3. Algún Q es R (I)
4. Algún Q no es R (O)
donde "Q" y "R" representan al término sujeto y al término predicado, respectivamente, de cada una de las proposiciones y sirven para designar dos clases. Estas cuatro formas típicas reciben las designaciones de proposiciones (1.) universal afirmativa, (2.) universal negativa, (3.) particular afirmativa y (4.) particular negativa, respectivamente. Las razones de estas designaciones se harán evidentes a continuación al presentar algunos ejemplos ilustrativos.
Todos los hombres son valientes.
En este ejemplo Q es la clase de los hombres y R es la clase de los seres valientes y posee la forma típica 1, por lo cual su representación es como sigue
La parte rayada del dibujo indica una zona vacía (o sea donde no hay elemento alguno). Rc designa al complemento de R, o sea todo aquello que no es R.
Obsérvese que esta proposición está afirmando que hay una relación de inclusión completa de Q en R (pero no a la inversa), que también se denomina inclusión universal.
Ningún niño es marinero.
En este ejemplo Q es la clase de todos los niños y R es la clase de todos los marineros. Evidentemente, esta proposición posee la forma típica 2. y su representación gráfica es
O designa al conjunto vacío, o sea a aquel dónde no hay elemento alguno.
Ahora se niega que cualquier miembro de la clase R esté inserto (o incluido) en la clase Q y así la primera clase está totalmente excluida de la otra.
Algunas mujeres son bonitas.
Aquí Q es la clase constituida por todas las mujeres y R es la clase de las mujeres que poseen la característica de ser bonitas. La representación gráfica es como sigue
Figura 7. Representación gráfica de la proposición categórica I.
En esta proposición hay una relación de inclusión parcial, ya que sólo algunas (¿cuántas?) están comprendidas en la segunda clase. Basta con que sólo una mujer sea bonita para que esta proposición sea válida. En efecto, lo que se está afirmando es que "al menos" una de las mujeres es bonita. Esto se pone en evidencia en el gráfico insertando el símbolo x en la zona común a Q y R.
Algunos perros no son negros.
En este ejemplo la clase Q corresponde a la de los perros y la clase R es la clase de los perros negros. La forma de representar a este tipo de proposiciones se muestra en la Figura 8.
Figura 8. Representación gráfica de la proposición categórica O.
Hemos presentado a las proposiciones categóricas en su forma más simplificada, ya que los atributos de las clases pueden ser más complejos, tales como lo ejemplifica el siguiente caso
Algunos hombres de gran temple y serena confianza fueron a la aventura.
La clase Q es la de los hombres de gran temple y serena confianza, y aquí la designación de la clase respectiva está denotada por una expresión más complicada que las anteriores.
Definición 5.3. La calidad de una proposición puede ser afirmativa o negativa, según que la inclusión de clases sea afirmada o negada, respectivamente, en la proposición.
Entonces, las proposiciones del tipo universal afirmativa y particular afirmativa son afirmativas respecto de sus calidades, en tanto que las universales negativa y particulares negativas son ambas negativas en relación a sus calidades. Las cuatro formas típicas de proposiciones categóricas que antes indicamos provisoriamente con 1., 2., 3. y 4., se designan usualmente con las letras ´A´, ´E´, ´I ´ y ´O´, respectivamente. O sea que
´A´ º universal afirmativa
´E´ º universal negativa
´I´ º particular afirmativa
´O´ º particular negativa
Definición 5.4. La cantidad de una proposición es universal ó particular según que la proposición se refiera a todos ó sólo a algunos de los miembros componentes de la clase designada por el término sujeto.
Según la definición anterior, las proposiciones A y E son universales y las proposiciones I y O son particulares respecto de la cantidad. Obsérvese que las designaciones de las proposiciones categóricas describen inequívocamente las cuatro formas típicas, destacando primero su cantidad y luego su calidad.
