Introducción a las Probabilidades

A) EXPERIMENTO

Es toda acción sobre la cual vamos a realizar una medición u observación, es decir cualquier proceso que genera un resultado definido.

B) EXPERIMENTO ALEATORIO

Es toda actividad cuyos resultados no se determinan con certeza. Ejemplo: lanzar una moneda al aire. No podemos determinar con toda certeza ¿cuál será el resultado al lanzar una moneda al aire?, por lo tanto constituye un experimento aleatorio.

C) ESPACIO MUESTRAL (S)

Es un conjunto de todos los resultados posibles que se pueden obtener al realizar un experimento aleatorio. Ejemplo: sea el experimento E: lanzar un dado y el espacio muestral correspondiente a este experimento es: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

D) PUNTO MUESTRAL

Es un elemento del espacio muestral de cualquier experimento dado.

E) EVENTO O SUCESO.-

Es todo subconjunto de un espacio muestral. Se denotan con letras mayúsculas: A, B, etc. Los resultados que forman parte de este evento generalmente se conocen como "resultados favorables". Cada vez que se observa un resultado favorable, se dice que "ocurrió" un evento. Ejemplo: Sea el experimento E: lanzar un dado. Un posible evento podría ser que salga número par. Definimos el evento de la siguiente manera: A = sale número par = {2, 4, 6}, resultados favorables n(E) = 3

Los eventos pueden ser:

i) Evento cierto.- Un evento es cierto o seguro si se realiza siempre. Ejemplo: Al introducirnos en el mar, en condiciones normales, es seguro que nos mojaremos.

ii) Evento imposible.- Un evento es imposible si nunca se realiza. Al lanzar un dado una sola vez, es imposible que salga un 10

iii) Evento probable o aleatorio.- Un evento es aleatorio si no se puede precisar de antemano el resultado. Ejemplo: ¿Al lanzar un dado, saldrá el número 3?

F) PROBABILIDAD

Es el conjunto de posibilidades de que un evento ocurra o no en un momento y tiempo determinado. Dichos eventos pueden ser medibles a través de una escala de 0 a 1, donde el evento que no pueda ocurrir tiene una probabilidad de 0 (evento imposible) y un evento que ocurra con certeza es de 1 (evento cierto).

La probabilidad de que ocurra un evento, siendo ésta una medida de la posibilidad de que un suceso ocurra favorablemente, se determina principalmente de dos formas: empíricamente (de manera experimental) o teóricamente (de forma matemática).

i) Probabilidad empírica.- Si E es un evento que puede ocurrir cuando se realiza un experimento, entonces la probabilidad empírica del evento E, que a veces se le denomina definición de frecuencia relativa de la probabilidad, está dada por la siguiente fórmula:

Nota: P(E), se lee probabilidad del evento E

Ejemplo ilustrativos

1) En el año 2010, nacieron en un hospital 100 hombres y 150 mujeres. Si una persona fue seleccionada aleatoriamente de los registros de nacimientos de ese año, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido mujer?

Solución:

Ya que las probabilidades de que nazcan hombres o mujeres no son iguales, y por tener información específica experimental que respalda este hecho, se calcula empleando la fórmula de la probabilidad experimental

Nota: la respuesta puede estar expresada como fracción, como un número decimal y como un porcentaje.

2) La siguiente tabla muestra el número de cajas y el número de artículos dañados por caja que un comerciante recibió. Calcular la probabilidad para cada resultado individual

Solución:

Ya que las probabilidades de defectos por caja no son iguales, y por tener información específica experimental que respalda este hecho, se calcula empleando la definición de frecuencia relativa de la probabilidad.

Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente figura:

Nota:

La respuesta 0,5 significa que existe una probabilidad de 0,5 o del 50% de que 0 artículos en cualquier caja dada estuviera dañado

La respuesta 0,4 significa que existe una probabilidad de 0,4 o del 40% de que 2 artículos en cualquier caja dada estuviera dañado

La respuesta 0,1 significa que existe una probabilidad de 0,1 o del 10% de que 3 artículos en cualquier caja dada estuviera dañado

La suma de las probabilidades individuales siempre es igual a 1 que en porcentaje es igual al 100%

ii) Probabilidad teórica.- Si todos los resultados en un espacio muestral S finito son igualmente probables, y E es un evento en ese espacio muestral, entonces la probabilidad teórica del evento E está dada por la siguiente fórmula, que a veces se le denomina la definición clásica de la probabilidad, expuesta por Pierre Laplace en su famosa Teoría analítica de la probabilidad publicada en 1812:

Ejemplo ilustrativos

1) En cierta rifa de un automóvil se venden 5000 boletos. Calcular la probabilidad de ganarse el automóvil

1.1) Si se compran 20 boletos.

1.2) Si se compran todos los boletos

1.3) Si no se compran boletos

Solución:

Ya que el espacio muestral S (5000 boletos) es finito, y los resultados de cada boleto son igualmente probables, se calcula empleando la fórmula de la definición clásica de la probabilidad

2) Calcular la probabilidad de obtener un número impar en el lanzamiento de un dado

Solución:

Espacio muestral = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, entonces, n(S) = 6

Resultados favorables = {1, 3, 5}, entonces, n(E) = 3

3) En un ánfora existe 10 fichas amarillas, 6 rojas y 4 azules.

3.1) ¿Qué probabilidad existe de sacar una ficha amarilla en un primer intento?

3.2) ¿Qué probabilidad existe de sacar una ficha no roja en un primer intento?

Solución:

n(S) = 10 + 6 + 4 = 20

3.1) n(E) = 10

3.2) Si P(E) es la probabilidad de que ocurra el evento E y la probabilidad de que no ocurra el evento E. Debido a que la suma de las probabilidades siempre da como resultado 1, es decir, por lo que se tiene:

Calculando la probabilidad de sacar una ficha roja se obtiene:

n(E) = 6

Calculando la probabilidad de sacar una ficha no roja se obtiene:

4) En una urna existe 10 bolas numeradas con los números dígitos.

4.1) ¿Qué probabilidad existe de sacar una bola enumerada con un número múltiplo de 3?

4.2) ¿Qué probabilidad existe de sacar una bola enumerada con un número divisor de 6?

Solución:

Espacio muestral = S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, entonces, n(S) = 10

4.1)

Resultados favorables = {3, 6, 9}, entonces, n(E) = 3

4.2)

Resultados favorables = {1, 2, 3, 6}, entonces, n(E) = 4

5) De una urna que contiene 2 bolas rojas y 3 azules

5.1) Se extrae una bola, calcular la probabilidad de que la bola sea

a) Roja

b) Azul

Solución:

a) Roja (R)

Remplazando valores en la fórmula de la probabilidad teórica se tiene

b) Azul (A)

Remplazando valores en la fórmula de la probabilidad teórica se tiene

5.2) Se extraen simultáneamente dos bolas, calcular la probabilidad de que las dos sean

a) Azules

b) Rojas

c) Diferente color

Designando por las bolas rojas y por las azules se tiene el siguiente espacio muestral:

Entonces, n(S) = 4 + 3+ 2+ 1 = 10

a) Azules

Resultados favorables = entonces, n(E) = 3

Otra forma de resolver este ejercicio es la siguiente:

El espacio muestral se calcula aplicando la fórmula de la combinación, es decir,

En donde:

n = número total de bolas = 2 + 3 = 5

r = número de bolas azules motivo de probabilidad = 2

Entonces, remplazando valores en la fórmula de la combinación se obtiene:

El número de resultados favorables se calcula aplicando la fórmula de la combinación, es decir,

En donde:

n = número total de bolas azules = 3

r = número de bolas azules motivo de probabilidad = 2

Entonces, remplazando valores en la fórmula de la combinación se obtiene:

Reemplazando valores en la fórmula de la probabilidad se tiene:

Los cálculos en Excel aplicando combinaciones se muestran en la siguiente figura:

b) Rojas

Resultados favorables = entonces, n(E) = 1

Otra forma de resolver este ejercicio es la siguiente:

Los cálculos en Excel aplicando combinaciones se muestran en la siguiente figura:

c) Diferente color

Resultados favorables = entonces, n(E) = 6

Otra forma de resolver este ejercicio es la siguiente:

Los cálculos en Excel aplicando combinaciones se muestran en la siguiente figura:

5.3) Se extraen simultáneamente tres bolas, calcular la probabilidad de que las tres sean

a) Dos rojas y una azul

b) Una roja y dos azules

c) Tres rojas

Solución:

Designando por las bolas rojas y por las azules se tiene el siguiente espacio muestral:

Entonces, n(S) = 3 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 = 10

a) Dos rojas y una azul

Resultados favorables = entonces, n(E) = 3

Otra forma de resolver este ejercicio es la siguiente:

Los cálculos en Excel aplicando combinaciones se muestran en la siguiente figura:

b) Una roja y dos azules

Resultados favorables = entonces, n(E) = 6

Otra forma de resolver este ejercicio es la siguiente:

Los cálculos en Excel aplicando combinaciones se muestran en la siguiente figura:

c) Tres azules

Resultados favorables = entonces, n(E) = 1

Otra forma de resolver este ejercicio es la siguiente:

Los cálculos en Excel aplicando combinaciones se muestran en la siguiente figura:

5.4) Se extraen simultáneamente cuatro bolas, calcular la probabilidad de que las cuatro sean

a) Dos rojas y dos azules

b) Una roja y tres azules

Solución:

Designando por las bolas rojas y por las azules se tiene el siguiente espacio muestral:

Entonces, n(S) = 5

a) Dos rojas y dos azules

Resultados favorables = entonces, n(E) = 3

Otra forma de resolver este ejercicio es la siguiente:

Los cálculos en Excel aplicando combinaciones se muestran en la siguiente figura:

b) Una roja y tres azules

Resultados favorables = entonces, n(E) = 2

Otra forma de resolver este ejercicio es la siguiente:

Los cálculos en Excel aplicando combinaciones se muestran en la siguiente figura:

6) De una urna que contiene 6 bolas rojas y 5 negras se extraen simultáneamente dos bolas, calcular la probabilidad de que:

6.1) Las dos sean rojas

6.2) Las dos sean negras

6.3) De diferente color

Solución:

6.1)

En Excel:

6.2)

En Excel:

6.3)

En Excel:

7) De una urna que contiene 6 fichas rojas, 5 negras y 9 azules, Elizabeth extrae simultáneamente tres fichas, calcular la probabilidad de que las 3 fichas extraídas por Elizabeth sean:

7.1) Rojas

7.2) 2 rojas y una negra

7.3) De diferente color

Solución:

7.1) Rojas

En Excel:

7.2) 2 rojas y una negra

En Excel:

7.3) De diferente color

En Excel:

8) En una ferretería existen 6 galones de pintura roja, 5 de pintura naranja, 9 de pintura amarrillo y 10 de pintura blanca. Bertha compra aleatoriamente cuatro galones de pintura, calcular la probabilidad de que los galones comprados por Bertha sean de diferente color.

Solución:

En Excel:

9) Se lanzan simultáneamente tres monedas, calcular la probabilidad de que se obtengan dos caras y un sello.

Solución:

Designando por C = cara y por S = sello se tiene:

Espacio muestral = S = {CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC, SSS}, entonces, n(S) = 8

Resultados favorables = { CCS, CSC, SCC }, entonces, n(E) = 3

Todas las probabilidades individuales se representan en la siguiente tabla:

Interpretación:

La probabilidad de obtener 3 caras al lanzar simultáneamente tres monedas es de 1/8, es decir, P(CCC)= 1/8

La probabilidad de obtener 2 caras y un sello al lanzar simultáneamente tres monedas es de 3/8, es decir, P(CCS) = 3/8

La probabilidad de obtener una cara y 2 sellos al lanzar simultáneamente tres monedas es de 3/8, es decir, P(CSS) = 3/8

La probabilidad de obtener 3 sellos al lanzar simultáneamente tres monedas es de 1/8, es decir, P(SSS)= 1/8

Nota:

El número 8 (espacio muestral), se calcula empleando la ecuación

En donde n es el número de monedas que se lanzan

Los números 1, 3, 3, 1 se calculan mediante el siguiente esquema conocido con el nombre de "Triángulo de Pascal", el cual está relacionado directamente con el Teorema del Binomio de Newton.

