Aproximación gráfica a la cuadratura del círculo (Con seis decimales de aproximación para el número PI) (página 2)

1. Con el compás en el origen, trazar un arco con radio 11.3, hasta cortar la recta perpendicular (10, 0)
2. Unir el punto encontrado con el origen (O) y prolongar esta recta oblicua.

7. Desde el origen, con radio 3.55, trazar un arco que corte a la recta oblicua

8. Desde este punto, trazar la perpendicular al eje X. El punto hallado será, aproximadamente el valor de Pi, ~p = 3.141592920 (Haciendo, paralelamente, el control por el método analítico se encontró que se trata de una aproximación de 2.68 * 10-7 de centímetro).

; Graficando esta proporción tenemos:

En la Fig. 1.2. La aproximación alcanzada para p es hasta la sexta cifra decimal y su exactitud en el papel dependerá de la precisión gráfica de las cifras de la proporción, usando sólo compás y la regla, como se ve en el procedimiento gráfico para dividir la unidad en fracciones (el error por exceso o resto será 3.141592920 ? 3.141592652 de 0.000000268, es decir 2.6 diezmillonésimas de centímetro ó 2.68 * 10-7; también 26.8 * 10-8Cm =26.8 Å = 2.68 nm, que son unidades que se utilizan a nivel molecular.

( Ånstrong, 1 Å= 10-8 cm, y 10 Å= 1 nm (nanómetros)).

Este procedimiento deriva del método del holandés Metius que, con la fracción:

355/113 = 3.1415929, alcanzó una aproximación de 6 cifras decimales para p , aproximación que, según la monografía del profesor venezolano Dr. Juan Saba Salas,

(http://www.monografias.com/trabajos14/letrapi/letrapi.shtml), lo había logrado calculando la media aritmética de los numeradores y denominadores de las fracciones 377/120 y 333/106, valores aproximados encontrados con el método de Arquímedes. Mi alcance es haber planteado esa fracción (355/113) como proporción, para hacer asequible su graficación en una hoja de papel A4.

2.- HIPOTESIS.- Encontrar la relación entre el radio de un círculo y el lado de un cuadrado de áreas iguales

Tomando como premisa la igualdad entre las áreas de un polígono de n lados y su círculo de igual área (isoárea), el autor ha formulado el teorema siguiente:

TEOREMA.- "En todo polígono regular de n lados, la razón entre el lado del polígono y el cuadrado del radio de su círculo de igual área, es constante e igual a 2p entre el número de lados del polígono regular y el apotema de este".

(r del círculo isoárea)2 ;

Haciendo que: y sustituyendo

Tendremos otro modo de expresar el teorema: "la cuadratura entre un círculo y un polígono cualquiera es posible si la razón entre el lado del polígono, al radio de su círculo de igual área es constante e igual a:

Siendo, para el polígono cuadrado, n = 4; Apotema = mitad del lado, (L/2), y si el área del círculo = área del cuadrado = ; lado del cuadrado = entonces sustituyendo:

, entonces:

L = r isoárea;

Donde L = lado del cuadrado y r = radio del círculo de igual área que el cuadrado.

Con lo que el problema se reduce a la función lineal

Y = X

Lo que nos permite formular el teorema siguiente:

Teorema: Si la relación constante entre el lado de un polígono cuadrado al radio de un círculo es , entonces, el polígono cuadrado y el círculo tiene áreas iguales.

En estas condiciones, se hace necesario buscar un método gráfico para encontrar la Raíz cuadrada del número Pi, que ya tenemos gráficamente aproximado con seis decimales.

Luego de muchos intentos el autor ha encontrado estos dos caminos:

3.- OBTENCIÓN GRÁFICA DE ,

3.1.-PRIMER MÉTODO DE APROXIMACIÓN

Fig. (1.7)

Procedimiento.

2. Ubicar p en el eje Y del plano cartesiano.
3. Ubicar los puntos F=(0,1/4) y D=(0,-1/4)
4. Tomando como radio el segmento (p +1/4), trazar desde F el punto P1, intersecando la recta Y=p .
5. La proyección de P1 sobre el eje X será: .

Hallando el segmento X por el teorema de Pitágoras.

3.2.- OBTENCIÓN GRAFICA DE , SEGUNDO MÉTODO DE APROXIMACIÓN

Fig. (1.7b, 1.7c).

Procedimiento.

