Evaluación financiera de proyectos en condiciones de riesgo e incertidumbre (página 2)

Para empezar, supongamos que la principal fuente de riesgo del proyecto proviene de la variabilidad de los flujos de caja estimados. Ello implica suponer que el resto de variables involucradas (vida útil, COK, inversión, etc.) son ciertas. Entonces, primero se debe determinar el valor esperado o promedio del flujo de caja de cada período, mediante la siguiente ecuación:

donde:

FCti: FC del período (í) si se diera el resultado (i).

s : Número de posibles resultados del FCt.

P¡: Probabilidad de ocurrencia del resultado (i).

Luego, a partir de los flujos de caja promedio se determina el valor esperado del VAN:

donde:

n: Número de períodos, r: Tasa de descuento.

Ejemplo 1.

Se tiene que elegir entre dos alternativas de inversión. La primera consiste en abrir una heladería y la segunda consiste en la elaboración de chocolates para su comercialización. Ambos requieren una inversión de S/. 100 y tienen un COK de 10%. Las distribuciones de los flujos de caja de cada proyecto son:

Cuadro1.a. DISTRIBUCIÓN DEL FLUJO DEL PROYECTO A

Heladería

Cuadro l.b. DISTRIBUCIÓN DEL FLUJO DEL PROYECTO B

Elaboración de chocolates

Así, para el proyecto A, los flujos de caja esperados son:

E(FCl) = (50×0.2) + (70×0.3) + (90×0.5) =76

E(FC2) = (60 x 0.4) + (80 x 0.3) + (100 x 0.3) = 78

La esperanza del VAN es

En el caso del proyecto B, los flujos de caja esperados son:

E{FCX) = (50×0.1) + (60×0.2) + (80×0.3) + (90×0.4) = 77

E(FC2 ) = (65 x 0.2) + (70 x 0.3) + (80 x 0.3) + (85 x 0.2) = 75

El valor esperado del VAN es:

Tomando en cuenta este planteamiento, el inversionista debería elegir el proyecto que tenga un mayor VAN esperado. En este caso, el inversionista escogería abrir la heladería (proyecto A).

Aunque este criterio de decisión parezca siempre correcto, esto no es así. Como se sabe, la esperanza matemática mide el valor al que tenderá determinada variable aleatoria cuando se repite varias veces un mismo experimento. Sin embargo, el proyecto en cuestión no se repetirá numerosas veces y el nivel de riesgo o grado de variabilidad de la rentabilidad es importante para que el inversionista tome una decisión. Por ello, es necesario desarrollar algún otro indicador que permita involucrar dicho nivel de riesgo.

El riesgo de un proyecto está asociado con la variabilidad de los beneficios netos estimados en cada período; es decir, el nivel de dispersión del beneficio promedio. A partir de la variabilidad de los flujos se podrá determinar la variabilidad del VAN, y calcular una medida para el nivel de riesgo involucrado.

Recordemos que la dispersión de una variable aleatoria puede ser calculada mediante la varianza. Así, la varianza de un flujo de caja sería

donde:

V(FQ): Varianza del FCt.

Y su desviación estándar

Así pues, si volvemos a nuestro ejemplo, las desviaciones de los flujos de caja serían las siguientes.

Para la heladería:

No obstante, lo que interesa es la desviación estándar del VAN. Para ello, calculamos primero la varianza del VAN mediante la siguiente ecuación

Para llegar a una forma más reducida de la varianza del VAN, es necesario determinar si existe o no dependencia entre los flujos de caja; es decir, si el valor que tome el flujo de caja en el periodo (i) depende o no de los valores que hayan tomado los flujos de caja de años anteriores.

Si asumimos que los flujos de cada período son independientes entre sí; es decir, que los factores aleatorios que explican el flujo de caja de un período no afectan el de otro, entonces su covarianza es igual a cero, por lo que la ecuación 5.) se reduce a:

Bajo este supuesto, la varianza del VAN de cada una de las alternativas de inversión para el Ejemplo 1. serían las siguientes.

Para la heladería:

Para la elaboración de chocolates:

Si por el contrario asumimos que los flujos de caja están correlacionados perfectamente; es decir, que la desviación de un flujo de caja en un determinado período implica que los flujos futuros se desviarán de la misma manera, entonces el coeficiente de correlación entre dos flujos de distintos períodos es igual a 1.

Reemplazando la igualdad anterior en la ecuación (IX.5.) se obtiene:

Bajo el supuesto de dependencia perfecta3, la varianza del VAN de cada una de las alternativas de inversión del Ejemplo.1. serían:

Para la heladería:

Para la elaboración de chocolates:

Los resultados del ejemplo desarrollado muestran que, en el caso de que los flujos de caja estén correlacionados perfecta y positivamente, la varianza del VAN es mayor. Ello se debe a que la variabilidad de cada flujo de caja se refuerza período a período, por lo que la dispersión del VAN se hace mayor.

Si la correlación entre los flujos de caja no fuese perfecta; es decir, p se encuentra comprendido en el rango (-l, l), siendo p diferente de cero, entonces la fórmula válida para calcular la varianza en este caso sería la fórmula (5.). Para poder aplicar esta fórmula será necesario hallar primero las covarianzas entre los flujos de caja a partir de la siguiente expresión:

Dejamos al lector la solución de este caso tomando en cuenta los datos el Ejemplo. 1.

La desviación estándar del VAN es, simplemente, la raíz cuadrada de las expresiones anteriores y mide la variabilidad del rendimiento del proyecto; es decir, su riesgo. De esta forma, serán menos riesgosos aquellos proyectos con una rentabilidad que presenta una menor dispersión o menor desviación estándar. Por tanto, retomando el Ejemplo .l., el proyecto A (heladería) es más riesgoso que el proyecto B (elaboración de chocolates). Sin embargo, así como la esperanza considera la rentabilidad promedio y deja de lado el riesgo, la desviación estándar es sólo una medida absoluta del riesgo que no considera los niveles de rentabilidad, por lo que no es conveniente tomar una decisión definitiva sobre la base de este indicador únicamente.

Por ello, bajo el supuesto de que el inversionista es adverso al riesgo4 la regla de decisión será elegir, entre dos proyectos con igual rentabilidad (igual VAN esperado), aquél que tenga menor riesgo (menos desviación); es decir, minimizar el riesgo dado un beneficio esperado. Igualmente, entre varios proyectos con un mismo nivel de riesgo, se elegirá aquel que genere mayor rentabilidad; es decir, se deberá maxi-mizar la rentabilidad sujeta a un nivel de riesgo. Ambas elecciones serán eficientes.

