= 0.04762
2.Se seleccionan al azar dos números de entre los números del 1 al 9, si la suma de los números que aparecen es par, a. Determine la probabilidad de que ambos números sean pares, b. Determine la probabilidad de que ambos números sean impares.
Solución:
d = {9C2 = 36 maneras de seleccionar dos números de entre nueve que se tienen}
(1,2)
(1,3) (2,3)
(1,4) (2,4) (3,4)
d = (1,5) (2,5) (3,5) (4,5)
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6)
(1,7) (2,7) (3,7) (4,7) (5,7) (6,7)
(1,8) (2,8) (3,8) (4,8) (5,8) (6,8) (7,8)
(1,9) (2,9) (3,9) (4,9) (5,9) (6,9) (7,9) (8,9)
a. E = evento de que la suma de los números que se seleccionan sea par
(1,3)
(2,4)
E = (1,5) (3,5)
(2,6) (4,6)
(1,3) (3,7) (5,7)
(2,8) (4,8) (6,8)
(1,9) (3,9) (5,9) (7,9)
E = {16 elementos}
A = evento de que ambos números sean pares
(2,4)
A = (2,6) (4,6)
(2,8) (4,8) (6,8)
A = {6 elementos}
(2,4)
AÇE = (2,6) (4,6)
(2,8) (4,8) (6,8)
½AÇE½ = 6 elementos, p (A½E) = ½AÇE½/ ½E½= 6/16 = 0.375
b. E = evento de que la suma de los números seleccionados es par
(1,3)
(2,4)
E = (1,5) (3,5)
(2,6) (4,6)
(1,3) (3,7) (5,7)
(2,8) (4,8) (6,8)
(1,9) (3,9) (5,9) (7,9)
A = evento de que ambos números sean impares
(1,3)
A = (1,5) (3,5)
(1,7) (3,7) (5,7)
(1,9) (3,9) (5,9) (7,9)
A = {10 elementos},
(1,3)
AÇE = (1,5) (3,5)
(1,7) (3,7) (5,7)
(1,9) (3,9) (5,9) (7,9)
½AÇE½= 10 elementos; p(A½E)= ½AÇE½/ ½E½= 10/16 = 0.625
Este ejercicio también puede ser resuelto haciendo uso de las combinaciones; el espacio muestral puede ser definido;
d = {9C2 = 36 maneras de seleccionar los dos números}
a. E = evento de que la suma de los números seleccionados sea par
Para que la suma de dos números sea par, forzosamente ambos deben ser pares o impares, por tanto,
E = {selección de dos números pares o de dos impares = 4C2 + 5C2}
A = evento de que ambos números sean pares
A = {4C2}
AÇE = {4C2 = 6 maneras de seleccionar dos números pares}
½AÇE½= 6 elementos
p(A½E) = ½AÇE½/½E½= 6/16 = 0.375
b. E = evento de que la suma de los números seleccionados sea par
E = {4C2 + 5C2 = 16 maneras de seleccionar dos números de entre nueve}
A = evento de que ambos números sean impares
A = {5C2 = 10 maneras de seleccionar dos números impares}
½AÇE½= {5C2 = 10}
p(A½E½= ½AÇE½/½E½= 10/16 = 0.625
3. Dada la siguiente tabla referente a la producción de flechas para camión de carga pesada; se inspeccionan 200 flechas del tipo A y B, 300 del tipo C y 400 del tipo D, a continuación se presentan los resultados obtenidos en la inspección;
TIPO FLECHA
DEFECTO
A
B
C
D
TOTAL
I
54
23
40
15
132
II
28
12
14
5
59
S – DEF
118
165
246
380
909
TOTAL
200
200
300
400
1100
a. Si se selecciona una flecha al azar y resulta que es una flecha del tipo B, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga defectos, b. Si la flecha seleccionada es del tipo C, ¿cuál es la probabilidad de que tenga defectos del tipo II?, c. Si la flecha seleccionada tiene defectos del tipo I, ¿cuál es la probabilidad de que sea del tipo A, d. ¿cuál es la probabilidad de que una flecha no tenga defectos?, e. ¿cuál es la probabilidad de que una flecha tenga defectos?
