Grupo operando sobre un conjunto (página 2)

Capítulo I: Definición de términos básicos

1. Un conjunto es una colección cualquiera de objetos, donde cada uno de los objeto del conjunto es llamado elemento.

2. Conjunto:

   Un grupo es un conjunto G que posee una operación interna, el cual es llamada producto interno y se puede representar por:

   u : GxG  G

   El grupo G provisto de una operación interna puede ser representado por (G,u), donde para dos elemento cualesquiera a, b en G se tiene que ab también se encuentra en G.

   Además debe cumplir las siguientes condiciones:

   1. Para tres elementos cualesquiera a, b, c G entonces (ab)c = a(bc)

   2. Existe un único elemento e G talque ea = a = ae, Va G

   3. Para todo elemento a G existe un elemento a" G talque a''a = e = a a''

   Un Grupo Abeliano o Conmutativo es un grupo cuyos elementos son conmutantes unos con otros es decir ab = ba.

   Un grupo finito es un grupo que posee un número finito de elementos.

   Un grupo infinito es un grupo que posee un numero infinito de elementos.

   El Orden de un grupo G finito, es definido como el número total de elementos y puede ser denotado por g ó oG.

3. Grupo:

   Un conjunto no vacío H es sub grupo de un grupo G si:

   

   se puede ver que para que H sea sub grupo de G, H debe ser considerado en si mismo un grupo respecto al producto interno que hereda de G.

4. Subgrupo:

   Un homomorfismo de grupos es una aplicación que va del conjunto de los elementos del grupo al conjunto de elementos del otro grupo y conserva la multiplicación.

   Es decir:

   Sean G y G' dos grupos y sea la aplicación : G  G' entonces se dice que  es un homomorfismo ya que G y G' son grupos y se cumple que:

   La composición de homomorfismos es también un homomorfismo, es decir:

   Sean : G —>• G' y : G'—> G" homomorfismos entonces Vx, y G se tiene:

   

5. Homomorfismo:

   Sea el grupo G y sea la correspondencia : G —> G' que conserva la operación del grupo, se dice que un isomorfismo es un tipo especial de homomorfismo, es decir: debe cumplirse que esta aplicación debe ser uno a uno además debe ser sobreyectivo. !

   Si : G —> G' es un isomorfísmo entonces la aplicación -1: G'—> G conserva la multiplicación y es también un isomorfismo.

6. Isomorfismo:

   Un automorfísmo de un campo E es una aplicación que es inyectiva y sobreyectiva

   que conserva la adición y la multiplicación, es decir:

   

7. Automorfismo:
8. Espacio vectorial:

Un espacio vectorial V sobre un campo F cualquiera, es un grupo aditivo(abeliano) en el cual esta definido la adición y la multiplicación de los elementos del campo F por elementos del espacio V, de modo que a cada par (,x), con  F y x V le corresponde un elemento x V, y cumple lo siguiente:

1. Propiedad asociativa:

2. ()x = (x), ,  F y x V

   ( + )x = x + x,

   (x + y) = x +y; ,  F ;y, x V

3. Propiedad distributiva:
4. 1.x = x, donde 1 designa a la identidad de F.

Los elementos de V se llaman vectores y los elementos F son llamados escalares.

El vector nulo se representa por 0.

1. Cardinal:

Para un conjunto finito A, el cardinal de A denotado por #A ó n(A), es el número de elementos de A. Si A, B y C son sub conjuntos de algún conjunto universal E, se tiene:

• #(A U B) = #A + #B – #(A ∩ B)
• #(A U B U C) = #A + #B +#C – #(A ∩ B) – #(A ∩ C) – #(B ∩ C) + #(A ∩ B ∩ C)

1. Si g G, el normalizador de g en G es el conjunto es el conjunto

   N(g) = {x G/ xg = gx}, N(g) consiste precisamente de aquellos elementos de g que conmutan con g.

   Con N(g) sub grupo de G.

2. Normalizador:
3. Matriz:

Se llama matriz nm, a un conjunto de nm escalares

; (i = 1, 2,………, n, j = 1, 2,……… , m)

dispuestos de la forma siguiente:

A =

Los escalares se llaman términos de la matriz. Los términos, , , ……., constituyen la fila i de la matriz, y los términos , , ….., constituyen la columna j. Por lo tanto la matriz tiene n filas y m columnas.

