cantidad de capital que compran las empresas que denotamos por kt es igual al
ahorro de las familias que es igual a bt. Así, teniendo en cuenta que ahorro es igual a inversión la ecuación que describe el comportamiento del capital per-capita es la siguiente: (IV) (r n)kt w ct kt Que se obtiene de reemplazar bt por kt en la restricción presupuestaria de las familias.
5 Sustituyendo la ecuación (III) en la (IV) nos queda lo siguiente: (V) (r n)kt ct f (kt)kt f (kt) kt Sustituyendo la ecuación (II) en la ecuación (V): kt (n f (kt) ct )kt , Ley de evolución del capital per cápita El problema de la convergencia
Esto se refiere a que en esta economía se va maximizar la función de utilidad social a través del tiempo. Máx : dt J 0 U(ct) e t Si consideramos a la población.
La Población
Sea que la población que tenga una tasa de crecimiento exógena y constante: n t P P.ent 0 1 ( Si P0) t ent P Sea que la fuerza de trabajo agregada Lt , crezca a una tasa constante exógena:n Loent Lt Demostración que la tasa de crecimiento es constante, tenemos: Lt dLt dt nL(0)ent, dividiendo esta ecuación entre Lt , tenemos: n Lt Lt nL(0)ent L(0)ent 1 Si L(0) ent Lt Se asume que toda la población trabaja, luego se incorpora la población a la función “J ”. Máx : J 0 U(ct)Lte tdt t P Reemplazando: Lt
6 Máx : J 0 U(ct)ent.e tdt Máx : dt J n)t ( U(ct).e 0
Esta sociedad maximiza su utilidad a través del tiempo. En esta sociedad cada individuo busca su propio interés y sin proponérselo de ante mano, busca maximizar la función de bienestar general a través del tiempo, para ello busca determinar la trayectoria general optima del consumo por trabajador a través del tiempo.
Planteamiento del problema Máx : dt J 0 n)t ( U(ct).e (Función Objetivo) s.a : kt )kt (n f (kt) ct (Ecuación de Movimiento) k(t0) (Condición Inicial) 0: Dado k0 k0 0 f (kt) ct t 0 Para solucionar el problema se debe cumplir que: n es decir que la tasa de descuento tiene que ser mayor que la tasa de crecimiento de la población.
1) Comenzaremos a solucionar el problema de control optimo por el método que nos dejo Pontryagin, que se basa en la metodología del Hamiltoniano, para esto pasaremos a plantear el hamiltoniano. t )kt (n f (kk) ct U(ct).e H(ct,kt, t,t) n).t ( Donde kt : Variable de estado. ct : Variable de control. t: Variable de coestado.
Condición de Primer Orden (CIO)
2) Tomando la derivada del Hamiltoniano con respecto de la variable de control e igualándolo a cero. 0 t ct Ut ct H ct 0 ( 1) ( t n)t .U (ct) e H ct (I) t U (ct) e( n)t Valor actual de la utilidad = Multiplicador Dinámico
H
7 3) Tomando la derivada del Hamiltoniano con respecto a la variable de estado y imponiendo la igualdad al negativo de la derivada del multiplicador con respecto al tiempo. t H kt t t ) f (kt) (n ) (II) t f (kt) (n t
4) Tomando la derivada con respecto al multiplicado lagrangiano, tenemos: kt H kt kt ) (n f (kt) ct ) (III) (n kt f (kt) ct Condición de Segundo Orden (CIIO) 0 . ( n)t t U (ct) e 2
c2 >0 x 0< Esta condición nos asegura un consumo máximo y La concavidad del consumo.
5) La condición de transversalidad-multiplica la variable de estado por el precio implícito de capital (multiplicador de Lagrange) en el momento terminal y pone igual a cero.
