Apunte para entender bastante la teoría de la relatividad especial y algo la general (página 2)

7. Algunos conceptos para entrar en la Teoría general de la Relatividad

a) El concepto de Espacio-tiempo de Feynman La teoría de la relatividad muestra que la relación de posiciones y tiempos medidas en dos sistemas de coordenadas no son lo que hubiéramos esperado sobre la base de nuestra intuición. Por el contrario estas siguen las relaciones dictadas por las transformaciones de Lorentz. Para realizar una analogía con mediciones en dos sistemas de coordenadas y su significado, consideremos las transformaciones que tienen lugar cuando a un sistema se lo rota un cierto ángulo q respecto al centro del sistema. Así las ecuaciones que relacionan las posiciones entre ambos sistemas, el original y el rotado son: X’= x cosq + y senq

Y’= y cosq – x senq

Z’=z

Siendo los valores primos las coordenadas en el sistema rotado y los valores no primos las coordenadas en el sistema original. Los valores primos pueden considerarse como un mix ponderado de los valores no primos, siendo los factores de ponderación que ponderan a los valores no primos, función del ángulo de rotación del sistema.

Veamos ahora una analogía físico-geométrica. Cuando miramos a un objeto, existen dos dimensiones del mismo, el ancho y la profundidad. La realidad es que el ancho puede pasara a ser profundidad y viceversa, dependiendo de cómo nos ubiquemos respecto al objeto. Es decir, ambas medidas son aparentes dado que según estemos ubicados nosotros respecto al objeto, las mismas serán diferentes (imaginemos que miramos al objeto desde diferentes ángulos). Estas medidas aparentes son una combinación o mix de las medidas reales del objeto, su ancho y su profundidad, y se pueden calcular aplicando las formulas anteriores de rotación. Si no pudiéramos cambiar de posición respecto al objeto que observamos, este ejercicio de pensamiento seria irrelevante dado que siempre veríamos los mismo del objeto, es decir para nosotros el ancho y la profundidad serian dos medidas diferentes, que denominaríamos las verdaderas medidas del objeto. Es debido a que podemos caminar alrededor del objeto, que podremos darnos cuenta que el ancho y la profundidad son de alguna manera dos aspectos diferentes de la misma cosa. Supongamos que el objeto es un rectángulo, si lo miramos de frente el ancho es una dimensión, mientras que si nos colocamos de costado perpendicular a la posición anterior, el ancho es lo que antes era la profundidad.

Ahora bien ¿podemos pensar a las transformadas de Lorentz de la misma manera? En estas también los valores primos son un mix de los no primos. Recordemos que los valores primos son los correspondientes al sistema en movimiento, mientras los no primos son los correspondientes al sistema en reposo.

Lo complicado es que dicho mix, es un mix de espacio y tiempo. En el sistema en movimiento (el primo) valores de posición que denotan espacio, son una mezcla de valores de posición del sistema en reposo y valores de tiempo en el mismo sistema. Lo que una persona en el sistema en movimiento ve como espacio, la otra persona en el sistema en reposo lo ve en parte como paso del tiempo. Feynman genera la siguiente idea: la "realidad" de un objeto al cual miramos, es de alguna manera mas amplia (lo que miramos no es la realidad objetiva e intrínseca del objeto) que el "ancho" y la "profundidad" del objeto porque estos dependen del hecho de cómo miremos al mismo, es decir desde que lugar. Cuando nos movemos a una nueva posición, nuestro cerebro inmediatamente recalcula el ancho y la profundidad, dándonos una idea real de lo que es el objeto.

Pero nuestro cerebro no puede recalcular inmediatamente coordenadas de espacio y de tiempo cuando nos movemos a altas velocidades, debido a que no tenemos la experiencia efectiva de viajar a velocidades cercanas a la de la luz, adonde podríamos apreciar que el espacio y el tiempo son como "el ancho y la profundidad" dimensiones de la misma naturaleza. A nosotros nos ocurre como en el caso de aquella persona que mira a los objetos siempre desde la misma posición, sin poder caminar alrededor de ellos.

De esta manera intentaremos pensar a los objetos en una nueva clase de mundo de espacio-tiempo combinado, de la misma manera que en el espacio dimensional podemos observar los objetos desde diferentes posiciones. Así consideraremos a los objetos que ocupan un cierto espacio y duran un cierto tiempo, como ocupando un cierto "blob" (es la palabra de Feynman) en este nuevo mundo al que denominamos espacio-tiempo. Un punto en este espacio-tiempo definido por cuatro coordenadas (x, y, z, t) se denomina evento.

La geometría del espacio-tiempo así definido no es euclidiana. El espacio-tiempo es un espacio curvo, estando la curvatura dada sobre la dimensión tiempo de dicho espacio.

b) ¿Qué es un espacio curvo? El tema este me parece interesante porque si bien el titulo suena a algo estrambótico, la realidad es que entenderlo abre la mente, porque da la casualidad que nosotros vivimos en un espacio curvo. Muchos de los conceptos que adquirimos en las escuelas aprendiendo geometría euclidiana en un plano, no son validos en los espacios curvos. La explicación que da Feynman acerca de los espacios curvos surge a partir de la teoría general de la relatividad y de la teoría de la gravedad de Newton. Newton decía que cualquier cuerpo con masa atrae a otros cuerpos con masa, con una fuerza que de acuerdo a una formula sencilla era igual al producto de las masas dividido por el cuadrado de la distancia que separa a ambos. Si bien sencilla, el fundamento físico de esta formula no es para nada claro, ¿por qué se produce esa atracción? Es una pregunta sin respuesta. Einstein tenia una interpretación diferente de la fuerza de gravedad o atracción entre los cuerpos. Según el, el espacio y el tiempo, que conforman el denominado espacio-tiempo, sufren una curvatura considerable cerca de grandes masas. Es así que el intento de las cosas de continuar el movimiento en línea recta en este espacio-tiempo curvado lo que hace que las cosas se muevan como lo hacen, es decir atrayéndose entre ellas según la formula de Newton. Esto dice Feynman es una idea compleja para entender, así que comienza su explicación ocupándose solamente del concepto de espacio curvo sobre todo en la aplicación de Einstein. Como en tres dimensiones es un tema complejo, empieza a desarrollarlo en dos dimensiones.

Para esto Feynman se imagina seres vivos que habitan en un mundo de dos dimensiones. Estos insectos obviamente no tienen posibilidad de imaginarse como es un mundo como el nuestro de tres dimensiones, por lo tanto por analogía que hagamos al pasar de dos a tres dimensiones, podremos comprender, no sin esfuerzo como transformar nuestras ideas y pasar de nuestras tres dimensiones a cuatro dimensiones (espacio-tiempo). Así Feynman nos habla de un insecto que vive en un plano, otro que habita la superficie de una esfera, donde podrá caminar pero sin tener el concepto de mirar para arriba o para abajo o para afuera de la esfera, y un tercero que vive en un plano mas complejo y con ciertas características: la temperatura es diferente en diferentes zonas de dicho plano, tanto el insecto como las reglas que utiliza para medir están hechas de un material que se expande cuando aumenta la temperatura. En este plano que denominamos plato caliente, todo se expande con el calor en la misma proporción.

Ponemos ahora a nuestros insectos a estudiar geometría. Primero aprenden el concepto de línea recta como la distancia mas corta que hay entre dos puntos. El insecto en el plano dibuja una línea recta; el que esta sobre la esfera también lo hace aunque nosotros (individuos en tres dimensiones) veremos que es una curva sobre la esfera que une ambos puntos. Para el tercer insecto en el plato caliente, el dibujo también resultara en una línea curva pero que requiere mas explicación. Digamos primero que el plato esta mas caliente en el centro que en los bordes, y digamos que los puntos que debe unir están a ambos lados del centro. Dada la definición que la línea recta es la menor distancia entre dos puntos, el insecto comenzara a trazar esta línea con su regla, pero dado que la misma se expande en las zonas de mayor temperatura, los cm que el mida sobre esta regla serán mas grandes en las zonas calientes que en las frías por lo tanto al querer trazar la línea mas corta, esta tendrá, viéndola desde arriba (algo que nuestro insecto no puede hacer), una curvatura hacia fuera del plato, que son las zonas de mayor temperatura. Vemos así que el mismo concepto adopta diferentes formas para nosotros. Estas formas se producen según es el punto de vista de los insectos que dibujan las líneas.

Veamos ahora la construcción de figuras geométricas sencillas: un cuadrado, un triangulo y un circulo. Empezando por el insecto que esta en un plano, el dibujara un cuadrado trazando a partir de un punto A, una línea de longitud d definida; marcando luego un ángulo de 900 con esta, trazara otra línea de longitud d, y así repetirá el procedimiento dos veces mas, comprobando que vuelve al punto de partida A. Esta figura es un cuadrado. Si luego dibuja una figura que esta dada por la intersección de tres líneas oblicuas obtendrá lo que se denomina triangulo, figura esta que tiene la propiedad de que sus ángulos internos suman 1800. Finalmente si desde un punto c, nuestro insecto comienza a dibujar líneas todas de la misma longitud r, comprobara que si une estos puntos obtenidos obtendrá una línea curva que se cierra sobre si misma a la que denominaremos circulo. También haciendo diferentes de estos círculos, podrá comprobar que la relación entre la medida de esta curva (perímetro de la circunferencia) y la distancia desde el punto c (centro) hasta la curva r (radio) es un valor constante, aproximadamente 6,283 (2p ).

Ahora bien cuando el mismo procedimiento es seguido por nuestros otros dos insectos, el de la esfera y el del plato caliente, nos encontramos con ciertos inconvenientes. El cuadrado no se cierra, es decir no se vuelve al punto de partida cuando a partir de un punto trazamos líneas en ángulos rectos de la misma dimensión. Los ángulos del triangulo no suman 1800 sino mas. Cuando dibujan la circunferencia sobre la superficie de la esfera o sobre el plato caliente, resulta que la relación entre C (perímetro de la circunferencia) y la constante 2p , da un valor que es menor al radio medido sobre el espacio sea de la esfera o del plato caliente.

Se define entonces un espacio curvo como aquel en el que ocurren este tipo de incongruencias o diferencias con el espacio euclidiano. Puede haber diferentes tipos de espacios curvos. Un insecto en una pera tendrá una visión diferente a los otros dos que mencionamos, dado que la curvatura de la pera varia según este en la parte superior o la inferior. Un insecto en una silla de montar también esta en otro tipo de espacio curvo. Según sea la curvatura de estos espacios se puede dar que las incongruencias con el espacio euclidiano sean inversas. Así la suma de los ángulos internos de un triangulo podrán ser inferiores 1800, el radio calculado puede ser menor al radio medido. Se dice de estos que son espacios curvos de curvatura negativa.

Un caso particular es aquel del insecto viviendo en la superficie de un cilindro. Diríamos en principio que este también esta en un espacio curvo. Sin embargo si dibujamos el cuadrado, el triángulo y el circulo sobre la superficie del cilindro, veremos que estas figuras cumplen con los criterios del espacio euclidiano. Esto es simplemente así porque si desenrollamos el cilindro con las figuras en el, veremos entonces que estas son las mismas pero ahora en un plano. De esta manera podemos decir que nuestro insecto no puede detectar que esta sobre un espacio curvo, realizando los experimentos de los dibujos, porque le darán como si fuera un plano. Solo podrá detectar la curvatura comenzando a caminar hacia una dirección y comprobando que regresa al punto de partida. Según nuestra definición técnica, el cilindro no es un espacio curvo. De esta manera, introducimos el concepto de curvatura intrínseca, diciendo que es aquella que puede detectarse mediante una medición local, por ejemplo dibujando el cuadrado y viendo que no llegamos al punto de partida. Decimos entonces que el cilindro no tiene curvatura intrínseca.