El conjunto M(nm) de todas las matrices nm constituye un espacio vectorial respecto de las operaciones siguientes:

A + B = () + () = ( +)

A = () = ()

Capítulo II:

1.- Grupo G operando sobre un conjunto:

Se dice que un grupo G opera por la izquierda sobre un conjunto E si se define sobre E una ley de composición externa dado por:

Además verifica las siguientes condiciones:

1. Sea g1, g2 G y x E entonces (g1g2)x = g1(g2x)

2. Sea x E y e el elemento neutro de G entonces ex = x

Nota: así como G opera por la izquierda, también puede hacerlo por la derecha.

Ejemplos:

• K* opera sobre un K espacio vectorial

1. Se tiene un caso particular en el que G = K* y K = E

K* K K

Sea k1, k2 K* y x K se cumple que:

(k1k2)x = k1(k2x)

sea x K y sea e elemento neutro de K* se cumple que:

ex = x

• G opera sobre G por la izquierda

Sea g1, g2 G y x G se cumple que:

(g1g2)x = g1(g2x)

Sea x G y e elemento neutro de G entonces:

2.- Órbita: (o trayectoria)

Sea E un conjunto y G el grupo que opera sobre el conjunto E; x es llamado órbita o trayectoria del elemento x E bajo la acción del grupo G es decir:

para x fijo en E; x = {gx; g G}

Ejemplo l:

Sea el plano euclidiano E y G el grupo de rotaciones del ángulo y centro A.

Sea BE:

k = 2 , 2 = rot(A, )

k = h , h = rot(A, )

k = n 2, n = 1E

Se tiene que: G E E

(k, B) n(B)

Si se consideran todas las rotaciones en la órbita A se tiene todo el circulo, es decir: x = {A} = {h(A) / k = 1, 2, ……, n}, entonces:

B = {k(B) / k = 1, 2, ……, n

– Relación de equivalencia:

Sea G un grupo que actúa sobre el conjunto E. Se define la relación de equivalencia R que actúa sobre E para todo x X se tiene:

xRy si y sólo y = gx, para algún g G, y G; donde R es:

1. Sea gG se cumple que ex = x entonces se tiene xRx

2. Reflexiva: xRx
3. Simétrica: xRy

yRx

Si xRy entonces y = gx

por definición se tiene yRx

por lo tanto si xRy entonces yRx.

3. Transitiva: xRy y yRz xRz

xRy y = g1x

yRz z = g2y = g2(g1x) = (g2g1)x

como g1g2 G se cumple que xRz.

• La clase de equivalencia respecto a R se llama órbita, es decir:

Sea x X entonces x = {y X / y = gx, para algún g G}

• El conjunto E es la unión de todas las órbitas ya que las órbitas constituyen

una partición en E, es decir:

E =

Pues las orbitas constituyen una partición de E.

• Si x e y E se tiene las órbitas x y y, se dice que estas órbitas coinciden si x = y y se dice que son disjuntas si x

y = 

Ejemplo: (caso particular)

Si H es un sub grupo de G, H opera sobre G por la derecha

se cumple que:

• g G; h(h’g) = (hh’)g
• g

G; eg = g

Si g G g = gH = {gh; h H}; donde gH es llamado clase lateral izquierda de H en G.

e = eH = {eh; h H}

• La aplicación H

g es inyectiva:

Teorema de Lagrange:

1. card(H) divide al card(G)

   Prueba:

   Una clase lateral derecha esta definida por:

   Ha = {ha / h H}; con H sub grupo de G.

   Además: dos clases laterales derecha tienen el mismo número de elementos.

   Se puede ver que H = He es él mismo, una clase de lateral derecha.

   Cualquier clase lateral derecha de H en G tiene o(H) elementos.

   Como G es finito, sea k el número cualquiera de clases laterales derechas distintas de H en G, no tienen ningún elemento en comúny cada una de ellas tiene o(H) elementos.

   Como cualquier g G está en una clase lateral derecha Ha, las clases laterales derechas llenan G. Luego como K representa el número de distintas clases laterales derechas de H en G, debemos tener que:

   ko(H) = o(G) k =

   Por lo tanto o(H) es divisor de o(G).

   – Definición:

   Si G es un grupo y sea g G, el orden de g es el menor entero positivo k talque gk = e, es decir:

   Si g G entonces el orden de G ó o(G), es el orden del sub grupo

   g = {x G/ x = gn; n } g = {e, g, g2, ……, gn-1}

   que es el menor sub grupo de G que contiene el elemento g, g es el sub grupo cíclico de G generado por g.

