vii PRESENTACIÓN
La Estadística en la antigüedad era empleada en asuntos del Estado tales como en los censos de población o bienes, organizados por el poder político con fines militares o fiscales. La Estadística en la actualidad es utilizada en todos los campos de saber humano, así por ejemplo, en los juegos de azar se emplea conocimientos de las probabilidades estadísticas, los investigadores utilizan conocimientos estadísticos para probar hipótesis, los gerentes de las empresas usan gráficos estadísticos para el control de la calidad de los servicios y productos que la empresa oferta, etc.
El objetivo del presente libro es incursionar a los lectores en la resolución de ejercicios y problemas de aplicación de las probabilidades y de la estadística en diversos casos de la vida cotidiana de manera manual y recurriendo al uso de Tecnologías de la Información y Comunicación (TIC) tales como Excel, Winstats, Graph y GeoGebra. Se presentan ejemplos ilustrativos prácticos que han sido cuidadosamente seleccionados y resueltos didácticamente, paso a paso, empleando un lenguaje matemático de fácil comprensión.
En cada capítulo constan los resultados de aprendizaje que se espera que el lector sea capaz de lograr al finalizar cada uno de los mismos, los contenidos a tratar y las tareas de interaprendizaje. Los contenidos y las tareas de interaprendizaje se han desarrollado de manera secuencial interrelacionadas entre sí. En el primer capítulo se desarrolla la introducción a la probabilidad (análisis combinatorio, conceptos básicos y reglas de la probabilidad), en el segundo capítulo se desarrollan las distribuciones de probabilidad discretas (binomial, Poisson e hipergeométrica) y continuas (exponencial, uniforme y normal), el tercer capítulo está dedicado a la estimación de intervalos de confianza (para la media, para la proporción y el tamaño de la muestra), en el cuarto capítulo se desarrolla la prueba de hipótesis (Z prueba, t prueba, Razón de F Fisher y Ji cuadrado), y en el quinto capítulo se desarrollan las aplicaciones de gráficas estadísticas en el control de la calidad (gráficas para variables y para atributos). Al final del libro se presentan tablas de probabidades elaboradas en Excel y un formulario con ejemplos ilustrativos resueltos sobre conocimientos estadísticos básicos tales como el cálculo del tamaño de la muestra, regla de Esturges, medidas de tendecia central, medidas de dispersión y medidas de forma, correlación y regresión, y series crononógicas.
Los contenidos y procesos didácticos de interaprendizaje del presente libro son el fruto de la práctica en el aula durante algunos años de labor docente y que han sido publicados en http://es.scribd.com/mariosuarezibujes, https://docentesinnovadores.net/Usuarios/Ver/29591, http://repositorio.utn.edu.ec/handle/123456789/760, http://www.monografias.com/usuario/perfiles/mario_suarez_7/monografias, por lo que se infiere que el mismo tendrá la aceptación por parte de los lectores y contribuirá a mejorar significativamente el proceso de interaprendizaje de las probabilidades y de la estadística.
Convencido de que ninguna obra humana es perfecta, serán ustedes estimados lectores, los que con sus sugerencias contribuirán a mejorar la presente propuesta de interaprendizaje.
El Autor Mgs. Mario Suárez Interaprendizaje de Probabilidades y Estadística empleando las TIC
Año Año(X) EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA
OBJETIVO: Verificar los resultados de aprendizaje desarrollados por l@s lectores a través del presente cuestionario para emitir suicios de valor y tomar decisiones.
INSTRUCCIONES: Estimado lector: ? La evaluación tiene una duración de 2 horas. ? Cada pregunta tiene una valoración de dos puntos. ? No se ortorgará valoración a una respuesta correcta que no esté acompañada de un proceso de solución escrito. ? Use hojas adicionales y un esferográfico para resolver el presente cuestionario. ? Lea cuidadosamente el cuestionario y conteste según sus conocimientos previos. ¡Éxito!
