Consideremos una inclinación cualquiera de la faceta principal superior y el rayo de luz paralelo al eje de talla e incidente a la faceta principal. En el punto de incidencia trazamos una perpendicular a la faceta. Llamamos i al ángulo formado por el rayo de luz y esta perpendicular. El rayo de luz penetra en la gema refractándose y aproximándose, según el ángulo r, a la perpendicular a la faceta, y así se define el índice de refracción:
De la definición anterior deducimos que y que
El ángulo i será siempre mayor que r, por pasar la luz de un medio menos denso (aire) a otro más denso (gema). En consecuencia el sen i es mayor que sen r. El I.R. será siempre mayor que 1. Por ejemplo, el I.R. del diamante es 2,419; el de la esmeralda es 1,583; el de algunos cuarzos es 1,520; el del agua es 1,33; todos estos valores son aproximados, dependiendo de la tecnología de medición empleada. También se considera el IR como la relación de las distintas velocidades de la luz en los medios que atraviesa.
Conocemos el IR de la piedra a tallar y un ángulo i, de la faceta principal superior, que elegimos.
El IR de las gemas es conocido y el ángulo i será el ángulo de talla de la faceta principal superior. El cálculo del ángulo r es sencillo (r = arcsen (sen i / IR)).Estos son los valores iniciales: IR y r sale de la definición de IR.
Nos proponemos encontrar la relación del ángulo de talla a de la faceta inferior con el ángulo i que elegimos, para un IR propuesto.
Necesitamos el valor de r y el de (i – r) para seguir nuestro razonamiento. Nuestro razonamiento es de igualdades geométricas y aplicamos algo de trigonometría.
Establecimos como premisa que el recorrido de un rayo de luz debe ser paralelo al eje de simetría de la pieza en su entrada a la gema por la faceta lateral y en su salida de la gema por la mesa superior. Pasamos a detallar los diferentes ángulos de este rayo de luz con las facetas lateral superior, laterales inferiores y con la mesa.
Relación entre ángulo i y ángulo a
En azul el rayo de luz y su recorrido en el aire y en la gema. Es una reflexión total, entonces los ángulos JHA y BHF deben ser iguales, así como los ángulos HFB y CFK.
El ángulo CFK vale 90-a así como su igual el HFB. También es cierto que el ángulo FBH vale 180-2a
Por lo tanto el ángulo BHF vale 180-(90-a)-(180-2a)=180-90+a-180+2a=3a-90
KCB = LBC por alternos internos.
El ángulo AJH valdrá 180-a-(3a-90)=270-4a
y el ángulo HJC valdrá 180 –(270-4a)=4a-90
90 – (i – r) = 4a – 90
Llegamos así a igualar estos dos ángulos opuestos por el vértice en J y así relacionar el ángulo de incidencia i con el ángulo a, que es lo que queríamos hacer.
Para nuestro estudio es fundamental esta relación: ángulo KJA= ángulo CJH
90–(i-r)= 4a– 90
a es función del ángulo i para todo IR
Substituyendo r = arcsen (sen i / I.R.), según vimos al comienzo, llegamos a:
Con esta fórmula calculamos el ángulo a de la faceta inferior para cualquier IR y en función de cualquier ángulo i de la faceta superior, asegurando el paralelismo al eje de simetría de la pieza en la salida del rayo de luz en la mesa.
Resumiendo:
Para obtener estos valores comparamos dos ángulos opuestos por el vértice: uno en la parte superior (zona del ángulo i) y el otro en la parte inferior (zona del ángulo a). Siguiendo igualdades y deducciones de ángulos desde el a de la derecha hacia la izquierda en la zona del a.
Hemos demostrado entonces que a es función de i
Ahora demostraremos que 
Recordemos que 
y que 
así como que 
. Estas relaciones trigonométricas las usaremos más tarde.
Anteriormente vimos que
de donde 
y entonces 
Recordemos el seno de la suma de ángulos
y si aplicamos la relación señalada anteriormente 
Substituimos el "cos i" en magenta por lo marcado anteriormente 
elevamos esta expresión al cuadrado,
y seguimos operando
sacando factor común 
del lado izquierdo, llegamos a
En el paréntesis la suma de 
+ 
= 1
Sustituyendo llegamos a
Y finalmente llegamos a que
luego 
Estas relaciones entre 
y 
nos aseguran el paralelismo, al eje de simetría, de la entrada y la salida del rayo de luz estudiado. Pero, pero nos interesa proporcionar toda la pieza para que todos los rayos de luz que penetren por la faceta principal superior salgan por la mesa. Optimizando las proporciones de la faceta superior, haremos que la condición "ideal" se generalice.
2ª PARTE
Optimización de las proporciones de la pieza
Hasta ahora hemos visto ángulos. Necesitamos entrar en el estudio de las
proporciones de la pieza a tallar.
para que la luz se comporte según la figura. Imaginemos la faceta lateral más extendida hacia arriba: la mesa se acorta y los rayos de luz de la extensión de la faceta inicialmente seguirán el curso marcado pero luego se desviarán hacia otro lado. Si la faceta lateral superior es más corta que la marcada, habrá un número menor de rayos optimizados y el centro de la mesa estará vacío. La optimización depende de la medida de la faceta lateral superior. Continuaremos nuestro estudio con el cálculo de esta faceta. Si la pieza no tiene las proporciones adecuadas, podremos asegurar que algunos rayos en paralelo al eje de talla cumplirán con lo propuesto; pero no tenemos la seguridad de la total salida por la mesa de la totalidad de rayos de que es capaz la faceta. La figura nos muestra lo que hemos llamado TALLA IDEAL GENERALIZADA donde la totalidad de los rayos que entran por la faceta salen por la mesa y viceversa. El estudio lo hacemos buscando el valor de la proyección horizontal (b) de esta faceta.