   Si g es finito se cumple que:

   Para dos enteros tales que n  m se tiene que:

   gn = gm entonces gn-m = e; n-m  0

   Sea k el menor entero positivo talque

   gk = e

   escribiendo todo entero de una sola forma n = qk + r talque 0 r  k tenemos:

   gn = g qk + r = (gk)qgr = eqgr = gr

   Por lo tanto cada gn es igual a uno de los elementos

   g0 = e, g1 = g, ……., gk-1

   Es decir que:

   g = { e, g, g2, ……, gk-1} y el orden de este grupo es o(g) = k

   Por lo tanto el orden de un elemento g de un grupo G es el menor entero positivo k talque gk = e.

   Si g es infinito entonces, k  0, gk e y se llama elemento de orden infinito.

   -Definición:

   Si g es un elemento de un grupo finito, entonces el teorema de Lagrange implica que o(g) = o(G) y de ello se deduce que gO(G) = e

   Es decir:

   El orden de un elemento de un grupo finito es divisor del orden del grupo.

   Sea card(G) = n: G; gn = e

   En efecto:

   Card(g) = card (g) = o(g) = r

   sea n = rq; por el teorema de Lagrange

   gn = (gr)q = eq = e

   Ejemplo :

   1. Sea G un grupo y sea E = P(G), G opera sobre E por automorfismos

   Sea: GE E

   (g,x) gx = g-1xg

   además: σg : G G

   x g-1xg

   σg es un homomorfismo, es decir: σg(xy) = σg(x)σg(y) y σg(αx) = α σg(x)

   En efecto:

   σg(xy) = g-1(xy)g = g-1(xey)g = g-1x(gg-1)yg = (g-1xg)( g-1yg) = σg(x) σg(y)

   σg(αx) = g-1(αx)g = α g-1xg = ασg(x)

   Además: σgσg-1 = σg σg-1 = 1G entonces (σg)-1 = σg-1

   Conjugado:

   Un elemento x de un grupo G es conjugado de y G si x = gxg-1; para algún g G.

   Sea H un sub conjunto cualquiera de un grupo G, y sea g un elemento cualquiera de G. El conjunto Hg = {x G / gxg-1 H} se llama conjugado de H por g, y se cumple que: (Hg)g’ = Hgg’

   He = H

   Sub grupo normal:

   Un sub grupo H de un grupo G es normal si H es igual a cada uno de sus conjugados, es decir:

   Hg = H; g G

   Los sub grupos normales son llamados también sub grupos invariantes o auto conjugados y son denotados por:

   HG para indicar que H es un sub grupo normal de G.

   Todo sub grupo de un grupo abeliano es normal, si H es sub grupo de un grupo abeliano G, entonces; x Hg g-1xg = g-1gx = x H

   Por lo tanto Hg = H,

   Definición:

2. Si G es finito y H sub grupo de G, entonces el orden del sub grupo divide el orden del grupo es decir:
3. Si x e y pertenecen a la misma órbita entonces son conjugados, es decir:
4. y = gxg-1, .
5. Si H es sub grupo del grupo G, entonces: σg(H) es un sub grupo.
6. En efecto:
7. Sea la órbita σg(H) entonces:
8. x, y σg(H) g-1xg H falta
9. g-1yg

H

y como H es un sub grupo se cumple que:

(gxg-1)(gyg-1) = gxyg-1H xy σg(H)

de la misma forma

x σg(H) gxg-1 H

de donde se deduce que:

(gxg-1)-1 = gx-1g-1 H x-1σg(H)

por lo tanto σg(H) es un sub grupo.

Sea E = {σg(H) sub grupo de g}

G opera sobre E por automorfismos

G E E

(g,H) gHg-1

cardθH = 1

Si θH = {H}; g G; gHg-1 = H

g G; Hg = gH

donde H es un sub grupo normal.

Si h H; hg gH pues HG, entonces h’H talque hg = gh’

Ejemplo de sub grupo normal:

a) Sea G un grupo y sea

ZG ={g G; x G; gx =xg}

es llamado centro de G.

• ZG es un sub grupo de G:

En efecto:

Si x, y ZG, entonces gG se tiene que:

(xy)g = xgy = g(xy)xy ZG

Si x ZG, entonces gG; xg-1 = g-1x lo que implica que:

x-1g = (xg-1)-1 = (g-1x)-1 = gx-1 x-1 ZG

Por lo tanto ZG es un sub grupo de G.

• ZG es un sub grupo normal de G.

