Dinámica de la aproximación en el cálculo integral de una variable con Mathcad 11

Introducción

De la mano con la complejidad y formalidad que ha representado el estudio del Cálculo Integral y el compromiso académico que ello rige, abrimos paso a la intención de un aprendizaje significativo de la Integral Definida en situaciones donde el integrando no tiene antiderivada elemental o cuando se desea interpretar los efectos de razones de cambio variables o constantes en funciones de una variable real con el uso de la herramienta gráfica y de cálculo: Mathcad 11.

En esta oportunidad usaremos Mathcad 11 como asistente para:

Graficar funciones y familias de funciones que manualmente sería una ardua tarea.
Facilitarnos el cálculo de sumatorias.
Calcular Integrales definidas con alta precisión.
Hacer cambios en los intervalos de integración y parámetros generales para estudiar el comportamiento de la Integral.
Aportar soluciones numéricas y gráficas a Ecuaciones Diferenciales Ordinarias con condiciones iniciales.

Nuestra intención es reconocer lo que el aporte académico y bibliográfico especializado nos ha consolidado, y manipular esas contribuciones en un ambiente de laboratorio de matemáticas donde profesor y alumno experimenten de manera interactiva, cooperativa y agradable, ideas, conceptos y fundamentos del Cálculo Integral.

Suma de Riemann

En esta sección examinamos la idea fundamental del Cálculo Integral, que es aproximar el área debajo de una curva por medio rectángulos, y cuya exactitud depende de qué tan delgados sean es decir, cuando la norma de la partición tiende a cero () y ; .

Escojamos una función cuya principal característica es la de no poseer antiderivada elemental, por ejemplo definida por , así que evaluemos su integral definida con los siguientes parámetros:

Límites inferior y superior de integración:
Número de subintervalos:
Índice de subintervalos:
Ancho de los intervalos:
Punto final de cada rectángulo:
Índice de sumatoria:

Compare la aproximación con el valor de la integral:

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No debemos olvidar que en las aplicaciones de la integral definida, el área debajo de la curva puede representar distancias, saldos y consumos, entre otras magnitudes.

A continuación presentamos las lecturas correspondientes al consumo de energía eléctrica de una población en períodos acumulados de un año desde el 1986 al 1995 en teravatios (un billón de vatios).

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De esta manera, se pueden conocer los efectos de cambio que alinean el pronóstico de las necesidades energéticas en un tiempo determinado y planificar estrategias que orienten un mejor servicio.

Administración de Factores de Tolerancia

Veamos cómo afecta la tolerancia en la exactitud del cálculo de una integral definida, citemos una:

Evaluemos: con tres resultados numéricos.

Ilustraremos con un ejemplo la utilización del comando TOL como herramienta para hallar el área entre dos curvas.

Sean: , definidas por: y supóngase que queremos hallar el área indicada en la siguiente gráfica:

Para hallar los puntos de intersección entre y , inserte las funciones y el factor de tolerancia:

Iniciemos la búsqueda fijando una aproximación a la derecha del punto de intersección (sírvase del comando TRACE de la barra de tareas GRAPH:

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Finalmente:

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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDOs)

La Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDOs) son igualdades que contienen derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una variable independiente, por ejemplo:

; ;

En esta oportunidad usaremos el comando Odesolve como sigue:

Usaremos la notación de Leibniz para editar una EDO:

Y los siguientes parámetros:

Valores iniciales:
Intervalo de soluciones:
Número de Puntos a evaluar:
Holgura:

Rango de Soluciones:

Finalmente:

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Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (SEDOs)

De manera análoga a la solución de un SEDO, podemos manipular el comando Odesolve y rkfixed (Algoritmo Runge – Kutta), veamos:

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Parámetros:

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Conclusiones

Hemos presentado la idea de un tratamiento didáctico para una salida al rigor en la noción de la Integral Definida en una variable usando Mathcad 11, una sofisticada herramienta que nos ha permitido analizar los efectos totales de cambio en funciones de una variable esgrimiendo cálculos repetitivos, dando así la oportunidad de cómodas y nutritivas experiencias pedagógicas en alumnos que se enfrentan por primera vez a tal complejidad, y más importante aun, permitirle construir sus propias experiencias de aprendizaje a partir del análisis e identificación del proceso numérico a seguir según las condiciones del problema.

Bibliografía

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Steen, L. (2003). La Enseñanza agradable de las Matemáticas. México: Editorial Limusa.

Wenzelburger E. (1994). Didáctica: Cálculo Integral. México: Grupo Editorial Iberoamericana.

Omar Cordero Pérez

Universidad Nacional Abierta – REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

Área Temática: Recursos instruccionales para la Enseñanza de la Matemática.

Nivel: Superior.