Introducción a la lógica borrosa o difusa

Breve historia

La idea de la lógica difusa o borrosa no es nueva, aunque bajo el nombre de lógica difusa fuese introducida sobre 1965, sus orígenes se remontan hasta 2,500 años. Ya Aristóteles consideraba que existían ciertos grados de veracidad y falsedad y Platón había trabajado con grados de pertenencia.

En el siglo XVIII George Berkeley y David Hume describieron que el núcleo de un concepto atrae conceptos similares. Hume creía en la lógica del sentido común, en el razonamiento basado en el conocimiento que la gente adquiere de una forma ordinaria gracias a sus vivencias en el mundo.

Immanuel Kant pensaba que únicamente los matemáticos podían proveer definiciones claras y que por lo tanto, muchos principios contradictorios no tenían solución. Por ejemplo la materia podía ser dividida infinitamente y al mismo tiempo no podía ser dividida infinitamente. La corriente del pragmatismo fundada a principios de siglo por Charles Sanders Peirce, fue la primera en considerar ''vaguedades'', más que falso o verdadero, como forma de acercamiento al mundo y al razonamiento humano.

La idea de que la lógica produce contradicciones fue popularizada por el filósofo y matemático británico Bertrand Russell, a principios del siglo XX. Russell estudió las vaguedades del lenguaje y llegó a la conclusión que la vaguedad es un grado.Ludwig Wittgenstein, filósofo austriaco, estudió las diferentes acepciones de una misma palabra. En el lenguaje corriente ocurre muy a menudo que la misma palabra designe de modo y manera diferentes, porque pertenece a diferentes símbolos, o que dos palabras que designan de modo y manera diferentes se usen aparentemente del mismo modo en una proposición.

La primera lógica de vaguedades fue desarrollada en 1920 por el filósofo Jan Lukasiewicz, visualizó los conjuntos con un posible grado de pertenencia con valores de 0 y 1, después los extendió a un número infinito de valores entre 0 y 1. El término borroso aplicado a la lógica y a la teoría de conjuntos y sistemas procede de la expresión fuzzy sets (conjuntos borrosos) acuñada por Lofti A. Zadeh, brillante ingeniero eléctrico iraní nacionalizado en Estados Unidos, profesor en las más prestigiosas universidades norteamericanas, doctor honoris causa de varias instituciones académicas.

Sus tesis entroncan, como podemos observar, con la obra de pensadores de distintas disciplinas que tenían una visión similar de los problemas y alejada de la lógica tradicional. La paradoja del conjunto de Bertrand Russell, el principio de incertidumbre de la física cuántica de Werner Heisenberg, la teoría de los conjuntos vagos de Max Black, otro filósofo cuántico, sin olvidar la fundamental aportación del polaco Jan Lukasiewicz, creador de la lógica multivaluada, influyeron para que, entrada ya la segunda mitad del presente siglo, Zadeh publicase su famoso ensayo "Fuzzy Sets", en "Informations and Control".

Mientras que Russell y Black utilizaron el término vagueness (vaguedad, vago) para referirse a la nueva lógica o a para calificar a los conjuntos en la teorización sobre los mismos, Zadeh prefirió el término fuzzy (borroso, difuminado) para denominar a sus conjuntos y a la lógica en la que se apoya su análisis.

A partir de la publicación, en 1973, de la teoría básica de los controladores borrosos de Zadeh, otros investigadores comenzaron a aplicar la lógica borrosa a diversos procesos, como por ejemplo, al control de procesos en un sistema de control de vapor. También podemos resaltar la aplicación, en 1980, de esta técnica al control de hornos rotativos en una cementera.

Uno de los países donde más éxito ha tenido los sistemas borrosos ha sido en Japón. Empresas como Fuji Elec. & TIT han desarrollado aplicaciones de control fuzzy para el proceso de purificación del agua, Hitachi con una aplicación de control fuzzy para el Metro en Sendai City o Matsushita con una aplicación de control fuzzy para la unidad de suministro de agua caliente para uso doméstico.

Merece una mención especial la creación de LIFE (Laboratory for International Fuzzy Engineering Research) en marzo de 1989, creado por el Ministerio de Comercio Internacional e Industria en Japón (MITI). El capital de LIFE es al 50% de compañías privadas japonesas y del propio Ministerio, y su presidente es miembro del Instituto de Tecnología de Tokio (TIT). En su sede trabajan en la actualidad alrededor de 30 investigadores a tiempo completo.