2. Graficar p con nuestro método gráfico (Figs. 1.1, 1.2)
3. Graficar el diámetro AB = 1+p y ubicar los segmentos AD=1, y DB =p .
4. Graficar el punto medio (O) del diámetro AB, y, con el radio AO = OB, trazar la semicircunferencia AB.
5. Trazar la perpendicular al diámetro AB en el punto D: El segmento CD será =

En el gráfico 1.7b., el triangulo ABC, con segmentos AD =1; DB= y la altura CD = , he nominado "Triángulo de Gutiérrez Samanez", por la importancia que tiene para la realización de la cuadratura del círculo.

Haciendo uso del Teorema de la Altura en las relaciones métricas en el triángulo rectángulo que reza:

"En todo triángulo rectángulo la longitud de la altura es media proporcional entre los segmentos que son las proyecciones ortogonales de los catetos sobre la hipotenusa".

En el gráfico que sigue, la altura (CD) del triángulo ABC será "medio proporcional" a los segmentos AD y DB.

Es decir , que sustituyendo valores da la proporción

Entonces: (CD)2 = AD x DB = 1 x p ; por lo tanto, CD =

Con este método se puede graficar la raíz cuadrada de cualquier número X.

Recíprocamente, el cuadrado de cualquier número.

4.- Gráfico de la CUADRATURA DEL CÍRCULO (Con el número Pi, "aproximado")

4.1.- GRÁFICO DE LA CUADRATURA DEL CÍRCULO

Con estos alcances trazamos el gráfico que sigue:

Del gráfico 1.12 podemos dibujar.

a) Dado el radio r en X (1.5 cm. para el ejemplo), encontrar el lado del cuadrado en Y, y dibujar ambas figuras. Estas tendrán áreas iguales.

Fig. 1.13

b) Dado el lado del cuadrado, en Y, hallar el radio del círculo de igual área en X. Luego dibujar ambas figuras geométricas, cuyas áreas serán iguales.

Evidentemente se puede generalizar para círculos de cualquier radio X y cuadrados de cualquier lado Y.

4.2.- LA CUADRATURA DEL CÍRCULO EN 14 PASOS

Para este efecto se sigue los pasos siguientes:

1.- Trazar el plano cartesiano con la recta horizontal (eje X) y otra perpendicular (eje Y) con origen en el punto (0,0). (Fig. 1.2).

2.- Tomar un valor unitario arbitrario (un centímetro, por ejemplo) y con él, dividir la recta X, en doce partes.

3.- Ubicar por paralelismo los puntos (3.55, 0) y (11.3, 0)

4.- Trazar la recta auxiliar perpendicular a X en el punto (10, 0)

5.- Con el compás en el origen, trazar un arco con radio 11.3, hasta cortar la recta perpendicular (10, 0)

6.- Unir el punto encontrado con el origen (O) y prolongar esta recta oblicua.

7.- Desde el origen, con radio 3.55, trazar un arco que corte a la recta oblicua

8.- Desde este punto, trazar la perpendicular al eje X. El punto hallado será, aproximadamente el valor de Pi, ~p = 3.141592920 (Haciendo, paralelamente, el control por el método analítico se encontró que se trata de una aproximación de 2.68 * 10-7 de centímetro)

9.- Se ubica el punto: (p +1) en X y con el compás se toma la mitad de su magnitud

10.- Con la mitad de (p +1) como radio y desde ese punto medio se traza una semicircunferencia.

11.- Se traza la vertical x = 1, hasta cortar la semicircunferencia. El valor de este segmento será

12.- Uniendo el origen y el punto (1,), se traza la función Y=X

13.- Se trazar un círculo de cualquier radio X, (por ejemplo si r =1, cuyo área será = p )

14.- Se trazar un cuadrado de lado Y, (por ejemplo si L= , cuyo área será también = p )

Por lo tanto, cualquier círculo trazado con radio X, será isoárea del cuadrado de lado Y, a través de la función Y=X.

4.3.- TEOREMA DE LA CUADRATURA DE G.S. Y EL TEOREMA DE PITÁGORAS.

Partiendo el teorema de Pitágoras y el método para obtener gráficamente la mediante el "Triángulo de Gutiérrez Samanez", se tiene.

Teorema de Pitágoras

Teorema de GS para la cuadratura del círculo

"En el Triángulo de G.S. (ABC), el círculo cuyo radio es el cateto menor, es isoárea del cuadrado cuyo lado es el cateto mayor".