CUESTIONARIO 1) Elabore un diagrama de caja y bigotes dada la siguiente distribución: 6, 9, 9, 12, 12, 12, 15 y 17
2) Calcule la moda en forma gráfica empleando un histograma con los siguientes datos: Intervalo o Clase ?? 10-19 20-29 30-39 40-49 50-59 3 7 15 12 8 3) Calcule el punto centroide con los datos de la siguiente tabla sobre la altura en centímetros (X) y los pesos en kilogramos (Y) de una muestra de estudiantes varones tomada al azar del segundo semestre de una universidad. Elabore las gráficas respectivas
X 152 157 162 167 173 178 182 188 Y 56 61 67 72 70 72 83 92
4) Calcule y grafique la ecuación de la parábola ?? = ??0 + ??1 ?? + ??2 ??2 por el método de los mínimos cuadrados dada la siguiente tabla sobre la población de un país:
1960 1965197019751980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 Población (millones) 4,52 5,18 6,25 7,42 8,16 9,12 10,92 11,6212,6813,1213,97
5) Calcule la ecuación de la recta de tendencia por el método de los semipromedios, pronostique la tendencia de ventas para el 2011, elabore el diagrama de dispersión, y grafique la recta de tendencia con los siguientes datos sobre las ventas en millones de dólares de la Empresa D & M
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 Ventas(Y) 1,5 1,8 2 1,5 2,2 2 3 2,8 2,4 2,9 3 Nota: La solución de la presente prueba se encuentra al final del libro (en el formulario) Mgs. Mario Suárez Interaprendizaje de Probabilidades y Estadística empleando las TIC viii
9 CAPÍTULO I INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD
RESULTADOS DE APRENDIZAJE DEL CAPÍTULO
Al finalizar el presente capítulo el lector podrá evidenciar que:
? Identifica las características, propiedades y aplicaciones del análisis combinatorio, de las probabilidades y de las posibilidades. ? Utiliza algoritmos del análisis combinatorio, de las probabilidades y de las posibilidades para resolver ejercicios y problemas de aplicación de manera manual y empleando Excel. ? Plantea y resuelve ejercicios y problemas de aplicación sobre análisis combinatorio, probabilidades y posibilidades de manera manual y utilizando Excel.
CONTENIDOS ? Análisis Combinatorio: Factorial, Permutaciones y Combinaciones ? Conceptos básicos: Experimento, Experimento Aleatorio, Espacio Muestral, Evento o Suceso, Probabilidad y Posibilidad. ? Reglas de la Probabilidad: Regla de la adición (para eventos no mutuamente excluyentes y para eventos mutuamente excluyentes) y regla de la multiplicación (para eventos dependientes y para eventos independientes) ? Probabilidad Total y Teorema de Bayes Mgs. Mario Suárez Introducción a la Probabilidad
10 1.1) ANÁLISIS COMBINATORIO
A) FACTORIAL
La factorial está relacionada con el cálculo del número de maneras en las que un conjunto de cosas puede arreglarse en orden.
El número de maneras en el que las n cosas pueden arreglarse en orden es:
??! = ??(?? – 1)(?? – 2) … … . .1
Donde n! se llama el factorial de n y 0! se define como 1
Ejemplos ilustrativos
1) Calcular 7!
Solución:
??! = ??(?? – 1)(?? – 2) … … . .1 7! = 7(7 – 1)(7 – 2)(7 – 3)(7 – 4)(7 – 5)1 7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 7! = 5040
En Excel se calcula de la siguiente manera:
a) Insertar función. Seleccionar la categoría Matemáticas y trigonométricas. Seleccionar la función FACT Mgs. Mario Suárez Introducción a la Probabilidad
11 b) Clic en Aceptar. En el cuadro de diálogo de Argumentos de la función, en el recuadro correspondiente a Número seleccionar la celda correspondiente al factorial a calcular (A2).
c) Clic en Aceptar
2) Calcular 3!4!
Solución:
3! 4! = (3 · 2 · 1)(4 · 3 · 2 · 1) = 144
En Excel se calcula como indica la siguiente figura:
3) Si un conjunto de 6 libros se colocan en un estante. ¿De cuántas formas es posible ordenar estos libros?
Solución:
??! = ??(?? – 1)(?? – 2) … … . .1 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 6! = 720 Mgs. Mario Suárez Introducción a la Probabilidad
?? = ?? 12 B) PERMUTACIONES
En muchos casos se necesita saber el número de formas en las que un subconjunto de un grupo completo de cosas puede arreglarse en orden. Cada posible arreglo es llamado permutación. Si un orden es suficiente para construir otro subconjunto, entonces se trata de permutaciones.
El número de maneras para arreglar r objetos seleccionados a la vez de n objetos en orden, es decir, el número de permutaciones de n elementos tomados r a la vez es: ???? = ??(?? – 1)(?? – 2) … (?? – ?? + 1) = ??! (?? – ??)! Nota: si ?? = ??, entonces la permutación se tranforma en factorial, es decir: ?????? = ??! ??! = = ??! (?? – ??)! 0! Ejemplos ilustrativos:
1) Calcular 7P3
Solución:
n = 7 y r = 3, entonces aplicando la fórmula se obtiene: ???? ??! (?? – ??)! ? 7??3 = 7! 7! 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = = (7 – 3)! 4! 4·3·2·1 = 7 · 6 · 5 = 210 7??3
En Excel se calcula de la siguiente manera:
a) Insertar función. Seleccionar la categoría de Estadísticas. En función seleccionar la opción PERMUTACIONES. Mgs. Mario Suárez Introducción a la Probabilidad
= ?? 13 b) Clic en Aceptar. En el cuadro de diálogo de Argumentos de la función, en el recuadro Número seleccionar la celda correspondiente a n (B1), en el recuadro de Tamaño seleccionar la celda correspondiente a r (B2).
c) Clic en Aceptar
2) Si se desean ordenar 6 libros en un estante, pero sólo hay espacio para 3 libros. Calcular el número de resultados posibles de ordenar dichos libros
Solución: Como se pide calcular 6P3, entonces, ???? ??! (?? – ??)! ? 6??3 = 6! 6! 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = = (6 – 3)! 3! 3·2·1 = 6 · 5 · 4 = 120 Los cálculos en GeoGebra se muestran en la siguientes figuras: En programa GeoGebra, en Entrada: se escribe nPr y aparece nPr[ , ]. Se escribe los números 6 y 3, quedando nPr[ 6,3]. Enter Mgs. Mario Suárez Introducción a la Probabilidad
?? 14 C) COMBINACIONES
En muchos situaciones no interesa el orden de los resultados, sino sólo el número de maneras en las que r objetos pueden seleccionarse a partir de n cosas, sin consideración de orden. Si dos subconjntos se consideran iguales debido a que simplemente se han reordenado los mismos elementos, entonces se trata de combinaciones.
El número de maneras para arreglar r objetos seleccionados a la vez de n objetos, sin considerar el orden, es decir, el número de combinaciones de n elementos tomados r a la vez es: ?????? ?? =( )= ??(?? – 1)(?? – 2) … (?? – ?? + 1) ??! = ??! ??! (?? – ??)! Ejemplos ilustrativos:
1) Calcular 7C3
Solución:
n = 7 y r = 3, entonces aplicando la fórmula se obtiene: ?????? = ??! ??! (?? – ??)! ? 7??3 = 7! 7! = 3! (7 – 3)! 3! 4! 7??3 = 7·6·5·4·3·2·1 (3 · 2 · 1)(4 · 3 · 2 · 1) = 7 · 5 = 35 En Excel se calcula de la siguiente manera:
a) Insertar función. Seleccionar la categoría de Matemáticas y trigonométricas. En función seleccionar la opción COMBINAT Mgs. Mario Suárez Introducción a la Probabilidad
?????? = ? 6??3 = = = 15 b) Clic en Aceptar. En el cuadro de diálogo de Argumentos de la función, en el recuadro Número seleccionar la celda correspondiente a n (B1), en el recuadro de Tamaño seleccionar la celda correspondiente a r (B2).
c) Clic en Aceptar
2) Si se desean ordenar 6 libros en un estante, pero sólo hay espacio para 3 libros. Calcular el número de resultados posibles de acomodar dichos libros sin importar el orden.
Solución: Como se pide calcular 6C3 , entonces, ??! 6! 6! 6·5·4·3·2·1 ??! (?? – ??)! 3! (6 – 3)! 3! 3! (3 · 2 · 1)(3 · 2 · 1) = 5 · 4 = 20 Los cálculos en GeoGebra se muestran en la siguiente figura:
Se escribe en Entrada: Número y aparece NúmeroCombinatorio[ , ]. Digitar el 6 y el 3, y queda NúmeroCombinatorio[ 6,3]. Enter Mgs. Mario Suárez Introducción a la Probabilidad
5 5 6 5 5 16 TAREA DE INTERAPRENDIZAJE N° 1
1) Realice un organizador gráfico (mapa conceptual, organigrama, mentefacto, etc.) sobre el análisis combinatorio.
2) Resuelva de manera manual, empleando Excel y GeoGebra
2.1) 8! 40320 2.2) 10! 3628800 2.3) 8P3 336 2.4) 10P3 720 2.5) 8C3 56 2.6) ( 10 3 ) 120
3) En la fórmula de la permutación, ¿qué valor debe tener r para que la permutación sea igual a la factorial?. Ilustre su respuesta con un ejemplo n
4) Realice los cálculos de manera manual y empleando Excel para que compruebe las siguientes igualdades: 4.1) 5! = 5??5
4.2) ( ) = ( ) 0 5
4.3) ( ) – ( ) = ( ) 3 3 2
5) Don Albertito desea parquear 3 automóviles en su garaje. Calcular el número de resultados posibles de parquear dichos automóviles. Realice los cálculos de manera manual y empleando GeoGebra 6
6) Se desea ordenar 4 libros en un estante. Calcular el número de resultados posibles de ordenar los mencionados libros. Realice los cálculos de manera manual y empleando Excel 24
7) Se desea ordenar 4 libros en un estante, pero solo hay espacio para 2 libros. Calcular el número de resultados posibles de ordenar los mencionados libros. Realice los cálculos de manera manual y empleando GeoGebra 12 8) ¿De cuántas maneras posibles se puede formar con 8 personas una comisión de 3 miembros?. Realice los cálculos de manera manual y empleando Excel 56
9) Consulte en la biblioteca o en el internet sobre la importancia de las permutaciones y combinaciones, y presente la consulta mediante un organizador gráfico. Mgs. Mario Suárez Introducción a la Probabilidad
17 1.2) CONCEPTOS BÁSICOS
A) EXPERIMENTO.- Es toda acción sobre la cual vamos a realizar una medición u observación, es decir cualquier proceso que genera un resultado definido.
B) EXPERIMENTO ALEATORIO.- Es toda actividad cuyos resultados no se determinan con certeza. Ejemplo: lanzar una moneda al aire. No podemos determinar con toda certeza ¿cuál será el resultado al lanzar una moneda al aire?, por lo tanto constituye un experimento aleatorio.
C) ESPACIO MUESTRAL (S).- Es un conjunto de todos los resultados posibles que se pueden obtener al realizar un experimento aleatorio. Ejemplo: sea el experimento E: lanzar un dado y el espacio muestral correspondiente a este experimento es: S = ?1, 2, 3, 4, 5, 6?.
D) PUNTO MUESTRAL.- Es un elemento del espacio muestral de cualquier experimento dado.
E) EVENTO O SUCESO.- Es todo subconjunto de un espacio muestral. Se denotan con letras mayúsculas: A, B, etc. Los resultados que forman parte de este evento generalmente se conocen como “resultados favorables”. Cada vez que se observa un resultado favorable, se dice que “ocurrió” un evento. Ejemplo: Sea el experimento E: lanzar un dado. Un posible evento podría ser que salga número par. Definimos el evento de la siguiente manera: A = sale número par = ?2, 4, 6?, resultados favorables n(E) = 3
Los eventos pueden ser:
i) Evento cierto.- Un evento es cierto o seguro si se realiza siempre. Ejemplo: Al introducirnos en el mar, en condiciones normales, es seguro que nos mojaremos.
ii) Evento imposible.- Un evento es imposible si nunca se realiza. Al lanzar un dado una sola vez, es imposible que salga un 10
iii) Evento probable o aleatorio.- Un evento es aleatorio si no se puede precisar de antemano el resultado. Ejemplo: ¿Al lanzar un dado, saldrá el número 3?
F) PROBABILIDAD.- Es el conjunto de posibilidades de que un evento ocurra o no en un momento y tiempo determinado. Dichos eventos pueden ser medibles a través de una escala de 0 a 1, donde el evento que no pueda ocurrir tiene una probabilidad de 0 (evento imposible) y un evento que ocurra con certeza es de 1 (evento cierto).
La probabilidad de que ocurra un evento, siendo ésta una medida de la posibilidad de que un suceso ocurra favorablemente, se determina principalmente de dos formas: empíricamente (de manera experimental) o teóricamente (de forma matemática).
i) Probabilidad empírica.- Si E es un evento que puede ocurrir cuando se realiza un experimento, entonces la probabilidad empírica del evento E, que a veces se le denomina definición de frecuencia relativa de la probabilidad, está dada por la siguiente fórmula: ??(??) = ??ú???????? ???? ?????????? ?????? ???????????? ???? ???????????? ?? ??ú???????? ???? ?????????? ?????? ???? ????????????ó ???? ?????????????????????? Nota: P(E), se lee probabilidad del evento E Mgs. Mario Suárez Introducción a la Probabilidad
= 18 Ejemplo ilustrativos
1) En el año 2010, nacieron en un hospital 100 hombres y 150 mujeres. Si una persona fue seleccionada aleatoriamente de los registros de nacimientos de ese año, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido mujer?
Solución:
Ya que las probabilidades de que nazcan hombres o mujeres no son iguales, y por tener información específica experimental que respalda este hecho, se calcula empleando la fórmula de la probabilidad experimental ??(??) = ??ú???????? ???? ?????????? ?????? ???????????? ???? ???????????? ?? ??ú???????? ???? ?????????? ?????? ???? ????????????ó ???? ?????????????????????? ??(??????????????) = ??ú???????? ???? ?????????????????????? ???? ?????????????? ??ú???????? ?????????? ???? ?????????????????????? 150 150 3 = = = 0,6 = 60% 100 + 150 250 5 Nota: la respuesta puede estar expresada como fracción, como un número decimal y como un porcentaje.
2) La siguiente tabla muestra el número de cajas y el número de artículos dañados por caja que un comerciante recibió. Calcular la probabilidad para cada resultado individual N° de cajas 50 40 10 N° de artículos dañados 0 2 3 Solución:
Ya que las probabilidades de defectos por caja no son iguales, y por tener información específica experimental que respalda este hecho, se calcula empleando la definición de frecuencia relativa de la probabilidad. N° de cajas 50 40 10 100 N° de artículos dañados 0 2 3 P(E) P(0) = 50/100 = 1/2 = 0,5 = 50% P(2) = 40/100 = 2/5 = 0,4 = 40% P(3) = 10/100 = 1/10 = 0,1 = 10% 1 = 100% Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente figura: Mgs. Mario Suárez Introducción a la Probabilidad
= 19 Nota:
La respuesta 0,5 significa que existe una probabilidad de 0,5 o del 50% de que 0 artículos en cualquier caja dada estuviera dañado
La respuesta 0,4 significa que existe una probabilidad de 0,4 o del 40% de que 2 artículos en cualquier caja dada estuviera dañado
La respuesta 0,1 significa que existe una probabilidad de 0,1 o del 10% de que 3 artículos en cualquier caja dada estuviera dañado