Este fue el sentido que le daba Einstein cuando definía a nuestro espacio como un espacio curvo. Ya lo vimos en dos dimensiones, debemos extrapolar ahora no sin cierta complicación a tres dimensiones.

Vivimos en un espacio de tres dimensiones y no podríamos imaginar que el mismo puede estar doblado o curvado en alguna dirección, simplemente nos dice Feynman porque nuestra imaginación no es lo suficientemente buena, de la misma manera que para el insecto que habita la superficie de la esfera, le es imposible darse cuenta de lo que significan las tres dimensiones que nosotros vemos tan claramente. Aun así podemos definir una curvatura sin salir de nuestro mundo tridimensional. Todo lo dicho acerca de el mundo bidimensional de nuestros insectos fue un ejercicio para mostrar que podemos obtener una definición de curvatura del espacio que no requiere que estemos en condiciones de observarla desde una posición externa. Podemos determinar si nuestro mundo esta en un espacio curvo de la misma manera que hacen nuestros insectos que viven en la superficie de una esfera o de un plato caliente. Es cierto que no podremos diferenciar entre ambos, pero si podemos diferenciar ambos de un espacio plano. ¿Cómo lo hacemos? De la misma manera que hicimos hasta ahora, dibujamos un triangulo y medimos sus ángulos interiores, o un circulo y medimos la relación entre su circunferencia y el radio, o una esfera, o tratamos de dibujar un cuadrado o un cubo. En cada uno de estos casos verificamos si se cumplen los postulados de la geometría euclidiana, si esto no ocurre, entonces decimos que nuestro espacio es curvo. No obstante en el caso de tres dimensiones la cosa no es tan sencilla como en el caso de dos dimensiones, dado que en los espacios bidimensionales, en cualquier punto del mismo hay una cierta curvatura, pero en tres dimensiones existen varios componentes de la curvatura, por ejemplo si dibujamos un triangulo en un plano podremos obtener una suma de sus ángulos interiores diferente a la que obtendríamos si lo dibujamos en otro plano, lo mismo ocurriría si dibujamos un circulo.

Una manera de superar este obstáculo seria dibujando una esfera. Definimos la esfera como el conjunto de puntos que en un espacio tridimensional son equidistantes de un punto del mismo espacio al que denominamos centro de la esfera. Podemos medir la superficie de la esfera mediante algún sistema practico tal como colocar sobre dicha esfera una grilla con pequeños rectángulos, hasta cubrirla totalmente, luego sumar las áreas de los rectángulos y esa será la superficie medida de la esfera, como sabemos que la formula de la superficie de una esfera es:

S = 4p r2, resulta que de esta formula podemos calcular el radio ya que la superficie S fue calculada con el método de la grilla.

Es importante una aclaración; la formula del área de una esfera es correcta si la misma (esfera) existe en un espacio euclidiano, justamente que los resultados de la formula no coincidan con las mediciones realizadas, asumiendo que tenemos instrumentos perfectos para medir, denota la característica de espacio no euclidiano y por ende la denominación del mismo como espacio curvo.

Volviendo a nuestra comprobación, podemos medir directamente el radio de la esfera con los instrumentos perfectos. Si el radio medido es mayor al radio calculado, tendremos un radio en exceso que es la medida de la curvatura media del espacio tridimensional en el cual se encuentra nuestra esfera. Al ser una curvatura media o promedio no se podrá determinar las propiedades geométricas de dicho espacio. En realidad la definición completa de la curvatura de un espacio tridimensional requiere la especificación de seis números de curvatura en cada punto. Esto así esta dicho por Feynman, pero realmente no es sencillo entender a que se refiere.

Ahora bien, el espacio tridimensional en el que vivimos ¿es curvo? A partir de muchas mediciones geométricas realizadas, nadie detecto que nuestro espacio fuera curvo. Simplemente para distancias no muy grandes no es factible detectar si nuestro espacio es euclidiano o no. Pero bajo ciertas circunstancias tales como en lugares donde la fuerza de gravedad es muy intensa o las distancias en cuestión son muy largas, tal como ocurre en los espacios interestelares o cerca de estrellas que producen fuertes campos gravitatorios, se ha comprobado que el universo es un espacio no euclidianos es decir es un espacio curvo.

Fue Einstein quien estudiando el tema de la gravedad, en su teoría general de la relatividad, quien descubrió la curvatura de nuestro espacio. La explicación que da Feynman no es sencilla, pero esta hecha con lenguaje llano y poca matemática así que aquí la describo. Einstein dijo que el espacio-tiempo es curvo y que la causa de esa curvatura es la materia. Como la materia es también la causa de la gravedad, entonces la gravedad estará relacionada con la curvatura del espacio. Veamos algunas aclaraciones que da John Wheeler. ¿Cuál es la causa de la gravedad? ¿Esta acaso en el objeto que cae? ¿o en el medio en el cual se produce la caída? Si todos los cuerpos caen igual, si como veremos masa inercial y gravitacional son equivalentes, entonces la "responsabilidad" de la caída de los cuerpos debemos buscarla en el medio donde esta se produce. Einstein así dice que la gravedad no es una fuerza física externa transmitida a través del medio que nos rodea (acción a distancia) sino que es una manifestación de la curvatura del medio. ¿Cuál es ese medio que se curva y causa el fenómeno de la gravedad?.

Wheeler propone la observación del siguiente experimento: lanzar bolas a diferentes velocidades en un cuarto que tiene dos ventanas, una paralela a la dirección del movimiento de las bolas, y otra perpendicular a dicho movimiento. En cada una de ellas se coloca un observador con maquinas de fotos ultra rápidas y se saca una serie de fotografías durante el trayecto de las bolas.

Al revelar las fotos tomadas desde la ventana paralela al movimiento, y colocando dichas fotos una al lado de la otra, tendremos una imagen del viaje de las bolas en dos dimensiones: la del movimiento y la perpendicular al movimiento, esta es una visión en el espacio. Veremos aquí, que según fue la velocidad con que las bolas fueron lanzadas, la curvatura de la trayectoria es diferente, formando una parábola mas pronunciada en el caso de las bolas lentas. Es decir la curvatura del espacio solo no muestra nada.

Si ahora revelamos las fotos tomadas desde la ventana que enfrenta a las bolas disparadas, es decir desde una posición perpendicular al movimiento, la imagen que obtendremos en las diferentes fotos, será la bola en una posición espacial (la altura o posición vertical) y en una posición temporal, dado que cada posición corresponde a un momento (tiempo) diferente. Si alineamos las diferentes fotos tomadas por un lado las de la bola rápida y por otro y debajo de las anteriores las bolas lentas, comprobaremos que la curvatura de la trayectoria es similar. Ahora bien, lo que hemos construido aquí al alinear así las fotos es un diagrama de dos dimensiones espacio-tiempo, dado que cada foto corresponde a una dimensión espacial (la altura) y una dimensión temporal ( el momento en el que sacamos la foto). Aquí si vemos que la curvatura de la trayectoria es la misma, por eso afirmamos como Einstein lo hizo que la explicación de la gravedad es la curvatura pero no del espacio sino del espacio-tiempo

c) Hiper-espacio No es sencillo entender o imaginarnos los conceptos relacionados con la teoría general de la relatividad y la cosmología, porque nos hablan de hiperespacios (espacios de mas de tres dimensiones) y espacios no euclidianos. Por esta razón me pareció importante agregar algunas explicaciones que no vienen de Feynman pero que ayudan a comprender su lectura. Como primera medida es necesario dar significado al termino "dimensión". Podemos acordar que el lugar donde habitamos es un espacio de tres dimensiones, un plano geométrico o la superficie de una esfera, es un espacio de dos dimensiones, una línea o una circunferencia es un espacio de una dimensión. En nuestro universo nosotros siempre encontraremos un punto por donde puedan trazarse tres líneas perpendiculares entre ellas, imaginemos la esquina de un cuarto. En un plano solo podemos trazar dos líneas perpendiculares que pasen por el mismo punto. Por lo tanto por extensión decimos que si en un espacio podemos trazar por un punto n líneas que son perpendiculares entre si, dicho espacio será n-dimensional. Esta afirmación que deducimos obviamente no puede captarse con la imaginación, simplemente porque, como decía Feynman, nosotros estamos metidos en un espacio tri-dimensional por lo que todo lo que lo supere no es algo que podamos visualizarlo dado que nuestros sentidos no están preparados para esto.

Un ejemplo típico de espacio bidimensional es la superficie de la tierra, donde solo pueden trazarse dos líneas perpendiculares que pasen por el mismo punto.

Así el concepto de dimensión se define en términos de la cantidad de líneas perpendiculares que pueden pasar por un mismo punto. Dos cosas surgen como validas de esta definición: la cantidad de dimensiones de un espacio es un numero entero, y en un mismo espacio todos los puntos cumplen con la condición de cantidad de líneas perpendiculares, es decir no puede existir una zona donde pasen tres líneas perpendiculares y otra donde pasen dos, por que estaríamos hablando de espacios diferentes.

Otra forma de definir el concepto de dimensión, es a partir de la cantidad de valores que necesitan darse para conocer la posición de un punto en el espacio de referencia. Así en un espacio bi-dimensional solo necesitamos dos valores, sean estos las coordenadas cartesianas (x, y) o lo que mas nos suena en la superficie de la tierra la longitud y la latitud, no olvidemos que en este último caso el espacio es curvo sobre una tercera dimensión, por lo que no existen las líneas rectas para dibujar los ejes cartesianos, salvo en regiones pequeñas del mismo (locales).

Si definimos como superficie de un objeto el límite o la frontera que separa lo interior de los exterior del objeto, en un espacio bi-dimensional, esto será el perímetro del objeto. S el espacio es además euclidiano podemos entonces decir que el perímetro de un cuadrado es 4 veces el lado, y el de una circunferencia es 2p R. Si queremos medir lo mismo en un espacio curvo como la superficie de una esfera, según habíamos visto en la explicación de Feynman, esto no ocurre, es decir el espacio continuo bi-dimensional que se forma sobre la superficie de una esfera (como la tierra) no es euclidiano sino curvo. Entrando a nuestro espacio dado por todo el universo que podemos observar, desde Einstein con su teoría general de la relatividad, se considera que el mismo podría ser un espacio de cuatro dimensiones, donde para poder ubicar a cada punto del mismo, se deberían conocer cuatro valores. Estos cuatro valores ubicarían a cada punto en la superficie de un hiper-esfera, es decir cada uno de estos equidistaría (igual distancia) de algún epicentro cósmico. Las desviaciones locales de la perfección euclidiana son muy pequeñas como para ser detectadas, pero los cosmólogos dicen que si iniciáramos un viaje interestelar imaginario, a la larga llegaríamos al punto de partida. Algo así como si iniciamos un viaje alrededor de la tierra. Esto lleva a la idea de que nuestro universo no tiene limites pero es finito. Para marearnos mas, este viaje nos llevaría por una circunferencia cuyo distancia es probablemente del orden de cientos de miles de millones de años luz. Si viajáramos a la velocidad de la luz, máxima permitida según la teoría especial de la relatividad de Einstein, volveríamos cuando nuestro sol esta consumido y la tierra congelada o evaporada.

