La presencia de la Teoría Combinatoria en los programas de la Enseñanza Media General Politécnica y Laboral ha causado siempre la preocupación de los alumnos y de muchos profesores en nuestras escuelas. Este tema, que tradicionalmente se estudiaba en los últimos años de preuniversitario, se trató ininterrumpidamente hasta el curso 79 – 80 pero desaparece después de este nivel por más de 10 años. Aparece de nuevo en el programa de 12. grado, tratándose primeramente solo en los Institutos Preuniversitarios Vocacionales de Ciencias Exactas (IPVCE) y más tarde en todos los preuniversitarios del país.
En la concepción general de la asignatura Matemática aparece el "Trabajo combinatorio y pensamiento probabilístico" entre sus directrices y en los libros de texto aparecen ejercicios con ideas combinatorias desde los primeros grados de la enseñanza primaria.
El presente trabajo aborda este tema y tiene como objetivo analizar el comportamiento de las ideas combinatorias a través de los diferentes grados de la enseñanza general y mostrar la necesidad de la preparación de los profesores de Matemática en los conceptos básicos de la Teoría Combinatoria.
En el libro de 4. grado aparecen ejercicios como el siguiente:
Escribe seis números de tres lugares. Utiliza los dígitos 4; 5 y 6. Los dígitos no deben repetirse. (Ej. 14 p. 23)
Para resolver este ejercicio es necesario escribir todas las permutaciones de los dígitos dados. Se está resolviendo un problema típico de Combinatoria. Algo similar ocurre con el siguiente, en el que se deben hallar todas las variaciones sin repetición de tres elementos tomados de dos en dos:
Escribe todos los números de dos lugares que se pueden formar con los dígitos 1; 2 y 3 sin que estos se repitan. Súmalos todos . (Ej. 3 p. 139).
Estas ideas se mantienen en el libro de texto de 5. grado donde aparece por ejemplo (Ej. 20 inciso c p 10).
Escribe todos los números que tienen:
c) cuatro cifras (no repetidas) con un ocho en el lugar de las unidades de millar y un cinco en el de las decenas.
Al resolver este ejercicio se deben hallar 56 números, ya que uno de los lugares no condicionados puede ser ocupado por 8 números y después el otro por 7 (Principio de multiplicación). Si al alumno se le enseña a trabajar ordenadamente podrá llegar al resultado correcto.
Para aplicar estas ideas combinatorias a la geometría aparecen ejercicios como los siguientes:
En tercer grado:
a) Busca en el cuadrilátero ABCD 3 cuadrados y 9 rectángulos
b) ¿Qué figuras aparecen dentro del rectángulo RSTU?
c) ¿Cuántas figuras hay de cada tipo? (Ej. 8 p. 163)
En quinto grado tenemos, en la página 218
En el triángulo equilátero de la figura, los segmentos interiores son respectivamente paralelos a cada lado e iguales a su mitad,
Nombra los 5 triángulos, 3 paralelogramos y 3 trapecios que se forman.
Los ejercicios planteados son solo una pequeña selección de los que aparecen en los textos y que presentan ideas combinatorias.
Al preguntar a los maestros si estos ejercicios se realizan en clases contestan que sí, pero en elaboración conjunta, ya que los niños no los pueden hacer solos y necesitan que el maestro los guíe en su resolución. Ahora bien, ¿puede el maestro guiarlos correctamente si desconoce los principios elementales de la Teoría Combinatoria?
Este tema se trata en los programas de Matemática de la Licenciatura en Educación Primaria, pero solo aparece en los programas del curso regular diurno. En el curso para trabajadores, se recomienda no abordarlo explícitamente, sino que las ideas combinatorias se tengan en cuenta en el desarrollo de los restantes temas de la disciplina.
Aunque actualmente está presente en los programas de preuniversitario, en la especialidad de matemática de las universidades pedagógicas se trata, con muy poco peso, en la asignatura Estadística dentro del tema Probabilidades y los estudiantes no le dan la importancia que realmente posee.
A un grupo de 40 niños de una escuela primaria se propuso el siguiente ejercicio:
¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura? Nómbralos.
El número correcto de triángulos (12) lo dan 8 alumnos, pero repiten los triángulos hallados al dar la respuesta. El 50 % de los alumnos repite triángulos y el 20 % considera triángulos que no están en la figura como por ejemplo el ABC.( ver tabla 1)
Esta misma pregunta se propone a 17 maestros de la misma escuela y se obtuvieron los siguientes resultados:
Ninguno pudo hallar los 12 triángulos y el 52,9 % los repite en su respuesta.
Algunos comienzan a nombrar los triángulos ordenadamente, pero después se desorientan lo que muestra que no siguen un método lógico al hacerlo. (ver tabla 2)
En los textos de secundaria básica aparecen también ejercicios con ideas combinatorias. En el de séptimo grado que se utiliza actualmente tenemos los siguientes:
Di cuántas rectas quedan determinadas por los puntos A, B, C, D, E si son puntos diferentes y no hay tres de ellos alineados. Dibújalos y fundamenta tu respuesta (Ejercicio 6 p 220).
Encuentra todos los triángulos y cuadriláteros que aparecen en la figura
(Ejercicio 1 p.385)
Si en este último se quisiera escribirlos todos, sería necesario denotar los vértices y trabajar ordenadamente para no repetir los triángulos o cuadriláteros que existen.
En el libro de texto de duodécimo grado se trata el tema de Combinatoria y aparecen ejercicios variados de aplicación.
En los concursos de conocimientos de todos los niveles se presentan ejercicios con estas ideas que los alumnos muchas veces no pueden resolver y cuando lo hacen no están muy seguros de que su respuesta sea correcta.
De todo lo anteriormente expuesto podemos concluir que el estudio de la Teoría Combinatoria es necesario para los maestros y profesores de Matemática pues desarrolla el pensamiento lógico de los estudiantes y proporciona métodos que les permite resolver ejercicios sencillos con orden y seguridad, por lo que se considera necesario se le dedique más tiempo en los programas de matemática de las carreras de Licenciatura en Educación en las especialidades de Primaria y Matemática.
MINED (2015) Libros de Texto y Programas de Matemática desde primero hasta duodécimo grados. La Habana: Editorial Pueblo y Educación.
Programa de la Disciplina Matemática de la carrera Licenciatura en Educación (2016). Primaria. Plan E.
Programa de la Disciplina Probabilidades y Estadística de la carrera Licenciatura en Educación (2016) Matemática. Plan E..
Tabla 1.
Triángulos hallados | Alumnos que los hallan | Alumnos que repiten triángulos | Alumnos que hallan triángulos que no existen |
5 | 1 | 0 | 0 |
6 | 3 | 1 | 0 |
7 | 2 | 0 | 0 |
8 | 7 | 0 | 1 |
9 | 10 | 4 | 2 |
10 | 4 | 2 | 0 |
11 | 5 | 5 | 2 |
12 | 8 | 8 | 2 |
Total | 40 | 20 | 8 |
Tabla 2
Triángulos hallados | Maestros que los hallan | Maestros que repiten triángulos | Maestros que hallan triángulos que no existen |
6 | 1 | 2 | 0 |
7 | 1 | 0 | 0 |
8 | 1 | 1 | 0 |
10 | 4 | 3 | 0 |
11 | 10 | 3 | 1 |
Total | 17 | 9 | 1 |
Autor:
MSc. María Teresa Gil Chávez
MSc. Yulexis Utria Rojas
MSc.Sergio Antonio Fernández Morín
Lic. Hilba Rivero Alvarez