La suma de las probabilidades individuales siempre es igual a 1 que en porcentaje es igual al 100%
ii) Probabilidad teórica.- Si todos los resultados en un espacio muestral S finito son igualmente probables, y E es un evento en ese espacio muestral, entonces la probabilidad teórica del evento E está dada por la siguiente fórmula, que a veces se le denomina la definición clásica de la probabilidad, expuesta por Pierre Laplace en su famosa Teoría analítica de la probabilidad publicada en 1812: ??(??) = ??ú???????? ???? ???????????????????? ???????????????????? ??(??) = ??ú???????? ?????????? ???? ???????????????? ???????????????????? ??(??) Ejemplos ilustrativos 1) En cierta rifa de un automóvil se venden 5000 boletos. Calcular la probabilidad de ganarse el automóvil 1.1) Si se compran 20 boletos. 1.2) Si se compran todos los boletos 1.3) Si no se compran boletos
Solución: Ya que el espacio muestral S (5000 boletos) es finito, y los resultados de cada boleto son igualmente probables, se calcula empleando la fórmula de la definición clásica de la probabilidad ??(??) = ??ú???????? ???? ???????????????????? ???????????????????? ??ú???????? ?????????? ???? ???????????????????? ???????????????? = ??(??) ??(??) 20 1 1.1) ??(20) = = = 0,004 = 0,4% 5000 250 5000 1.2) ??(5000) = = 1 = 100% 5000 0 1.3) ??(0) = = 0 = 0% 5000
2) Calcular la probabilidad de obtener un número impar en el lanzamiento de un dado
Solución: Espacio muestral = S = ?1, 2, 3, 4, 5, 6?, entonces, n(S) = 6
Resultados favorables = ?1, 3, 5?, entonces, n(E) = 3 ??(??) = ??ú???????? ???? ???????????????????? ???????????????????? ??ú???????? ?????????? ???? ???????????????????? ???????????????? ??(??) 3 1 = = = 0,5 = 50% ??(??) 6 2 Mgs. Mario Suárez Introducción a la Probabilidad
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 20 3) En un ánfora existe 10 fichas amarillas, 6 rojas y 4 azules.
3.1) ¿Qué probabilidad existe de sacar una ficha amarilla en un primer intento? 3.2) ¿Qué probabilidad existe de sacar una ficha no roja en un primer intento?
Solución: n(S) = 10 + 6 + 4 = 20
3.1) n(E) = 10 ??(??) =
??(??) = ??ú???????? ???? ???????????????????? ???????????????????? ??ú???????? ?????????? ???? ???????????????????? ????????????????
10 1 = = 0,5 = 50% 20 2 = ??(??) ??(??) 3.2) Si P(E) es la probabilidad de que ocurra el evento E y ??(??) la probabilidad de que no ocurra el evento E. Debido a que la suma de las probabilidades siempre da como resultado 1, es decir, ??(??) + ??(??) = 1, por lo que se tiene: ??(??) = 1 – ??(??),
Calculando la probabilidad de sacar una ficha roja se obtiene:
n(E) = 6 ??(??) =
??(??) = ??ú???????? ???? ???????????????????? ???????????????????? ??ú???????? ?????????? ???? ???????????????????? ???????????????? 6 = 0,3 20 = ??(??) ??(??) Calculando la probabilidad de sacar una ficha no roja se obtiene:
??(??) = 1 – ??(??) ??(??) = 1 – ??(??) ??(??) = 1 – 0,3 = 0,7
4) En una urna existe 10 bolas numeradas con los números dígitos.
4.1) ¿Qué probabilidad existe de sacar una bola enumerada con un número múltiplo de 3? 4.2) ¿Qué probabilidad existe de sacar una bola enumerada con un número divisor de 6?