Solución:
a. Definiremos los eventos;
E = evento de que la flecha seleccionada sea del tipo B = {200 elementos o flechas}
A = evento de que la flecha seleccionada no tenga defectos = {909 flechas o elementos}
AÇE = {165 elementos del tipo B y que no tienen defectos}
p(A½E) = ½AÇE½/½E½= 165/200 = 0.825
b. E = evento de que la flecha sea del tipo C ={300 flechas}
A = evento de que la flecha tenga defectos del tipo II ={59 flechas}
AÇE = {14 flechas del tipo C y que tienen defectos del II }
p(A½E) =½AÇE½/½E½= 14/300 = 0.04667
c. E = evento de que la flecha tenga defectos del tipo I = {132 flechas}
A = evento de que la flecha sea del tipo A = {200 flechas}
AÇE = {54 flechas con defectos del tipo I y del tipo A}
p(A½E) = ½AÇE½/½E½= 54 / 132 = 0.40901
d. En este caso se trata de una probabilidad simple, ya que no hay un evento que esté condicionando al evento del cual se desea determinar su probabilidad
D = evento de que una flecha no tenga defectos = {909 flechas}
d = {1100 flechas}
p(D) = 909/1100 = 0.82636
d. F = evento de que una flecha tenga defectos = {132 + 59 = 191 flechas}
d = {1100 flechas}
p(F) = 191 / 1100 = 0.17364
4. Una pareja de recién casa dos ha decidido formar una familia de solo tres hijos, a. determine la probabilidad de que tenga puros hijos varones, b. ¿cuál es la probabilidad de que tenga como máximo un hijo varón, c. ¿cuál es la probabilidad de que su segundo hijo sea varón, d. Si esta familia tiene por lo menos una hija, ¿cuál es la probabilidad de que el segundo hijo sea varón?, e. Si esta familia tiene como máximo un hijo varón, ¿cuál es la probabilidad de que tenga puras hijas?
Solución:
Lo primero que hay que obtener para resolver este problema es el espacio muestral, para lo cual nos podemos ayudar con un diagrama de árbol en donde representemos uno tras otro el nacimiento de cada uno de sus hijos, en donde solo consideraremos partos de un solo bebé, no múltiples y se considera que existe la misma probabilidad de que nazca un varón o una niña.
Y el espacio muestral obtenido es:
H = niño
M = niña
d = {HHH, HHM, HMH, MHH, HMM, MHM, MMH, MMM}
a. A = evento de que la familia tenga puros hijos varones
A = {HHH}
p(A) = 1/8 = 0.125
b. B = evento de que la familia tenga como máximo un hijo varón
B = {ningún hijo varón o un hijo varón}= {MMM, HMM, MHM, MMH}
p(B) = 4/8 = 1/2 =0.5
c. C = evento de que el segundo hijo de la familia sea varón
C = {HHH, HHM, MHH, MHM}
P© = 4/8 =1/2 = 0.5
d. Como en este caso se trata de calcular una probabilidad de tipo condicional, se requiere definir dos eventos, el evento E que es el que condiciona y el evento A;
E = evento de que la familia tenga por lo menos una hija
E = {tenga una o más hijas}
E = {HHM, HMH, MHH, HMM, MHM, MMH, MMM}= {7 elementos}
A = evento de que el segundo hijo sea varón
A = {HHH, HHM, MHH, MHM}
AÇE = {HHM, MHH, MHM}= {3 elementos}
Luego;
p(A½E) = ½AÇE½/½E½= 3/7 = 0.42857
e. E = evento de que la familia tenga como máximo un hijo varón
A = evento de que la familia tenga puras hijas
E = {MMM, MHM, MMH, HMM}= {4 elementos}
A = {MMM}
AÇE = {MMM} = {1 elemento}
P(A½E) = ½AÇE½/½E½= 1/4 = 0.25
5. Según las estadísticas, la probabilidad de que un auto que llega a cierta gasolinera cargue gasolina es de 0.79, mientras que la probabilidad de que ponga aceite al motor es de 0.11 y la probabilidad de que ponga gasolina y aceite al motor es de 0.06, a. Sí un auto carga gasolina, ¿cuál es la probabilidad de que ponga aceite?, b. Sí un auto pone aceite al motor, ¿cuál es la probabilidad de que ponga gasolina?
