Principios físicos y matemáticos para el análisis de sistemas dinámicos (página 2)

S = S1 + S2 = ?k =2 6kCk X k -1 + ?k =0 6Ck X k +1 , 8 8 8

En general si aumenta en k el índice de la sumatoria, disminuyen en k los límites de la sumatoria: ?i = A x(i) = ?i = A-k x(i + k ) (7) Principio de identidad para sumas. Si ?8=0 ak x k = ?8=0 bk x k entonces ak=bk para toda k=0; en particular si ak xk = 0 entonces ak = 0 . Universidad Autónoma del Estado de Morelos – Facultad de Ciencias Químicas e Ingeniería – Ingeniería Eléctrica

I-5 + n 1 (1) (2) k +1 k + = = = Capítulo 1. Métodos matemáticos de transformación

Principio de inducción matemática Sea S(n) una expresión matemática que involucre una o más ocurrencias de la variable n | n ? Z + , si S(1) es cierta y S(k) es cierta siendo k | k ? Z ; entonces S(n) es cierta para toda n ? Z + . El principio de inducción tiene su aplicación en la deducción de formulas y demostración de teoremas. Ejemplo 1.1. Demostrar por inducción matemática que: ? n i =1 i = n(n + 1) / 2 . Solución. La aplicación del principio de inducción se realiza como sigue: (1) se muestra la certeza de S(1); (2) se plantea una hipótesis para S(k), y se demuestra que S(k+1) es cierto, entonces (3) S(n) queda demostrado:

S(n) = ?i =1 k = 1 + 2 + 3 + K + n = n(n + 1) / 2 S (1) = ?i =1 i = 1 ? 1(1 + 1) / 2 = 2 / 2 = 1 Sea S(k) cierto por hipótesis, entonces S(k + 1) tambien debe ser cierto, basta con demostar que : S (k + 1) = (k + 1)(k + 2) 2 S (k + 1) = ?i =1 i = 1 + 2 + 3 + K + k + (k + 1) = ?i =1 i + (k + 1) k (k + 1) 2(k + 1) k (k + 1) + 2(k + 1) (k + 2)(k + 1) 2 2 2 2 (3) ? S (n) = n(n + 1) 2 ? Ejemplo 1.2. Demostrar por inducción matemática que: ? n i =1 i 2 = n ( n + 1)( 2 n + 1) / 6 . Solución. Se aplican los pasos (1) a (3) y se tiene que:

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n 1 (1) (2) k + = = 2 [2k + 7k + 6](k + 1) (k + 2)(2k + 3)(k + 1) = = 8 , = = b = = y (p , 6 Capítulo 1. Métodos matemáticos de transformación I-6 ? n k =1 k 2 = n(n + 1)(2n + 1) / 6 S(n) = ?k =1 k 2 = 1 + 4 + 9 + K + n 2 = n(n + 1)(2n + 1) / 6 S (1) = ?k =1 k = 1 ? 1(1 + 1)(2 + 1) / 6 = 6 / 6 = 1 Sea S(k) cierto por hipótesis, entonces S(k + 1) tambien debe ser cierto, basta con demostar que : S (k + 1) = (k + 1)(k + 2)(2k + 3) 6 k +1 2 S (k + 1) = ?i =1 i = 1 + 4 + 9 + K + k 2 + (k + 1) 2 = ?i =1 i 2 + (k + 1) 2 k (k + 1)(2k + 1) 6(k + 1) 2 k (k + 1)(2k + 1) + 6(k + 1) 2 [k (2k + 1) + 6(k + 1)](k + 1) 6 6 6 6 = 6 6 (3) ? S (n) = n(n + 1)(2n + 1) 6 ? Se han desarrollado formulas para sumatorias de uso frecuente cuya demostración se lleva a cabo mediante inducción matemática:

Tabla 1.1 Formulas de sumatorias frecuentes ? n k =1 x k = x – x n+1 1 – x ? n k =1 k 2 = n(n + 1)(2n + 1) 2 ? 8 k =1 1 6 k = p 6 945 ? b k =a k = (a + b)(b – a + 1) 2 ?k =1 r k = r 1 – r r < 1 ? 8 k =1 (-1) k +1 k = log(2) ? n k =1 k = n(n + 1) 2 ? 8 k =1 1 p 2 k 2 6 ? 8 k =1 (-1) k +1 p 2 k 2 12 ?k =a k 2 = (b 2 + b)(2b + 1) – (a 2 – a)(2a – 1) 6 ? 8 k =1 1 p 4 k 4 90 ? 8 k =1 (-1) k +1 7p 2 k 4 720 Notación real y compleja