Solución: ??(??) = ??ú???????? ???? ???????????????????? ???????????????????? ??ú???????? ?????????? ???? ???????????????????? ???????????????? = ??(??) ??(??) Espacio muestral = S = ?0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?, entonces, n(S) = 10
4.1) Resultados favorables = ?3, 6, 9?, entonces, n(E) = 3 ??(??ú???????????? ???? 3) =
Mgs. Mario Suárez 3 10 Introducción a la Probabilidad
21 4.2) Resultados favorables = ?1, 2, 3, 6?, entonces, n(E) = 4 ??(?????????????? ???? 6) = 4 2 = = 0,4 = 40% 10 5 5) De una urna que contiene 2 bolas rojas y 3 azules
5.1) Se extrae una bola, calcular la probabilidad de que la bola sea a) Roja b) Azul
Solución: ??ú???????? ?????????? ???? ???????????????????? ???????????????? = ??(??) = 2 + 3 = 5
a) Roja (R)
??ú???????? ???? ???????????????????? ???????????????????? = ??(??) = 2
Remplazando valores en la fórmula de la probabilidad teórica se tiene ??(??) = ??ú???????? ???? ???????????????????? ???????????????????? ??ú???????? ?????????? ???? ???????????????????? ???????????????? = ??(??) ??(??) ? ??(??) = 2 5 b) Azul (A)
??ú???????? ???? ???????????????????? ???????????????????? = ??(??) = 3
Remplazando valores en la fórmula de la probabilidad teórica se tiene ??(??) = ??ú???????? ???? ???????????????????? ???????????????????? ??ú???????? ?????????? ???? ???????????????????? ???????????????? = ??(??) ??(??) ? ??(??) = 3 5 5.2) Se extraen simultáneamente dos bolas, calcular la probabilidad de que las dos sean
a) Azules b) Rojas c) Diferente color
Designando por ??1 , ??2 , las bolas rojas y por ??1 , ??2 , ??3 las azules se tiene el siguiente espacio muestral:
??1 ??2 , ??1 ??1 , ??1 ??2 , ??1 ??3 ??2 ??1 , ??2 ??2 , ??2 ??3 ??1 ??2 , ??1 ??3 ??2 ??3
Entonces, n(S) = 4 + 3+ 2+ 1 = 10 Mgs. Mario Suárez Introducción a la Probabilidad
22 a) Azules
Resultados favorables = {??1 ??2 , ??1 ??3 , ??2 ??3 }, entonces, n(E) = 3 ??(??) = ??ú???????? ???? ???????????????????? ???????????????????? ??ú???????? ?????????? ???? ???????????????????? ???????????????? = ??(??) ??(??) ??(????) = 3 10 Otra forma de resolver este ejercicio es la siguiente:
El espacio muestral se calcula aplicando la fórmula de la combinación, es decir, ??(??) = ?????? = ??! ??! (?? – ??)! En donde: n = número total de bolas = 2 + 3 = 5 r = número de bolas azules motivo de probabilidad = 2
Entonces, remplazando valores en la fórmula de la combinación se obtiene: ??(??) = 5??2 = 5! 5! 5·4·3·2·1 = = 2! (5 – 2)! 2! 3! (2 · 1)(3 · 2 · 1) = 5 · 2 = 10 El número de resultados favorables se calcula aplicando la fórmula de la combinación, es decir, ??(??) = ?????? = ??! ??! (?? – ??)! En donde: n = número total de bolas azules = 3 r = número de bolas azules motivo de probabilidad = 2
Entonces, remplazando valores en la fórmula de la combinación se obtiene: ??(??) = 3??2 = 3! 3! 3·2·1 = = 2! (3 – 2)! 2! 1! (2 · 1)(1 · 1) =3 Reemplazando valores en la fórmula de la probabilidad se tiene: ??(??) = ??ú???????? ???? ???????????????????? ???????????????????? ??ú???????? ?????????? ???? ???????????????????? ???????????????? = ??(??) ??(??) ??(????) = ??(??) ??(??) = 3??2 5??2 = 3 10 Los cálculos en Excel aplicando combinaciones se muestran en la siguiente figura: Mgs. Mario Suárez Introducción a la Probabilidad