Este triángulo tiene como primera fila un 1, como segunda fila dos 1. Para las demás filas, la suma de cada par de números adyacentes de la fila anterior se ubica por debajo de ellos. Se añade un 1 en cada extremo.

En donde:

C3 = CCC; 3C2S = CCS + CSC + SCC; 3CS2 = CSS + SCS + SSC; S3 = SSS

10) Si un dardo se clava de manera aleatoria en el objeto cuadrado que se muestra en la siguiente figura, ¿cuál es la probabilidad de que caiga en la región sombreada?

Solución:

Calculando el área del círculo:

Calculando el área del cuadrado:

Si el radio de la circunferencia es 4cm, entonces el lado del cuadrado es 8 cm, es decir,

Si l= 8cm

Por lo tanto, el área del cuadrado es:

A= l2 = (8cm)2 = 64 cm2

Calculando el área de la región sombreada:

Se obtiene al restar el área del círculo de la del cuadrado

Calculando la probabilidad:

G) POSIBILIDADES

Las posibilidades comparan el número de resultados favorables con el número de resultados desfavorables. Si todos los resultados de un espacio muestral son igualmente probables, y un número n de ellos son favorables al evento E, y los restantes m son desfavorables a E, entonces las posibilidades a favor de E sonde de n(E) a m(E), y las posibilidades en contra de E son de m(E) a n(E)

Ejemplos ilustrativos:

1) A Mathías se le prometió comprar 6 libros, tres de los cuales son de Matemática. Si tiene las mismas oportunidades de obtener cualquiera de los 6 libros, determinar las posibilidades de que le compren uno de Matemática.

Solución:

Número de resultados favorables = n(E) = 3

Número de resultados desfavorables = m(E) = 3

Posibilidades a favor son n(E) a m(E), entonces,

Posibilidades a favor = 3 a 3, y simplificando 1 a 1.

Nota: A las posibilidades de 1 a 1 se les conoce como "igualdad de posibilidades" o "posibilidades de 50-50"

2) Dyanita compró 5 boletos para una rifa de su lugar de trabajo en la que el ganador recibirá un computador. Si en total se vendieron 1000 boletos y cada uno tiene la misma oportunidad de salir ganador, ¿cuáles son las posibilidades que Dyanita tiene en contra de ganarse el computador?

Solución:

Número de resultados favorables = n(E) = 5

Número de resultados desfavorables = m(E) = 1000-5 = 995

Posibilidades en contra son m(E) a n(E) , entonces,

Posibilidades en contra = 995 a 5, o de 199 a 1.

3) Mario participará en una lotería, en donde las posibilidades de ganar son de 1 a 999. ¿Cuál es la probabilidad que tiene Mario de ganar la lotería?

Solución:

Como las posibilidades a favor = 1 a 999 y se sabe que las posibilidades a favor son n(E) a m(E), entonces,

Número de resultados favorables = n(E) = 1

Número de resultados desfavorables = m(E) = 999

Como el número total de resultados posibles = n(S) = n(E) + m(E) = 1 + 999 = 1000, y aplicando la fórmula de la probabilidad:

Se obtiene:

Referencias Bibliográficas

SUÁREZ, Mario, (2012), Interaprendizaje de Probabilidades y Estadística Inferencial con Excel, Winstats y Graph. M & V GRÁFIC. Ibarra-Ecuador.

Autor:

Mario Orlando Suárez Ibujes