En el triángulo ACD el círculo de Radio AD es isoárea del cuadrado de lado CD.

En el triángulo BCD el círculo de radio CD es isoárea del cuadrado de lado DB.

En el triángulo ABC el círculo de radio AC es isoárea del cuadrado de lado CB.

(Fig. 1.15c)

4.4.- DIBUJO SIMPLIFICADO DE LA CUADRATURA DEL CÍRCULO

Para un círculo de radio p , se halla en Y. (Por cualquiera de los dos métodos arriba expuestos)

Desde el origen pasando por la intersección (1, ), se traza la función lineal oblicua

Y =X.

La intersección con la vertical X = p será, en Y, el lado del cuadrado de igual área que el círculo de radio p . El área de ambas figuras será =

Fig. 1.16

5.- GRÁFICO DE LA RECTIFICACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

(CON EL NÚMERO PI, "APROXIMADO")

2. LA RECTIFICACIÓN A PARTIR DE LA FUNCIÓN LINEAL

TEOREMA.- "En todo polígono regular de n lados, la razón entre el lado del polígono al radio de su circunferencia isoperímetra es constante e igual a 2p entre el número de lados del polígono regular".

Perímetro del polígono = Perímetro del Círculo

n L = 2 p r iso ; Entonces: ; como n = 4 (para el caso del cuadrado)

. Entonces, para

Expresión que puede generalizarse a: Y = p /2 X

Que se representa en el gráfico inferior, y da lugar a formular el teorema siguiente:

Teorema:

Si la relación constante entre el lado de un polígono cuadrado y el radio de un círculo es la mitad del valor de ; entonces, el polígono cuadrado y el círculo son isoperímetros.

1. En el gráfico (1.18), dado el valor del radio de la circunferencia isoperímetra, se halla el lado del polígono (cuadrado) isoperímetro. (Fig. 1.19). El perímetro de ambas figuras es idéntico.

Igualmente del gráfico 1.18, dado el valor del lado del polígono regular o cuadrado, se halla el radio del círculo isoperímetro y se grafica. Ambas figuras tienen igual perímetro.

5.2 LA RECTIFICACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA EN 12

PASOS

1. Trazar el plano cartesiano con la recta horizontal (eje X) y otra perpendicular (eje Y) con origen en el punto (0,0). (Fig. 1.2).

2. Tomar un valor unitario arbitrario (un centímetro, por ejemplo) y con él, dividir la recta X, en doce partes.

3. Ubicar por paralelismo los puntos (3.55, 0) y ( 11.3, 0)

4.-Trazar la recta auxiliar perpendicular a X en el punto (10, 0)

5. Con el compás en el origen, trazar un arco con radio 11.3, hasta cortar la recta perpendicular (10, 0)

6. Unir el punto encontrado con el origen (O) y prolongar esta recta oblicua.

7. Desde el origen, con radio 3.55, trazar un arco que corte a la recta oblicua

8. Desde este punto, trazar la perpendicular al eje X. El punto hallado será, aproximadamente el valor de Pi, ~p = 3.141592920 (Haciendo, paralelamente, el control por el método analítico se encontró que se trata de una aproximación de 2.68 * 10-7 de centímetro).

9. Dividir con el compás y regla el segmento ~p para encontrar el valor aproximado de (Fig. 1.2) y con el compás, ubicar en el eje Y de plano cartesiano. (Fig. 1.18)

10. Encontrar la intersección (1, ) y graficar la función Y=X (Fig. 1.18) (Fig. 1.21)

11. Con el compás trazar un círculo de radio x (por ejemplo r=1, su perímetro será = 2p ).

12. Trazar un cuadrado de lado y, imagen de x en el eje Y, (para el ejemplo = y su perímetro será = 2p ).

Por lo tanto, cualquier círculo de radio X, y su correspondiente cuadrado de lado Y, serán isoperímetros

5.3 TEOREMA DE LA RECTIFICACIÓN CON EL TRIÁNGULO DE G.S.

Teorema: "En el triángulo de G.S. ACD, el círculo cuyo radio es el cateto menor será isoperímetro del cuadrado cuyo lado es el cateto mayor".

En el triángulo ABC, el círculo de radio AB es isoperímetro del cuadrado de lado CB.

En el triángulo CBD, el círculo del radio CB es isoperímetro del cuadrado de lado BD.