Número real. Un intervalo abierto I, se representa por (a,b), un intervalo cerrado por [a,b], siendo a, b puntos en la recta, el plano o el espacio. El conjunto {x | x ? R} de los números reales o escalares (R) que incluye los enteros Z = {K ,-2,-1,0,1,2, K} naturales N = {1,2,3, K} , se clasifica en racionales Q = { p / q | p, q ? Z , q ? 0} e irracionales 2 , e ), según puedan o no expresarse como un cociente de 2 enteros. Geométricamente el conjunto de escalares R representa la recta, R2 el plano y R3 el espacio. Dados a, b ? R se efectúan dos operaciones algebraicas fundamentales suma (c=a+b) y producto (d=a*b) y cumplen con las propiedades: cerradura ( c, d ? R ), conmutativa (a*b=b*a), asociativa (a+b+c=a+(b+c)), identidad (a+0=a, a*1=a), aditiva inversa (a-a=0), multiplicativa inversa (a*(1/a)=1), distributiva (a*(b+c)=a*b+a*c).

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I-7 x x x (1) ? u ? A = x 2 – 4 n ? ? n(n – 1) n – 2 2 ? ? = ( 11 ) ? ? n n ? b ? b n b Capítulo 1. Métodos matemáticos de transformación

Límites. Un valor límite es el valor al que se acerca infinitesimalmente una expresión cuando una de sus variables tiende a un valor constante: lim c / x = 8 x?0 lim cx = 8 x?8 lim x / c = 8 x?8 lim c / x = 0 x?8 lim c = 1, x?0 lim c = 0, x?-8 lim c = 8, x?+8 lim c x = 0, x?+8 , c < 1 lim x?0 sin x x = 1 (8) Los siguientes son los teoremas fundamentales de los límites: Si lim u ( x) = A, x ?a lim v( x) = B, x ?a lim w( x) = C entonces : x ? a lim(u ± v ± w) = A ± B ± C x ? a (2)

(3) lim(uvw) = ABC x ? a lim? ? = x ? a ? v ? B (9) Si f(x) no esta definida para x=a; pero lim f ( x) = B , x ? a entonces f(x) será continua para x=a, si se toma como valor de f(x) para x=a el valor B: lim x ? 2 x 2 – 4 ( x – 2)( x + 2) x – 2 x – 2 = x + 2 ? lim x ? 2 x – 2 = 2 + 2 = 4 ( 10 ) Algebra. Cualquier binomio elevado potencia entera n, puede desarrollarse mediante la regla del binomio de Newton, donde los coeficientes se obtienen por combinación, en símbolos: ? k ? (a + b) n = ? ? ?a n – k b k = a n + na n -1 b + k = 0 ? n ? 2 na b + K + nab n -1 + b n ? n ? n! ? k ? k!(n – k )! ? combinación de n objetos tomados k a la vez Fórmulas de productos notables y factorización: (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 (a ± b) 3 = a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a + b)(a – b) = a 2 – b 2 a 2 – b 2 = (a + b)(c – b) a 3 – b 3 = (a – b)(a 2 + ab + b 2 ) a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 – ab + b 2 ) ( 12 ) Propiedades de exponentes y radicales: b n b m = b n + m

1 a = a n (b n ) m = b mn

ab = n a * n b (ab) n = a n b n

n a / b = a n n ? a ? a n ? ? = n b n b m = b n – m ( 13 ) Propiedades de los logaritmos:

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s a b c 2 2 2 = + = 1 , 8 Capítulo 1. Métodos matemáticos de transformación I-8 log b b = 0 log b 1 = 0 log b rs = log b r + log b s log b r = log b r – log b s log b r p = p log b r ( 14 ) Trigonometría. Una circunferencia es una curva cerrada cuyos puntos equidistan a uno fijo llamado centro C, su longitud es 2pr, siendo r su radio; la relación entre la longitud del arco s, el ángulo subtendido ?, y el radio r, esta dado por s=r?, donde ? se expresa en radianes (p rad=180°). Un triángulo (equilátero, isósceles o escaleno) de lados a, b, c y ángulos A, B, C de área S, obedece a la ley de senos y cosenos; si es un triangulo rectángulo obedece al teorema de Pitágoras c 2 = a 2 + b 2 (el cual se deduce de la ley de cosenos ya que cos(90°)=0 : S = t (t – a)(t – b)(t – c) ? t = (a + b + c) / 2 = = , c = a + b – 2ab cos C sin A sin B sin C B c