Así pues, el inversionista tendrá que moverse entre dos fuerzas de sentido opuesto: maximizar la esperanza del VAN y minimizar el riesgo. Estos objetivos son opuestos por el hecho de que, generalmente, las inversiones más arriesgadas son justamente las que generan mayor rentabilidad, mientras que las más seguras producen menores niveles de ganancia.

Cuando se tienen proyectos con distintos niveles esperados de rentabilidad y riesgo, la elección del mejor proyecto dependerá del grado de aversión al riesgo del inversionista; es decir, de su curva de utilidad o de indiferencia entre riesgo y rentabilidad. Sin embargo, en la mayoría de las veces dicha curva de indiferencia no se conoce. En estos casos se podrá utilizar el coeficiente de variabilidad para la toma de decisiones. Este se define como sigue:

Este coeficiente es una medida relativa de riesgo, que mide el grado de dispersión por unidad de rendimiento esperado. Así, se elegirán los proyectos con menor coeficiente de variabilidad.

Podemos estimar los coeficientes de variabilidad de cada una de las alternativas de inversión del ejemplo anterior.

Para el proyecto de helados:

Para el proyecto de chocolates:

Según este indicador se prefiere el proyecto de la elaboración de chocolates, pues posee un menor coeficiente de variabilidad. Esta elección tiene sentido a pesar de que la heladería tiene una mayor rentabilidad esperada, ya que la rentabilidad esperada extra que se obtiene con la heladería no compensa el mayor riesgo que implica realizar esta inversión en comparación con la elaboración de chocolates.

3. Distribución de probabilidad del VAN y la TIR

3.1. Distribución del VAN

Anteriormente se hizo el supuesto de que los flujos de caja de los proyectos riesgosos presentaban un comportamiento aleatorio. Para conocer el comportamiento probabilístico del VAN podemos aplicar el teorema del límite central, el cual afirma que una combinación lineal de variables aleatorias tiene una distribución normal cuando el número de variables tiende a infinito, aunque, en general, solamente es necesario

un número grande de ellas para que el teorema se cumpla. Dicho teorema puede aplicarse en el caso del VAN ya que, por definición, éste resulta de sumar los valores de los flujos de caja aleatorios descontados por el COK . Mientras más períodos tenga el proyecto, mayor será la normalidad del VAN, sin que tengan importancia las distribuciones de los distintos flujos de caja5.

Por tanto, si aceptamos como cierto el supuesto de normalidad del VAN éste tendría la siguiente distribución:

Gráfico IX.l.

Así, la distribución del VAN es

A partir de esta distribución se podrán realizar pruebas de hipótesis y construir intervalos de confianza.

3.1.1. La probabilidad de que el VAN sea mayor a un valor dado

Para determinar la probabilidad de que el VAN sea mayor, menor o igual a un valor dado (VANo), se estandariza la variable aleatoria VAN, conocidos los parámetros de su distribución normal. Así:

Para obtener la probabilidad recurrimos a la tabla de distribución normal y buscamos el valor obtenido para el cociente anterior 6.

Un caso particular se presenta cuando se quiere conocer la probabilidad de que el proyecto sea rentable; es decir, de que su VAN sea mayor a cero. En este caso, se estandariza la variable VAN de forma tal que:

Mientras mayor sea este cociente, aumenta la probabilidad de que el VAN resulte mayor a cero. Esto coincide con minimizar el CV pues cuanto menor sea éste, mayor es el cociente de la expresión anterior.

Para entender mejor este caso particular, se vuelve a tomar el Ejemplo l. que se utilizó para la primera parte del capítulo. Se requiere hallar las probabilidades de éxito para el proyecto A (la heladería) y para el proyecto B (la elaboración de chocolates).

Para la heladería

Para la elaboración de chocolates

Dadas las probabilidades de éxito, se escoge la elaboración de chocolates debido a que la probabilidad de que el VAN de este proyecto sea mayor que cero es mayor a la de la heladería. Este tipo de análisis nos permite tener más herramientas de decisión, además de ser una de las mejores y más precisas para llegar al objetivo buscado.

3.1.2. Intervalos de confianza

Un procedimiento de interés en el análisis de variabilidad de la rentabilidad consiste en construir un intervalo centrado sobre la media de la variable dado un determinado nivel de confianza.

Estos intervalos brindan información respecto a los valores entre los que se puede mover la rentabilidad esperada del proyecto, teniéndose una probabilidad de ocurrencia asociada.

Debido a que el VAN es una variable normal, estadísticamente se pueden construir los siguientes intervalos:

剉ntervalo de 68% de confianza:

E(VAN)~ 1xs (VAN)< VAN < e(VAN)+Ixs (VAN)

• Intervalo de 95% de confianza:

e(VAN)-L96xs (VAN)< VAN r0), memores niveles de VAN (VAN1 r0 ]

En el craso en que VANo sea igual a cero, entonces la tasa de descuento sería justamente igual al la TIR y sería cierto que:

P[VAN < 0]= P[C0K > TIR]

Esto demuestra que el comportamiento probabilística del VAN y la TIR es el mismo, por lo que la tasa interna de retorno también sigue una distribución normal definida por:

TIR ~ N(E[TIR]; s2 [TIR])

Sin embargo, los parámetros de la distribución de la TIR no se conocen. Para obtenerlos, es posible utilizar los estadísticos que definen la distribución del VAN

De esta manera, es posible determinar el valor esperado de la TIR, equivalente a aquél cuya probabilidad acumulada de ocurrencia sea de 50%. Dicho valor será la TIR media.

Con una probabilidad del 68%, se puede construir el intervalo de confianza E[VAN] ±? [VAN].

La desviación estándar de la TIR estará dada por la distancia existente entre las tasas de interés correspondientes a las probabilidades acumuladas

de la distribución del VAN

Para aclarar este punto, derivaremos la distribución de la TIR para el caso del proyecto de la heladería del Ejemplo.l.

Lo primero que se debe hacer es obtener el VAN y la desviación estándar de este proyecto para distintos niveles del COK. Luego se determina la probabilidad de que el VAN sea rentable para cada nivel de COK. Para ello, se divide la esperanza entre la desviación estándar y con el valor obtenido se usa la tabla de la distribución normal estándar con la cual se obtendrán las probabilidades que estamos buscando. De esta forma:

Cuadro IX.2.

A partir de este cuadro se puede decir que:

P[TIR> 0.34] = 50.42% y

P[TIR> 0.35] = 47.55%

Con estos valores podemos obtener el valor del COK tal que P[TIR>COK]=0.5, que representaría la tir

Para ello, interpolamos:COK Prob.

0,34 0.5042

x = 0.3415

X 0,5

0,35 0.4755

Y ya que p[tir>tir] = 0.5; entonces =0.3415 = 34.15%.

Luego, dado que P[TIR > 0.2] = 84.28% y P[TIR > 0.21] = 82.53%, sería posible determinar el valor del COK asociado a una probabilidad de 84% volviendo a interpolar. De esta manera obtenemos un valor de 20.16%.

Como p[z>-l]= 0.84, entonces:

=0.1399 = 13.99%

Por lo tanto: TIR ~ n(?tir = 34.15%, s2TIR = (13.99%)2)

A partir de estos valores, se pueden obtener las probabilidades de éxito del proyecto, intervalos de confianza de la TIR, etc. Para este caso, la probabilidad de éxito es7:

7. Si se recuerda se nota cierta diferencia respecto a la probabilidad de éxito calculada sobre la base de la distribución del VAN ya que ésta era 95.54%. Lo que sucede es que para llegar a la distribución de la TIR se deben realizar ciertas aproximaciones tales como la interpolación, donde definitivamente se pierde cierta exactitud. Además, la diferencia no es relevante en el sentido de que la magnitud de ésta no es grande (es de 0.19%).

Por otro lado, el intervalo de confianza para la distribución de la TIR (con un nivel de confianza del 95%) es:

剌ímite superior del intervalo:

E(TIR)+1.96xs (tIR) = 34.15% + 1.96×13.99% = 61.57%

剌ímite inferior del intervalo:

E(TIR)-1.96x?{TIR) = 34.15% -1.96x 13.99% = 6.73%

Por lo tanto, la tasa interna de retorno del proyecto de helados se ubicará, con un 95% de confianza, entre 6.73% y 61.57%.

4. Métodos de medición de la rentabilidad de una inversión bajo situaciones riesgosas

Son básicamente dos los métodos que se utilizan para corregir la estimación de la rentabilidad de un proyecto riesgoso: el ajuste de la tasa de descuento y la equivalencia a la certidumbre. Estos son métodos alternativos que no deben ser aplicados a la vez, a fin de evitar una doble corrección del problema.

4.1. Método de ajuste de la tasa de descuento

Una forma de incorporar el riesgo en el análisis de proyectos es ajustar la tasa de descuento. Por definición, el COK es la tasa de rentabilidad de la mejor alternativa especulativa de inversión de igual riesgo. Anteriormente, cuando se trabajó con proyectos no riesgosos, el COK que se utilizaba era la mejor alternativa especulativa libre de riesgo; no obstante, sería incorrecto utilizar esta última para descontar flujos de caja de proyectos riesgosos. Es más, resulta lógico pensar que cuanto mayor sea el riesgo asociado a un proyecto, mayor será la rentabilidad mínima exigida y, por ende, se descontarán los flujos de caja a una tasa de interés mayor. Así pues, la tasa de descuento será una función creciente del riesgo de la inversión.

El diferencial entre la tasa de descuento que se aplica a los proyectos sin riesgo (tasa libre de riesgo) y la que se utiliza en aquellos que sí son riesgosos se conoce como prima por riesgo. El problema que se presenta aquí es cómo determinar dicha prima por riesgo; es decir, cuánto más se debería exigir a un proyecto para aceptar el riesgo involucrado. La determinación de dicha prima no sólo va a depender del nivel de riesgo del proyecto, sino también de las preferencias del inversionista. Es decir, esta determinación es subjetiva.

Entonces, la nueva tasa de descuento ajustada al riesgo será:

donde rf es la tasa libre de riesgo y p la prima por riesgo.

nueva formula del VAN sería:

Podemos retomar el ejemplo de la heladería y la elaboración de chocolates y suponer que a partir de las preferencias del inversionista elaboramos una curva de indiferencia que relaciona el riesgo (medido, por ejemplo, por el coeficiente de variabilidad) y la tasa de descuento pertinente para un proyecto, como se aprecia en el siguiente gráfico

GRAFICO 4

Dicha curva de indiferencia indica que en el caso de proyectos libres de riesgo (CV=0), la tasa de descuento pertinente sería del 10%. Asimismo, para proyectos con un coeficiente de variabilidad de 0.45, se exigiría una tasa de descuento ajustada del 15%, que incluye una prima por riesgo del 5%. Igualmente, proyectos con un CV de 0.58 involucran para el inversionista una tasa de descuento del 18%.

Por lo tanto, el VAN del proyecto A (poner en marcha una heladería) es:

Para el proyecto B (elaboración de chocolates) el VAN ajustado por riesgo será:

Ambos proyectos son rentables, siendo el de mayor rentabilidad el proyecto B (elaboración de chocolates). Es importante notar que las tasas de descuento utilizadas son diferentes debido a que los proyectos presentan diferentes niveles de riesgo, lo cual se ve reflejado en diferentes CV: 0.58 en el caso del proyecto A y 0.45 en el del proyecto B.

Si se utilizase el criterio de la tasa interna de rentabilidad, se procede de modo similar. Se estima la tasa interna de rentabilidad igualando el VAN a cero y luego se compara dicho valor con la tasa de descuento ajustada. Será conveniente llevar a cabo la inversión si la TIR del proyecto es mayor a la tasa de descuento ajustada del mismo.

La dificultad principal de este método radica en determinar la prima por riesgo (p). Dicha prima dependerá de la apreciación personal del inversionista y, por lo tanto, llevará implícito un elevado margen de subjetividad. Asimismo, cabe anotar que esta prima no tiene que ser necesariamente constante a lo largo del tiempo. Es decir, puede cambiar por diferentes razones, incluyendo tanto posibles cambios en las condiciones del mercado de capitales como también posibles modificaciones en las preferencias del inversionista.

4.2. Método del equivalente a la certidumbre

Un método alternativo para incorporar el riesgo en el análisis de proyectos de inversión es ajustar los flujos de caja en función del riesgo involucrado. El principio que se encuentra detrás de este método supone que un sol seguro reporta mayor utilidad que uno riesgoso. Por ello, este método plantea ajustar los flujos de caja riesgosos de un proyecto por un factor que mida el grado de indiferencia entre recibir un ingreso riesgoso (mayor) que uno cierto (sin riesgo). Por ejemplo, se le pide a una persona elegir entre las dos alternativas siguientes: (i) lanzar una moneda y ganar S/. 50.00 si resulta cara o no ganar ni perder nada si resulta sello y, (II) recibir directamente S/. 5.00. Dada esta información, se esperaría que la persona elija la primera alternativa, pues con ella la ganancia esperada es de S/. 25 (si asumimos que la moneda es equiprobable). Sin embargo, a medida que la ganancia ofrecida en la segunda alternativa se incremente, la persona podrá elegir esta segunda alternativa. Es decir, se llegará a un punto en que la persona sea indiferente al elegir entre ambas alternativas.

Supongamos que dicho punto ocurre cuando la ganancia de la segunda alternativa es S/. 20. Es importante que la ganancia cierta sea menor a la esperada dado que, generalmente, se asume que la persona es adversa al riesgo, por lo que está dispuesta a sacrificar una porción de rentabilidad a cambio de reducir el nivel del mismo. Según este ejemplo, se puede deducir que para dicha persona es indiferente recibir S/. 25 riesgosos que S/. 20 sin riesgo. El cociente entre el beneficio cierto y el beneficio riesgoso se conoce como factor de ajuste. Para el caso de la evaluación de proyectos dicho factor se define como:

Por lo que se verifica la siguiente relación:

FC, cierto =,x FC, incierto

siendo 0 < , < 1

La relación anterior muestra que el factor de ajuste es aquel que convierte a un flujo riesgoso en un flujo sin riesgo equivalente al anterior. Lógicamente, este factor de ajuste cambia en forma inversa según el grado de riesgo asociado al flujo de caja y el grado de aversión al riesgo del inversionista. Así, mientras mayor sea el riesgo de flujo entonces menor será su flujo cierto equivalente; es decir, el factor de ajuste será menor. A su vez, mientras más adverso al riesgo sea el inversionista, estará dispuesto a recibir un menor flujo de caja cierto por uno riesgoso, por lo que el factor de ajuste será menor.

De esta manera, para obtener el VAN ajustado por riesgo se deben ajustar previamente sus flujos con los factores de ajuste respectivos y descontarlos luego con la tasa libre de riesgo:

donde:

rf = tasa libre de riesgo.

i = factor de ajuste del FC del período (i).

Nótese que los flujos de caja ajustados deben ser descontados por la tasa libre de riesgo y no por la tasa de descuento ajustada. De lo contrario, se estarían combinando equivocadamente los dos métodos expuestos, lo que implicaría una doble corrección del riesgo y la subestimación del rendimiento del proyecto. Asimismo, no hay nada que indique, a priori, que los flujos de caja más lejanos en el tiempo sean a su vez más riesgosos, por lo que el factor de ajuste no tiene necesariamente que decrecer en el tiempo.

Ahora bien, de manera similar al método expuesto anteriormente, el principal inconveniente de este método se halla en la dificultad de especificar los coeficientes de ajuste para los flujos de caja. Su determinación es subjetiva, al igual que la determinación de la prima por riesgo en el caso anterior. Sin embargo, al igual que en el caso anterior, los factores de ajuste pueden determinarse de distinta manera: por intuición y experiencia del inversionista, según el coeficiente de variabilidad de los flujos de caja, mediante la función de utilidad del inversionista, y otras más. Además, es importante mencionar que los factores de ajuste pueden también variar a lo largo del tiempo.

Para comprender aún mejor el procedimiento de este método, se utilizará nuevamente el Ejemplo.l. Si se desea obtener el VAN del proyecto A (puesta en marcha de una heladería) mediante este método, se tendrían que conocer los factores de ajuste de los flujos de caja de los períodos 1 y 2. Supongamos que a.x = 0.92 y a2 = 0.88. Entonces:

Como el VAN es mayor que cero, entonces se debe llevar a cabo el proyecto. Nótese que el VAN ajustado según el primer método y según este segundo método resultan ser prácticamente iguales. Ello debería esperarse siempre que el inversionista sea consistente en su comportamiento frente al riesgo.

5. Diferentes métodos de análisis de rentabilidad bajo situaciones de incertidumbre

5.1. Los árboles de decisión

Dentro de la mayoría de inversiones, se deben tomar una serie de decisiones a lo largo de la vida útil del proyecto que influyen, a su vez, en otras decisiones. Así pues, una decisión está condicionada por aquellas tomadas anteriormente. De la misma manera, éstas condicionan las decisiones que se tomarán en el futuro. En este caso se habla de decisiones de inversión secuenciales.

El árbol de decisión permite representar y analizar decisiones secuenciales a lo largo del período considerado. Este es un método gráfico que está formado por 'ramas', que representan las alternativas de desarrollo del proyecto, y por 'nodos de decisión', que representan las instancias donde se debe tomar una decisión.

La utilidad de este método radica en que permite descomponer un problema grande y difícil de evaluar en varios problemas pequeños y de fácil comprensión. Su objetivo es escoger la mejor estrategia de desarrollo del proyecto. Para ello, se selecciona el camino que conduzca a la mayor rentabilidad (mayor VAN o cualquier otro indicador de rentabilidad). En este sentido, el árbol muestra claramente todas las combinaciones posibles de sucesos y, a través del cálculo del VAN (u otro indicador, según se crea conveniente), permite comparar los resultados esperados para poder decidir entre las estrategias de inversión alternativas.

Cabe destacar que esta técnica gráfica requiere ser resuelta de atrás hacia delante; es decir, tomando primero las decisiones más alejadas del 'tronco' o nodo central. Esta estrategia responde a la necesidad de tener soluciones definitivas para cada 'rama' antes de llegar a la conclusión final asociada con el 'tronco'. Los ejemplos que se verán a continuación aclararán estos conceptos.

5.1.1. Árbol de decisión determinístico

Este es el caso más simple de árboles de decisión ya que los resultados de cada nodo son absolutamente ciertos y no hay ningún factor aleatorio en ellos. El ejemplo típico de un árbol de decisión determinístico es el de un viajero que quiere trasladarse de la ciudad A a la ciudad K y la distancia de cada una de las alternativas es totalmente cierta. Sobre la base de esta información, el viajero debe decidir qué camino tomar con el fin de minimizar la distancia que tiene que recorrer para llegar a su destino. Para lograr su objetivo tiene varias opciones, como lo muestra el siguiente árbol:

Gráfico.5

Para resolver este tipo de problemas es conveniente empezar por la ciudad destino (K) hasta llegar a la ciudad de partida (A) y elegir la mejor ruta. Por ejemplo, si el viajero llegara a encontrarse en I se tienen dos opciones para llegar a K: se puede llegar directamente, lo que significaría una distancia de 6 km., o puede pasar por J, lo que implica una distancia de 5 km. (1 km. para llegar a J y 4 km. para llegar de J a K). Por lo tanto, el viajero escogerá pasar por J, ya que este camino tiene una distancia menor. Si el viajero se encuentra en J, nuevamente, puede escoger entre ir directamente o pasar por I. En este caso, el viajero decidirá ir directamente debido a que la distancia que tendría que recorrer es menor (solamente 4 km.). Si, por el contrario, el viajero se encuentra en H sólo tiene la opción de ir directamente a K, por lo que tendría que recorrer una distancia de 7 km.

