Distribución de probabilidades discretas

Enviado por mrdm20

PROBLEMA

Hay una campaña en un centro medico del poblado de Ucayali, sobre paternidad responsable a un grupo de mujeres. Una vez finalizada la charla se les entrega un papelito con una única pregunta:

¿Desearía usted ser esterilizada?

1. Si

2. No

Usted alumna de la maestría en Salud Publica con mención en Salud Reproductiva, está interesada en investigar si las charlas tienen un efecto favorable en el sentido de que las mujeres se decidan a ser sometidas a la esterilización.

Ante este tipo de situaciones en la cual uno se encuentra todos los días, tenemos que acudir a las Distribuciones de Probabilidades. En nuestro ejemplo, la variable Deseo ser esterilizada, es una variable cualitativa, discreta. Por lo tanto se requieren de las Distribuciones de Probabilidades Discretas. Que es la que estudiaremos en este trabajo.

VARIABLE ALEATORIA

Una variable se dice que es aleatoria, si los posibles valores que puede tomar son determinados por el azar. En otras palabras se sabe qué valores puede tomar la variable pero no se tiene certeza de su ocurrencia, sólo se sabe que puede ocurrir con una cierta probabilidad. Por ejemplo, en una epidemia de cólera, se sabe que una persona cualesquiera puede enfermar o no (eventos), pero no se sabe cuál de los dos eventos va a ocurrir. Solamente se puede decir que existe una probabilidad de que la persona enferme.

Las variables aleatorias se clasifican:

Discretas: aquellas que resultan de contar el número de casos en los que el evento de interés ocurre, por ejemplo: numero de hijos de una familia, número de veces que llega una paciente al servicio de emergencia, etc.
Continuas: aquellas que resultan producto de una medición, por ejemplo: el peso, el nivel de hemoglobina, etc.

VALOR ESPERADO

Se llama también esperanza matemática. Se trata de un operador matemático que al ser aplicado a la función probabilidad permite el cálculo de ese valor en el caso discreto, mientras que en el caso continuo se lo aplica a la función frecuencia:

DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES DISCRETAS

Sigamos con nuestro ejemplo del centro medico de departamento de Ucayali. Nuestra variable de interés seria:

Deseo ser esterilizada.

Supongamos que a la charla asistieron tres mujeres, entonces definimos como variable aleatoria a:

X : Número de mujeres que desearían ser esterilizadas.

Antes de hacerles la pregunta sobre su deseo de ser esterilizadas, puede considerar las posibles respuestas:

X = 0 à Ninguna desearía ser esterilizada

X = 1 à Sólo una de las mujeres desearía

X = 2 à Dos mujeres desearían

X = 3 à Las tres mujeres desearían

Antes de verificar las respuestas de las 3 mujeres seleccionada; no sabe cuántas estarán de acuerdo en ser esterilizadas, pero si conociera las probabilidades de ocurrencia de cada uno de los posibles valores de la variable podría predecir su ocurrencia con una cierta probabilidad. El conjunto de las probabilidades de ocurrencia de los posibles valores de la variable aleatoria se denomina distribución de probabilidades.

En nuestro ejemplo:

A esto se le llama distribución de probabilidades discreta. Discreta porque la variable X deseo ser esterilizada es discreta.

Nosotros estudiaremos dos tipos de distribuciones de probabilidades discretas: la Binomial y la de Poisson, para su solución, utilizaremos las matemáticas y también el Excel.

DISTRIBUCION BINOMIAL

Esta distribución se basa en el proceso de Bernoulli. Se denominan procesos de tipo Bernoulli, a todo experimento consistente en una serie de pruebas repetidas, caracterizadas por tener resultados que se pueden clasificar en si verifican o no cierta propiedad o atributo, siendo aleatorios e independientes.

Para identificar un proceso Bernoulli en una serie de pruebas repetidas, se deben verificar tres condiciones:

Resultados dicotómicos: Los resultados de cada prueba se pueden clasificar en "éxito" si verifican cierta condición, o "fracaso" en el caso contrario.
Independencia de las pruebas: El resultado de una prueba cualquiera es independiente del resultado obtenido en la prueba anterior, y no incide en el resultado de la prueba siguiente.
Estabilidad de las pruebas: La probabilidad p de obtener un resultado considerado como un éxito se mantiene constante a lo largo de toda la serie de pruebas.