.En la primera parte de este trabajo, trabajamos con los ángulos y sus relaciones para asegurar una talla "ideal", considerando solamente los ángulos i y a.
En la figura de la izquierda tenemos una forma de talla propuesta con los ángulos i y a necesarios pero con la corona excesivamente alta y si seguimos el recorrido de los rayos de luz vemos que:
a) los del grupo A, se pierden dentro de su recorrido por la pieza o finalmente salen por algún lado cuando encuentren el ángulo de incidencia interna que se los permita..
b) Los del grupo B entran por la faceta y salen por la mesa según lo previsto en este estudio. Pero es un grupo pequeño de todos los rayos que inciden en la faceta principal..
c) Los del grupo C se escapan por la parte baja de la pieza.
En esta figura observamos que todos los rayos que entran por la faceta salen por la mesa, cumpliendo con la condición de paralelismo al eje de simetria de la pieza y de perpendicularidad a la mesa. Pero la zona punteada en rojo, corresponde al desaprovechamiento de la mesa y, en consecuencia a la disminución en la posibilidad de brillo de la pieza.
En esta figura tenemos el recorrido ideal, generalizado para todos los rayos posibles en la faceta principal de la corona. Si comparamos las tres figuras vemos que la condición óptima depende de la longitud de la faceta lateral. Si es pequeña tenemos la situación de la corrona baja. Si es excesiva tenemos la situación de la corona alta.
Nuestro trabajo continúa con el estudio de esta situación óptima de la figura última.
Los ángulos i y a ya los hemos relacionado y definido para cada y cualquier I.R.
Consideramos el segmento b, proyección horizontal de la faceta.
Operamos en la figura y llegamos a relacionar b con los ángulos que dependen del I.R.
Veremos a continuación esta relación.
Creamos el ángulo auxiliar b
Hagamos de donde 
entonces
pero hacemos 
Y entonces 
y sustituimos
por 
quedándonos
de donde
por lo tanto
i – r = 2 arcsen b
Hemos relacionado la proyección horizontal (b) de la faceta principal superior con el ángulo (i-r)
Ahora haremos que a sea una función de b
Vimos antes que 
,
y substituimos i – r = 2 arcsen b
llegando a que 
En esta figura el esquema de la talla ideal. Sus partes y segmentos que la forman. Los ángulos con los que contamos son:
i, a e (i-r )
El ángulo FEB es igual a GBE por alternos. Y los ángulos DBG y GBE son iguales por simetría respecto al segmento GB.
El ángulo DCK es el ángulo i
El ángulo DBG es igual a (i-r).
h = 
q = h – n
q = 
– 
i = esto es i en función de b
Veamos ahora a r en función de b
r = r + i – i
r = i – ( i – r )
i – r = 2arcsen b
r = i – 2arcsen b
Substituyendo i por su valor en función de b
r = ( 
) – 2arcsen b
El Índice de Refracción es
Substituimos r e i por sus valores en función de b y tendremos IR en función de b
IR es un valor fijo que depende en esta formulación del valor de b. Tenemos que encontrar el valor de b con el que se cumpla la igualdad anterior. Debemos hacerlo por aproximación con sucesivos valores de b y con la aproximación infinitesimal que elijamos. Hemos empleado el Método de Newton para nuestros cálculos en el programa que he nombrado antes. Programa en Visual Basic que está en el sitio http://odrio.tripod.com y se llama "BRILLOGEMAS 1.0"
Las imágenes que siguen corresponden a este programa, para diferentes IR.
Los datos que entramos son IR, el DIÁMETRO o ancho de la pieza (si fuera una talla, tipo esmeralda, rectangular o cuadrada) y un valor que hemos llamado épsilon (e).
Este último valor que utilizamos resuelve el siguiente problema ( ¿? ): para IR menores que 1.583: se alerta sobre la necesidad de "espejar" la culata o los rayos de luz se escapan por ella hacia abajo. .No hay reflexión total en la faceta inferior por ser el ángulo de incidencia interior menor que el ángulo crítico (ángulo critico = arcsen 1/IR).
Nuestra visión es binocular y los ojos están separados normalmente entre 6 y 7 centímetros. Una joya es generalmente mirada desde aproximadamente 35 centímetros de distancia de los ojos. En la mesa, los rayos emergentes de la derecha, si tuvieran un ángulo de emergencia hacia la izquierda irán directamente hacia el ojo izquierdo. Lo mismo para los rayos emergentes de la izquierda que irán hacia el ojo derecho.
Esta desviación de emergencia es la que determinamos con el valor épsilon (e).
Al hacer los cálculos con un épsilon, la forma de la de la pieza se vuelve "moderna", de mesa baja.
Comparemos, para un mismo IR ,un caso de épsilon = 10, y otro con épsilon = 0
El programa "Brillogemas 1.0" es gratuito. Esta comprimido y debe bajarse a una carpeta y descomprimirlo en ella.
En la "Ayuda" podrá encontrarse información sobre talla de piedras y uso del programa.
Agradezco la atención a este tema. Esto es lo central de mi estudio.
Autor:
Prof. José María Odriozola
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