Solución:
a. E = evento de que un auto cargue gasolina
b. p(E) = 0.79
A = evento de que un auto ponga aceite al motor
P(A) = 0.11
AÇE = evento de que un auto ponga gasolina y aceite
p(AÇE) = 0.07
p(A½E) = p(AÇE)/p(E) = 0.07/ 0.79 = 0.0881
c. E = evento de que un auto ponga aceite al motor
P(E) = 0.11
A = evento de que un auto ponga gasolina
P(A) = 0.79
AÇE = evento de que un auto ponga aceite al motor y ponga gasolina
P(AÇE) = 0.07
P(A½E) = p(AÇE)/ p(E) = 0.07/0.11 = 0.63636
6.- La probabilidad de que un auto de carreras cargue gasolina en cierto circuito en la primera media hora de recorrido es de 0.58, la probabilidad de que cambie de neumáticos en esa primera media hora de recorrido es de 0.16, la probabilidad de que cargue gasolina y cambie de neumáticos en la primera media hora de recorrido es de 0.05, a. ¿Cuál es la probabilidad de que cargue gasolina o cambie de neumáticos en la primera media hora de recorrido?, b. ¿cuál es la probabilidad de que no cargue combustible y de neumáticos en la primera media hora de recorrido, c. Si el auto cambia de neumáticos en la primera media hora de recorrido, ¿cuál es la probabilidad de que cargue combustible también?, d. Si el auto carga combustible en la primera media hora de recorrido, ¿cuál es la probabilidad de que cambie de neumáticos también?
Solución:
a. A = evento de que cargue gasolina en la primera media hora de recorrido
P(A) = 0.58
B = evento de que cambie de neumáticos en la primera hora de recorrido
P(B) = 0.16
AÇB = evento de que cargue combustible y cambie de neumáticos en la primera hora de recorrido
P(AÇB) = 0.05
P(cargue gasolina o cambie de neumáticos) = p(AÈB) = p(A) + p(B) – p(AÇB) = 0.58 + 0.16 – 0.05 = 0.69
b. p( no cargue combustible y no cambie de neumáticos) = 1 – p(AÈB) = 1 – 0.69 = 0.31
c. E = evento de que el auto cambie de neumáticos en la primera media hora de recorrido
A = evento de que el auto cargue combustible en la primera media hora de recorrido
p(A½E) = p(AÇE)/ p(E) = 0.05/0.16 = 0.3125
d. E = evento de que el auto cargue combustible en la primera media hora de recorrido
A = es el evento de que el auto cambie de neumáticos en la primera media hora de recorrido
p(A½E) = p(AÇE)/p(E) = 0.05/0.58 = 0.08621
Probabilidad dependiente
El cálculo de probabilidades en una experiencia compuesta se realiza multiplicando las probabilidades de los sucesos componentes.
Si las experiencias son independientes (el resultado de una no influye en las siguientes), entonces
P[S1 y S2 y…y Sn] = P[S1]·P[S2]…P[Sn]
Así, para calcular la probabilidad de que al tirar tres dados no se obtenga ningún 6 se procederá así:
P[ningún 6] = P[no 6]·P[no 6]·P[no 6] = (5/6)3 = 125/216
Si las experiencias son dependientes (el resultado de cada una influye en las probabilidades de las siguientes), entonces
P[S1 y S2 y…y Sn]= P[S1]·P[S2/supuesto que ocurrió S1]…P[Sn/supuesto que ocurrieron S1 y S2 y…]
Así, para calcular la probabilidad de obtener tres tréboles al extraer tres cartas de una baraja, se procederá así:
P[TRES TRÉBOLES] = P[1ª tréboles]·P[2ª tréboles/1ª tréboles]·P[3ª tréboles/1ª y 2ª tréboles] = (13/52)·(12/51)·(11/50) = 143/11.050
Probabilidad independiente
La independencia de dos eventos A y B, quiere decir que el saber que A sucedió no modifica la probabilidad de que B también haya sucedido. Como consecuencia saber que A no sucedió tampoco puede afectar a la probabilidad de B. Hacemos una demostración formal en el pizarrón.
Podemos poner esto diciendo que
Si A y B son independientes, también lo son las tres siguientes pares: A" y B ; A y B" ; A" y B" (estamos usando el apóstrofe " para denotar complemento) Cuando se tienen tres eventos, se puede presentar una situación muy curiosa. Puede pasar que A y B sean independientes y A y C sean independientes y B y C también sean independientes. Pero A,B y C NO sean independientes. Esta situación curiosa se describe diciendo que no basta que varios eventos sean independientes a pares, para que sean independientes.
El ejemplo clásico es el de un experimento aleatorio con cuatro posibles resultados igualmente probables: 1, 2, 3 y 4 .
Si el resultado es 1, A gana y nadie más. Si el resultado es 2, B gana y nadie más. Si el resultado es 3, C gana y nadie más, pero Si el resultado es 4, los tres A, B y C ganan. Usted puede calcular las probabilidades para darse cuenta que: P(A y B) = P(A) P(B) P(A y C) = P(A) P© P(B y C) = P(B) P© pero P(A y B y C) no es igual a P(A) P(B) P©.
Una nota final de un estilo menos matemático. La palabra independencia se utiliza en otros contextos para denotar un sin número de conceptos diferentes.
Los ejemplos más comunes son en política, en historia, en derecho. En la ciencia se habla de variables independientes y el significado es diferente que el que usamos aquí. Aún en otras ramas de la matemática se usa la palabra independencia para denotar a otros conceptos. Cuando queremos distinguir la definición técnica que usamos en la probabilidad de otras nociones le ponemos un apellido a la independencia y decimos independencia estocástica
Ley multiplicativa probabilidad
La ley multiplicativa de probabilidades indica que la probabilidad de que dos sucesos A y B ocurran simultáneamente es igual a:
La ley multiplicativa anterior se utiliza también con el fin de determinar una probabilidad condicional a partir de los valores de y:
Supongamos, por ejemplo, que queremos estudiar la incidencia del hecho de ser fumador como factor de riesgo en el desarrollo de una enfermedad en una determinada población. Para ello se diseñó un estudio prospectivo y, tras seleccionar una muestra de 180 sujetos, los resultados son los que se muestran en la Tabla 1. Considerando toda la muestra, la probabilidad de desarrollar la enfermedad (E) en la población de estudio es:
CALCULO DE PROBABILIDAD DE EVENTOS
Para calcular la probabilidad de eventos es necesario que éstos se comporten de una manera más o menos estable. Precisamente, se echa mano de la regularidad estadística, que es la propiedad de los fenómenos aleatorios, y que consiste en que al aumentar el número de repeticiones de un experimento en condiciones prácticamente constantes, la frecuencia relativa de ocurrencia para cada evento tiende a un valor fijo.
Sin embargo, al momento de definir la probabilidad de un evento podemos tomar en cuenta los siguientes criterios:
1. La probabilidad subjetiva de un evento se la asigna la persona que hace el estudio, y depende del conocimiento que esta persona tenga sobre el tema. Precisamente por su carácter de subjetividad no se considera con validez científica, aunque en la vida diaria es de las más comunes que se utilizan al no apoyarse más que en el sentido común y los conocimientos previos, y no en resultados estadísticos.
2. La probabilidad frecuencia de un evento es el valor fijo al que tienden las frecuencias relativas de ocurrencia del evento de acuerdo a la regularidad estadística. Esta definición sería la más real, pero proporciona probabilidades aproximadas, es decir, proporciona estimaciones y no valores reales. Además, los resultados son a posteriori, pues se necesita realizar el experimento para poder obtenerlo. (Para ver un ejemplo haz click aquí.)
3. La probabilidad clásica de un evento E, que denotaremos por P(E), se define como el número de eventos elementales que componen al evento E, entre el número de eventos elementales que componen el espacio maestral:
Es la definición más utilizada porque supone de antemano, y se necesita como requisito indispensable, que todos los eventos elementales tienen la misma probabilidad de ocurrir.
Conjuntos de probabilidad
Probabilidades Como Conjuntos 1) Ej.: espacio muestral o conjunto de todos los resultados posibles.
2) A B : al menos uno de los eventos A ó B ocurre.
3) A B : ambos eventos ocurren
4) Ac : el evento A no ocurre.
Ejemplo: en el experimento "lanzar un dado de seis caras" sean los eventos: A = sale par, B = sale primo. El evento "A ó B" = A B : "sale par o primo" se describe:
Si E es un conjunto de n elementos y A un subconjunto de k elementos, entonces P(A) = k/n, concordando con la definición de las probabilidades.
Propiedades Además de P(E) = 1, P() = 0, 0 P(A) 1, tenemos:
1) Si A B = (A y B se excluyen mutuamente) entonces: P(A B) = P(A) + P(B)
2) P(A) + P(Ac) = 1
3) Si AB entonces
P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)
4) Si A y B son eventos independientes (la ocurrencia de A no influye en la ocurrencia de B), entonces
P(A B) = P(A) • P(B)
5) Si A y B son eventos dependientes (la ocurrencia de A influye en la ocurrencia de B), entonces
P(A B) = P(A) • P(B/A)
P(B/A) es la probabilidad del evento B, sabiendo que ha ocurrido A.
DIAGRAMA DE ARBOL EVENTOS DEPENDIENTES
El Diagrama de Árbol, o sistemático, es una técnica que permite obtener una visión de conjunto de los medios necesarios para alcanzar una meta o resolver un problema.
Partiendo de una información general, como la meta a alcanzar, se incrementa gradualmente el grado de detalle sobre los medios necesarios para su consecución.
Este mayor detalle se representa mediante una estructura en la que se comienza con una meta general (el "tronco") y se continúa con la identificación de niveles de acción más precisos (las sucesivas "ramas"). Las ramas del primer nivel constituyen medios para alcanzar la meta pero, a su vez, estos medios también son metas, objetivos intermedios, que se alcanzarán gracias a los medios de las ramas del nivel siguiente. Así repetidamente hasta llegar a un grado de concreción suficiente sobre los medios a emplear.
Ejemplos:
1. Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o femenino), tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presión sanguínea (Normal, Alta o Baja). Mediante un diagrama de árbol diga en cuantas clasificaciones pueden estar los pacientes de este médico?
N
Solución: A
A B
N
B A
B
M AB N
A
O B
A
N
F B A
B
AB
B
O A
B
Si contamos todas las ramas terminales, nos damos cuenta que el número de clasificaciones son 2 x 4 x 3 = 24 mismas que podemos enumerar; MAN, MAA, MAB, MBN, MBA, MBB, etc., etc.
EVENTOS INDEPENDIENTES
Eventos Independientes
Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo. Ejemplo: lanzar al aire dos veces una moneda son eventos independientes por que el resultado del primer evento no afecta sobre las probabilidades efectivas de que ocurra cara o sello, en el segundo lanzamiento
APLICACIÓN DE TEOREMAS
Ejemplo:
Dado que P(A)=3/4; P(B)=1/6; P©=1/7 Y P(B|C)=5/21
Calcule:
a)P(A|C) b)P(ByC) c)P(ByC) d)P(C|B)
Respuesta:?
a) P(A|C)= 1/7 / 1/3 = 3/7 = 0.4286
b) P(C|A)= 1/7 / 3/4 = 4/21= 0.1905
c) Despejando:
P(ByC)= P(B|C)= P(B intersección C)
——————-
Probabilidad de C
P(B intersección C)= P(B|C)x Prob. de C
P(B intersección C)= 5/21 x 1/3 = 5/63= 0.0794
d) P(C|B)= 5/63 / 1/6 = 10/21 = 0.4762
APLICACIÓN DE TEOREMAS EVENTOS INDEPENDIENTES
Ejemplo:
Dado que P(A)=3/4; P(B)=1/6; P©=1/7 Y P(B|C)=5/21
Calcule:
a)P(A|C) b)P(ByC) c)P(ByC) d)P(C|B)
Respuesta:?
a) P(A|C)= 1/7 / 1/3 = 3/7 = 0.4286
b) P(C|A)= 1/7 / 3/4 = 4/21= 0.1905
c) Despejando:
P(ByC)= P(B|C)= P(B intersección C)
——————-
Probabilidad de C
P(B intersección C)= P(B|C)x Prob. de C
P(B intersección C)= 5/21 x 1/3 = 5/63= 0.0794
d) P(C|B)= 5/63 / 1/6 = 10/21 = 0.4762
Regla de Bayes
Teorema De Bayes El teorema de Bayes, descubierto por Thomas Bayes, en la teoría de la probabilidad, es el resultado que da la distribución de probabilidad condicional de una variable aleatoria A dada B en términos de la distribución de probabilidad condicional de la variable B dada A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A. P(AiB)= P(BAi)P(A1)————–P(BAi)P(Ai)
——————– = ——————-
P(B) ——— £nj=1 P(BAj)P(Aj)
Sea {A1,A2,…,Ai,…,An} un conjunto de sucesos incompatibles cuya unión es el total y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero. Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B | Ai). Entonces, la probabilidad P(Ai | B) viene dada por la expresión:
donde: P(Ai) son las probabilidades a priori. P(B | Ai) es la probabilidad de B en la hipótesis Ai. P(Ai | B) son las probabilidades a posteriori. Esto se cumple
El teorema de Bayes es válido en todas las aplicaciones de la teoría de la probabilidad. Sin embargo, hay una controversia sobre el tipo de probabilidades que emplea. En esencia, los seguidores de la estadística tradicional sólo admiten probabilidades basadas en experimentos repetibles y que tengan una confirmación empírica mientras que los llamados estadísticos bayesianos permiten probabilidades subjetivas. El teorema puede servir entonces para indicar cómo debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas cuando recibimos información adicional de un experimento. La estadística bayesiana está demostrando su utilidad en ciertas estimaciones basadas en el conocimiento subjetivo a priori y permitir revisar esas estimaciones en función de la evidencia es lo que está abriendo nuevas formas de hacer conocimiento. Como observación, se tiene y su demostración resulta trivial. El Teorema de BAYES se apoya en el proceso inverso al que hemos visto en el Teorema de la Probabilidad Total: Teorema de la probabilidad total: a partir de las probabilidades del suceso A (probabilidad de que llueva o de que haga buen tiempo) deducimos la probabilidad del suceso B (que ocurra un accidente). Teorema de Bayes: a partir de que ha ocurrido el suceso B (ha ocurrido un accidente) deducimos las probabilidades del suceso A (¿estaba lloviendo o hacía buen tiempo?). La fórmula del Teorema de Bayes es:
Tratar de explicar estar fórmula con palabras es un galimatías, así que vamos a intentar explicarla con un ejemplo. De todos modos, antes de entrar en el ejercicio, recordar que este teorema también exige que el suceso A forme un sistema completo.