Las formas típicas de las proposiciones categóricas contienen a los términos ´todos´, ´ningún´ y ´algunos´, las cuales indican la cantidad de cada una de ellas y se conocen con el nombre de ´cuantificadores´. Por otra parte, entre los términos sujeto y predicado de estas proposiciones se encuentra alguna forma del verbo ´ser´, que los conecta. Se denomina ´cópula´ a esta parte de la proposición. Cuando aparece la palabra ´no´ que acompaña a alguna forma del verbo ´ser´, se la considera como parte constitutiva de la cópula. Entonces, las proposiciones categóricas están constituidas de acuerdo a la fórmula
Cuantificador + (término sujeto) + Cópula + (término predicado)
Una característica importante en las proposiciones categóricas la constituye el concepto de distribución. En primer lugar notemos que las proposiciones se pueden referir a todos los miembros de una clase o solamente a algunos de ellos. Así, por ejemplo, en la proposición
Todos los jueces son corruptos.
se está haciendo referencia a la clase de los jueces (i.e. todos los jueces) y parte de las personas corruptas (pero no todas ellas), ya que pueden existir personas corruptas que no son jueces, ¿no es así? Entonces podemos pasar a la siguiente
Definición 5.5. Una proposición distribuye un término si se refiere a todos los miembros de
la clase designada por dicho término.
Así, en el último ejemplo el término sujeto está distribuido en (o por) esta proposición, en tanto que el término predicado no está distribuido. De igual manera puede verificarse que en una proposición E los términos sujeto y predicado están distribuidos, en una proposición I ni el sujeto ni el predicado están distribuidos y que en una proposición O se distribuye el término predicado pero no el término sujeto.
Todo lo anterior lo podemos sintetizar de la siguiente manera: las proposiciones universales distribuyen sus términos sujetos, mientras que las proposiciones particulares no distribuyen sus términos sujetos. En consecuencia, la cantidad de cualquier proposición categórica de forma típica determina si su término sujeto está o no distribuido. Además, las proposiciones afirmativas no distribuyen sus términos predicados, mientras que las proposiciones negativas distribuyen sus términos predicados.
El siguiente cuadro resume lo anterior
Término sujeto distribuido
Término predicado | A: Todo Q es R | E: Ningún Q esR | Término predicado |
no distribuido | I: Algunos Q son R | O: Algunos Q no son R | distribuido |
Término sujeto no distribuido
2. EL CUADRO DE OPOSICIÓN
Otros tres conceptos relevantes en el terreno de la Lógica son los de las proposiciones contradictorias, las proposiciones contrarias y las proposiciones subcontrarias, las cuales se definen del siguiente modo:
Definición 5.6. Se dice que dos proposiciones son contradictorias si una de ellas es la negación de la otra, por lo cual ambas no puede ser verdaderas o falsas a la vez.
Como ejemplos característicos baste mencionar que dos proposiciones categóricas de forma típica que poseen el mismo sujeto y el mismo predicado, y que difieren tanto en calidad como en cantidad, son contradictorias (i.e. A y O, E e I, en tanto ellas tengan de a pares los mismos sujetos y los mismos predicados).
Consideremos las dos proposiciones siguientes:
Todas las plantas están marchitas.
y
Algunas plantas no están marchitas.
En estos casos las proposiciones son del tipo A y O, respectivamente. Ellas se oponen tanto en cantidad como en calidad y al menos una de ellas es verdadera y la otra es falsa. En forma similar, las dos siguientes proposiciones del tipo E e I
Ningún pintor es catalán.
y
Algunos pintores son catalanes.
que tienen los mismos términos sujeto y predicado y se oponen tanto en cantidad como en calidad, son claramente contradictorias.
Definición 5.7. Se dice que dos proposiciones con idénticos términos sujeto y predicado son contrarias si no pueden ser ambas verdaderas, aunque ambas pueden ser falsas.
Los casos de proposiciones contrarias son aquellas proposiciones universales que tienen sus términos sujeto y predicado iguales, pero difieren en calidad. O sea que las proposiciones A y E son contrarias, tal como se muestra en el siguiente ejemplo:
Todos los profesores son inteligentes.
y
Ningún profesor es inteligente.
Es evidente que ambas proposiciones no pueden ser verdaderas, aunque ambas bien pueden ser falsas.
Definición 5.8. Dos proposiciones con iguales términos sujeto y predicado se dicen subcontrarias si no pueden ser ambas falsas, aunque ellas puedan ser verdaderas.
Así, las proposiciones I y O son subcontrarias. Veamos el siguiente ejemplo:
Algunos niños menores son estudiantes sobresalientes.
y
Algunos niños menores no son estudiantes sobresalientes.
El análisis de estas dos proposiciones revela que ellas no pueden ser falsas a la vez, pero bien pueden ser verdaderas.
Otra definición que será de utilidad para establecer el cuadro de oposición es el de subalternación, que se puede establecer de la siguiente forma
Definición 5.9. Se entiende por subalternación la oposición existente entre una proposición universal y su particular correspondiente (o sea aquella que tiene los mismos términos sujeto y predicado así como la misma calidad que la proposición universal).
La proposición universal es llamada la "subalternante" y la particular la "subalter- na". En la subalternación, la subalternante implica a la subalterna, tal como lo muestra el siguiente ejemplo
Todos los libros son interesantes.
y
Algunos libros son interesantes.
Las distintas vinculaciones establecidas por estas definiciones se pueden condensar en el siguiente Cuadro de Oposición
La información condensada en este cuadro ofrece la base para establecer de inmediato un buen número de inferencias directas, sin tener que proceder a efectuar análisis alguno. Esto es así, no porque dicho análisis no exista, sino porque ya está inserta dicha información en el mismo cuadro, tal como hemos venido analizando a lo largo de este apartado. Naturalmente, esto es válido en tanto los términos sujeto y predicado de tales proposiciones sean idénticos.
Las inferencias inmediatas deducibles del cuadro de oposición son las siguientes:
Si A es V, entonces E es F, I es V y O es F
Si E es V, entonces A es F, I es F y O es V
Si I es V, entonces E es F, A y O quedan indeterminadas
Si O es V, entonces A es F, E e I quedan indeterminadas
Si A es F, entonces O es V, E e I quedan indeterminadas
Si E es F, entonces I es V, A y O quedan indeterminadas
Si I es F, entonces A es F, E es V y O es V
Si O es F, entonces A esV, E es F e I es V
donde V indica verdadero y F denota falso.
3. OTRAS INFERENCIAS INMEDIATAS
El cuadro de oposición visto en el apartado anterior nos ofrece algunos casos de inferencias inmediatas. Ahora consideraremos algunas otras que aumentará nuestro arsenal de posibilidades para conocer la validez o la invalidez de algunas formas elementales de razonamiento. Una forma bastante sencilla de efectuar una transformación en esas proposiciones y así generar algunas inferencias inmediatas es el de intercambiar los términos sujeto y predicado en ellas. Este procedimiento recibe la denominación de "conversión" y es válido para el caso de las proposiciones E e I. Evidentemente
Algunos hombres son personas inteligentes.
es lógicamente equivalente a
Algunas personas inteligentes son hombres.
y
Ningún mago es boliviano.
es equivalente a
Ningún boliviano es mago.
Este procedimiento de generar nuevas proposiciones nos lleva a establecer la siguiente
Definición 5.10. Se dice que una proposición categórica de forma típica es la "conversa" de otra cuando se la forma a partir de ésta intercambiando los términos sujetos y predicado. Las proposiciones originales se denominan "convertientes".
Para las proposiciones A y O se verifica que las conversas no son lógicamente equivalentes a las proposiciones originales (o convertientes).
Todos los estudiantes son hombres y mujeres.
no es lógicamente equivalente a la conversa
Todos los hombres y mujeres son estudiantes.
y
Algunos elementos químicos no son halógenos.
tampoco es equivalente a
Algunos halógenos no son elementos químicos.
Para salvar estas dos últimas situaciones se puede definir una "conversión por limitación" para el caso A. Ello consiste en intercambiar el sujeto y el predicado y además cambiar la cantidad de la proposición de universal a particular, lo cual permite que el proceso de conversión produzca una conversa lógicamente equivalente. Así, por ejemplo, si a partir de la proposición
Todos los estudiantes son hombre y mujeres.
se genera la siguiente proposición por conversión por limitación
Algunos hombres y mujeres son estudiantes.
entonces la conversa se deriva válidamente de la convertiente.
Para el caso de las proposiciones O se dice que no hay conversa. Con estas aclaraciones se tiene el siguiente cuadro de conversiones
CONVERSIONES
CONVERTIENTE | CONVERSA |
A: Todo Q es R | I: Algunos R son Q (por limitación) |
E: Ningún Q es R | E: Ningún R es Q |
I: Algunos Q son R | I: Algunos R son Q |
O: Algunos Q no son R | No existe la conversa |
Hemos visto que una clase es un conjunto de objetos que tienen una propiedad que los determina sin ambigüedad alguna. Esta propiedad se denomina "característica definitoria de la clase". Dicha característica es una o más propiedades que determinan a todos los elementos componentes del conjunto. A toda clase se le puede asociar su "complemento" que es el conjunto de elementos que no pertenecen a la clase original. Así, por ejemplo, el complemento del conjunto de flores rojas son todas aquellas flores que no son de color rojo. Una forma de designar a los miembros del complemento de una clase designada por el término "P" es empleando el término "no P" (que de ahora en más escribiremos ~P). Se debe diferenciar el concepto de complemento de contrario. En efecto, el término inteligente posee como término contrario a ignorante, pero no es cierto que toda persona no inteligente sea ignorante. Lo que sí es válido es afirmar que toda persona es inteligente o no inteligente. Hechas estas aclaraciones podemos pasar a la siguiente
Definición 5.11. Se dice que una proposición se obvierte cuando se cambia la calidad de la
misma y se reemplaza el término predicado por su complemento.
Así, por ejemplo, a la proposición A
Todas las mujeres son escritoras.
le corresponde como proposición obversa a
Ninguna mujer es no-escritora.
Estas dos proposiciones son lógicamente equivalentes, de modo tal que una cualquiera de ellas se infiere válidamente de la otra. Además, el proceso de obversión genera inferencias válidas cuando se aplica a cualquier proposición categórica de forma típica. Por ejemplo, la proposición E
Ningún periodista es inteligente.
tiene como obversa a la siguiente proposición A
Todos los periodistas son no-inteligentes.
la cual es lógicamente equivalente a la anterior.
Cuando se procede al método de obversión para generar inferencias válidas, a las premisas se las denomina "obvertiente" y a la conclusión la "obversa". En el siguiente cuadro se resume la información correspondiente a todas la obversiones válidas
OBVERSIONES
OBVERTIENTE | OBVERSA |
A: Todo Q es R | E: Ningún Q es ~R |
E: Ningún Q es R | A: Todo Q es ~R |
I: Algunos Q son R | O: Algunos Q no son ~R |
O: Algunos Q no son R | I: Algunos Q son ~R |
Otra forma de generar inferencias inmediatas consiste en aplicar el método de la contraposición, la cual de define como
Definición 5.12. La contrapositiva de una proposición se forma reemplazando el sujeto de
ella por el complemento del predicado y el predicado por el complemento
del sujeto.
Por ejemplo, a la proposición A
Todos los estudiantes son inteligentes.
le corresponde la contrapositiva A
Todas las personas no-inteligentes son no-estudiantes.
y estas dos proposiciones son lógicamente equivalentes. Lo mismo sucede con cualquier otra clase de proposición categórica de forma típica. Cuando se analiza con cuidado el proceso de contraposición se observa que el mismo es equivalente al proceso de obversión, seguido por la conversión y finalmente por una nueva obversión, por lo que este modo de transformar proposiciones se puede efectuar por los medios ya conocidos:
Contraposición = Obversión + Conversión + Obversión
El proceso de contraposición, a diferencia del proceso de obversión, no genera en todos los casos proposiciones lógicamente equivalentes. Como no vale la pena extenderse en este tema, en el cuadro siguiente resumimos la información pertinente que el lector puede verificar a través de ejemplos sencillos.
CONTRAPOSICIÓN
PREMISA | CONTRAPOSITIVA |
A: Todo Q es R | A: Todo ~R es ~Q |
E: Ningún Q es R | O: Algún ~R es ~Q |
I: Algún Q es R | No es válida |
O: Algún Q no es R | O: Algún ~R no es ~Q |
Antes de finalizar este apartado y a modo de información complementaria, debemos destacar que todo lo presentado hasta aquí sigue una línea clásica de tratamiento y que ella merece algunas objeciones centradas en el Cuadro de Oposición Tradicional. En efecto, cuando se analizan los distintos procedimientos para generar proposiciones a partir de otras originales y producir equivalencias lógicas, algunas de ellas no resultan válidas si se procede a realizar una discusión detallada del contenido existencial. Como la introducción de este concepto y las consecuencias derivables del mismo no modifican en lo substancial el desarrollo temático que hemos escogido para emplear la lógica en los razonamientos ordinarios, no nos adentraremos más en este tema.