Cuando en un proceso del tipo Bernoulli se desea saber la probabilidad de obtener exactamente r éxitos, en una serie de n pruebas, con una probabilidad de éxito p, se puede aplicar la fórmula de la probabilidad binomial:

X = 0, 1, 2, ……, n.

La media o valor esperado es m = np

La varianza s 2 = np(1-p)

Veamos el siguiente ejemplo:

Sea el caso de una droga X, con una dosis mortal de 1g/100 ml para cobayos experimentales, en el 25% de los casos. Aplicando esta dosis a cien cobayos se desea saber cuanto vale la probabilidad de que mueran veinte de ellos.

Primero analizaremos si este caso cumple los supuestos básicos de una distribución binomial:

Los cobayos mueren (éxito) o sobreviven (fracaso).
Que un cobayo muera con la dosis, no significa que lo hará el siguiente (independencia) pues no se trata de una epidemia.
La probabilidad de que mueran se mantiene constante a lo largo de la serie de pruebas (p = 0,25).

Entonces, como si cumple los supuestos básicos, aplicamos la formula:

Mucha matemática. No se preocupen, tenemos al Excel

Ingresamos la información y listo P(x=20) = 0.0493

Veamos otro ejemplo:

En una farmacia se ha calculado la probabilidad de venderle a un cliente con obra social es del 20%. Se eligen al azar 15 clientes de ese tipo que ingresan al negocio y se desea calcular la probabilidad de concretar menos de tres ventas.

Si se cumple los supuestos básicos de la distribución binomial, entonces:

P(x<3) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2)

Matemáticamente esto se resuelve así:

Entonces: P(x<3) = 0.0352 + 0.1319 + 0.2309 = 0.398

Ahora los hacemos con el Excel.

Matemáticamente P(x<3) = P(x≤ 2) . El Excel calcula siempre o igualdad o menor igual. Cuando queremos menor igual, en la opcion de acumulado ingresamos VERDADERO.

Entonces P(x<3) = 0.398

Gracias Excel, por facilitarme las cosas.

DISTRIBUCION POISSON

Se denominan procesos de tipo Poisson, a todo experimento consistente en una serie de pruebas repetidas dentro de un continuo, caracterizadas por tener resultados que se pueden clasificar en si verifican o no, cierta propiedad o atributo, siendo aleatorios e independientes del lugar que ocurren dentro del continuo.

Para identificar un proceso Poisson en una serie de pruebas repetidas, se deben verificar tres condiciones:

Sucesos puntuales: Los sucesos ocurren dentro de un continuo (espacio o tiempo) y ocupan una parte infinitesimal del mismo. Es decir, en el espacio un suceso es puntual y en el tiempo es instantáneo. En términos prácticos, los sucesos no ocupan una parte apreciable del continuo.
Sucesos independientes: La ocurrencia de un suceso en un lugar del continuo no condiciona la ocurrencia del anterior (o del siguiente) en otra parte del mismo.
Probabilidad constante: La probabilidad de ocurrencia de un suceso en un lugar del continuo es la misma en todo punto del mismo.

Son ejemplos de este tipo de proceso:

la llegada de pacientes a una cola o línea de espera,
los accidentes en una ruta, etc.

Esta probabilidad se aproxima a la binomial cuando la probabilidad de éxito es muy pequeña, por eso muchos la llaman: la "binomial de los sucesos raros".

Cuando en un proceso del tipo Bernoulli se desea saber la probabilidad de obtener exactamente x éxitos en un intervalo de tiempo, con un promedio de eventos esperados l , se puede aplicar la fórmula de la probabilidad de Poisson:

X = 0, 1, 2, …., n

e = 2.71828 (es una constante, la base de los logaritmos naturales)

Veamos el siguiente ejemplo:

Supongamos que estamos investigando la seguridad de una peligrosa intelección de calles, los registros policíacos indican una media de 5 accidentes mensuales en esta intersección.

El departamento de seguridad vial desea que calculemos la probabilidad de que en cualquier mes ocurran exactamente 3 accidentes.

Analizando el problema, este situación se ajusta a un proceso de Poisson, hay una secuencia de llegada (por mas que exista un choque múltiple, siempre hay uno que choca primero). Tenemos la siguiente información:

l = 5 accidentes por mes

x = 3 accidentes por mes

Aplicando la formula de la probabilidad de Poisson: