- Antecedentes
- Definición de términos básicos
- Grupo G operando sobre un conjunto E
- Teorema de Lagrange
Introducción
En el presente trabajo de investigación nos dedicaremos al estudio de los grupos, el comportamiento y propiedades de sus elementos además de las diferentes aplicaciones que estos tienen.
Con el propósito de presentar un desarrollo riguroso de este tema, utilizaremos conocimientos básicos, además se requieren conocimientos matemáticos de un nivel considerablemente mayor del que estamos suponiendo aquí, que en el transcurso del desarrollo del proyecto iremos tocando.
De esta manera el lector podrá preguntarse si este tema es del todo útil y si servirá o no en la concepción de conocimientos en nuestra formación ya que el concepto de grupos es natural.
Antecedentes
Galois y Rufini introdujeron de forma independiente el concepto de grupo. En la primera mitad del siglo XIX, los resultados de la teoría de grupo jugaron un papel auxiliar, especialmente en la teoría de las ecuaciones algebraicas, formándose, predominantemente. la teoría de los grupos finitos.
Posteriormente, ya en los años 50, en trabajos de Cayley y otros, comenzaron a aparecer definiciones abstractas más generales de grupo, este proceso se aceleró desde el año 1870 con los trabajos de C. Jordán, quien hizo un resumen de los resultados de la teoría de grupos finitos en su aplicación a la teoría de números, teoría de funciones y geometría algebraica.
A finales de siglo, aparecieron las primeras aplicaciones de la teoría de grupo, resolviéndose, por ejemplo, el problema de la clasificación de todas las redes cristalinas espaciales gracias a los trabajos de E.S Fiedorov . Los grupos discretos finitos, a los que pertenecen los grupos de Fiedorov, obtuvieron extensión en la teoría de los espacios multidimensionales en relación con la teoría de los poliedros regulares en éstos.
Posteriormente se planteó la investigación de los grupos infinitos, tanto discretos como continuos y también sobre la creación de un aparato de cálculo adaptado a las necesidades de la teoría de grupo, los logros fundamentales sobre estas cuestiones pertenecen a los discípulos de C. Jordán, F. Klein y S. Lie.
En la confluencia de los siglos XIX y XX la teoría de grupos se ramificó desmesuradamente, formando el núcleo del álgebra actual. Ella se compone de una serie de teorías altamente desarrolladas: los grupos finitos, los grupos discretos infinitos, los grupos continuos, entre ellos los grupos de Lie. Los métodos teóricos de grupos penetraron en una serie de disciplinas matemáticas y sus aplicaciones. Los descubrimientos de De Broglie, Schródinger, Dirac y otros, en la mecánica cuántica y en la teoría de la estructura de la materia mostraron que la física moderna debe apoyarse en la teoría de los grupos continuos, en particular en la teoría de la representación de grupos por operadores lineales, la teoría de los caracteres y otras elaboradas por Carian, H. Weyí y otros científicos.
Pasó medio siglo desde los trabajos de Gauss, Abel y Galois y el centro de gravedad en las investigaciones algebraicas se trasladó a la teoría de grupos, subgrupos, anillos, estructuras. En al álgebra comenzó el periodo de las matemáticas modernas.
La historia del álgebra del siglo XIX quedaría incompleta si no atendiésemos a la formación del álgebra lineal, surgida de la teoría de los sistemas de ecuaciones lineales y relacionada con la teoría de determinantes y matrices. Durante la segunda mitad de siglo se realizaron investigaciones muy importantes de la teoría de los invariantes de las ecuaciones. Fn este camino del desarrollo, creció la teoría de las formas que encontró aplicación además de en el álgebra, en la teoría de números, la geometría diferencial, la geometría algebraica y la mecánica.
• Capítulo I: Definición de términos básicos:
1. Conjunto
2. Grupo
3. Subgrupo
4. Homomorfismo
5. Isomorfismo
6. Automorfismo
7. Espacio vectorial
8. Cardinal
9. Normalizador
10. Matriz
• Capítulo II:
1. Grupo G operando sobre un conjunto E
2. Órbita
3. Estabilizador
4. Clases de conjugaciones
5. Grupo simétrico
6. Grupo alterno
7. Representación matricial de un grupo
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