SISTEMAS DINAMICOS CON ORIGEN PROBABILISTICO

Indice1. Introducción 2. Concepción Estándar 3. Origen Probabilistico 4. Tendencias Recurrentes 5. Vulnerabilidad 6. Bibliografía

1. Introducción

Uno de los grandes cambios en Matemáticas en particular, y en ciencia en general, es la orientación hacia los sistemas dinámicos. En muchos sentidos, es una de las orientaciones más estimulantes para los hombres amantes del conocimiento y el trabajo eficaz. En esta investigación deseamos discutir y proponer un esquema diferente sobre el origen de los sistemas; pues, descubrimos algunas incoherencias entre la idea estándar y los nuevos conocimientos de la vida y el universo. Sin embargo, a pesar de este planteamiento crítico, pensamos que la concepción estándar sigue vigente (no por cortesía, es rigor). La idea básica que deseamos proponer es que el origen de los sistemas dinámicos no es un evento cierto y exacto, tal como lo hace la concepción estándar; al contrario, normalmente los sistemas dinámicos tienen un origen aleatorio y complejo. Tal es la historia de muchos fenómenos del macro-universo como del micro-universo. Asimismo, de acuerdo con el origen, resulta interesante dividir y comparar los sistemas nuevos y viejos. En efecto; los sistemas viejos, aquéllos que han evolucionado, tienen una tendencia natural a la diversificación precisamente explicada por su origen y no tanto por su desarrollo.

2. Concepción Estándar

La idea estándar de cualquier sistema dinámico tiene dos componentes : (i) el origen, y (ii) el movimiento a lo largo del tiempo. Stephen Hawking, en "Historia del tiempo", afirma que el segundo siempre fue una preocupación de los hombres de ciencia mientras que el primero fue dejado a la religión y la fe en Dios. Lo cual, filosóficamente hablando, no estuvo mal; pero, también fue insuficiente para los hombres curiosos por naturaleza. La idea convencional afirma que el origen es un punto en el espacio. Este origen está determinado por las coordenadas en el espacio y es cierto; es decir, hay plena información sobre la posición del origen en las coordenadas. En términos matemáticos, suele afirmarse que, dada una variable multi-dimensional real X   , el origen está definido por : Xo = X (to). Donde t es la variable tiempo y to es el tiempo inicial del sistema dinámico. En algunos textos Xo es presentado como el punto inicial. Ambos, el tiempo inicial y el punto inicial ahora reciben –juntos- el nombre de problema inicial, ( Xo, to). Por ejemplo, los sucesos de la Gran Depresión del 30 o el atentado a los Torres Gemelas de Nueva York. En cuanto al movimiento, se propone una ecuación diferencial para representar los flujos. Desde el problema inicial fluye un movimiento representado por una ecuación diferencial; si t   , donde    es un intervalo continuo real:  X /  t = f( X, t). El cual no nos interesa porque ya se han escrito enormes toneladas de papeles al respecto.

3. Origen Probabilistico

Una de las grandes paradojas de los estudiosos del medio ambiente es haber descubierto que, en el acto, el clima es incierto y riesgoso; por ejemplo, el origen de un huracán es un evento aleatorio, caprichoso y altamente dependiente del estado de ánimo del … sistema. Increíble!!!. Por otro lado, los antropólogos y arqueólogos han encontrado algo similar en cuanto al origen del hombre. No existe información cierta y exacta en cuanto al origen de la actual especie humana; por tanto, el origen de los seres humanos se pierde en muchos eventos similares al lanzamiento de los dados o una partida de ajedrez. Existen cientos y miles de ejemplos en muchas disciplinas que muestran el origen probabilístico de los sistemas complejos o sistemas altamente ordenados. Por lo tanto, supongamos que en to se forma una distribución normal de valores de X representados así: X(to) =  (  o, Vo). ………(1) Donde  o es la media de la distribución del origen, Vo es la dispersión (por ejemplo, la varianza), y  es la función de distribución normal clásica. Centro y variación con relación al centro, desde el cual fluye el movimiento. Pero, no acusamos al esquema convencional el haber olvidado la probabilidad. Claro que la tiene muy en cuenta; pero, ésta ha sido introducida en el movimiento y no en el origen. Es decir, sea  una variable aleatoria cualquiera, tomando en cuenta la ecuación (1), el movimiento del sistema es:  X /  t = f( X, t,  ). Es decir, el "factor aleatorio" aparece como un extra-terrestre que repentinamente aparece y altera el curso de la naturaleza. Como si fuera un aditamento más en el curso de los acontecimientos y no fuera algo inmanente en el sistema dinámico. Como si la "suerte" no formara parte del origen mismo del universo. He ahí la falla del esquema convencional. En el siguiente cuadro apreciamos las diferentes propuestas; aunque, bien podemos afirmar que el esquema convencional es un caso particular del esquema probabilístico. Se trataría del caso particular cuando hay un 100 % de probabilidades que el origen ocurra en un punto determinado y cierto.

4. Tendencias Recurrentes

La idea de un tiempo lineal en  no parece razonable en un esquema probabilístico. Sin embargo, vamos a suponer un segmento del tiempo con un punto arbitrario en ti y su vecindad. Tal fracción puede fácilmente ser un segmento de un tiempo circular o un tiempo caprichoso. El tiempo distingue a los sistemas en dos grandes grupos, los nuevos y los viejos. Si reconocemos el arbitrario ti > to en el tiempo; entonces, decimos que aquellos sub-sistemas que fluyen en t < ti son nuevos; en cambio, si los subsistemas fluyen en t > ti son viejos en relación al punto completamente arbitrario. Cómo surge este ti?, en términos históricos, es algo incierto, espontáneo, pero necesario. Simplemente podemos pensar en un tiempo circular o cíclico, de corto o largo aliento. Lo importante es que en el punto arbitrario ocurre una recursión en el origen, del siguiente modo: X(ti) = X( X(to)) =  (  (  o, Vo))……….(2) La ecuación (2) nos puede conducir fácilmente hacia un laberinto; pues, con cada recursión hay pérdida de información sobre la distribución de probabilidades del origen primitivo. Tanto que se puede perder la noción de viejo y nuevo. En este esquema, parece que el universo tuviera múltiples orígenes en el tiempo y en el espacio, y en el espacio-tiempo. Los expertos en evolución, lo cual es coherente con el ADN, dicen que las especies vivientes antiguas tienden a la heterogeneidad y la diversificación de sus flujos. En cambio, los sub-sistemas dinámicos nuevos son bastante homogéneos; quizás, debido a que no tienen experiencia en el arte de sobrevivir. En términos de la ecuación (2), significa que la sucesiva aplicación del origen sobre sí mismo provoca diversas distribuciones de probabilidad; por ejemplo, la distribución normal, unimodal, del origen fácilmente deviene en una multimodal. Por lo tanto, en t > ti la varianza V de la distribución aumenta y el sistema recibe el nombre de viejo. En el esquema evolutivo natural, lo viejo es sinónimo de complejo y altamente ordenado, si es que la varianza no nos lleva muy lejos. Sin embargo, no todo es bonito como veremos a continuación.

5. Vulnerabilidad

En efecto, la recursividad del origen -la regresión hacia lo primitivo- provocará diferentes grados de complejidad y orden. Tratemos de clasificar las consecuencias de la modificación de la varianza:

En efecto, las diferentes recursiones pueden provocar sistemas ordenados y poco frecuentes en la naturaleza, y la mayoría de las recursiones con reducción en la varianza abundan, tal como lo pronosticó Von Bertalanffy en su ya famosa teoría de sistemas. Pero, sería necesario enfatizar en la relación positiva entre orden y vulnerabilidad; es decir que, a medida que el sistema va ganando orden -en su origen- se vuelve vulnerable frente a los sistemas simples. De hecho, cuando aumenta la variedad, surgen dos actitudes en la naturaleza de las cosas: (i) la cooperación, (ii) la lucha. Hay cooperación si los flujos complementan sus movimientos, los nuevos con los viejos, los poco ordenados con los altamente ordenados. Por ejemplo, se dice que la célula primitiva y la mitocondria, que hoy cooperan, hace millones de años fueron enemigos irreconciliables. Es decir, sus movimientos devinieron en cooperativos y alteraron el origen. En varios sentidos, se puede afirmar que la biología es la parte cooperativa de la química, es aquélla cuyos elementos cooperan entre sí.

La lucha entre los flujos con gran varianza y pequeña varianza es inevitable, está en la naturaleza misma del origen. En otras palabras, lo simple deviene en un arma letal contra lo complejo, el gran Goliat es derrotado por David, el elefante teme al ratón, el cuerpo humano es deteriorado por virus y bacterias, lo superior es vulnerable frente a lo inferior. La naturaleza sigue el juego del ajedrez en que el rey indudablemente es vulnerable aún frente a los peones. La vieja imagen griega de Aquiles, el guerrero invulnerable, tiene mucho que ver con el verdadero origen de los sistemas dinámicos. La ciencia y la tecnología del siglo XX han olvidado esta gran sabiduría y, lamentablemente, las consecuencias pagaremos los seres humanos en el siglo XXI.

6. Bibliografía

Hawking, Stephen. "Historia del tiempo". Von Bertalanffy, Ludwig. "Teoría general de sistemas".

Autor:

Carlos Paz Valderrama

Arequipa