Nuevamente se realiza el mismo análisis pero un paso atrás. Así, si se encuentra en D tiene dos opciones: dirigirse a H o a I. En este caso, elegirá ir por I ya que la distancia entre D e I es de 3 km. y luego la ruta más corta para llegar de I a K es de 5 km., lo que hace un total de 8 km. Por otro lado, si decidiera pasar por H, la distancia que tendría que recorrer es de 9 km. (2 km. para llegar a H y 7 km. para llegar de H a K). Si el viajero se encontrase en la ciudad E, sólo tendría la opción de dirigirse a I con lo que la distancia entre E y K sería de 10 km. (5 km. para llegar a I y los otros 5 km. que forman parte de la ruta más corta entre I y K). Encontrándose en G sólo tendría la opción de dirigirse a J, por lo que la distancia que tendría que recorrer es de 12 km. Si de algún modo llega a F, se encuentra con dos opciones: ir a I o dirigirse directamente a J. El viajero preferirá dirigirse directamente a J, ya que la distancia para llegar a K es de solamente 8 km., en lugar de los 11 km. que tendría que recorrer si decidiera pasar por I.

Este análisis se repite hasta llegar a A, donde se determina el camino más corto entre A y K. Este camino más corto implica pasar por las ciudades A, C, F, J y K, y la distancia es de 19 km.

5.1.2. Árboles de decisión con resultados probabilísticos

En la situación que se acaba de analizar los resultados eran totalmente ciertos. Por ejemplo, para llegar de E a I sólo se tiene que recorrer una distancia de 5 km. y esta distancia es cierta y conocida. No obstante, cuando se analizan proyectos por lo general no se presenta esta certidumbre. Por ello, es necesario incorporar el riesgo a las decisiones secuenciales. Esta es una variante muy útil de los árboles de decisión. Ahora, en cada nodo no se sabe de antemano cual será el resultado final tras elegir cierta estrategia.

Ejemplo.2.

Una ilustración de este caso es el lanzamiento de un nuevo producto al mercado. Suponga que si se lanzara el producto se requeriría decidir si dicho lanzamiento sería a nivel nacional o regional. Además, luego de efectuar el lanzamiento, se podría enfrentar una demanda alta, normal o baja. En el caso que el lanzamiento sea regional y la demanda sea alta, se enfrentaría nuevamente la posibilidad de efectuar un lanzamiento nacional. El siguiente árbol de decisión permite ver esta situación de manera más comprensible.

Gráfico 6

Para elaborar este árbol de decisión, primero se deben establecer todos los posibles caminos de desarrollo del proyecto. El primer nodo de decisión (1) es donde se decide si se lleva a cabo el proyecto o no. De este primer nodo se desprenden dos ramas: hacer el proyecto y no hacer el proyecto. La rama de no hacer el proyecto no lleva a ningún otro nodo de decisión, ya que el análisis terminaría allí. Si se sigue la rama de llevar a cabo el proyecto se llega al segundo nodo (2), donde se tiene que decidir si el nuevo producto se lanza a nivel nacional o regional; estas dos posibles decisiones forman dos ramas y cada una de ellas presenta a su vez tres situaciones: demanda alta, normal o baja. Si se decide por el lanzamiento a nivel nacional, independientemente del estado de la demanda, no hay más caminos para el proyecto. Sin embargo, si se elige el lanzamiento a nivel regional, es posible un posterior lanzamiento nacional cuando la demanda resulta alta. Este es el tercer nodo de decisión (3), de donde se desprenden las dos ramas: ampliar a nivel nacional o continuar a nivel regional. Nuevamente, de cada rama se desprenden tres ramas que representan los tres posibles estados de la demanda.

Dado que se cuenta con el VAN de los distintos resultados y su probabilidad asociada, se puede decidir la estrategia a seguir por parte del evaluador. El Gráfico.7. muestra, para cada resultado, el VAN y la probabilidad asociada entre paréntesis para cada rama del árbol8.El análisis de este árbol se inicia con la última decisión o nodo (3); es decir, la conveniencia de ampliar el lanzamiento a nivel nacional si la demanda resultó alta para un primer lanzamiento regional. Para decidir esta ampliación se calcula el VAN esperado para cada una de las dos ramas que parten del nodo de decisión respectivo. Así, el VAN esperado de ampliar a nivel nacional la cobertura del producto sería:

VAN de ampliar= (4,000 ) x (0.6)+( 1,000 ) x (0.1)-( 2,000 ) x (0.3)

= S/. 1,900

Grafico 7.

Por otro lado, el VAN esperado de continuar con la cobertura regional es de S/. 1,600:

VAN de continuar = (2,000) x (0.6) + (1,500) x (0.1) + (1,000) x (0.3) = S/. 1,600

Entonces, sobre la base del VAN esperado, se escoge ampliar la cobertura a nivel nacional dada una situación con demanda alta cuando el lanzamiento inicial del producto es a nivel regional. El árbol, una vez analizado el último nodo de decisión, queda como sigue:

GRAFICO 8

Ahora, se debe analizar el nodo de decisión anterior al que acabamos de analizar (el segundo nodo de decisión). Ahora se decidirá entre realizar el lanzamiento a nivel regional o nacional. Dadas las estimaciones ya realizadas, el VAN esperado del lanzamiento a nivel regional es de S/. 1,730:

VAN regional = (1,900) x (0.7) +(2,000) x (0.1) +(1,000) x (0.2) = S/. 1,730

Mientras que el VAN esperado del lanzamiento a nivel nacional es de S/. 1,620:

VAN nacional = (5,000 )x (o.5)+ (100 )x (0.2)- (3,000 )x (0.3) = S/. 1,620

De esta forma, se preferirá lanzar el producto a nivel regional bajo el criterio del VAN esperado. El árbol, luego de analizar el segundo nodo de decisión queda de la siguiente forma:

Gráfico IX.9

El último nodo de decisión es el primero, donde hay que decidir si el proyecto se lleva a cabo o no. Como el VAN de no hacer el proyecto es cero, se elige realizar el proyecto ya que su VAN esperado es positivo.

Finalmente, la estrategia a seguir es realizar el lanzamiento a nivel regional y, si las condiciones son buenas (demanda alta), ampliar la cobertura a nivel nacional. El VAN esperado de esta estrategia es S/. 1,730.

5.1.3. Arboles de decisión con probabilidades condicionales

Un uso adicional de los árboles de decisión es la determinación de la conveniencia de realizar estudios de mercado a fin de mejorar la información disponible para evaluar un proyecto. Para ello, resulta de gran utilidad el teorema de Bayes.

Este teorema establece que la probabilidad de que ocurra un evento A si B ya ocurrió es igual a la probabilidad de que ocurran A y B juntos dividida entre la probabilidad de que ocurra B, es decir:

En el caso poco común de que A y B fueran independientes, la ecuación cambiaría a la siguiente

Estas probabilidades condicionales son particularmente útiles porque permiten al evaluador determinar el grado potencial de efectividad de los estudios y la manera como éstos influirían en una mejor toma de decisiones.

Ejemplo 3.

Supongamos que una compañía de publicidad desea lanzar un nuevo producto al mercado pero no se conoce el comportamiento de su demanda, sólo se sabe que puede tomar dos formas: alta o baja. Por otro lado, cabe la posibilidad de que se realice una investigación que tiene un costo de S/. 1,000 para que estime el comportamiento de la demanda frente a este nuevo producto. El siguiente árbol refleja la situación de esta compañía:

Gráfico 10.

Para elaborar este árbol fue necesario, en primer lugar, establecer el primer nodo de decisión. Este nodo se desprende en tres ramas: no llevar a cabo el proyecto, llevar a cabo el proyecto sin ninguna investigación y realizar la investigación. Si se decide no hacer el proyecto, la rama finaliza allí. Si se decide llevar a cabo el proyecto sin realizar la investigación, se enfrentan dos posibles estados de la demanda: alta o baja. Finalmente, si se decide realizar la investigación, existen dos posibles respuestas de ésta: predicción alta o predicción baja, cada una de las cuales se representan por una rama.

El segundo nodo de decisión se encuentra luego de que la investigación haya dado su respuesta. Independientemente de la respuesta, se puede decidir entre llevar a cabo el proyecto o no. Si se decide por no hacer el proyecto la rama termina allí, pero si se decide llevar a cabo el proyecto, se enfrentan dos posibles estados de demanda: alta o baja.

Para determinar la decisión que la empresa publicitaria tomará, se deben estimar tanto las probabilidades de que la demanda sea alta o baja así como las probabilidades condicionales de que la investigación produzca resultados de certeza. Estas últimas probabilidades se muestran en el siguiente cuadro y surgen de la valoración de confianza que los evaluadores tienen sobre la investigación.

donde (a) y (b) indican que la investigación predice que la demanda será alta y baja, respectivamente, y A y B indican que la demanda efectivamente es alta y baja.

Una vez dadas las probabilidades de confianza en la investigación se necesitan las probabilidades conjuntas. Para calcularlas se aplica el teorema de Bayes

Por ejemplo, se tiene que la probabilidad de que la investigación prediga que la demanda será alta dado que la demanda realmente sea alta es de 90% y la probabilidad de que la demanda sea alta es de 50%. De aquí se obtiene una probabilidad conjunta de 45% (es decir, que la investigación prediga que la demanda será alta y que la demanda efectivamente sea alta). De esta misma manera, se obtienen todas las probabilidades conjuntas: de 15% para que la investigación prediga una demanda alta y que la demanda sea baja, 5% de que la investigación prediga que la demanda será baja y que ésta sea alta y 35% de que la investigación prediga que la demanda será baja y que esto se cumpla.

Luego, se obtiene la probabilidad de que la investigación prediga una demanda alta, que es la suma de P[a y A] con P[a y B]; es decir, 60%. De la misma forma se calcula la probabilidad de que la investigación prediga una demanda baja, que es de 40%.

Finalmente, para hallar las probabilidades condicionales de que la demanda sea alta o baja dado el resultado de los estudios, dividimos las probabilidades conjuntas que se han hallado entre las probabilidades que se acaban de hallar (de que la prueba prediga que la demanda será alta y baja). Así, la P[A/a] es igual a P[a y A] entre P[a]. Entonces, P[A/a] es 75%. El siguiente cuadro resume las probabilidades condicionales necesarias para tomar la decisión, que se calculan de la misma manera a la que se calculó P[A/a].

Cuadro 4.

Probabilidades condicionales

Una vez obtenidas todas las probabilidades necesarias, se retoma el árbol original en el que se pueden apreciar, además, los VAN de las distintas alternativas planteadas

Grafico 11.

Con esta información es posible calcular los VAN esperados para cada alternativa. Empezamos por el último nodo de decisión que es el tercero, donde hay dos instancias: cuando la investigación predice que la demanda será alta y cuando la predice baja. El VAN esperado de lanzar el producto bajo la predicción alta de la investigación es de S/. 1,625 que resulta de la siguiente operación:

VAN lanzar el producto = (0.75)x (3,000)- (0.25)x (2,500) = S/. 1,625

Como el VAN de no lanzar el producto cuando la investigación prediga que la demanda será alta es de -S/. 1,000, se decide entonces lanzar el producto bajo estas condiciones.

Por otro lado, cuando la investigación predice una demanda baja, el VAN esperado es de – S/. 1,812.5 tras lanzar el producto. Este valor se obtiene de la siguiente manera:

VAN lanzar el producto = (0.125) x (3,000) – (0.875) x (2,500) = -S/. 1,812.5

Dada tal situación se decide no lanzar el producto, ya que si no se lanza el VAN sería de – S/. 1,000.

El árbol de decisión se puede resumir como se muestra a continuación, luego de haber analizado el segundo nodo de decisión, tanto para la predicción alta como baja.

Gráfico12

Ahora, en el primer nodo decisión hay tres alternativas: no lanzar el producto, lanzar el producto (sin realizar la investigación) y realizar la investigación. El VAN esperado de realizar la investigación es de S/. 575, y se obtiene de la siguiente manera

VAN realizar la investigación = (0.6) x (1,625) – (0.4) x (1,000) = S/.575

El VAN esperado de lanzar el producto sin realizar la investigación es de S/. 1,250 y se obtiene de la misma forma que los anteriores.

Ahora, claramente se puede decidir. La estrategia a seguir será lanzar el producto sin hacer la investigación, ya que S/. 1,250 es mayor a S/. 575 (que resulta de realizar la investigación) y mayor que S/. 0 (que resulta de no lanzar el producto).