En efecto:

Para todo g G, tenemos x xg = gx gxg-1 = xgg-1 = x ZG

entonces = ZG

por lo tanto ZG es un sub grupo normal.

b) Si  : G G’ es un homomorfismo de grupos, entonces el núcleo de  es el conjunto:

ker = {x G/ (x) = e’} = -1(e’)

con e’ que es el elemento identidad de G’.

• Ker es un sub grupo de G.

Gse tiene que (x-1) = (x)-1

entonces ((x))((x)-1) = (xx-1) = (e) = e’

Si x ker (x-1) = ((x))-1 = e’-1 = e’ x-1 ker

Si x,y ker (xy) = (x)(y) = e’e’ = e’ xy ker

Por lo tanto ker es un sub grupo de G.

• ker es un sub grupo normal de G.

Sea x (ker)g, el conjugado de ker por g G.

Como x (ker)g gxg-1 ker de modo que :

(gxg-1) = (g)(x)(g-1) = e’ (x) = e’

entonces x ker, por lo tanto se tiene que: (ker)g ker

Por otra parte , si x ker gxg-1 ker x ( ker)g, es decir:

ker (ker)g

Como se tiene que: (ker)g ker y ker (ker)g entonces se concluye

ker = (ker)g

Por lo tanto ker es un sub grupo normal de G.

Interés de los sub grupos normales:

Sea H un sub grupo normal de G; G/H = {xH, x G} es un grupo con el producto (xH)(yH) = (xy)H

En efecto:

Sea x (ab)H, a,b G

entonces x = abh = aebh (aH)(bH)

(ab)H (aH)(bH)

Si x (aH)(bH), a,b Gse tiene: x = ahbh’; h.h’ H

Como H es normal entonces Hb = H; bG por lo que tenemos

h = bh’’b-1; para algún h’’ H, por lo tanto

x = ahbh’ = a(bh’’b-1)bh’ = ab(h’’h’) abH (aH)(bH) (ab)H

Por lo tanto se cumple que (xH)(yH) = (xy)H

• (G/H,

) es un grupo?

eH = H eG/H

Como HG x-1H = H; x-1 G

{xHyH}zH = (xy)HzH = (xyz)H = xH(yHzH)

Por lo tanto G/H es un grupo el cual es llamado grupo cociente de G por H.

1. Además xH = órbita de x cuando G opera sobre H

G H H; x = {xH; x G}

• La aplicación : G

G/H es homomorfismo.

x (x) = xH

(xy) = xyH = (xH)(yH) = (x)(y)

(x) = xH = (x)

 es homomorfismo.

• La aplicación : G

G/H es suryectiva.

ker = {x G, (x) = H}

= {x G, xH = H} = elemento identidad = 1G/H

3.- Estabilizador:

Sea G un grupo que opera sobre el conjunto E; x E se tiene:

θx = {gx; g G}

Se llama estabilizador de x al conjunto

∑x = {g G; gx = x}, es llamado estabilizador de x.

• ∑x es un sub grupo de G.

Sea g,g’ ∑x (gg’)x = g(g’x) = gx = x gg’ ∑x

g-1x = g-1(gx) = ex = x x ∑x

ex = x e ∑x; entonces ∑x es un sub grupo de G.

• Sea la aplicación : G x definida por (g) = gx; para todo g G es, es evidentemente suryectivo.
•  es inyectivo; (g) = (g’) g = g’; x

E

Se tiene que gx = g’x gg’-1x = x gg’-1 ∑x

Esto implica que existe una correspondencia bien definida G/∑x Gx definido por g∑x gx

Por lo tanto existe una biyección entre las particiones de G de la forma g∑x con las x.

Si G es finito, por la biyección de G/∑x Gx definido por g∑x gx se deduce que Gx tiene el mismo número de elementos que G/∑x, con cardx que divide cardG, es decir:

cardx =

• Si A

E; A = {representantes de órbitas}

Talque: si a, a’ A a = a’ a = a’

E = , uniones disjuntas.

carda = ; con cardG = n

si E es finito cardE =

Normalizador:

El normalizador de un subconjunto S de un grupo G es el conjunto

N(S) = {g G/ Sg = S}

Donde Sg representa el conjugado de S por g.

1. 4. Clases de conjugación:

La conjugación es una relación de equivalencia y divide a G en clases de equivalencia disjuntas.