En el triángulo ACD, el círculo del lado AC es isoperímetro del cuadrado del lado CD.

5.4.- DIBUJO SIMPLIFICADO DE LA RECTIFICACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA CON

En la Fig. 1.22, el círculo del radio y perímetro es isoperímetro del cuadrado del lado y perímetro

Fig. 1.22

6.- RECTIFICACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA CON EL "TEOREMA DE EUSEBIO CORAZAO"

6.1.- RELACIÓN ENTRE LOS TEOREMAS DE CORAZAO Y EL PROBLEMA DE LA RECTIFICACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA.

En la relación de un círculo de r = 1 y el cuadrado que le circunscribe tenemos los datos siguientes:

Circulo Inscrito Polígono Círculo Isoperímetro

Según el Teorema del Dr. Eusebio Corazao (8), el área del círculo isoperímetro del cuadrado, será, el cuarto termino de la proporción:

p : 4 = 4: ? ;

El cuarto término será =

Que es el valor del área del círculo isoperímetro al polígono (cuadrado) lo que se prueba del modo siguiente:

Perímetro = 8 = 2p riso r iso = 4/p

Área del círculo isoperímetro = p (r iso)2 =

entonces , es decir se cumple que: "El área del polígono es medio proporcional entre el círculo isoperímetro y su círculo inscrito". (Teorema de Corazao).

6.2.- HALLANDO ESA "COMBINACIÓN GEOMÉTRICA FELIZ"

QUE BUSCABA CORAZAO.

Dividiendo entre p la proporción anterior, el Dr. Corazao halló el número 16/p 2 que es la relación del área del círculo isoperímetro al número p , e intuyó que, de construirse geométricamente esta expresión, "por alguna combinación feliz"…"quedaría hallado el círculo isoperímetro al cuadrado (de perímetro 8) es decir, conseguida la rectificación de una circunferencia".

Así:

Relación de proporcionalidad que enunciamos como un nuevo Teorema:

Teorema: "El radio de un círculo isoperímetro de un cuadrado (4/p ), es medio proporcional entre la unidad y el cuadrado de dicho radio del circulo isoperímetro o la relación entre el área del círculo isoperímetro (16/p ) al área del círculo inscrito al polígono (cuadrado) (p )".

Para generalizar el teorema para cualquier cuadrado se multiplicara por el valor del apotema y la relación quedara así:

Aplicando nuestro método grafico basado en el Teorema de la altura del triángulo rectángulo que es media proporcional entre las proyecciones de sus catetos sobre la hipotenusa y teniendo el valor aproximado de p podemos encontrar gráficamente los valores de 16/p y 16/p 2 en las Figs. 2.8 y 2.9 con estos valores dibujamos la Fig. 2.10, trazando la función Y=4/p X, en el punto (p ,4), automáticamente, aún sin saber los valores numéricos, la imagen de X=1 en Y será 4/p y la imagen de X=4/p en Y será, obviamente, 16/p 2:

Fig. 2.8

Al construir este gráfico muestro descubierta la "combinación feliz" que buscaba el Doctor Corazao hace cien años; por esta razón he convenido en llamar a su valor:

número de Corazao = = 1.621 que analíticamente resulta de las siguientes relaciones:

El numero de Corazao relaciona los cuadrados de los radios isoperímetro e inscrito.

La relación incógnita del Dr. Eusebio Corazao (16/p : p = 16/p 2) es, como vimos, la razón entre el área del círculo isoperímetro del polígono (cuadrado en este caso) al área del círculo inscrito al polígono y es igual al cuadrado del radio del círculo isoperímetro, pues es la razón entre los cuadrados de los radios del círculo isoperímetro y el círculo inscrito.

Sacando la raíz cuadrada tenemos la expresión:

Generalizando, riso = K rins ; donde k es el inverso de la constante de proporcionalidad que he llamado de Gutiérrez Samanez (Nº de G.S.), que es diferente para cada polígono.

En el caso del cuadrado, si el radio inscrito = 1, entonces:

y la ecuación es: rins.

Expresando en coordenadas cartesianas será:

4/p = 1.2732, es el inverso de la constante de proporcionalidad (GS) entre los radios de los círculos isoperímetros en función de los radios de los círculos inscritos.

Tabulando.