5.1.4. Ventajas y desventajas del análisis utilizando árboles de decisión

Entre las ventajas se tienen:

• Permite un análisis global del proyecto y revisar todas las estrategias viables para su implementación.

• Fomenta una revisión continua de la información disponible y hace evidente la necesidad de mejorarla y/o complementarla.

• Hace posible no sólo tomar la decisión inicial sino también realizar una continua evaluación de la decisión frente a cambios en las condiciones económicas a través del tiempo.

Si bien el método del árbol de decisión resulta muy útil, también tiene desventajas que deben ser consideradas antes de realizar un análisis utilizando este método.

• Deja de lado el análisis de factores cualitativos y de las decisiones más básicas, concentrándose en elementos cuantitativos de mayor complejidad.

Puede resultar muy compleja la consideración de todos los factores involucrados, situación bajo la cual fallaría como herramienta para la toma de decisiones

Es usual utilizar el VAN esperado como medida de rentabilidad por la facilidad que este indicador presenta en operaciones algebraicas sin alterar su significado final. No obstante, se excluyen posibles medidas de dispersión de la rentabilidad cuya inclusión harían muy complejo el análisis, si bien sería más exacto.

5.2. Análisis de sensibilidad

En ocasiones, se deben evaluar proyectos cuyas estimaciones se basan en factores que no son completamente seguros o ciertos, pero que tampoco tienen probabilidades definidas de ocurrencia. En estos casos, es necesario emplear métodos que permitan determinar posibles variaciones en la rentabilidad esperada debidas a cambios en dichos factores. Uno de estos métodos es el análisis de sensibilidad. Por medio de éste se trata de medir la sensibilidad de la rentabilidad calculada ante posibles variaciones de los factores que definen un proyecto: inversión, flujos netos de caja, COK, entre otros. Asimismo, se intenta estimar el grado de confianza de los resultados.

La evaluación de un proyecto será sensible a cambios en las variables cuando éstos alteren la decisión inicial sobre la realización o no del proyecto. Por ello, es muy importante realizar estudios de estimación más precisos en los factores relevantes, los que son capaces de modificar el resultado. Por el contrario, para aquellos factores que no sean relevantes (es decir, cuyas variaciones no afecten de manera significativa a la rentabilidad del proyecto y la decisión final) no será necesaria mayor investigación. Por ejemplo, si la demanda de determinado proyecto considerado originalmente rentable cae en 10% y, en consecuencia, el VAN cae más que proporcionalmente y se torna negativo, se puede decir que este proyecto es muy sensible a la demanda, ya que un cambio no tan drástico de ésta puede hacer que la decisión sobre llevar a cabo el proyecto se modifique. Entonces la demanda de este proyecto debe ser analizada con mayor detalle a fin de mejorar su proyección.

El análisis de sensibilidad puede clasificarse como unidimensional, si se analizan solamente las variaciones en una variable, o multidimensional, si se introducen variaciones en dos o más variables simultáneamente.

El análisis de sensibilidad se podrá llevar cabo de tres maneras, dependiendo de la cantidad de información con la que se cuente. Primero, se tiene el caso más sencillo, en el que no se conocen las probabilidades de variación de los factores relevantes y en el cual sólo será necesario estimar los valores límites que hacen que el proyecto todavía sea recomendable. En el segundo caso, tampoco se conocen las probabilidades pero se manejan ciertos porcentajes de cambio de las variables que permiten estimar la sensibilidad del proyecto a cada una de ellas y obtener escenarios distintos (optimista, probable, pesimista). Finalmente, en el tercer caso, se poseen las probabilidades de ocurrencia de las variaciones de los factores relevantes, lo que hace posible tener un análisis más detallado y determinar el grado de confianza asociado a la decisión que se tome.

5.2.1. Análisis de sensibilidad cuando se desconocen las

probabilidades de ocurrencia y los rangos de variación

Este primer tipo de análisis de sensibilidad es unidimensional y pretende únicamente identificar el valor límite de la variable analizada, aquel que hace que el VAN sea igual a cero. Dicho valor será un límite mínimo o máximo según sea el caso.

Ejemplo4.

Se tiene un proyecto de inversión en una fábrica de producción de chifles, con una vida útil de 3 años y sin valor de reposición. En este caso, se supone que no se conocen las probabilidades de ocurrencia de la inversión ni de los flujos netos, pero sí su valor esperado.

El siguiente cuadro resume los datos del proyecto.

A continuación se desarrollan dos análisis de sensibilidad considerando como indicadores para la decisión el VAN y la TIR, respectivamente. En cada uno de ellos se sensibilizan las tres variables más influyentes sobre la rentabilidad del proyecto: inversión, flujos de caja y COK.

a) Análisis de sensibilidad del VAN

堠 Variación de la inversión

En este caso, se intenta averiguar el valor límite de la inversión para que el proyecto siga siendo rentable; es decir, que el VAN siga siendo positivo. La siguiente inecuación es la fórmula que permite hallar el nivel máximo de inversión requerido:

Obviamente, mientras los flujos descontados a través del tiempo sean mayores que la inversión, el proyecto será rentable, y será más rentable en la medida en que la diferencia entre ellos sea mayor.

Si se conoce que el COK es de 8%, se puede hallar el valor de inversión para el cual la decisión realizar o no el proyecto es indiferente (VAN = 0).

Entonces, la inversión podrá tomar cualquier valor dentro del intervalo [0,10,838] para que la decisión siga siendo la de aceptar la ejecución del proyecto.

堠 Variación de los flujos de caja

Las variaciones de los flujos de caja se deben a cambios en los niveles de venta, en los costos, en los gastos administrativos o de ventas, o a la decisión de tomar un financiamiento externo. En general

dichas variaciones ocurren por el cambio de cualquiera de las variables que están incluidas dentro del flujo de caja. Además, podemos tener flujos netos de caja constantes, en cuyo caso se tendrá la misma cifra en todos los períodos que dure el proyecto. Por otro lado, también se puede dar el caso de que los flujos netos por período sean independientes.

Nuevamente, partiendo de la definición del VAN, se llega a la fórmula que permite calcular el valor del flujo de caja del período (i) que hace que el VAN sea cero o mayor a cero:

Supóngase que el precio de venta de los chifles disminuye en 5%. Entonces, lo que se necesitaría conocer ahora es cuánto puede caer el FC3 de tal forma que el VAN siga siendo positivo.