El número de elementos de la clase de conjugación de x (Cx) es el número de elementos del normalizador de g en G.

x x; cardx = 1 x ZG

En efecto:

g G; gx = x gxg-1 = x (el estabilizador de x es G)

gx = xg

Ahora:

Supongamos que G es un grupo finito, entonces hay un número finito de clases de conjugación.

x ZG Cx G – ZG

Sean x1, x2, ………, xm G elemento obtenidos uno de cada clase de conjugación contenidos en G – ZG.

Para todo x G ó bien x ZG ó x es conjugado con un xi. Contando los elementos de G, tenemos que:

o(G) = o(ZG) +

Esto es llamado ecuación de las clases de conjugación de G.

G opera sobre G por automorfismos internos definido por:

G G G

(g,x) gx = gxg-1

• La orbita de x = {elementos conjugados con x} = clase de conjugación de x.
• Estabilizador de x = {g G; gxg-1 = x

gx = xg} = centralizador de x (Cx: elementos de G que conmutan con x).

Corolario:

Si G es un grupo de orden Pα, donde P es un número primo y α 1 el centro de G es no trivial y G es un P-grupo. G = clase de conjugación.

Prueba:

Sea G = (θa) donde A que es el representante de órbitas.

Si A = G = ZG cardG = cardZG +

Si a A; cardθa > 1 y divide al cardG cardθa =

Pα = cardZG + P divide card ZG

card ZG = Pβ; β 1

Por lo tanto el centro de G es no trivial.

1. Grupo simétrico:

Sea X un conjunto finito, la aplicación : X X es inyectiva y suryectiva.

Una permutación es una aplicación, el conjunto Sn(X) de todas las permutaciones de X es llamado grupo simétrico, con n que es el número de elementos de X.

Si X tiene n elementos entonces Sn(X)consta de n! elementos.

Sean Sn(E) y Sn(F) los conjuntos de las permutaciones de E y F respectivamente donde cardE = cardF entonces Sn(E) Sn(F)

En efecto:

Sea : Sn(E) Sn(F)

 -1

E E

-1 

F F

 es homomorfismo?

,’ Sn(E); ()(’) = (-1)( ’-1)

= ’-1 = (’)

Por lo tanto  es homomorfismo.

Sea : Sn(F) Sn(E) un homomorfismo

α’ (α’) = -1 α’

entonces:

()α = (α-1) = -1 α-1  = α

: Sn(E) Sn(F)

: Sn(F) Sn(E)

 = 1Sn(E);  = 1Sn(F) = -1

Por lo tanto se cumple que: Sn(E) Sn(F)

• G opera sobre G si y sólo si existe un homomorfismo entre G y Sn(G)

Sea cardG = n, G opera sobre G por la derecha.

g G, x G g.x = gx

Sea σ: (G,) (Sn(G),) un homomorfismo.

En efecto: σ: (G,) (Sn(G),)

g σg

(σg σg’)x = σg(σg’x) = σg(g’x) = gg’x = σgg’(x)

kerσ = {g G; σg = 1G} kerσ = {e} σ es inyectiva

– Transformaciones lineales:

Dados los espacios vectoriales U y V sobre un campo F, la aplicación T: U V es una transformación lineal u homomorfismo de U en V, si se cumplen las condiciones:

a.- T(u1 + u2) = T(u1) + T(u2); para x u1,u2 U

b.- T(αu) = αT(u); para α F y x U

El conjunto de todas las transformaciones lineales de U en V es un espacio vectorial respecto a las operaciones de adición y producto por un escalar definidas por:

• (T1 + T2) = T1(x) +T2(x)
• (αT)(x) = αT(x); para x U y α

F

Ese espacio se designa por L(U,V). Las transformaciones lineales inyectivas se llaman transformaciones regulares; las biyectivas se llaman isomorfismos. Si existe un isomorfismo de U sobre V se dice que dichos espacios son isomorfos.

Las transformaciones lineales de un espacio U en si mismo se llaman endomorfismo, y el espacio vectorial de los endomorfismos se designa por ξ(U). Las transformaciones lineales biyectivas de U sobre U se llama automorfismo.

Las transformaciones lineales de U en F se llaman funciones o formas lineales, y el espacio de las funciones lineales definidas en U se designa por L(U).

Autor:

Lic. Sandra Salazar Palomino

Br. Wilbert Colque Candia

wilb_coca[arroba]hotmail.com

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN ANTONIO

ABAD DEL CUSCO

FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS, FÍSICAS Y MATEMÁTICAS

Carrera Profesional De Matemáticas

CUSCO – PERÚ

2007