Análisis del control con MATLAB, de los movimientos de una taladradora radial, para ser automatizada

Funciones de transferencia

El modelo de la dinámica de los movimientos de la taladradora radial son no lineales y además son principalmente dependiente del par motor, momento de inercia y de la relación de transmisión, ya que las variables de fricción viscosa del motor y de la carga, los valores fueron insignificante, lo que permite hacer una aproximación lineal del comportamiento dinámico del sistema. Con la obtención del modelo dinámico, se determina la función de transferencia de cada uno de los ejes para el control de los movimientos, dos de traslación y otro de rotación.

En la figura 1, se observa los movimientos a controlar. Partiendo de haber determinado la función de transferencia para cada movimiento, las ecuaciones se observan en la tabla 1:

Figura 1- Movimientos de la taladradora

Tabla1- Funciones de transferencia de los movimientos

Estudio con el software Matlab (rotool)

Se estudia y se analiza el comportamiento de la dinámica con respecto a la carga a vencer, en dicho estudio se utiliza la herramienta del software Matlab (rltool), para obtener la síntesis de los reguladores acorde a los índices de funcionamiento establecidos del sistema de control mediante el diagrama de polos y ceros, minimizando los errores y controlando el tiempo de respuesta, mediante el método del lugar de las raíces.

Sintonía de los reguladores

Una vez seleccionado el hardware para el sistema de control se procede a la sintonía de los reguladores del sistema de control. Se usaran los PID integrados en el variador o PLC, básicamente un PID es un esquema con un par de ceros y un polo en origen. Por ello, como sintonía preliminar, basados en la herramienta "rltool" del MATLAB obtendremos la primera aproximación a los reguladores según Ogata.

El esquema del rltool se presenta en la figura 2, donde:

G: Función de transferencia de la planta

H: Función de transferencia de la retroalimentación

C: Función de transferencia del regulador

F: Función de transferencia del filtro de la señal de entrada.

Figura 2- Esquema del lazo de control en el rltool

El trabajo de diseño parte de encontrar la función "C" que garantice que la planta con función de transferencia "G" responda con los índices de funcionamiento deseados.

Estudio del movimiento horizontal

Este movimiento se encarga de posicionar el carro a lo largo de la barra de soporte (brazo), todo el movimiento queda dentro del área de trabajo de la máquina y la velocidad de respuesta es bienvenida, por ello como índices se establece ante una entrada escalón un tiempo de subida menor que 2 seg y un establecimiento menor de 10, admitiéndose sobrecrestas de hasta el 30%, así como cero error en estado estacionario ante el paso y disturbios.

Para el movimiento horizontal la función de transferencia de la planta está determinada por la ecuación 1.

La misma es introducida en el MATLAB como "tf1" como se muestra:

tf1=tf([1.32],[0.2644 2.5 0])

La Transfer function es:

El rlttol se activa como: rlttool(tf1)

Obteniendo el gráfico del lugar de la raíces y la respuesta temporal al paso que aparecen en la figura 3.

Figura 3- Gráfico del lugar de las raíces y la respuesta temporal al paso del movimiento horizontal sin compensación.

La ausencia de acción integral en el regulador hace que no se cumpla el índice de cero error ante disturbio, por eso, aunque la respuesta temporal no es deficiente, es necesario introducir un compensador en la función "C".

La figura 4, muestra el compensador obtenido, la figura 5 los resultados del gráfico del lugar de las raíces y posteriormente se observa la respuesta temporal al paso del movimiento horizontal con la compensación diseñada, (ver figura 6). Como se aprecia en dicha figura 6, los índices de funcionamiento demandados se han obtenido con ese diseño.

Figura 4- Diseño del compensador del movimiento horizontal.

Estudio del movimiento Vertical

Este movimiento se encarga del posicionar el carro verticalmente, todo el movimiento queda dentro del área de trabajo de la máquina y la velocidad de respuesta es bienvenida, aunque pueden ser más lento que el movimiento horizontal, tanto en subida como en establecimiento, se admiten pequeñas sobrecrestas, así como cero error en estado estacionario ante el paso y disturbios. Para el movimiento vertical la función de transferencia de la planta está determinada por la ecuación 2. La misma es introducida en el MATLAB como "tf2" como se muestra: tf2=tf([0.1],[0.001 4.73 0])

La transfer function es:

El rlttol se activa como rlttool(tf1).

Obteniendo el gráfico del lugar de la raíces y la respuesta temporal al paso que aparecen en la figura 7.

Figura 7- Gráfico del lugar de las raíces y la respuesta temporal al paso del movimiento vertical sin compensación.