a A

C b ( 15 ) Para un triangulo rectángulo se definen las siguientes razones de sus lados: sin B = b / c, cos B = a / c, tan B = sin B / cos B = b / a, cot B = cos B / sin B = a / b sec B = 1 / cos B = c / a, csc B = 1 / sin B = c / b ( 16 ) sin 2 B + cos 2 B = 1, 1 + tan 2 B = sec 2 B, 1 + cot 2 B = csc 2 B, lim tan B = 8 B ? ±p / 2 Una línea recta es una figura que solo tiene extensión, si se sitúa el plano cartesiano XY, y forma un ángulo ? con el eje X y pasa a través de dos puntos (x1,y1), (x2,y2), se define su pendiente como m=tan?=(y2-y1)/(x2-x1), se denomina abscisa a la coordenada x, y ordenada a la coordenada y; las siguientes son ecuaciones de la recta: Ecuación : y – y1 = m( x – x1 ), Datos : m, ( x1 , y1 ), y = mx + y 0 , m, (0, y 0 ), y – y y 2 – y1 x y x – x1 x 2 – x1 x 0 y 0 ( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ), ( x 0 ,0), (0, y 0 ) ( 17 ) Función. Una función, transformación o aplicación escalar de una variable y=f(x) es una regla de correspondencia que asigna a cada x?X un elemento específico y?Y, el conjunto X se llama dominio, y al conjunto Y contradominio. El conjunto {f(x)|x?X} se denomina rango de f, y es un subconjunto del contradominio, en símbolos se escribe como: f : X ? Y . Una función escalar f, de 3 variables con dominio U, y valores escalares f=f(x,y,z) se denota por: f : U ? R 3 ? R , y asigna un escalar a cada punto del espacio (x,y,z). Una función vectorial f, de 3 variables con

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I-9 x f-1(x). 2 Capítulo 1. Métodos matemáticos de transformación dominio U, y valores vectoriales C=C(x,y,z) se denota por f : U ? R 3 ? R 3 , y asigna un vector a cada punto del espacio (x,y,z).

En la notación y=f(x), x se denomina variable dependiente e y variable independiente. Una función es inyectiva si a elementos distintos del rango le corresponden elementos distintos del dominio x1?x2 ? f(x1)?f(x2), es suryectiva si para cada y del rango existe una x del dominio tal que y=f(x). Si la función es inyectiva y surjectiva entonces es biyectiva, biunívoca o función uno a uno. Una función par cumple que f(-x)=f(x) (ejemplos: f(x)=x2, f(x)=cos(x)); de lo contrario es función impar f(-x)=-f(x). En general, las funciones pueden ser: algebraicas (polinomial, racional) o trascendentales (exponencial, logarítmica, trigonométrica). ? algebraica? f ( x) = a n x n + a n -1 x n -1 + K + a1 x + a 0 , ? trascendental{f ( x) = b , f ( x) = log b x, f ( x) = f ( x) = sin x g ( x) h( x) ? g y h son polinomios f ( x) = cos x f ( x) = tan x ( 18 ) El reciproco de una función f(x) es 1/f(x). La inversa de una función biyectiva y=f(x) se denota por x=f-1(y), la función y su inversa satisfacen que x = f ( f -1 ( x)) = f -1 ( f ( x)) . La inversa se obtiene por dos pasos: (1) despejar x de y=f(x), (2) redenominar x por y, la función resultante es La función logaritmo y exponencial son inversas y = b x ? x = log b y . Una función f(x) es continua (sin rupturas ni saltos) en c?[a,b] si cumple las siguientes tres condiciones: (1) f(c) existe; (2) lim f ( x) existe; (3) lim f ( x) = f (c) . Una función f(t) es x ?c x ?c periódica y de periodo p, si se satisface que seno y coseno son periódicas con p=2p). f (t ) = f (t + np) ? p ? R ? n ? Z + , (las funciones Numero complejo. Un número imaginario puro tiene la forma jb, b ? R, j = i = – 1 , la constante i (introducida por Euler; en ingeniería eléctrica se prefiere usar j, por representar i la corriente eléctrica) tiene la propiedad de que i2=-1. Un número complejo A=a+jb, se compone de dos partes una real Re[A]=a y otra imaginaria Im[A]=b ( a, b ? R ), separadas mediante el símbolo imaginario; el conjunto de los números complejos se representa por: C = {a + jb | a, b ? R, j = -1} . Puede ser expresado en cualquiera de las siguientes formas (rectangular, exponencial, polar (abreviación de la forma exponencial), trigonométrica y en el plano complejo):

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ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( 20 ) ˆ A A ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( 21 ) 1 1?0 1 2 3 4 9 10 11 12 ( 22 ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 10 Capítulo 1. Métodos matemáticos de transformación I-10 A = a + jb = A e j? = A ?? = A cos(? ) + j A sin(? ) Im ? = arctan(b / a) ? argumento o ángulo de A A = a 2 + b 2 ? módulo, valor absoluto o magnitud de A Z ? a b Re ( 19 ) A* = a – jb ? conjugado de A A * = A

El ángulo ? apropiado se elije basado en el cuadrante dado por (a, b) siendo el ángulo positivo (+) en sentido horario y negativo (-) en sentido antihorario; en ingeniería eléctrica se expresa en grados en física en radianes distinguiéndose uno del otro por el uso de ° o múltiplos de p. La notación rectangular es idónea para la suma y resta (partes reales se suman con partes reales, partes imaginarias con partes imaginarias), mientras que la polar es idónea para la multiplicación y división (por cumplir con las leyes de los exponentes), sean A y B dos números complejos, entonces: A = a + jb = A ?? A B = c + jd = B ?? B A + B = (a + c) + j(b + d ) A * B = A B ?(? A + ? B ) A – B = (a – c) + j(b – d ) = ?(? A – ? B ) B B Las siguientes identidades son de gran importancia:

1 = e j 0 = 1?0 lim arctan(1 / ? ) = lim arctan( +8 ) = p / 2 y lim arctan( -1 / ? ) = lim arctan( -8 ) = -p / 2 ? ? 0 ? ? 0 j = 0 + j = 1? arctan(1 / 0) = 1? arctan( +8 ) = 1?(p / 2) = 1?90° – j = 0 – j = 1? arctan( -1 / 0) = 1? arctan( -8 ) = 1?(-p / 2) = 1? – 90° 2 j2 = – 1 – 1 = = e 0 -p / 2 = e -p / 2 = 1?(-p / 2) = -j j 1?(p / 2) ( j , j , j , j K j , j , j , j K) = ( j,-1,- j,1K j,-1,- j,1K) De lo anterior se concluyen la siguiente regla para el producto unitario complejo: “el producto de un número complejo por la constante imaginaria (j) ocasiona un incremento de 90° (p/2 rad) en el ángulo de del número complejo”, es decir:

A = A ?f jA = A ?(f + p / 2) ( 23 ) – jA = A ?(f – p / 2)

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I-11 ). (ˆ ˆ n ( x – k ) Capítulo 1. Métodos matemáticos de transformación

Sea r?R, entonces r puede representarse como un número complejo en forma polar como: r=r?0. Sea Z=a+jb, Z?C, su inverso Y?C, es igual a su recíproco y está dado por: Y = 1 / Z = 1 a 2 + b 2 )?(- tan -1 b / a La siguiente identidad se conoce como teorema de Demoivre : Ze jn? = Z (e jn )? ? Z (cos n? + j sin n? ) = Z (cos ? + j sin ? ) ( 24 ) Función polinomial. Es una función algebraica cuyos términos son monomios; un monomio es una agrupación de variables cuyos exponentes son enteros (xy3, xy2z). Sea P(x)=0 un polinomio en x, de grado n, el teorema fundamental del algebra (demostrado por Gauss) afirma que un polinomio de grado n=1 tiene exactamente n raíces no necesariamente distintas, que pueden ser reales o complejas, obtenidas por factorización, división sintética o mediante aproximaciones numéricas. Para n=2 se emplea la fórmula cuadrática. ax 2 + bx + c = 0 ? x1, 2 = – b 2a ± b 2 – 4ac 2a ( 25 ) Un polinomio P( x) = a0 x n + a1 x n -1 + L + a n – 2 x + a n -1 , de grado n, para el cual n?Z+ puede representarse como un producto de binomios de la forma (x – r1)m1 L(x – rn )mn = 0, mi ?Z+ , los valores ri se denominan raíces del polinomio y son números reales o complejos. Sea k ? Z , el teorema del residuo afirma que si P(x) es divisible entre ( x – k ) , el residuo es P(k); el teorema del factor afirma que si P(k)=0, entonces es un factor de P(x). El método de división sintética, permite obtener sistemáticamente el cociente C(x) y el residuo R(x) de un polinomio P(x) de grado n, dividido por un factor de la forma ( x – k ) , siempre que k ? Z ; P( x) /( x – k ) : a 0 a1 a 2 L a n – 2 a n -1 ? kb 0 kb1 L kb n – 3 kb n – 2 + k b0 = a 0 b1 = a1 + kb 0 b 2 = a 2 + kb1 L bn – 2 = a n – 2 + kb n – 3 b n -1 = a n -1 + kb n – 2 C ( x ) = b0 x n -1 + b1 x n – 2 + b 2 x n – 3 + L + bn – 2 R ( x ) = b n -1 ( x – k ) ( 26 ) Un método numérico eficiente para el cálculo de raíces es el de Newton, que requiere un valor inicial para x (método abierto) y cuya ecuación de recurrencia esta dada por:

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= ? = + ? (s – a ) ? ? ? ? ?? 12 Capítulo 1. Métodos matemáticos de transformación I-12 xi +1 = xi – f ( xi ) f ' ( xi ) f ( xi ) < e ( 27 ) Función racional. Es aquella que tiene la forma F(s)=P(s)/Q(s). Siendo P y Q polinomios de s | s ? R ? C . F es una fracción propia si el grado de Q es mayor que el grado de P, es fracción impropia en caso contrario. Las fracciones racionales a menudo se representan por conveniencia como una suma finita de fracciones parciales Fi(x), (como ocurre en algunos casos de integración y en la determinación de la transformada inversa de Laplace) esto es: F (s) = P(s) Q(s) = F1 (s) + F2 (s) + K Fn (s) ? Grado(Q) > Grado( P) ( 28 ) La expresión anterior puede escribirse como: P(s) P(s) ? a0 a1 Q(s) (s – a )n R(s) ? (s – a )n (s – a )n -1 a ? + L + n -1 ? + (L) ( 29 ) Donde ak son coeficientes, ak ? R ? C y las elipses representan la expansión en fracciones parciales de las raíces de R(s); las raíces del denominador se denominan polos (s-a), las raíces del numerador se denominan ceros. Los coeficientes están dador por: ak = 1 d k k! ds k ? P(s) ? ? R(s) ? s =a ( 30 ) En el empleo de esta ecuación considérese que es necesario derivar solo en el caso de existir raíces repetidas ya que D0F(s)=F(s). Observe que en la evaluación a cambia su signo.

Ejemplo 1.3. Descomponer en fracciones parciales la siguiente función racional que involucra polos distintos: F (s) = s + 3 ( s + 1)(s + 2) Solución. Aplicando la descomposición en fracciones parciales se tiene:

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I-13 = P(s) s + 3 a b ? = ? = ? ? = ? = ? ? ? + ? 2 = = = + ? = ? ? = ? ? ? ? = ? ? = ? ? ? ?? ?? + = + ? 2 3 = + + = ( 1 d 0 2 ) ( ) 1 d 1 2 ( 1 d 2 2 ) 2 0 1 2 1 ? Capítulo 1. Métodos matemáticos de transformación

= 0 + 0 Q(s) (s + 1)(s + 2) s + 1 s + 2 a0 = 1 d 0 ? s + 3 ? ? s + 3 ? – 1 + 3 0! ds 0 ? s + 2 ? s =1 ? s + 2 ? s = -1 – 1 + 2 = 2 b0 = 1 d 0 ? s + 3 ? ? s + 3 ? – 2 + 3 0! ds 0 ? s + 1 ? s = -2 ? s + 1 ? s = -2 – 2 + 1 = -1 ? F (s) = 2 – 1 s + 1 s + 2 Ejemplo 1.4. Descomponer en fracciones parciales la siguiente función racional que involucra polos complejos conjugados: F (s) = 2s + 12 s + 2s + 5

Solución. Aplicando la descomposición en fracciones parciales se tiene:

P(s) 2s + 12 2s + 12 a0 a1 Q(s) s 2 + 2s + 5 [s + (1 + j 2)][s + (1 – j 2)] [s + (1 + j 2)] [s + (1 – j 2)] a0 =

b0 = 1 d 0 0! ds 0 1 d 0 0! ds 0 ? 2s + 12 ? ? 2s + 12 ? – 2 – j 4 + 12 ? s + (1 – j 2) ? s = -1- j 2 ? s + (1 – j 2) ? s = -1- j 2 – 1 – j 2 + 1 – j 2 ? 2s + 12 ? ? 2s + 12 ? – 2 + j 4 + 12 ? s + (1 + j 2) ? s = -1+ j 2 ? s + (1 + j 2) ? s = -1+ j 2 – 1 + j 2 + 1 + j 2 = 1 + j 2.5

= 1 – j 2.5 ? F (s) = 1 + j 2.5 1 – j 2.5 2.693?68.18 2.693? – 68.18 [s + (1 + j 2)] [s + (1 – j 2)] [s + (2.236?63.34)] [s + (2.236? – 63.34)] Ejemplo 1.5. Descomponer en fracciones parciales la siguiente función racional que involucra polos múltiples: F (s) = s + 2s + 3 (s + 1)

Solución. Aplicando la descomposición en fracciones parciales se tiene: P(s) s 2 + 2s + 3 Q(s) (s + 1) 3 a0 a1 a2 (s + 1) 3 (s + 1) 2 (s + 1) a0 = 0! ds 0 s + 2s + 3 s = -1 = (s 2 + 2s + 3) s = -1 = 1 – 2 + 3 = 2 a1 = 1! ds1 s + 2s + 3 s = -1 = (2s + 2) s = -1 = -2 + 2 = 0 a2 = 2! ds 2 s + 2s + 3 s = -1 = 1 2 (2) s = -1 = 1 ? F (s) = + + = + (s + 1) 3 (s + 1) 2 (s + 1) (s + 1) 3 (s + 1)