23 b) Rojas Resultados favorables = {??1 ??2 }, entonces, n(E) = 1 ??(????) = ??(??) 1 = ??(??) 10 Otra forma de resolver este ejercicio es la siguiente: ??(????) = ??(??) ??(??) = 2??2 5??2 = 1 10 = 0,1 Los cálculos en GeoGebra aplicando combinaciones se muestran en la siguiente figura:
c) Diferente color Resultados favorables = {??1 ??1 , ??1 ??2 , ??1 ??3 , ??2 ??1 , ??2 ??2 , ??2 ??3 }, entonces, n(E) = 6 ??(??) = ??(??) 6 3 = = ??(??) 10 5 Otra forma de resolver este ejercicio es la siguiente: ??(??) = ??(??) ??(??) = 2??1 · 3??1 5??2 = 6 3 = 10 5 Los cálculos en Excel aplicando combinaciones se muestran en la siguiente figura:
5.3) Se extraen simultáneamente tres bolas, calcular la probabilidad de que las tres sean
a) Dos rojas y una azul b) Una roja y dos azules c) Tres azules
Solución: Designando por ??1 , ??2 , las bolas rojas y por ??1 , ??2 , ??3 las azules se tiene el siguiente espacio muestral: ??1 ??2 ??1 , ??1 ??2 ??2 , ??1 ??2 ??3 ??1 ??1 ??2 , ??1 ??1 ??3 ??1 ??2 ??3 ??2 ??1 ??2 , ??2 ??1 ??3 ??2 ??2 ??3 ??1 ??2 ??3
Entonces, n(S) = 3 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 = 10 Mgs. Mario Suárez Introducción a la Probabilidad
24 a) Dos rojas y una azul
Resultados favorables = {??1 ??2 ??1 , ??1 ??2 ??2 , ??1 ??2 ??3 }, entonces, n(E) = 3 ??(??) = ??(??) 3 = ??(??) 10 Otra forma de resolver este ejercicio es la siguiente: ??(??) = ??(??) ??(??) = 2??2 · 3??1 5??3 = 3 10 = 0,3 Los cálculos en GeoGebra aplicando NúmeroCombinatorio se muestran en la siguiente figura:
b) Una roja y dos azules
Resultados favorables = {??1 ??1 ??2 , ??1 ??1 ??3 , ??1 ??2 ??3 , ??2 ??1 ??2 , ??2 ??1 ??3 , ??2 ??2 ??3 }, entonces, n(E) = 6 ??(??) = ??(??) 6 3 = = ??(??) 10 5 Otra forma de resolver este ejercicio es la siguiente: ??(??) = ??(??) ??(??) = 2??1 · 3??2 5??3 = 6 3 = 10 5 c) Tres azules
Resultados favorables = {??1 ??2 ??3 }, entonces, n(E) = 1 ??(??) = ??(??) 1 = ??(??) 10 Otra forma de resolver este ejercicio es la siguiente: ??(??) = ??(??) ??(??) = 3??3 5??3 = 1 10 = 0,1 Los cálculos en GeoGebra se muestran en la siguiente figura: Mgs. Mario Suárez Introducción a la Probabilidad
25 5.4) Se extraen simultáneamente cuatro bolas, calcular la probabilidad de que las cuatro sean
a) Dos rojas y dos azules b) Una roja y tres azules
Solución:
Designando por ??1 , ??2 , las bolas rojas y por ??1 , ??2 , ??3 las azules se tiene el siguiente espacio muestral:
??1 ??2 ??1 ??2 , ??1 ??2 ??1 ??3 , ??1 ??2 ??2 ??3 , ??1 ??1 ??2 ??3 , ??2 ??1 ??2 ??3
Entonces, n(S) = 5
a) Dos rojas y dos azules
Resultados favorables = {??1 ??2 ??1 ??2 , ??1 ??2 ??1 ??3 , ??1 ??2 ??2 ??3 }, entonces, n(E) = 3 ??(??) = ??(??) 3 = ??(??) 5 Otra forma de resolver este ejercicio es la siguiente: ??(??) = ??(??) ??(??) = 2??2 · 3??2 5??4 = 3 5 b) Una roja y tres azules
Resultados favorables = { ??1 ??1 ??2 ??3 , ??2 ??1 ??2 ??3 }, entonces, n(E) = 2 ??(??) = ??(??) 2 = ??(??) 5 Otra forma de resolver este ejercicio es la siguiente: ??(??) = ??(??) ??(??) = 2??1 · 3??3 5??4 = 2 5 6) De una urna que contiene 6 bolas rojas y 5 negras se extraen simultáneamente dos bolas, calcular la probabilidad de que:
6.1) Las dos sean rojas 6.2) Las dos sean negras 6.3) De diferente color
Solución:
6.1) ??(??) = ??ú???????? ???? ???????????????????? ???????????????????? ??ú???????? ?????????? ???? ???????????????????? ???????????????? = ??(??) ??(??) Mgs. Mario Suárez Introducción a la Probabilidad