Pero también en USA las empresas han comenzado a aplicar la lógica borrosa a sus desarrollos y proyectos. Entre otras encontramos a la NASA, Boeing, Rochwell, Bell o a Ford Motor Co., que experimenta con un sistema de aparcamiento automático para camiones con remolque.

Introducción a la Lógica Borrosa o Difusa

Debido a la variedad de sus aplicaciones la lógica difusa (llamada también Lógica Borrosa) o Fuzzy Logic parece estar introducida en todos los sectores; control de complejos procesos industriales, diseño de dispositivos artificiales de deducción automática, construcción de artefactos electrónicos de uso doméstico y de entretenimiento, sistemas de diagnóstico, entre otros. Este hecho se hace cada día más evidente si se observa el gran número de patentes industriales de mecanismos basados en la lógica difusa expedidas desde hace, por lo menos, una década y media.En los últimos años se han investigado y desarrollado diversas tecnologías relacionadas con funciones y características humanas de campos cercanos al psicológico (inteligencia artificial) y a los procesos biológicos (redes neuronales, algoritmos genéticos y programación evolutiva). Estas tecnologías conocidas como "tecnologías inteligentes" representan el conocimiento de una forma a la vez entendible por los humanos y manejable por los sistemas informáticos.

La lógica difusa es el elemento de desarrollo de dichas tecnologías. Se podría considerar como un lenguaje que permite trasladar sentencias sofisticadas del lenguaje natural a un formalismo matemático. El conocimiento se adquiere y se trabaja con él, de una manera inferencial y deductiva, por medio de un razonamiento simbólico. Obteniéndose, para la resolución de un problema, un conjunto de hechos inciertos denominados conjuntos difusos y a sus reglas lógica difusa.

En los años 60, en la Universidad de California en Berkeley, Lotfi A. Zadeh introdujo el concepto de la lógica difusa guiado por el principio de que las matemáticas pueden ser usadas para encadenar el lenguaje con la inteligencia humana. Algunos conceptos pueden ser mejor definidos en términos de palabras, que por matemáticas; la lógica difusa y su expresión en conjuntos difusos, proveen una disciplina que puede construir mejores modelos de la realidad.

La lógica difusa, o más bien, las lógicas difusas, pues habría que hablar de ellas en plural, son básicamente lógicas multivaluadas que amplifican los enunciados de las lógicas clásicas. Las clásicas imponen a sus enunciados únicamente los valores falso o verdadero y de esta manera han modelado satisfactoriamente una gran parte del razonamiento "natural". Pero el razonamiento humano utiliza valores de verdad que no tienen porque ser necesariamente "tan deterministas". Por medio de la lógica difusa pueden formularse matemáticamente nociones como "un poco caliente" o "muy frío", de forma que sean procesadas por computadoras y cuantificar expresiones humanas vagas, tales como "muy alto" o "luz brillante". Pudiéndose, de esta forma, o más bien, intentándose aplicar la forma de pensar del ser humano a la programación de computadores, sensores, chips, etc. Esta lógica permite cuantificar las descripciones imprecisas que se usan en el lenguaje y las transiciones graduales en los electrodomésticos como "ir de agua sucia" a "agua limpia" en una lavadora, pudiéndose así ajustar los ciclos de lavado a través de sensores. La habilidad de la lógica difusa para procesar valores parciales de verdad ha sido de gran ayuda para la ingeniería. En conclusión, las lógicas difusas crean aproximaciones matemáticas en la resolución de ciertos tipos de problemas, produciendo resultados exactos a partir de datos imprecisos, siendo por ello, especialmente útiles en aplicaciones de tipo electrónico e informático.La aplicación del adjetivo "difusa" o "borrosa" es debida a que los valores de verdad no-deterministas utilizados en las lógicas difusas tienen mayoritariamente una connotación de incertidumbre. Por lo que se equipara la incertidumbre con la difusidad, es decir, con la propiedad de indeterminismo. Un elemento, por lo tanto, puede estar lleno de incertidumbre, es decir, de difusidad. Eso no quiere decir que los valores de verdad asumidos por enunciados no deterministas, sean desconocidos. De hecho, lo difuso puede entenderse como la posibilidad de asignar más valores de verdad a los enunciados que "falso" o "verdadero" e incluso en determinadas áreas de conocimiento, estos enunciados van asociados a valores de verdad que son grados de veracidad o falsedad.