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dy ?y & ( x – a) 2 '' n ( x – a) n n f (a) 14 Capítulo 1. Métodos matemáticos de transformación I-14 Notación de razones de cambio y sumas

infinitesimales Derivada. La derivada de una función y=f(x) es la razón de cambio de la variable dependiente (y) cuando la variable independiente (x) cambia infinitesimalmente. Sea P(a,f(a)) un punto a lo largo de la gráfica, curva, imagen o traza de y=f(x), la derivada es la pendiente de la línea recta tangente a la curva en tal punto, se simboliza y define por: y ' = y = y (1) = Dy = f ' ( x) = = lim dx ?x ? 0 f ( x + ?x) – f ( x) ?x = lim ?x ? 0 ?x ( 31 ) El teorema de Rolle afirma que si una función f(x) es continua en [a,b] y diferenciable en (a,b) y f(a)=f(b), entonces existe un punto c en (a,b) tal que f´(c)=0. Una consecuencia es el teorema del valor medio para la derivada y establece que: f´(c) = f (b) – f (a) b – a ( 32 ) Sea f(x) una función continua en (a,b); f(x) es creciente donde f´(x)>0, es decreciente donde f´(x)< 0 y estacionaria donde f´(x)=0 (si es f(x) creciente o decreciente en [a,b] es monótona en [a,b]). Los puntos críticos (xc) de f(x) son aquellos valores de x para los cuales la pendiente es igual a cero f´(xc)=0, es un máximo si f´(xc) cambia de + a – o bien si f´´(xc)< 0; es un mínimo si f´(xc) cambia de – a + o bien si f´´(xc)>0. Una función f(x) puede ser aproximada en x=a por un polinomio de grado n, mediante la serie de Taylor: f ( x) = f (a) + ( x – a) f ' (a) + 2! f (a) + K + n! k = 0 f (a) + K = ? ( x – a) k k k! ( 33 ) En a=0 la función se aproxima a un polinomio cuyos coeficientes están dados por la siguiente, conocida como serie de Maclaurin: f ( x) = f (0) + f ' (0) x + f '' (a) x 2 2! + K + f n (a) x n n! n + K = ? f k (a) k = 0 x k k! ( 34 ) Sea f(x) y g(x) funciones diferenciables y a, b constantes entonces se tienen las siguientes propiedades de diferenciación:

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I-15 = 0, = 1, = a dx d ? ? = ( ) d a du dx d u d u d v 2 = = Capítulo 1. Métodos matemáticos de transformación u = u ( x), v = v( x) a, b = constantes da dx d dx dx d (au ) du , dx dx dx (au + bv ) = a du + b dv ? Linealidad dx dx (uv ) = du v + u dv ? Regla del producto dx dx ( 35 ) d ? u ? dx ? v ? v du dx – u v 2 dv dx ? Regla del cociente dx u = au a -1 ? Regla de la potencia d dx u ( f ( x)) = du dv * dv dx ? Regla de la cadena Aplicando las propiedades de diferenciación y la definición de derivada se han desarrollado fórmulas de derivación para las principales funciones, como las mostradas en la tabla 1.2:

Tabla 1.2 Derivadas de funciones elementales d dx ln u = 1 du u dx d dx sin u = cos u du dx d dx arcsin u = 1 du 1 – u 2 dx d dx log u = log e du u dx d dx cos u = – sin u du dx d dx arccos u = – 1 du 1 – u 2 dx dx a = a u ln a du dx d dx tan u = sec 2 du dx d dx arctan u = 1 du 1 + u 2 dx dx e = eu du dx d dx cot u = – csc 2 u du dx d dx arc cot u = – 1 du 1 + u 2 dx dx u = vu v -1 du dx + u v ln u dv dx d dx sec u = sec u tan u du dx d dx arc sec u = 1 du u u 2 – 1 dx d dx csc u = – csc u cot u du dx d dx arc csc u = – 1 du u u – 1 dx Si y=f(x) una función continua y diferenciable en [a,b] entonces la derivada de la función inversa x=f-1(y) esta dada por, 1/f-1(x), en símbolos:

si y = f(x) tiene como inversa x = f -1 (y) entonces : D( f -1 ) = dx 1 dy dy 1 f ' ( x) ( 36 ) dx Una función explicita tiene la forma y=f(x), una función implícita tiene la forma f(x,y)=0, cuando no es posible expresar explícitamente una función se deriva implícitamente y luego se factoriza para f´(x) si es posible.

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f ( x) f ' ( x) Integral. b ?x ? 0 16 Capítulo 1. Métodos matemáticos de transformación I-16 Un límite indeterminado tiene la forma 0/0 o bien 8/8, la regla de L’Hospital (debida a J. Bernoulli) se emplea para el cálculo de límites de formas indeterminadas y establece que: lim x ? a = lim g ( x) x ? a g ' ( x) ( 37 ) La operación inversa de la derivada es la antiderivada o integral y consiste en hallar la primitiva f(x) dada su derivada f´(x) o diferencial f´(x)dx y se denota por ? f ´(x)dx . La integral indefinida de f ´(x)dx es ? f ´(x)dx = f ( x) + C , C es la constante de integración, cuyo origen es cualquier constante anulada al ser derivada en la primitiva Dx(C)=0.