La ausencia de acción integral en el regulador hace que no se cumpla el índice de cero error ante disturbio. Además la respuesta temporal es extremadamente lenta, por ello es necesario introducir un compensador en la función "C". La figura 8, muestra el compensador obtenido, la figura 9 los resultados del gráfico del lugar de las raíces y en la figura 10 esta la respuesta temporal al paso del movimiento vertical con la compensación diseñada.

Figura 8- Diseño del compensador del movimiento vertical.

La respuesta obtenida tiene como inconveniente la alta sobrecresta y el pequeño tiempo de subida (ver figura 10), lo que obliga a una demandante respuesta del conjunto motor variador. Observando el lugar de las raíces se aprecia que ese esquema de regulación no da muchos grados de libertad para resolver ese problema, por ello se propone usar la capacidad de filtraje de la señal de entrada, mediante un filtro "f2" con la forma:

f2=tf([.4],[1 .4]). La Transfer function queda:

0.4

——-

s + 0.4

Luego de introducir el filtro la respuesta temporal queda como:

Con esta última solución (ver figura 11), son cumplidos todos los índices de funcionamiento.

Estudio del movimiento de giro

Este movimiento se encarga de hacer girar toda la estructura sobre el pivote central. Este movimiento establece el área de trabajo de la máquina y la velocidad de respuesta y las sobrecrestas deben ser evitadas como forma de evitar accidentes. Por ello como índices se establece ante una entrada escalón un tiempo de establecimiento de alrededor de 30 seg, no admitiéndose sobrecrestas, así como cero error en estado estacionario ante el paso y disturbios.

Para el movimiento de giro la función de transferencia de la planta está determinada por la ecuación 3. La misma es introducida en el MATLAB como "tf3" como se muestra:

tf3=tf([0.2778],[0.01 3.18 0]). La transfer function es:

El rlttol se activa como: rltool(tf3)

Obteniendo el gráfico del lugar de la raíces y la respuesta temporal al paso que aparecen en la figura 12.

Figura 12- Gráfico del lugar de las raíces y la respuesta temporal al paso del movimiento de giro sin compensación.

La ausencia de acción integral en el regulador hace que no se cumpla el índice de cero error ante disturbio, por eso, aunque la respuesta temporal no es deficiente, aunque un poco lenta, es necesario introducir un compensador en la función "C".

La figura 13, muestra el compensador obtenido, la figura 14 los resultados del gráfico del lugar de las raíces y la respuesta temporal al paso del movimiento horizontal con la compensación diseñada se observa en la figura 15.

Figura 13- Diseño del compensador del movimiento de giro.

La respuesta obtenida (ver figura 3.17), tiene como inconveniente la alta sobrecresta y el pequeño tiempo de subida. Observando el lugar de las raíces se aprecia que ese esquema de regulación no da muchos grados de libertad para resolver ese problema, por ello, al igual que en el caso vertical, se propone usar la capacidad de filtraje de la señal de entrada, mediante un filtro "f3" con la forma:

f3=tf([.15],[1 .15]). La transfer function es:

0.15

——–

s + 0.15

Luego de introducir el filtro la respuesta temporal queda como:

Figura 16- Respuesta temporal al paso del movimiento de giro con la compensación y el filtro.

Con esta última solución (ver figura 16), son cumplidos todos los índices de funcionamiento.

Conclusiones

• En el movimiento horizontal, la respuesta temporal al paso es de 4 segundos con una ganancia aceptable de 3, por tanto cumple con los índices de funcionamiento.

• En el control del movimiento vertical, inicialmente la respuesta al paso es muy lenta y al compensarla responde rápido, pero con sobrecresta y alto el valor de la ganancia, lo que conlleva a usar un filtro en la señal de entrada, para estabilizar dicha respuesta.

• Para el movimiento de giro se tiene una respuesta temporal lenta, que al compensarla responde rápido con sobrecresta, que no es aceptable por la alta inercia de masa que se maneja en este movimiento, lo que amerita un filtraje a la señal de entrada, obteniéndose una estabilidad en la respuesta temporal al paso en un tiempo aceptable.

Bibliografía

1. NEMICON, Encoders incrementales. 2010.

2. Systems, L.I., Variadores de velocidad con PID, in iG5. 2010: Barcelona. p. 2.

3. SIEMENS, SIMATIC Software. 1996: Alemania. p. 5.1.

4. Ogata, K., Ingenieria de Control Moderna, ed. Pearson.

Autor:

Víctor Rodríguez

Ingeniero Mecánico