Ejemplos
1.-El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana: a) Que llueva: probabilidad del 50%. b) Que nieve: probabilidad del 30% c) Que haya niebla: probabilidad del 20%. Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente: a) Si llueve: probabilidad de accidente del 20%. b) Si nieva: probabilidad de accidente del 10% c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%. Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estabamos en la ciudad no sabemos que tiempo hizo (llovío, nevó o hubo niebla). El teorema de Bayes nos permite calcular estas probabilidades: Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un accidente se denominan "probabilidades a priori" (lluvia con el 50%, nieve con el 30% y niebla con el 20%). Una vez que incorporamos la información de que ha ocurrido un accidente, las probabilidades del suceso A cambian: son probabilidades condicionadas P (A/B), que se denominan "probabilidades a posteriori". Vamos a aplicar la fórmula:
a) Probabilidad de que estuviera lloviendo:
La probabilidad de que efectivamente estuviera lloviendo el día del accidente (probabilidad a posteriori) es del 71,4%. b) Probabilidad de que estuviera nevando:
La probabilidad de que estuviera nevando es del 21,4%. c) Probabilidad de que hubiera niebla:
La probabilidad de que hubiera niebla es del 7,1%
2.- En una etapa de la producción de un artículo se aplica soldadura y para eso se usan tres diferentes robots. La probabilidad de que la soldadura sea defectuosa varía para cada uno de los tres, así como la proporción de artículos que cada uno procesa, de acuerdo a la siguiente tabla. robot defectuosos art. procesados A 0.002 18 % B 0.005 42 % C 0.001 40 % Ahora podemos hacernos un par de preguntas: • Cuál es la proporción global de defectos producida por las tres máquinas. • Si tomo un artículo al azar y resulta con defectos en la soldadura, cuál es la probabilidad de que haya sido soldado por el robot C. a) La primera pregunta nos va a llevar a lo que se conoce con el nombre de fórmula de la probabilidad total. Queremos conocer la proporción global de defectos delos tres robots. Después de reflexionar un momento se ve que si todas las soldaduras las pusiera el robot C, habría pocos defectos, serían 0.001 o 0.1%. En cambio, si todas las pone el B, ¡sería un desastre!, tendríamos cinco veces más: 0.005 o 0.5%. De modo que en nuestra respuesta debemos tener en cuenta las diferentes proporciones de lo maquinado en cada robot. Nuestra idea es empezar por descomponer el evento “defectuoso en “viene del robot A y es defectuoso o “viene del robot B y es defectuoso o “viene del robot C y es defectuoso. En símbolos tendremos P(d) = P(A y d) + P(B y d) + P(C y d) ó P(d) = P(A) P( d|A) + P(B) P( d|B) + P© P( d|C) Antes de ponerle números y resolver nuestro problema fijémonos en la fórmula obtenida. Hay tres eventos A, B y C que son ajenos y cubren todo el espacio muestral. Conocemos las probabilidades de cada uno de ellos. Además, conocemos las probabilidades condicionales de otro evento dado cada uno de ellos. La fórmula de arriba se llama fórmula de la probabilidad total. Llenando con nuestros números, tenemos que P(d) = (0.18)(0.002) + (0.42)(0.005) + (0.40)(0.001) o sea que P(d) = 0.00286 casi 3 piezas por cada mil. Es bueno comparar este resultado con los porcentajes de soldaduras defectuosas de cada robot por separado. Podemos ver que el resultado se encuentra entre todas ellas y se encuentra relativamente cerca de los porcentajes de los robots más utilizados (el B y el C). Esto es muy razonable. b) La segunda pregunta es, a la vez más simple y más complicada. Nos va a llevar a lo que se conoce con el nombre de teorema de Bayes. La probabilidad que buscamos es una condicional pero al revés de las que tenemos. Buscamos P( C | d) para calcularla usamos la definición de probabilidad condicional: P( C | d) = [P(C y d)] / [P( d )] El numerador (lo de arriba) lo calculamos con P( C y d ) = P© P(d|C) y el denominador lo calculamos con la fórmula de probabilidad total P(d) = P(A) P( d|A) + P(B) P( d|B) + P© P( d|C) juntando las dos tenemos la fórmula de Bayes: P( C|d) = [P© P(d|C)] / [P(A) P( d|A) + P(B) P( d|B) + P© P( d|C)] Aplicándola a nuestro caso tenemos