Sea y=f(x) una función continua en el intervalo [a,b], entonces la integral definida b b A = ? f ( x)dx = ? ydx representa el área A, bajo la curva a a engendrada por f(x) y el eje de las x desde x=a hasta x=b; geométricamente es la suma (conocida como suma de Riemann) de rectángulos de anchura infinitesimal dx y altura f(?i) desde x=a hasta x=b, ? i ? x i , x i +1 , en símbolos: n -1 ? f ( x)dx = lim ? f (? i )?x a i = 0 ( 38 ) La integral es una suma infinitesimal, la suma es una operación lineal, por lo tanto la integral es una operación lineal, una integral definida es la suma de integrales definidas en rangos o límites de integración, cambiando el límite de integración cambia el signo de la integral, la integral de x=a hasta x=a es cero: a, b, c, d ? R b b b ? (cf ( x) + dg ( x) )dx = c ? f ( x)dx + d ? g ( x)dx a b c a b a ( 39 ) ? f ( x)dx = c ? f ( x)dx + ? f ( x)dx ? a < c < b a a c b a ? f ( x)dx = – ? f ( x)dx, a ? f ( x)dx = 0 a b a Universidad Autónoma del Estado de Morelos – Facultad de Ciencias Químicas e Ingeniería – Ingeniería Eléctrica

I-17 a ? evaluar (a) 3 1 2 Capítulo 1. Métodos matemáticos de transformación

Sea f(x) una función continua en [a,b], consideremos que x?[a,b], llamemos m=min[f(x)] y llamemos M=max[f(x)] entonces, el teorema del valor medio para la integral establece que, existe un valor c en el intervalo [a,b] para el cual: a, b ? R b (b – a)m = ? f ( x)dx = (b – a)M a c ? [a, b] ( 40 ) b ? f ( x)dx = (b – a) f (c) ? a f (c) = b 1 (b – a) ? f ( x)dx Sea F(x) la antiderivada de f(x), es decir F´(x)=f(x), entonces el teorema fundamental del cálculo (el cual reúne la noción de derivada con la noción de integral) establece que: b ? f ( x)dx = F (a) – F (b) ? F´(x) = a f ( x) ? F ( x) = ? f ( x)dx ( 41 ) La longitud del arco s, engendrado por la gráfica de una función y=f(x), de x1 hasta x2, está dado por: x 2 y 2 s = ? [1 + ( y' ) 2 ]1 / 2 dx = ? [1 + ( x' ) 2 ]1 / 2 dy x1 y1 ( 42 ) Calculo de integrales. Para simplificar el cálculo de integrales se han desarrollado extensas tablas cuyas fórmulas se deducen del teorema fundamental del cálculo (las integrales de funciones elementales se muestran en la tabla 1.3). Cuando la función no tiene semejanza con una ninguna integral de la tabla se emplean artificios de integración entre cuales figuran los siguientes:

1. Integración por partes: Dada la función a evaluar f(x) descompóngase de manera tal que sea posible aplicar la siguiente fórmula de integración por partes: udv = uv – ? vdu : 1) descomponer f(x) en u y dv, 2) integrar dv, 3) derivar u, 4) ? udv = uv – ? vdu . Se emplea en los casos de diferenciales que contienen: productos; (b) logaritmos; (c) funciones trigonométricas inversas. Ejemplo 1.6. Aplicar integración por partes para

demostrar que sec z tan z + 12 ln (sec z + tan z ) + C ? sec zdz = (a) integrar ? x cos xdx , (b) Principios físicos y matemáticos para el análisis de sistemas dinámicos. Introducción al control – Mayo 2007

(a) (b) 2 2 3 3 3 3 1 1 ? ? 18 Capítulo 1. Métodos matemáticos de transformación I-18 Solución. Se aplican los tres pasos antes numerados y se tiene que: u = x ? du = dx dv = cos xdx ? v = ? cos xdx = sin x ? udv = uv – ? vdu = x sin x – ? sin xdx = x sin x + cos x + C u = sec z ? du = sec z tan zdz dv = sec 2 zdz ? v = ? sec 2 zdz = tan z ? udv = uv – ? vdu = sec z tan z – ? tan z · sec z tan zdz ? tan z · sec zdz = ? (sec z – 1) · sec zdz = ? sec zdz – ? sec zdz ? ? sec zdz = sec z tan z – ? sec zdz + ? sec zdz ? ? sec zdz = 2 sec z tan z + 2 ln sec z + tan z + C

2. Descomposición en fracciones parciales: Para una función racional propia es posible la descomposición en fracciones parciales y la integración separada de cada fracción resultante.

3. Sustitución conveniente: Ciertas integrales requieren de emplear identidades o sustituciones que conduzcan a formas integrables elementales; la tabla 1.4 muestra un conjunto de integrales de este tipo.

4. Formas variadas: A veces es necesario reexpresar la integral de manera que resulte una forma conocida o fácilmente integrable:

Ejemplo 1.7. Integrar ? sec xdx .