¿Cuáles son las características de este universo cuya forma es una esfera de cuatro dimensiones? En primer lugar y como ya mencionamos, debemos definir que es una hiper-esfera, y lo hacemos como analogía de una esfera tri-dimensional, diciendo que es el conjunto de puntos que están a la misma distancia de un centro P. En una dimensión una esfera son solo dos puntos, en dos dimensiones es un circulo, en tres dimensiones es lo que conocemos como esfera. Una esfera en una dimensión no tiene superficie o mejor la superficie es de dimensión cero (recordemos como definimos superficie: es el limite entre lo externo e interno del objeto), una esfera en dos dimensiones tiene una superficie de una dimensión (una línea), una esfera de tres dimensiones tiene una superficie de dos dimensiones (una superficie curva. Analogía con la tierra). Y en general decimos entonces que una n-esfera tendrá una superficie de n-1 dimensiones. Nuestro Universo si esta definido como una esfera en un espacio cuatri-dimensional, tiene una superficie tri-dimensional que es donde nosotros existimos. Nunca podemos ver nada fuera o dentro de la esfera de 4 dimensiones, solo vemos lo que ocurre en la superficie en la que estamos, dado que la luz viaja en solamente sobre dicha superficie. Para reafirmar esta idea pensemos en el insecto de Feynman que vive en un plano e imaginemos lo encerrado en una circunferencia sobre el mismo, nosotros, seres con capacidad para ver en tres dimensiones, sabemos que para salir del encierro solo tendría que saltar, pero esto implica poder ver esta tercera dimensión que es la altura, algo imposible para nuestro ser bi-dimensional, por eso estar encerrado. Así nosotros nos es imposible salir de nuestro espacio tri-dimensional por las mismas razones. La imaginación ha permitido escribir ciencia ficción donde las maquinas del tiempo permitirían salir de este confinamiento.

¿Cuál es el significado del tiempo como una cuarta dimensión de nuestro espacio? En primer lugar es perfectamente posible definir al tiempo como una variable para ubicar un punto(evento) en el espacio. Sin ir mas lejos, existen en los textos históricos flechas o líneas de tiempo donde se ubican momentos ocurridos en el pasado. La magnitud de los intervalos puede ser la que uno elija dado que el tiempo es una variable continua. Adicionalmente existe una correlación entre espacio y tiempo que pudiera permitir medir la dimensión del espacio en unidades de tiempo. Esta correlación surge del postulado d Einstein acerca de la constancia de la velocidad de la luz. Así diríamos que una medida de 300.000 Km. puede expresarse en unidades de tiempo como 1 seg dado que es ese el tiempo que tarda la luz en recorrer los 300.000 Km. Evidentemente esta medida es mas adaptable a distancias muy grandes como las interestelares. Así decimos que la distancia del sol a la tierra son 8 minutos, el diámetro del sistema solar es de 10 horas, el diámetro de la vía Láctea es de 100.000 años y el radio del universo conocido es de 10.000 millones de años.

Creo que ya lo mencione pero es a mi criterio importante destacar que nuestro espacio tri-dimensional es no euclidiano, es decir es un espacio curvo. Para que esto sea posible es necesaria la existencia de una cuarta dimensión del espacio, de manera tal que nuestro universo tenga algo respecto a que curvarse. Si descubrimos que nuestro espacio es no-euclidiano, entonces concluiremos que debe existir una dimensión adicional.

Por ultimo algo extraño pero interesante. Si pensamos nuestra ubicación en la superficie de la tierra, vemos que la distancia entre dos puntos es una línea que se denomina geodesia. Esta línea es un arco de circunferencia que une ambos puntos. Esta es para nosotros la distancia mas corta, aunque si nos movemos a tres dimensiones sabemos que hay una distancia mas corta dada por la recta que pasa bajo tierra y une ambos puntos. Si extendiéramos esto al infinito, diríamos lo siguiente:

1. Así como habitamos en un espacio tridimensional que es la superficie de un espacio cuatri-dimensional, podemos pensar que este espacio cuatri-dimensional es la superficie de un espacio de 5 dimensiones.
2. Cada uno de estos espacios es como el anterior no-euclidiano. ¿por qué? Simplemente por que hay muchas formas para un espacio de ser curvo y solo una de ser euclidiano.
3. Tal como ocurre al medir la distancia entre dos puntos en este tipo de espacios curvos, veíamos como cuando se agrega una dimensión, esta distancia es mas corta que la que podíamos medir.
4. Podríamos entonces concluir que extendiendo el razonamiento al infinito, la distancia entre dos puntos es igual a cero. Es allí donde decimos que toda la creación es un simple punto en un espacio de infinitas dimensiones.

¿Qué es lo que nos ha llevado a decir que nuestro espacio es no euclidiano o curvo? ¿Qué propiedades hemos observado que nos hace creer en esto? La respuesta que dio Einstein a estas es la gravedad. La presencia de la materia causa una distorsión en el espacio-tiempo, y esta es la base para la Teoría General de la Relatividad.

8. La Teoría General de la Relatividad

Cuando Einstein descubre los principios de la relatividad especial, se conocían dos fuerzas de la naturaleza, la electromagnética y la gravedad, y ambas tenían categorías distintas en dicha teoría. La relatividad especial surge para reconciliar el comportamiento de las ondas electromagnéticas con las propiedades mecánicas de los cuerpos en movimiento. La teoría de Maxwell estaba de acuerdo con la relatividad especial (velocidad de la luz constante y maxima), a pesar de que se cambio la interpretación física anulándose el concepto del éter.. Por el contrario la teoría de la gravitación de Newton, resultaba incorrecta desde la perspectiva de la relatividad. Para Newton, la fuerza de la gravedad consiste en una acción instantánea a distancia, lo cual para Einstein carece de sentido dado que la simultaneidad de los acontecimientos no es posible cuando estos ocurren en dos lugares diferentes del espacio debido a que la información no viaja a velocidad infinita sino con un valor máximo pero finito igual al valor c = 300.000 km/seg.

Se denomina General por ser una generalización de la teoría especial. Recordemos que la teoría especial amplió el principio de relatividad desde la mecánica a toda la física, siempre que estuviéramos en sistemas de referencia inerciales, es decir en reposo o movimiento rectilíneo y uniforme. A través de la teoría general, Einstein va mas allá, diciendo que todos los sistemas de referencia son equivalentes, incluso aquellos que se mueven entre sí con movimientos acelerados.

