Principios físicos y matemáticos para el análisis de sistemas dinámicos

Los ˆ ˆ fasores ˆ ˆ ~ I Prefacio

El presente trabajo tiene por objeto presentar los fundamentos matemáticos y físicos que permitan el análisis de sistemas físicos dinámicos. Se repasan las técnicas de notación y transformación matemática más comunes y se presentan las características de los bloques funcionales que componen los sistemas físicos complejos. Se emplea la función de transferencia por transformada de Laplace en dominio complejo, y el espacio de estados para la representación de ecuaciones diferenciales lineales que resultan del análisis de un sistema físico. Se modelan sistemas que involucran diferentes tipos de energía y se hacen notar las analogías naturales de sus modelos. Se presenta una introducción teórica a los sistemas de control y finalmente se estudian algunos dispositivos de medición y corrección de los sistemas de control.

Convención de notación cantidades variables se denotan por letras minúsculas (x,v,a,f…). Las constantes por mayúsculas (G, M, R…). Los vectores indistintamente por r r r r negritas (x,v,a,f…) o bien letras con flecha superior ( x , v , a , f …). Los vectores unitarios con circunflejo superior ( r, n ). Los escalares por letras minúsculas (x,v,a,f…), los módulos de vectores como escalares o empleando símbolos de r r r r absoluto ( x , v , a , f …), los números complejos por letras mayúsculas negritas (Z,Y), o con circunflejo ( Z ,Y ), los por negritas (M, X). i con tilde superior (V , ~ ), las matrices

Capítulo 1 Métodos matemáticos de transformación Con el objeto de tener una sólida base matemática que nos permita el correcto análisis de los sistemas físicos dinámicos, en este capitulo se presentan los siguientes temas de notación y transformación matemática: Notación sigma, inducción matemática Notación real y compleja Notación de razones de cambio y sumas infinitesimales Notación integrodiferencial Notación matricial y sistemas de ecuaciones lineales Notación vectorial y campos vectoriales Transformación de sistemas coordenados Transformación fasorial Transformación unidad Transformación en componentes simétricas Transformación de Laplace Transformación en series de potencias Transformación de Fourier Transformación zeta

I-3 en Capítulo 1. Métodos matemáticos de transformación

Notación sigma, inducción matemática Número entero. El conjunto de números enteros es Z = {K ,-2,-1,0,1,2, K} , el conjunto de enteros positivos es Z + = {1,2,3, K} = {Z} | Z > 0 ; el conjunto de enteros negativos es Z – = {K ,-3,-2,-1} = {Z} | Z < 0 . El conjunto de números enteros no negativos es: Z 0+ = {0,1,2,3,K} = {Z} ?{0} . El factorial de un número (véase función Gamma) n | n ? Z + se define por n!= 1 · 2 · 3K n = n · (n – 1)! , sus propiedades son: (1) 0!= 1; (2) (n + 1)!= (n + 1) · n!, general el factorial es una operación recursiva: n!= n · (n – 1)!= n · (n – 1) · (n – 2) · (n – 3) · L · (1) = (n + 1)! n + 1 (1) Número booleano. El algebra booleana fue desarrollada por George Boole en 1854 (publicado en An Investigation of the Laws of Thought). Sea x un número booleano tal que x ? B y B = {0,1} , se definen 3 operaciones: complemento de x (x’), producto y suma y obedecen las siguientes identidades: x ?{0,1} x' = 1 ? x = 0; x' = 0 ? x = 1 x + 0 = x x + 1 = 1 x + x = x x + x' = 1 x · 0 = x x · 1 = x x · x = x x · x' = 0 (2) x + y = y + x x + ( y + z ) = ( x + y) + z x( y + z) = xy + xz x · y = y · x x · ( y · z ) = ( x · y) · z x + y · z = ( x + y) · ( x + z) ( x + y)' = x' y' ( x' )' = x ( xy)' = x'+ y' Principios de conteo. La regla de la suma establece que: “sean A y B dos tareas que pueden ser realizadas de m y n maneras respectivamente y no pueden ocurrir simultáneamente; entonces la ejecución de una tarea cualquiera puede ser acompañada por una de las m+n maneras”. La regla del producto establece que: “si un procedimiento puede ser descompuesto en dos etapas A y B de manera que para m formas de A existan n formas de B; entonces el procedimiento total puede ser efectuado en m×n formas ”. De los principios de conteo expuestos se deducen los conceptos de permutación, arreglo, combinación y combinación con repetición:

Principios físicos y matemáticos para el análisis de sistemas dinámicos. Introducción al control – Mayo 2007

? n ? ? ? ? ? ? ? n 8 n n n si i = k – 1 en S1 ? k = i + 1 8 8 si i = k + 1 en S2 ? k = i – 1 S = ?i +1=2?i =1 2(i + 1)Ci +1 X i + ?i -1=0?i =1 6C( i -1) X i = ?i =1 [2(i + 1)Ci +1 + 6C( i -1) ]X i (6) N N -k k k ? 8 k =0 4 Capítulo 1. Métodos matemáticos de transformación I-4 Orden relevante Repeticion es Tipo Fórmula Si Si No No Si No Permutación Arreglo Combinación P(n,r) = n! /(n-r)! n r C (n, r ) = ? ? = n! /[r!(n-r)!] ? r ? No Si Combinación c/repetición ? n + r – 1? ? r ? (3) Notación sigma

De todas las operaciones existentes, la suma es la operación lineal más elemental y sobre la cual se pueden desarrollar cualesquiera otras (inclusive el producto). De manera ordinaria la suma finita se representa por S n = a0 + a1 + K + a n ; mientras que la suma infinita se expresa como S = S 8 = a0 + a1 + a 2 + K . Existe una manera reducida conocida como notación sigma y se representa por: S n = ?k =0 ak = a0 + a1 + K + an , S = S8 = ?k =0 ak = a0 + a1 + an + K (4) Las propiedades fundamentales de la notación sigma son: (1) ? n k =0 (ak ± ak ) = ?k =0 ak ± ?k =0 bk ? Linealidad (2) ? n k =0 cak = c?k =0 ak (5) (3) ? n k =