Solución. Multiplicando y dividendo por sec x + tan x resulta: sec x + tan x ? sec xdx = ? sec x sec x + tan x dx = ? sec 2 x + sec x tan xdx sec x + tan x = ln sec x + tan x + C Universidad Autónoma del Estado de Morelos – Facultad de Ciencias Químicas e Ingeniería – Ingeniería Eléctrica

I-19 ? u a du 1 u n 2 = ? 2 u u u au n au u n e au n n -1 au a ? u ? ln u 1 ? ln udu =u n +1 ? – 2 ? n 2 1 a 1 ? 2 Capítulo 1. Métodos matemáticos de transformación

Tabla 1.3 Integrales de funciones elementales ? udv = uv – ? vdu ? sin udu = – cos u + C du a 2 – u 2 = arcsin + C ? u du = 1 n +1 u n +1 + C ? cos udu = sin u + C ? a = arctan + C + u 2 a a du u = ln u + C ? tan udu = ln sec u + C ? a du 1 u + a ln – u 2 2a u – a + C ? e du = e u + C ? cot udu = ln sin u + C ? u du a 2 – u 2 = 1 a arcsec + C a b u ? b du = ln b + C ? sec udu = ln sec u + tan u + C ? arcsin udu = uarcsin u + 1 – u 2 + C ? ue du = e au a 2 (au – 1) + C ? csc udu = ln csc u – cot u + C ? arccos udu = u arccos u- 1 – u 2 + C e du = – a ? u e du + C ? sec u tan udu = sec u + C ? arctan udu = u arctan u- ln 1 + u 2 + C ? ln udu = u ln u – u + C ? csc u cot udu = – csc u + C ? arccot udu = uarccot u + ln 1 + u 2 + C ? u ? n + 1 (n + 1) ? + C ? sec udu = tan u + C ? sec -1 udu = usec -1 u – ln (u + u 2 – 1 )+ C ? e au ln udu = a e au ln u – e au u du ? csc udu = – cot u + C ? csc -1 udu = ucsc -1 u + ln (u + u 2 – 1 )+ C du ? u ln u = ln(ln u ) + C

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m n m m m n + 1 1 1 1 I 1 = I 2 = n n m m m k k k k k k 2 20 Capítulo 1. Métodos matemáticos de transformación I-20 Tabla 1.4 Sustituciones convenientes para integración de funciones Forma condición sustitución integral resultante ? sin

? sin u cos n udu

u cos n udu m?{Z + %2 ? 0}

n ?{Z + %2 ? 0} sin 2 u = 1 – cos 2 u

cos 2 u = 1 – sin 2 u ? [cos ? [sin u (1 – cos 2 u ) m -1 ]sin udu u (1 – sin 2 u ) n -1 ]cos udu ? sin u cos udu

? sin mu cos nudu ? sin mu sin nudu ? cos mu cos nudu m ? n m, n ?{Z %2 = 0}

m, n ?{Z + } sin u cos u = 2 sin 2u sin 2 u = 2 – 2 cos 2u cos 2 u = 2 + 12 cos 2u

sin mu cos mu = 12 sin( m + n)u + 12 sin( m – n)u cos( m + n)u 2(m + n) cos( m – n)u 2(m – n) varias formas elementale s

? sin mu cos nudu = – I 1 – I 2 + C ? sin mu sin nudu = – I 1 + I 2 + C ? cos mu cos nudu = I 1 + I 2 + C ? tan

? cot udu

udu n ?{Z + }

n ?{Z + } tan n u = tan n – 2 u tan 2 u tan 2 u = (sec 2 u – 1)

cot u n = cot n – 2 u cot u 2 cot u 2 = (csc 2 u – 1) ? tan

? cot n – 2

n – 2 u (sec 2 u – 1) du

u (csc 2 u – 1)du ? tan u sec n udu n?{Z + %2 = 0} sec 2 u = tan 2 u + 1 ? [tan u (tan 2 u – 1) n – 2 ]sec 2 udu ? tan u sec n udu m?{Z + %2 ? 0} tan m u = tan u tan m -1 u tan 2 u = sec 2 u – 1 ? [sec n -1 u (sec 2 u – 1) m -3 ]sec u tan udu ? (

? ( a 2 – u 2

a 2 + u 2 ) du

) du k ?{Q ? R}

k ?{Q ? R} u = a sin z ? du = a cos zdz a 2 – u 2 = a cos z

u = a tan z ? du = a sec 2 zdz a 2 + u 2 = a sec z ? (a cos z )

? (a sec z ) a cos zdz

a sec 2 zdz ? ( u – a 2 ) du k ?{Q ? R} u = a sec z du = a sec z tan zdz u 2 – a 2 = a tan z ? (a tan z ) a sec z tan zdz El operador modulo se designa por % y devuelve el residuo de una división entera: 1=5%2.

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