA
Dennis g. Zill, Ecuaciones Diferenciales con Problemas de Valores de Frontera, editorial Iberoamericana, 6ta. Edición.
C. Henry Edwards, David E. Penney; Editorial Prentice Hall, 4ta. edicion.
Autor:
Alex Josué Pérez González
Universidad de San Carlos
Facultad de Ingenieria
Matemática intermedia 3
Ing. Benjamín piedra santa
Guatemala
26 de junio del 2009
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