¿Qué pasa cuando analizamos sistemas de referencia que se encuentran en movimiento acelerado? Lo que notamos y experimentamos sensiblemente es la aparición de efectos inerciales. Si vamos en un auto y este de repente cambia su velocidad, ya sea porque dobla o porque acelera (cambia la velocidad), nosotros en el interior del auto sentimos o que nos movemos para un costado ( el contrario al que dobla) o que nos pegamos contra el respaldo del asiento. Si frena nos pegamos contra el vidrio de adelante. En todos estos casos estamos experimentando una fuerza que denominamos inercial pero que no sabemos quien la provoca, es decir nada esta accionando contra nosotros para llevarnos a esa situación, simplemente hubo un cambio en las condiciones del movimiento.

De acuerdo a lo que ya sabemos respecto al movimiento relativo, podríamos decir que en todos estos casos, el auto es el sistema de referencia fijo y lo que en realidad se mueve hacia el costado o acelerando hacia delante o frenando es la tierra. Este razonamiento no nos parece lógico sino que el sentido común nos hace pensar que es el auto el que se esta moviendo y de allí los efectos inerciales, por eso es que Newton dijo que para el caso del movimiento acelerado, no existe el principio de relatividad sino que estos sistemas realmente tienen un estado de movimiento absoluto.

Entonces de acuerdo a este estado de la ciencia, cuando aparece Einstein teníamos dos conceptos:

• El estado de movimiento uniforme es relativo.
• El estado de movimiento acelerado es absoluto.

Einstein que siempre trataba de simplificar todo, pensaba que esto era raro y que la naturaleza debía ser más simple, es decir tener una sola verdad, que para el se podía expresar diciendo que cualquiera fuera el estado de movimiento de un cuerpo, siempre seria relativo. Esto es lo que durante mas de 10 años estuvo pensando para concluir en su teoría general de la relatividad.

¿Cuál era la intuición de Einstein para pensar la generalización de la teoría especial a la relatividad general? Einstein decía que tanto las leyes de la mecánica newtoniana, como la teoría especial de la relatividad, son validas si las mismas se miden o se verifican dentro de sistemas especiales llamados galileanos, y no lo son en sistemas no galileanos. Einstein se pregunta ¿Qué hace que un tipo de sistemas de coordenadas sean preferibles respecto a otros. Redundantemente, por preferibles entendemos a aquellos donde se cumplen ciertas leyes de la naturaleza, las leyes de la mecánica y de la relatividad especial. Tengamos en cuenta que un sistema de referencia es una abstracción creada por el hombre. Esta paradoja o incongruencia Einstein la explica muy bien a partir de una comparación o imagen.

Dice así: supongamos que no conociéramos lo que es el fuego, y nos encontramos en una cocina donde hay dos ollas exactamente iguales con agua hasta la mitad, de una sale vapor y de la otra no. Nuestra lógica nos llevara a buscar la causa de esta diferencia aparentemente no razonable. Si viéramos que debajo de una de estas ollas hay una especie de luz azulada (una llama), aunque nunca hubiéramos tenido la experiencia del fuego, inmediatamente lo asociaríamos a la causa de la producción de vapor.

Si esto no ocurriera, estaríamos sorprendidos y perplejos e intentando encontrar la causa de este comportamiento extraño.

En forma análoga Einstein buscaba que era ese algo en la mecánica clásica o en la relatividad especial, al cual atribuir la diferente conducta de los cuerpos considerada respecto a los sistemas de referencia galileanos y no galileanos.

Newton vio esta objeción pero la invalido sin una explicación lógica.

Mach la reconoció mas claramente y dijo que debía estudiarse la mecánica sobre una nueva base. Solo se podría mas tarde eliminar este estado d preferencia arbitrario por medio de una física que este conforme al principio de relatividad general. así las ecuaciones que expresan todas las leyes de la naturaleza no varían para ningún sistema de referencia, sin importar su condición de movimiento.

Volvamos nuevamente sobre los sistemas de referencia no inerciales. Imaginemos a un observador en un compartimiento en el espacio intergaláctico donde no se ejerce sobre el ningún tipo de fuerza. Imaginemos ahora que este compartimiento sufre una aceleración (es decir cambia su velocidad de reposo absoluto a una velocidad determinada v) siendo la misma constante a la que llamamos ¨a¨. En ese momento el observador suelta una moneda que tiene en su mano y vera que la misma cae hacia el piso del compartimiento con una aceleración constante igual a: -a.

Otro observador realiza el mismo experimento pero en un sistema de referencia inercial en presencia de un campo gravitatorio uniforme g, donde g=-a.

Al dejar caer la moneda este observador vera el mismo efecto que en el caso anterior, es decir a la moneda caer con una aceleración constante =-a.

¿Cómo podrían ambos observadores diferenciar si están en un sistema no inercial o en uno inercial dentro de un campo gravitatorio?. La respuesta es que no pueden, y es desde aquí que Einstein establece el postulado de la teoría general de la relatividad, diciendo que ningún experimento llevado a cabo localmente puede distinguir entre un sistema de referencia acelerado en forma constante y otro inercial (no-acelerado) pero en presencia de un campo gravitatorio.

Este postulado es un enunciado del principio de equivalencia entre la masa inercial y la masa gravitatorio. Así como la teoría especial de la relatividad nos lleva a fundir conceptos que se consideraban separados e independientes como son el espacio y el tiempo, en un nuevo concepto espacio-tiempo cuatridimensional; la teoría general requiere otro cambio en la visión de dicho espacio-tiempo, por el cual la causa de la gravedad esta dada por la deformación provocada en la geometría del espacio-tiempo en presencia de grandes masas. Es decir en lugar de tener un espacio-tiempo plano, este se curva en la vecindad de una masa. La curvatura se produce en el espacio cuatridimensional, por lo que es imposible que sea visualizada o percibida sensiblemente por seres como nosotros que somos tridimensionales. La teoría general de la relatividad trata entonces a la gravitación o gravedad como una curvatura del espacio-tiempo en cuatro dimensiones. Es decir como un fenómeno geométrico.

