El calculo moderno de una y varias variables con la razon de continuidad

PRÓLOGO

Estimado(a) lector(a), el libro que en este momento se está poniendo en sus manos no está pensado para enseñarle CÁLCULO. Está pensado para que usted, como matemático, tenga una idea de cómo sería la enseñanza del nuevo cálculo, o CÁLCULO MODERNO, con la razón de continuidad. Dicha razón tendrá, por el momento, el símbolo prestado del copyright, ?. Se ha tomado este símbolo, momentáneamente, por ser muy parecido a un cero y, además, tiene una c en su interior; por lo que lo podemos llamar: el cero (0) de la continuidad (c) o, por darle un nombre momentáneo, grillete o eslabón. Ahora bien, ¿cuáles son las razones para enseñar el cálculo con un número que alguien pudiera pensar que no existe en la realidad? Estas razones se explican a continuación.

En primer lugar, este número sí existe y su demostración de existencia es muy sencilla; claro está, una vez que ha sido rota la camisa de fuerza que significaba la hipótesis del continuo del gran George Cantor. Ya que al demostrarse que el conjunto N tiene más elementos que N*, entonces podemos darle un símbolo al último natural; al igual que se ha hecho con el primer transfinito. No obstante, si alguien pretendiera imponer la idea de que es imposible darle un símbolo al último natural porque éste no existe, entonces tampoco se le debe dar un símbolo al primer transfinito, porque dicho primer transfinito es mayor que todo natural. Y si no existe el último natural (en lo infinito), tampoco existirá un número que es mayor que éste.

En segundo lugar, si este número (razón de continuidad) no existiera, sería imaginario, tal como lo es el número i = raíz de -1 . Y ya conocemos la impresionante teoría de números complejos que dio como resultado aceptar al número i, el cual no existe sino en la abstracción del matemático; otro tanto sucedería con el número ?.

Ahora bien, alguien se podría preguntar ¿qué pasó, entonces, con las demostraciones de Godel y Cohen sobre la hipótesis del continuo? La respuesta no la sé, pero, podría ser muy simple: ese término denominado infinito. En efecto, cada vez que se trabaja con una operación cuyos pasos son numerables, ésta se termina en el infinito; cuando n toma su máximo valor, el cual, en este texto, se denota por w (? = À0 – 1). Sin embargo, al no conocer esto, decimos que dicha operación continúa indefinidamente (sin fin) y que, por tanto, contiene a todos los pasos posibles. Este es el error que todos cometemos por culpa del bendito término infinito. Y de eso no escapó K. Godel en su demostración sobre la hipótesis del continuo. Sea el motivo que fuere, Godel hizo algo y ya está hecho. Describamos ahora, a groso modo, los beneficios que la razón de continuidad le proporciona al Cálculo diferencial e integral.

En lo que concierne a la teoría de límites, la razón de continuidad nos permite calcular, con relativa facilidad, el límite de algunas indeterminaciones sin recurrir a la derivación. Asimismo, permite demostrar las fórmulas de L"hopital con mucha sencillez.

En la teoría de la derivación, nos permite prescindir del engorroso límite cuando Dx tiende a cero, puesto que Dx no se convierte en cero sino en ?, o en nÓ (nÎN*). Por otra parte, las fórmulas de las derivadas se deducen con mucha sencillez sin apelar a la teoría de límite. No queriendo decir con esto que ya la teoría de límites no deba estudiarse, sino que no se necesita en gran medida en la derivación.

En cuanto a la integración, nos permite prescindir de las fastidiosas particiones de conjuntos, las cuales involucran a la demostración de igualdad de las sumas, inferior y superior, de Rieman.

Todo lo anterior, visto en conjunto, es ya una buena justificación para inferir que dicha razón de continuidad es sumamente útil en la enseñanza del Cálculo. Sin embargo, uno de los mayores beneficios de dicho número es que ya no será necesario que el autor de un texto, del referido tema, necesite mandar al lector a consultar la demostración de tal o cual teorema en un libro de cálculo avanzado. Pues, los teoremas de más difícil demostración, como lo son el de la función implícita, de la función inversa, de las parciales mixtas, entre otros, se hacen sumamente fáciles de demostrar con el descrito número.

El libro se ha estructurado en ocho capítulos y un apéndice y uno de sus objetivos principales es corregir algunas fallas presentadas en el anterior libro "Hacia una matemáticas sin contradicciones" el cual se publicó en la página web monografías.com. El primer capítulo se ha titulado "los ceros residuales y la razón de continuidad". En éste se trata a la hipótesis del continuo y se demuestra su falsedad. Acá, conviene hacer la siguiente consideración: si dos conjuntos cualesquiera tienen igual cardinalidad, entonces tienen igual número de elementos. Es decir, si N y Z tienen, según Cantor, igual cardinalidad, entonces existen tantos naturales como enteros; o lo que es lo mismo, N y Z tienen la misma cantidad de elementos (¿?). No es posible decir que dos conjuntos infinitos tienen igual cardinalidad pero que uno tiene más elementos que el otro. Sin embargo, en los teoremas de este capítulo I se usará la cardinalidad sin importar el número de elementos. Hechas estas dos consideraciones, cabría preguntarse ¿qué pasa con la función con la cual se asegura que #Z = #N? La respuesta es que, aunque usted no lo crea, esta función no es sobreyectiva; la demostración está en el apartado 1.1.14 del capítulo I. Ahora bien, amigo lector, si en este momento usted se está diciendo que todo esto debe ser una locura, porque los matemáticos del pasado no se pueden haber equivocado, sepa y entienda que ellos no eran dioses sino personas como usted y yo. Pero, ¿por qué sucedió esto y no lo vimos? Sencillamente, porque a nadie se le ocurre objetar lo que un matemático brillante y connotado nos presenta. Por lo tanto, llenémonos de humildad y modestia y tratemos de seguir adelante aceptando la realidad aunque sea triste.

Del capítulo dos al capítulo seis se muestra la parte correspondiente al cálculo diferencial e integral. Y, por no ser un libro para el aprendizaje, como se dijo al comienzo, no se presentan problemas ni ejercicios para su resolución; sólo se calculan algunos límites de indeterminaciones para comprobar la utilidad de nuestro número?.

El capítulo siete se destina a poner en evidencia cómo el número Ó ocasiona lo que acá se ha llamado "el caos geométrico-algebraico". Se corrige un error presentado en un trabajo anterior sobre la trisección geométrica de un ángulo cualquiera, el cual se presentó en la página web monografías.com, y se demuestra por qué estos tres problemas clásicos no son resolubles con la regla y el compás.

El capítulo ocho se ha llamado fin de las geometrías no euclidianas porque en éste se demuestra la unicidad de la recta que pasa por dos puntos distintos con base en los postulados de incidencia, y se demuestra el postulado de las paralelas.

En el apéndice se dan a conocer los demás detalles correspondientes a la influencia de la razón de continuidad en la matemática; como lo son, entre otras cosas, la racionalidad de todos los números reales, la división por cero y el porqué de la existencia de indeterminaciones.

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