Así, el FC3 podrá tomar cualquier valor mayor que 5,944 para que el VAN sea positivo y, por lo tanto, para que se realice el proyecto. El intervalo del FC3 sería [5,944, 8]

Alternativamente, si se supone que el proyecto tiene flujos constantes e iguales a 4,000:

En este caso, se quiere saber hasta cuánto pueden caer los flujos netos constantes. La fórmula para determinar el intervalo de variación de los flujos de caja es:

Esta fórmula se elabora a partir de la definición de perpetuidad, siempre asumiendo un VAN positivo. En el ejemplo:

En este caso, los flujos netos de caja deben ser mayores a 3,880.34 durante todos los años para que el VAN sea positivo.

堠 Variación del COK

Al ser el COK la tasa de descuento de los flujos futuros, mientras menor sea ésta se tendrá un mejor resultado para el VAN. En este caso, lo que se busca es el COK límite que permita todavía un VAN positivo. Este COK coincidirá siempre con la TIR. La fórmula que se emplea para hallar el intervalo de variación del COK es:

donde (r) es el costo de oportunidad del capital (COK). Siguiendo con el ejemplo de la fábrica de chifles:

Entonces, siempre y cuando se tenga un COK menor a 11.80%, se debe llevar a cabo el proyecto ya que es rentable. En este caso, COK < TIR

• b) Análisis de sensibilidad utilizando la TIR como criterio

堠 Variación de la inversión

Cuando la TIR sea menor que el COK, el proyecto deja de ser rentable. Es por eso que se quiere averiguar en cuánto puede aumentar la inversión para que el proyecto todavía sea viable.

La fórmula que permite hallar este nivel máximo de inversión es:

Esta fórmula se determina a partir de la definición del VAN, cuando éste es cero. Luego, la inversión puede tomar cualquier valor entre cero y este valor máximo.

Continuando con el ejemplo,

Entonces, la inversión puede tomar cualquier valor dentro del intervalo [0,10,838 [ y la TIR será mayor que el COK.

堠 Variación de los flujos de caja

Debido a la relación directa entre el VAN y la TIR, al aumentar los flujos de caja, la tasa de retorno (TIR) también aumenta. Por eso es necesario saber hasta qué valor pueden caer los flujos netos de caja para que un proyecto siga siendo rentable. Al igual que al tomar el VAN como criterio, los flujos de caja efectivos podrán diferir de los estimados debido a variaciones en sus componentes, ya sean las ventas, los costos, los gastos o el financiamiento externo. También se tienen las situaciones en las que los flujos serán constantes a través del tiempo, o en las que cambiarán en forma creciente

La siguiente fórmula, que parte nuevamente de la definición de un VAN positivo, permite calcular el intervalo de variación del flujo de caja del período (i)

Retomando el ejemplo, se tiene que:

Entonces el FC, tendrá que tomar cualquier valor mayor a 5,944 para que la TIR sea mayor que el COK y, por lo tanto, para que el proyecto sea rentable.

堠 Variación del COK

Como ya se sabe, un proyecto será atractivo para el inversionista mientras la TIR sea mayor que el COK. De esta manera, la sensibilidad de la TIR del proyecto ante cambios del COK sólo nos hará cambiar la decisión de llevar a cabo el proyecto, optando por no hacerlo cuando el COK llegue a ser mayor que la TIR

Continuando con el ejemplo de la fábrica de chifles, el intervalo de variación se halla de la siguiente manera:

De esta manera, se deduce que el COK tendrá que ser menor a 11.79% para que el proyecto sea rentable, caso contrario, se tomará la decisión de no realizar el proyecto.

5.2.2. Análisis de sensibilidad ante cambios porcentuales esperados para las variables de interés

Mediante este método se busca conocer cómo varía el VAN y la TIR ante cambios porcentuales en determinadas variables de interés. De esta manera, se podrá conocer el grado de sensibilidad de la rentabilidad del proyecto ante variaciones en diversos factores vinculados con ella.

Este puede ser un análisis tanto unidimensional como multidimensional. Será unidimensional mientras se midan los efectos de las variaciones de cada variable por separado y podrá ser multidimensional en la medida en que se analice el cambio de varios factores al mismo tiempo. En este último caso se pueden plantear escenarios que respondan a cierto comportamiento conjunto de las variables que se analizan. Por ejemplo, podría estudiarse un escenario optimista, medio y pesimista, que diferencie un comportamiento conjunto bueno de las variables de uno conservador y de otro malo.

También es posible proponer escenarios que representen un fenómeno económico determinado, que provoque movimientos en más de una variable a la vez. Por ejemplo, un escenario con una mayor liberalización comercial y de capitales versus otro donde se impongan más restricciones. En dicha situación, es posible que se alteren las condiciones del mercado del bien que se vende o del que se usa como insumo, así como las del mercado de capitales.

Este análisis de sensibilidad se lleva a cabo calculando la rentabilidad del proyecto para los diferentes rangos de variación esperados de las variables, bajo el supuesto de que éstos son previamente conocidos o estimados. Si se retoma el Ejemplo IX.4., suponga que las variables de interés son la inversión, el precio de venta y el COK, pero que ahora se sabe que cada una de estas variables tiene un posible rango de variación de ᠳ0%. Los resultados se muestran a continuación

Variación de la inversión:

Cuadro.5.

Como se puede observar a partir de este análisis de sensibilidad, si la inversión aumenta en 10% el VAN será negativo y la TIR será menor que el COK, por lo que sólo se aceptarán aumentos porcentuales de la inversión de un nivel máximo de 5%, dentro de los parámetros fijados.

堠 Variación del flujo de caja:

Cuadro .6.

Del cuadro anterior se deduce que los posibles cambios del flujo de caja del primer período no son relevantes, debido a que dentro de los parámetros fijados (variaciones de un rango de -30% a 30%) la decisión final de llevar a cabo el proyecto no se altera

Cuadro7.

A diferencia del flujo de caja del primer período, el flujo de caja del segundo período sí involucra riesgo, dentro de los parámetros fijados. Las variaciones negativas a partir de 25% hacen que la decisión final cambie

Cuadro.8

Por su parte, si el flujo de caja del tercer período cae en 20%, la decisión de llevar a cabo el proyecto cambia definitivamente. Si FC3 cae en 20%, el VAN se vuelve negativo y, por ende, la TIR se vuelve menor que el COK, por lo que la decisión sería no llevar a cabo el proyecto

Cuadro 9

De este cuadro se puede decir que existen valores esperados de los flujos de caja que hacen que el VAN sea negativo. Cuando los flujos netos caen en conjunto en 10% la rentabilidad de la inversión es negativa.