Si recordamos cuando hablamos de espacios curvos, veremos que la distancia mas corta entre dos puntos no es una recta sino una curva a la que llamamos geodesia.

En el espacio-tiempo la trayectoria de la tierra y los planetas alrededor del sol es una curva dado que esta es la distancia mas corta que puede recorrer a través de la geodesia del espacio. Esta geodesia surge por la curvatura que produce en el espacio- tiempo una masa como la del sol. Los efectos de la curvatura son mas apreciados cerca de grandes masas tales como las estrellas y los agujeros negros que se convierten en laboratorios importantes para la física de grandes energías.

1. Masa Inercial y masa gravitatoria

2. Einstein analizaba que, tanto en la segunda ley de Newton F = m.a, como en la ley de gravitación universal F = G.m.M/R2, aparece una masa m.

   Si ambas leyes son independientes entonces debería existir para cada cuerpo una masa inercial y una masa gravitatoria. Ahora bien todos los experimentos realizados para medir a ambas arrojaban los mismos resultados, es decir ambas masas eran iguales para el mismo cuerpo. Este resultado, ya conocido por Newton, hizo pensar a este que era totalmente casual. Por el contrario, Einstein dijo que el concepto de aceleración que surge de la 2a ley de Newton, debía estar relacionado con el concepto de gravedad.

   Si dos objetos tienen diferente peso, por ejemplo una bala que pesa 100 veces mas que una bolita, significa que la gravedad ejerce sobre la bala una fuerza 100 veces mayor que sobre la bolita, sin embargo ignorando la resistencia del aire sabemos y demostramos experimentalmente que si las arrojamos desde una misma altura, ambas caen en el mismo tiempo al piso. Esto a lo mejor no lo pensamos detenidamente, pero es totalmente extraño y contra el sentido común. ¿Por qué ocurre así?, Newton dijo que al mismo tiempo que la gravedad arrastra hacia abajo a los cuerpos, estos se resisten a moverse, ese es el concepto de inercia, es decir resistencia al cambio de movimiento. Si esta detenido: resistencia a moverse, si se mueve y se lo acelera: resistencia a aumentar la velocidad, si se lo quiere detener: resistencia a parar. Es decir la inercia nos da una idea de vagancia física propia de los cuerpos de cualquier tipo.

   Entonces la bala si bien tiene 100 veces mas fuerza de arrastre por la gravedad de la tierra (asumimos que hacemos el experimento en la tierra), también tiene como contrapartida 100 veces más resistencia a moverse.

   Si esto no fuera así, objetos de diferentes pesos caerían en diferentes tiempos desde la misma altura.

   Decíamos que para Newton decir que la masa gravitacional fuera igual a la masa inercial era una casualidad, el no sabia cual era la razón de esta igualdad.

   Einstein por el contrario estableció un postulado, que se conoce como principio de equivalencia, diciendo que la masa inercial y la masa gravitacional son la misma cosa.

   Para ejemplificar esto un poco mas, Einstein pensaba en una persona encerrada en una caja tipo ascensor, en el espacio, y decía que si a esa caja se la ataba a aun cohete que la aceleraba a un valor determinado (el valor de g = 9.80 m/seg2), la persona en su interior no podría distinguir entre esta situación (aceleración arrastrada por un cohete) o pensar que la caja estaba depositada en la superficie de la tierra, y el parado sobre la misma.

   De allí mostró la imposibilidad de diferenciar entre una fuerza gravitacional y una inercial producida por una aceleración. A partir de este razonamiento, podemos considerar que los sistemas de referencia que se encuentran en un estado de movimiento acelerado entre ellos, es indistinto hablar de efectos inerciales como de efectos gravitatorios.

   La teoría general de la relatividad extiende entonces el postulado de la relatividad especial a sistemas de referencia que estén en estado de movimiento acelerado.

   Todas las leyes de la naturaleza son las mismas con respecto a cualquier observador, sea cual fuere su estado de movimiento relativo a otro sistema: reposo, movimiento uniforme o acelerado.

   Un observador inercial es un sistema que recolecta información en un sistema de coordenadas espacio-tiempo, en el cual se identifican como coordenadas espaciales a x,y,z y como coordenada temporal a t. Un punto en dicho espacio-tiempo es un evento.

   Para que dicho sistema sea llamado inercial se deben cumplir las siguientes 3 condiciones

   0. La distancia entre dos puntos espaciales P1(x1,y1,z1) y P2(x2,y2,z2) es independiente del tiempo t.
   1. Los relojes que miden el paso del tiempo en cada punto del espacio-tiempo están sincronizados y funcionan a la misma velocidad, es decir cada tic es simultaneo.
   2. La geometría de dicho espacio para un tiempo t constante es euclidiana.

   Una observación de un observador inercial significa asignar a un evento las coordenadas x, y , z de la localización de su ocurrencia (donde ocurrió) y el tiempo t leído en el reloj que esta ubicado en el lugar del evento, es decir en P = x, y, z.

   Debemos aclarar que NO ES el tiempo que marca el reloj de la muñeca del observador ubicado en el origen O (0,0,0) cuando observa el evento en P (x,y,z).

   Esto es así porque según sabemos, la ocurrencia del evento y la observación del mismo por parte del observador en O, no son eventos simultáneos dado que la luz, que es el mecanismo de transmisión de la información desde P hasta O, tiene una velocidad finita.

3. Observador Inercial

   Este tipo de diagramas permite un enfoque geométrico de la teoría especial de la relatividad. Graficamos un par de ejes coordenados donde las abscisas sean una dimensión espacial x, y las ordenadas una dimensión temporal pero algo diferente. Ponemos en ella el valor c.t, donde c es una constante conocida (la velocidad de la luz) y t es el tiempo variable. De esta manera lo que representamos en este eje, será la distancia que recorre la luz en el tiempo t. De esta manera tenemos un grafico de las mismas dimensiones (dimensiones de espacio, Ej. Metros). Al ser c una constante, adoptamos para ella un valor que sea más accesible para trabajar, dándole así el valor c=1.