6.3.- TEOREMA DE CORAZAO EXPRESADO COMO FUNCIÓN:

"Si la relación constante entre el radio de cierto círculo y el radio de otro círculo inscrito en un polígono cuadrado es , entonces, el polígono cuadrado y el primer círculo son isoperímetros".

Esto da lugar a otra forma de expresar el teorema de Corazao para nuestro caso:

TEOREMA:

"La razón entre el área de un polígono regular de n lados al área de su circulo inscrito, es medio proporcional entre la unidad y la razón entre el área del círculo isoperímetro del polígono al área del círculo inscrito en dicho polígono".

Lo que analíticamente ocurre, si el radio del círculo inscrito o apotema del polígono fuera la unidad:

, donde es el valor del área del círculo isoperímetro buscado

Para la generalización del teorema para todo polígono regular de n lados, con apotema o radio del círculo inscrito diferente de la unidad, multiplicamos toda la expresión por el valor del apotema, así:.

De donde resulta que el área del círculo isoperímetro es:

De esta relación se deduce que, si el apotema o radio del círculo inscrito es igual a 1, el área del círculo isoperímetro será igual a 16/= 5.0929. (Fig. 2.7)

Hallada geométricamente este magnitud, aún sin conocer su valor numérico, y tomándola con el compás de la Fig. (2.8) es fácil encontrar el radio isoperímetro, usando las Figs. (2.9 y 2.10) y, con el valor obtenido, se traza la circunferencia isoperímetra del cuadrado de perímetro 8, con lo que se resuelve el problema.

Área del círculo isoperímetro 16/= 5.0929.

Radio del círculo isoperímetro

Perímetro de la circunferencia isoperímetra.

Proporción de Radios

Proporción de Áreas

En el gráfico 2.12. El área del polígono cuadrado (b) es medio proporcional entre al área de su círculo inscrito (a) y su círculo isoperímetro (c), conforme al Teorema del Dr. Eusebio Corazao.

6.4.- DIBUJO SIMPLIFICADO DE LA RECTIFICACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA CON EL TEOREMA DE CORAZAO

A un círculo de radio p , se circunscribe un cuadrado de lado 2p .

Desde el origen (0,0) pasando por el punto (p , 4) se traza la función lineal oblicua Y= X. Cuando X = p , el valor de Y, (radio de la circunferencia isoperímetra del cuadrado), será igual a 4.

Se cumple que el área del cuadrado es medio proporcional entre el área del círculo inscrito en él y el área de su círculo isoperímetro.

Fig. 2.13

7.- REFERENCIAS.

BIBLIOGRAFIA Y DOCUMENTACION

1.-"La Cuadratura del Círculo. ¡Sí, es posible!", Ing. Julio Antonio Gutiérrez Samanez, Cusco ?Perú, 2005, (ISBN: 9972-33.239.X)

2.- http://www.monografias.com/trabajos14/letrapi/letrapi.shtml)

del Dr. Juan Saba Salas.

4.- "Matemáticas" de D. Bergamini (Libros Time. USA, 1969)

5.- "Geometría" de J. E. Thompson, Uteha, México 1961,

6.- "Las grandes corrientes del pensamiento matemático" de Francois Le Lionnais (Eudeba, Argentina 1965).

7.- "Diccionario de la Ciencia y Tecnología" Ed. Planeta, España, 2001.

8.- El matemático cusqueño Dr. Eusebio Corazao Quintanilla, publicó en 1905 el teorema siguiente:

"Todo polígono regular en medio proporcional entre el círculo inscrito en él y su círculo isoperímetro", con lo que facilitó la aproximación a la solución analítica del problema de la Rectificación de la Circunferencia. Después de un siglo, el autor del presente trabajo descubre el método que posibilita expresar gráficamente ese teorema, que aproxima a la solución generalizada de dicha rectificación.

9.- Ver nuestro trabajo: "CÓMO GRAFICAR EL NÚMERO Pi, con seis decimales":

/trabajos34/graficando-numero-pi/graficando-numero-pi.shtml

NOTA.- La numeración de los gráficos corresponde a la de nuestro libro (referencia 1).

AGRADECIMIENTO

-Al Diseñador Gráfico Rigoberto Condori.

Autor:

Julio Antonio Gutiérrez Samanez

(Ingeniero Químico, nacido en Cusco, 1955, escritor, investigador, ceramista y consultor en diseño de productos artesanales. Es, también, dibujante técnico y artista plástico profesional)

Cusco, Perú Junio, 2006