Condición de Transversalidad Esto quiere decir que t Lím tkt 0 t 0 (el precio implícito de capital en el periodo final) o que kt 0 (el stock de capital en el momento que muere). 0 (1/ ) ( 1 n) e Lím t t 0 Lím t t g g ) Pmgk (n ) De la ecuación (II) tenemos f (kt) (n Aplicando logaritmo neperiano a la ecuación (I) tenemos:
dU (ct) ct Notas de Crecimiento Económico
8 César Antúnez. I
1 t ln n)t.lne lnU (ct) ( t ln n)t lnU (cy) ( Aplicando la derivada temporal (derivada con respecto a “t”) a la ecuación tenemos: dt dt d(ln t) dt d lnU (ct) dt n. ( t
t ct dt . . 1 U (ct) n) ( t
t U (ct).ct . 1 U (ct) n) ( A la ecuación anterior multiplicaremos y dividiremos entre el consumo por trabajador (ct ) t
t 1 ct U (ct). . ct ct . 1 U (ct) n) ( ( ) . ( t
t ct ct n) Donde 1 ct .U (ct). 1 U (ct) : Representa la elasticidad de la utilidad marginal con respecto al consumo por trabajador.
Multiplicando por -1 a ala ecuación ( ), tenemos: . ( (IV) n) t
t ct ct Igualando las ecuación (II) con la ecuación (IV) t
t ct ct . n) ( ) f (kt) (n Despejando ct ct , tenemos: ) f (kt) ( ct ct (V) , La proposición Ramsey – Keynes
9 Esta ecuación nos dice que la tasa óptima del consumo por trabajador es la razón del producto marginal del capital menos la tasa de depreciación y la tasa de descuento intertemporal dividido sobre la elasticidad de la utilidad marginal con respecto al consumo por trabajador. 1 c f (kt) ( ) : Evolución del consumo por unidad de trabajo efectivo. 1 (VI) ) ct f (kt) ( Así mismo se puede expresar la ecuación como: ct Sistema de Ecuaciones Diferenciales (Diagrama de fases)
Existen dos ecuaciones diferenciales que nos ayudan a graficar el diagrama de fases de este modelo son: 1er Ecuación diferencial: kt )kt (n f (kt) ct 2da Ecuación diferencial: ct ) ct f (kt) ( 1 0 Encontrando la curva: k De la 1er Ecuación diferencial 0 Si kt )kt (n f (kt) ct 0 Entonces ct )kt f (kt) (n 0 Gráfico Nº 2: Comportamiento de k Si nos situamos por encima de la curva kt
de ct irá asociada a una disminución de kt 0, vemos que un pequeño movimiento 0. Dado que la 1er Ecuación diferencial, donde el consumo aparece con signo negativo, entonces concluimos que por encima de la kt 0, el capital decrece kt 0. Denotamos el movimiento de flechas así la
izquierda, tal como aparece en el gráfico Nº 2. Las flechas se dirigen en forma horizontal por que en el eje horizontal aparece kt .
Derivando la primera ecuación diferencial con respecto a ct se obtiene: 1 0 d kt dct Donde se demuestra que al aumentar el valor de ct disminuye el valor de kt
De la misma manera analizaremos que pasa si ubicamos un vector por debajo de la curva kt 0, las flechas apuntan así la derecha, diciéndonos que por debajo de la 0, el capital crece kt 0 , en este caso las flechas apuntan hacia la curva kt derecha. 0 Encontrando la curva: c De la 2da ecuación diferencial 0 Si ct ) 0 f (kt) ( ct ) ( Entonces f (kt) ( Pmgk ), Representa la ecuación de una recta que es paralela al eje de ordenadas 0 Gráfico Nº 3: Comportamiento de c Esto quiere decir si nos encontramos por encima de la curva ct 0, por un aumento de un poquito de kt , Dado que f (kt) es una función creciente, por lo que el valor de c de la 2da Ecuación diferencial pasa hacer negativo ct
0. Concluimos que a la
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11 derecha de la curva, el consumo decrece, por lo que se dibuja las flechas apuntando hacia abajo.