Resumiendo, las lógicas difusas son tipos especiales de lógicas multivaluadas que pueden llegar a redefinir los grados de veracidad de los enunciados de salida conforme se refinan los de los de entrada, por lo que algunos sistemas de lógica difusa aparentan una labor de aprendizaje, y son excelentes mecanismos de control de procesos. La inteligencia artificial, fundamentada en el concepto "Todo es cuestión de grado", es donde podemos encuadrar desde un punto de vista tecnológico a las lógicas borrosas.

Conceptos y operaciones con los que trabaja la Lógica Borrosa o Difusa.

Intervalos de Confianza: Constituyen los datos y valores con los cuales trabaja la Lógica Borrosa, pueden ser intervalos formados solos por dos números, números borrosos triangulares o números borrosos trapezoidales.

Niveles de Presunción o a corte: Expresan los niveles de presición con los que son dados los números borrosos, desde 0 (total impresición) hasta 1(total presición).

Evaluación: Asociación de un valor numérico que puede ser negativo, positivo o nulo a un objetivo concreto o abstracto realizado por un experto. Correspondencia entre un valor borroso y un estado real.

Valuación: Expresión de un nivel de verdad, que toma valores del intervalo de confianza (0,1). El nivel de presición que se le hace corresponder a la evaluación dada por los expertos.

Adición (con números Reales en su conjunto):

[a1; a2]+ [b1+ b2]= [a1+ b1; a2 + b2]

Sustracción:

[a1; a2]- [b1+ b2]= [a1- b2; a2 – b1]

Multiplicación:

[a1; a2]* [b1+ b2]= [mín (a1* b1; a1* b2; a2* b1; a2* b2); máx (a1* b1; a1* b2; a2* b1; a2* b2)]

División:

A/B= A* B-1

Donde B-1= [mín (1/a1; 1/a2); máx (1/a1; 1/a2)]

La noción del Expertón

Primeramente se ha de tener una valoración o un nivel de cualidad de cada alternativa a partir del criterio definido por parte de cada una de las personas seleccionadas expertas, obteniendo su apreciación mediante un intervalo. La escala de posiciones de once valores, denominada endecadaria es una de las más utilizadas ya que establece una buena matización, pues no es ni demasiado reducida ni excesivamente amplia, aunque el investigador tiene la opción de escoger otra escala con diferente cantidad de valores, donde a cada uno se le hace pertenecer una expresión semántica que lo defina.

• 0: Excelente

• 0.1: Muy bien

• 0.2: Prácticamente bien

• 0.3: Casi bien

• 0.4: Bastante bien

• 0.5: Ni bien ni mal

• 0.6: Bastante mal

• 0.7: Casi mal

• 0.8: Prácticamente mal

• 0.9: Muy mal

• 1: Pésimo

Se confecciona una tabla de frecuencias, a partir de los valores dados por los expertos, utilizando la correspondencia semántica. En la misma se pone de manifiesto la veces que cada experto ha asignado el mismo valor de la escala endecadaria, tanto en relación con los extremos inferiores como superiores de los intervalos.

Límite Inferior del intervalo Límite Superior del Intervalo

Seguidamente se normalizan estos valores de frecuencias, dividiendo cada valor por el número de expertos, determinándose así las frecuencias normalizadas que se colocarían en otra tabla semejante a la anterior para finalmente obtener la función acumulada complementaria, las acumulaciones se determinan a partir del nivel uno (1), en lugar de hacerlo a partir del nivel cero (0) también en una tabla como la inicial. Luego la sumatoria de los valores de ambas columnas de la tabla de función acumulada complementaria me permite obtener un intervalo, denominado Esperanza Matemática, en el cual queda comprendida la evaluación de un número determinado de expertos respecto a un mismo criterio.

A continuación se presenta un ejemplo para lograr una mejor comprensión.

Tabla 1: Expertón. Determinación de la Esperanza Matemática con cuatro expertos

La Esperanza Matemática está representada a través del intervalo (5.25, 6.75)

Bibliografía:

• Material docente utilizado por el autor en sus clases de "Herramientas gerenciales para toma de decisiones".

Autor:

Dr. C. Vladimir Vega Falcón

(CONAS)