P(C|d) = [(0.40)(0.001)]/[(0.18)(0.002) + (0.42)(0.005) + (0.40)(0.001)] o sea P(C|d) = [0.0004]/[0.00286] = 0.1399 casi 14%. O sea que si tomamos una pieza al azar, la probabilidad de que haya sido soldada por el robot C es alta, 40%. Pero, como ese robot produce sólo 1 de cada mil soldaduras defectuosas, al saber que la pieza seleccionada es defectuosa, la probabilidad de que provenga del robot C disminuye a solamente 14%. Esto quiere decir que, en este caso el saber que la soldadura es defectuosa, nos provee con una gran cantidad de información. Si analizáramos, usando de nuevo la fórmula de Bayes las probabilidades de los robots A y B, tendríamos P(B|d) = 0.7343 y P(A|d) = 0.1259 Comparadas con las probabilidades de cada máquina sin saber que la pieza es defectuosa vemos un gran incremento en la probabilidad de B. Si, por el contrario la pieza no hubiese tenido defectos de soldadura, el mismo teorema de Bayes nos daría (haga Ud. las cuentas y ¡fíjese que no me haya equivocado yo!): P(A|no d) = 0.1802 P(B|no d) = 0.4191 y P(C|no d) = 0.4007 Las probabilidades no son idénticas a las probabilidades no condicionales, pero la diferencia es muy pequeña. Para apreciar mejor el cambio, pongamos en una sola tabla las probabilidades iniciales y las condicionales obtenidas bajo el conocimiento de la soldadura de la pieza. Robot P( ) P( |d) P( |no d) A 0.18 0.1259 0.1802 B 0.42 0.7343 0.4191 C 0.40 0.1399 0.4007 Es tan grande el éxito de los tres robots en el soldado correcto que el saber que la pieza no tiene defectos, prácticamente no altera las probabilidades de produción en uno u otro. Por el contrario, el robot C es tan bueno, comparado con el B que, al saber que la pieza es defectuosa, las probabilidades cambian dramáticamente. En este ejemplo el cálculo de probabilidades condicionales nos cuantifica algo que el sentido común nos dice de otra forma. Note que la fórmula de Bayes nos sirvió para pasar de las probabilidades no condicionales a las condicionales.
RESOLVER PROBLE MAS QUE APLIQUEN EL TEOREMA
APLICAR EL TEOREMA DE CHEBYSHEV PARA CALCULAR EL INTERVALO DEL TAMAÑO DE LAS ORDENES QUE INCLUYA POR LO MENOS EL 89% DE ELLAS
En probabilidad, la desigualdad de Chebyshev es un resultado estadístico que ofrece una cota inferior a la probabilidad de que el valor de una variable aleatoria con varianza finita esté a una cierta distancia de su esperanza matemática o de su media; equivalentemente, el teorema proporciona una cota superior a la probabilidad de que los valores caigan fuera de esa distancia respecto de la media. El teorema es aplicable incluso en distribuciones que no tienen forma de "curva de campana" y acota la cantidad de datos que están o no "en medio".
Teorema: Sea X una variable aleatoria de media µ y varianza finita s . Entonces, para todo número real k > 0,
Sólo los casos con k > 1 proporcionan información útil.
Para ilustrar este resultado, supongamos que los artículos de Wikipedia tienen una extensión media de 1000 caracteres y una desviación típica de 200 caracteres. De la desigualdad de Chebyshev se deduce que al menos el 75% de los artículos tendrán una extensión comprendida entre 600 y 1400 caracteres (k = 2).
Otra consecuencia del teorema es que para cada distribución de media µ y desviación típica finita s, al menos la mitad de los valores caerán en el intervalo (µ-v2 s, µ+v2 s).
Las cotas proporcionadas por la desigualdad de Chebyshev, en general, no se pueden mejorar; es posible construir una variable aleatoria cuyas cotas de Chebyshev sean exactamente iguales a las probabilidades reales. Sin embargo, en general el teorema proporcionará cotas poco precisas.
El teorema puede ser útil a pesar de las cotas imprecisas porque se aplica a una amplia gama de variables que incluye las que están muy alejadas de la distribución normal, y porque las cotas son fáciles de calcular. El teorema se emplea para demostrar la ley débil de los números grandes.
El teorema recibe su nombre del matemático Pafnuty Chebyshe
Autor:
Omar Alejandro Patino Arellano
Profesor: Jose Guadalupe
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