La programación lineal como técnica de investigación de operaciones

La Programación Lineal es una técnica de investigación de operaciones para la determinación de la asignación óptima de recursos escasos cuando la función objetivo y las restricciones son lineales. Es una manera eficiente de resolver estos problemas cuando se debe hacer una elección de alternativas muy numerosas que no pueden evaluarse intuitivamente por los métodos convencionales.

En la actualidad es una herramienta común, que se ha prestado para resolver problemas de gran magnitud, a los cuales se desea maximizar o minimizar una función sujeta a ciertas restricciones.

SOLUCIÓN A LOS PROBLEMAS DE ESTUDIO:

Cuando los consumidores se encuentran muy dispersos, la venta directa resultaría impráctica por los costos tan altos de transporte.

Se dispone de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130.000 euros en las del tipo A y como mínimo 60.000 en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual.

• Construcción del Modelo

                                                    210000               0,1x+0,08y

• Elección y formulación de las Variables

• Llamamos x a la cantidad que invertimos en acciones de tipo A

• Llamamos y a la cantidad que invertimos en acciones de tipo B

• Evaluación y Formulación de las Restricciones

Condiciones que deben cumplirse (restricciones):

X = 0

Y = 0

R1 = X + Y = 210000

R2= X = 130000

R3 = Y = 60000

R4 = X = 2Y

• Formulación de la Función Objetivo

F (X, Y) = 0, 1X + O, 08Y

• Desarrollo del Método Grafico, Algebraico y Simplex

Dibujamos las rectas auxiliares asociadas a las restricciones para conseguir la región factible (conjunto de puntos que cumplen esas condiciones).

La región factible es la pintada de amarillo, de vértices A, B, C, D y E

• Obtención de resultados y Toma de Decisiones Orientadas a la Organización.

A (0, 60000), B (120000, 60000), C (130000, 65000), D (130000, 80000) y E (0, 210000)

A = F (X, Y) = 0, 1(0) + O, 08(60000) = 4800

B = F (X, Y) = 0, 1(120000) + O, 08(60000) = 12000 + 4800 = 16800

C = F (X, Y) = 0, 1(130000) + O, 08(65000) = 13000 + 5200 = 18200

D = F (X, Y) = 0, 1(130000) + O, 08(80000) = 13000 + 6400 = 19400

E = F (X, Y) = 0, 1(0) + O, 08(210000) = 16800

Si dibujamos la curva F(x, y) =0 (en rojo) y la desplazamos se puede comprobar gráficamente que el vértice  mas alejado es el D, y por tanto es la solución óptima, el máximo interés esperado. Es decir, comprobar que el valor máximo de la función objetivo,  F,  se alcanza en el vértice D.

Los productos perecederos requieren canales de distribución directos o muy cortos.

Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autocares de 40 plazas y 10 autocares de 50 plazas, pero solo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 80 euros y el de uno pequeño, 60 euros. Calcular cuantos de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo mas económica posible para la escuela.

• Construcción del Modelo

Entonces se tiene  X = 8, Y = 10

Como sólo hay 9 conductores se verifica que: X + Y = 9

Como tienen que caber 400 alumnos se debe de verificar: 40X + 50Y = 400, que simplificada quedaría 4X + 5Y = 40.

• Elección y Formulación de las Variables.

X nº de autocares de 40 plazas

Y nº de autocares de 50 plazas que alquila la escuela.

• Evaluación y Formulación de las Restricciones.

Las restricciones que nos van a permitir calcular la  región factible (conjunto de puntos solución donde se cumplen todas las condiciones) son:

X = 0

Y = 0

R1 = X = 8

R2= Y = 10

R3 = X + Y = 9

R4 = 4X + 5Y = 40

• Formulación de la Función Objetivo.

F(x, y)= 60X + 80Y Minimizar

• Desarrollo del Método Grafico, Algebraico y Simplex

r1                       r2                r3                              r4

Así como la de que corresponde a F(x, y)=0 que se dibuja en rojo.

Teniendo en cuenta las restricciones (la de  R4  es la parte de arriba  y que la R3 es la parte de abajo), se encuentra la región factible. En el dibujo es la parte amarilla.

Los vértices son (0, 8), (0, 9) y el (5, 4), este último es el punto de intersección de las rectas r3 y r4.

X + Y = 9 5X + 5Y = 45

4X + 5Y = 40 Por Reducción 4X + 5Y = 40

• Obtención de resultados y Toma de Decisiones Orientadas a la Organización.

Restando ambas ecuaciones se tiene que X= 5 y sustituyendo en la 1ª ecuación, Y =4. Resolviendo gráficamente se llega a que el punto (5, 4) es la solución del problema.  La solución óptima.

Comprobarlo sustituyendo en F(x, y) todos los vértices y que este es el que da menor valor (método analítico).

Los requerimientos de los comerciantes y las capacidades de los distribuidores.

Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L1 y L2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un trabajo de máquina para L1 y de 10 minutos para L2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L1 y L2, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio.

• Construcción del Modelo

• Elección y Formulación de las Variables

X = Nº de lámparas L1

Y = Nº de lámparas L2

• Evaluación y Formulación de las Restricciones

Pasamos los tiempos a horas

20 minutos = 1/3 hora

30 minutos = 1/2 hora

10 minutos = 1/6 hora Entonces,

• 1/3X + 1/2Y = 100

• 1/3X + 1/6Y = 80

X = 0

Y = 0

• Formulación de la Función Objetivo

F (X, Y) = 15X + 10Y

• Desarrollo del Método Grafico, Algebraico y Simplex

Al ser X = 0 y Y = 0, establecemos el primer cuadrante y resolvemos gráficamente la inecuación: 1/3X + 1/2Y = 100. Ejemplo (0, 0).

1/3 (0) + 1/2 (0) = 100

1/3 (0) + 1/6 (0) = 80

La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones seria la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.

La solución optima si es única, se encuentra en un vértice del recinto. Solución a los sistemas:

1/3X + 1/2Y = 100; X = 0 (0, 200)

1/3X + 1/6Y = 80: Y = 0 (240, 0)

1/3X + 1/2Y = 100; 1/3X + 1/6Y = 80: (210, 60)

• Obtención de Resultados y Toma de decisiones Orientados a la Organización.

En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices:

F (X, Y) = 15X + 10Y

F (0, 200) = 15 (0) + 10 (200) = 2000 Euros

F (240, 0) = 15 (240) + 10 (0) = 3600 Euros

F (210, 60) = 15 (210) + 10 (60) = 3750 Euros. Maximizar

La solución óptima es fabricar 210 del modelo L1 y 60 del modelo L2, para obtener un beneficio de 3750 Euros.

• a. El precio fijado a cada unidad de un producto influye en la cantidad de fondos disponibles para su distribución.

Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada paquete serán 6.5 y 7 €, respectivamente. ¿Cuántos paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el máximo beneficio?

1.1 Construcción del Modelo

1.2 Elección y Formulación de las Variables

• X = P1

• Y = P2

1.3 Evaluación y Formulación de las Restricciones

• 2X + 3Y = 600

• X + Y = 500

• 2X + Y = 400

• X = 0

• Y = 0

1.4 Formulación de la Función Objetivo

F (X, Y) = 6.5X + 7Y

1.5 Desarrollo del Método Grafico, Algebraico y Simplex

Conjunto de Soluciones Factibles:

Coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles

1.6 Obtención de Resultados y Toma de Decisiones Orientadas a la Organización

Calculando el valor de la función objetivo

F (X, Y) = 6.5X + 7Y

F (X, Y) = 6.5 (200) + 7 (0) = 1300 Euros

F (X, Y) = 6.5 (0) + 7 (200) = 1400 Euros

F (X, Y) = 6.5 (150) + 7 (100) = 1675 Euros – Máximo

La solución optima son 150 para el Bloque 1 y 100 para el Bloque 2, con la que se obtienen 1675 Euros.

• b. Cuando el tamaño de los pedidos o el volumen total del negocio es mínimo, la distribución indirecta resultaría costosa.

Se dispone de 600 g de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y pequeñas. Las grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g. Se necesitan al menos tres pastillas grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 € y la pequeña de 1 €. ¿Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo?

1.1 Construcción del Modelo

1.2 Elección y Formulación de las Variables

X = Pastillas Grandes

Y = Pastillas Pequeñas

1.3 Evaluación y Formulación de las Restricciones

40X + 30Y = 600

X = 3

Y = 2X

X = 0

Y = 0

1.4 Formulación de la Función Objetivo

F (X, Y) = 2X + Y

1.5 Desarrollo del Método Gráfico, Algebraico y Simplex

Conjunto de Soluciones Factibles

Coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

1.6 Obtención de Resultados y Toma de Decisiones Orientadas a la Organización

Calculando el valor de la función objetivo:

F (X, Y) = 2X + Y

F (X, Y) = 2(3) + 16 = 22 Pesos

F (X, Y) = 2(3) + 6 = 12 Pesos

F (X, Y) = 2(3) + 12 = 24 Pesos – Máximo

El máximo beneficio es de 24 pesos y se obtiene fabricando 6 pastillas grandes y 12 pequeñas.

CONCLUSIONES GENERALES

La Programación Lineal dentro de una forma más completa, que conlleve a una solución optima más eficaz y precisa, utiliza distintos métodos (algebraicos, gráficos y simplex) que trabajan en la rigurosidad del modelo. Estos métodos establecen una solución factible y luego prueban si es optima o no, y para los casos en los cuales no lo sea, buscan una mejer solución y si esta no es óptima entonces se repite el proceso, hallar una solución óptima.

La programación lineal enmarca el desarrollo de nuevos métodos que respondan de manera rápida y confiable, a problemas que se puedan presentar en la cotidianidad. Una técnica como la investigación de operaciones la cual pase a ser una base en la toma de decisiones, dado que proporciona un conjunto de métodos altamente efectivos para la consecución de un gran número de soluciones viables para un caso cualquiera.

BIBLIOGRAFÍA

http://actividadesinfor.webcindario.com/proli.htm. Ejercicios de Programación Lineal

• Guía Didáctica: Programación Lineal. Autor: Ing. Oscar Javier Hernández Sierra. Agosto de 2012. Universidad Nacional Abierta y a Distancia.

Autor:

Inocencio Meléndez Julio

Magíster en Administración

Magíster en Derecho

Doctorando en Derecho Patrimonial: La Contratación Contemporánea.