4. REPRESENTACIONES GRÁ FICAS DE LAS PROPOSICIONES
CATEGÓRICAS
Ya hemos puntualizado que nuestro objetivo central es poder efectuar razonamientos válidos en el lenguaje ordinario, cosa bastante difícil de lograr corrientemente. Para acercarnos a una situación satisfactoria, iremos estudiando formas sencillas de razonamientos compuestas de proposiciones categóricas. A fin de ganar precisión en la determinación de la validez o de la invalidez de los razonamientos, recurriremos a una técnica gráfica bastante sencilla de aplicar, según podrá constatar el lector en el desarrollo subsiguiente. Para lograr este propósito deberemos ir presentando algunas definiciones básicas y varias convenciones útiles. Comenzaremos con el concepto de "clase nula".
Definición 5.13. Se denomina clase nula a aquella que no posee miembros y se la
simboliza mediante el signo ´O´.
La clase nula también se llama clase vacía. Si se quiere denotar que la clase ´S´ no posee miembro alguno, entonces se emplea la relación algebraica ´S = O´. Si se quiere indicar que la clase ´S´ posee algún miembro, entonces se usa la relación ´S ¹ O´. Las proposiciones categóricas típicas siempre se refieren a relaciones de inclusión entre dos clases y en este formalismo hace falta usar ecuaciones que las represente adecuadamente. Entonces, resulta conveniente definir el producto de dos clases como
Definición 5.14. El producto de dos clases A y B es otra clase, compuesta por todos los
miembros que pertenecen simultáneamente a la clase A y a la clase B y se
representa como AB. El producto de clases también se denomina como la
intersección de dichas clases.
Así, por ejemplo, si la A es la clase de alumnos varones y B es la clase de las personas inteligentes, entonces AB es la clase de alumnos varones inteligentes. Un caso particular de la intersección de clases es el producto de los alumnos varones y las alumnas mujeres, en cuyo caso, el producto resultante es la clase vacía.
Estas convenciones y definiciones nos permiten simbolizar las proposiciones E e I en forma de ecuaciones y desigualdades. En efecto, la proposición E establece que ´Ningún Q es R´, la cual está afirmando que ningún miembro de la clase Q es miembro de la clase R, o sea que no hay elementos de pertenezcan simultáneamente a ambas clases. En consecuencia tenemos que ´QR = O´ es una forma válida de representar a las proposiciones del tipo E.
Análogamente, para las proposiciones del tipo I se afirma que ´Algún Q es R´ lo cual implica que por lo menos un elemento de Q también es miembro de R. Entonces el producto de clases entre Q y R es no vacío, por lo cual las proposiciones I se simbolizan como ´QR ¹ O´.
Para simbolizar las proposiciones categóricas A y O hace falta apelar a la noción de "complemento", la cual ya fuera introducida previamente. El complemento de una clase Q la representaremos como ´Qc´. La proposición A Todo Q es R afirma que todos los miembros de Q son también miembros de la clase R, o sea que no hay ningún miembro de la clase Q que no sea miembro de la clase R. Ahora bien, por obversión tenemos la proposición categórica equivalente que establece que Ningún Q es ~P. Pero esta última proposición del tipo E se representa por la relación ´QRc = O´, la cual pasa a ser la representación de la proposición original (i.e. ´Todo Q es R´).
Análogamente, de la proposición O ´Algún Q no es R´ se deriva por obversión la proposición I ´Algún Q es ~P´ que es lógicamente equivalente a la anterior y que se simboliza mediante la relación ´QRc ¹ O´. Esta clase de formulación de las proposiciones categóricas muestra con total claridad que las proposiciones categóricas A y O por un lado, y E e I, por el otro, con iguales términos sujeto y predicado, son contradictorias, tal como se representa en las siguientes relaciones
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