Para demostrar esto pasaremos a derivar la segunda ecuación con respecto a kt 0 . U (ct).f (k) 1 U (ct) d ct dkt Lo que nos dice que a la derecha de ct 0 0 será ct De la misma manera una disminución de kt hará que ct 0 sea positivo. Esto significa que nos encontramos a la izquierda de ct 0, las flechas apuntarán hacia arriba como se aprecia en el gráfico Nº 3, donde las flechas positivas se denota por ct 0. Análisis Cualitativo
Ahora antes de juntar los dos diagramas de fases en un solo pasaremos a hallar el Oro
de los agentes de la sociedad en su conjunto y también se tendrá un nuevo capital por trabajador modificado con en nuevo consumo. Para esto de la 2da Ecuación diferencial ct f (kt) ( 1 ) ct , reemplazando el valor de ct 0, con esto 0 f (kt) ( ( ) , entonces f (kt) ) es el punto de 1 tangencia de la función f (kt) que es estrictamente decreciente y como se puede apreciar en el gráfico Nº 4. La función f (kt) es estrictamente de creciente y convexa. Al cortarse estas la tangencia con la función generan un punto que se Oro
Oro
En el caso de una función Cobb-Douglas, nos da un capital por trabajador de oro 1 A modificado óptimo k Oro mod . Oro
stock de capital por trabajador hallado es menor que el stock de capital de oro y eso es por que n y f (kt) es una función decreciente.
12 Gráfico Nº 4: El consumo de Oro óptimo modificado Estado de crecimiento proporcionado
El estado de crecimiento proporcionado, se halla cuando las curvas ct 0 0 y kt se cruzan y esto se puede observar en el grafico Nº 5, que se curtan en tres puntos.
El primer punto que esta representado por de un sol de color naranja, es el eje de coordenadas donde ct 0 y kt 0.
kmod, que corresponde a la kmod f (kmod) kmod ymod
13 El segundo punto que representa al estado proporcionado, que esta representado por un sol de color verde fosforescente, es el punto Oro intersección de kt 0, de la 1er Ecuación diferencial kt (n f (kt) ct )kt, reemplazando 0 kt y 0 ct obtenemos el capital Oro que satisface Oro (n )kt , donde este capital esta a la derecha del capital máximo. El tercer punto es en la intersección de kt 0 y k1t en este punto esta representado en el grafico con un solo de color amarillo. El capital en este punto en el largo plazo esta economía converge necesariamente a un estado de proporcionado que conlleva a cantidades positivas del consumo.
En el estado proporcionado es una situación en que las variables per cápita crecen a una tasa constante. Se describe el comportamiento del consumo, para que el consumo crezca una tasa constante el capital tiene que ser siempre el mismo: c 1 kt cte si y solo si, kt lo que implica que 0 k El stock de capital no cambie se tiene que cumplir que el consumo per cápita no varíe. k 1 ct cte si y solo si, ct lo que implica que 0 c En el estado de crecimiento proporcionado: k 0 y 0 c Si 0 c ) (1 Akt 1 1 A Oro Stock de capital del estado proporcionado El PIB per capita de estado estacionario, se obtiene sustituyendo el capital de estado proporcionado en la función de producción: 1 A A Oro Producción en el estado proporcionado Sabiendo que el consumo per cápita es la renta menos el ahorro, lo calculamos como:
cmod
14 1 A (1 s)A Oro Consumo per cápita en el estado proporcionado Gráfico Nº 5: El equilibrio en el modelo de Ramsey Dinámica de Crecimiento La dinámica que esta representada por las flechas como se observa en el grafico Nº 5, donde en el origen existe un estado inestable, por que nunca llegamos a un estado proporcionado.
El segundo estado proporcionado, k1t es estable en todas sus flechas que existen alrededor apuntan hacia este punto.
Oro
de silla” en estado trayectoria llamamos “saddle paht stability” o “trayectoria estable” que converge a un estado proporcionado. Este tercer punto también genera el punto de silla, por que existen líneas aerodinámicas que convergen y divergen alrededor del punto.
La dinámica de transmisión nos dice que si aumentara el consumo, el capital en el Oro
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