   Una línea en este grafico se la denomina línea del mundo del objeto que estamos observando, y representa por un lado (eje de abscisas), la posición de dicho objeto en el espacio que llamamos para una sola dimensión espacial variable x. Por otro lado, en el eje de las ordenadas, el momento en que dicho objeto ocupo dicha posición x en el espacio. En lugar de decir que ese tiempo es a los N segundos o minutos u horas, diremos que el mismo es la distancia que recorrió la luz a su velocidad constante c en el tiempo t=N.

   La pendiente de una línea del mundo de un objeto nunca puede ser menor que 1, es decir el ángulo mínimo que forma la línea del mundo con el eje de las abscisas será de 450. Esto resulta así por ser c la velocidad máxima a alcanzar por cualquier objeto. Si el objeto se moviera a la velocidad máxima de la luz partiendo desde el origen del sistema, el punto alcanzado será tal que la medida de la ordenada de dicho punto será c.t la distancia recorrida por la luz, cuyo valor es igual a la medida de la x, por que este es el espacio recorrido por un objeto durante un tiempo t a la velocidad c (espacio = velocidad x tiempo). Es decir ambos valores serán iguales, y por un simple razonamiento trigonométrico sobre el triangulo que se dibuja en los ejes, resultara que la tangente del ángulo será igual a 1, por lo que el ángulo será de 450. No puede ser menor dado que esto implicaría que el objeto recorriera una distancia superior a la que puede recorrer la luz, lo cual es imposible según el 20 postulado de la teoría especial de la relatividad.

   Habiendo deducido el porque del ángulo mínimo en las líneas del mundo del grafico de Minkowski, detengámonos un poco mas en el.

   Decíamos que a un punto en el grafico de Minkowski se lo denomina evento. Cualquier evento que ocurre en el mundo físico, ocurre en una determinada ubicación en el espacio y en un determinado instante o momento del tiempo.

   Antes del advenimiento de la teoría especial de la relatividad, solo se consideraba al espacio tridimensional y al tiempo como algo separado porque este parecía un continuo en si mismo, independiente y absoluto; es decir el tiempo pasa igual para todos. A partir de los desarrollos de Einstein, se supo y comprobó que el tiempo no es absoluto sino que depende del estado de movimiento de los sistemas de referencia donde se lo mida tal como surge de las transformadas de Lorentz. Habíamos deducido que eventos simultáneos para un observador que ocurren en lugares distintos, no se presentan como simultáneos a otro observador que se encuentra en un sistema de referencia en movimiento respecto al primero.

   En un espacio euclidiano de 3 dimensiones, sabemos que la distancia entre dos puntos por ejemplo un punto P (x,y,z) y el origen (0,0,0) se calcula con la ecuación : d2=x2+y2+z2

   Sabemos también que esta distancia no varia cuando se la mida en otro sistema que este en movimiento respecto al primero, es decir d2=x´2+y´2+z´2.

   Vimos que en el espacio cuatri-dimensional de Minkowski hacíamos un reemplazo de la variable tiempo t por una constante multiplicada por t. Esa constante es i.c, donde i es la raíz cuadrada de –1, y c la velocidad de la luz (¿por qué hacemos esto? No se). Es decir este es un numero imaginario puro cuyo modulo es la distancia recorrida por la luz en el tiempo t, que es lo que antes en dos dimensiones habíamos explicado. Este cambio en la forma de medir el tiempo apunta a poder medir la variable tiempo con las mismas dimensiones que la variable espacio. Vimos antes y se explicita formalmente en las transformadas de Lorentz que ambos, tiempo y espacio, son parte de una misma entidad llamada espacio-tiempo. De allí la necesidad de tener las mismas dimensiones.

   Si definimos que el espacio-tiempo localmente, tiene propiedades de espacio euclidiano, entonces la formula de la distancia según vimos en tres dimensiones vale también para cuatro:

   d2= x2+y2+z2+(i.c.t)2, o sea que

   d2= x2+y2+z2 –c2.t2

4. Grafico de Minkowski (Diagrama espacio-tiempo)
5. Construcción de un grafico de Minkowski (ejes no ortogonales)

Habíamos dicho que dado que c es una constante nada impide que le demos a la misma el valor 1. En el grafico bidimensional de Minkowski tenemos que la pendiente de una línea del mundo que esta dada por la formula ∆t/∆x es la inversa de la velocidad. Cada observador es un sistema de coordenadas espacio-tiempo. Dado que todos los observadores miran a los mismos eventos (el mismo espacio-tiempo) es posible dibujar los ejes coordenados de un observador en el diagrama espacio-tiempo del otro. Para esto debemos utilizar los postulados de la teoría especial de la relatividad. Vemos el procedimiento.

La pregunta entonces es ¿Como dibujamos dos sistemas que se mueven uno respecto a otro a la velocidad v, y en donde en ambos se da el 2o principio de Einstein, c= constante?

1. Dibujamos un para de ejes coordenados perpendiculares. Este será para nosotros el sistema en reposo S (x, t)
2. Si el sistema S’ (x’,t’) que tiene el mismo origen O’=O, se mueve con velocidad v respecto de S; sabemos que el eje t’ formara con el eje t un ángulo α tal que Sen α = Δt/Δx = 1/v
3. Para dibujar el eje x’ que no es necesariamente perpendicular a t’, sabemos que el mismo es el lugar de eventos para los cuales t’ = 0. También sabemos que c=1 tanto en S como en S’. Veamos el comportamiento de un fotón graficado en el sistema S’ asumiendo que ambos ejes son ortogonales (perpendiculares). Asumamos que un fotón sale de una posición x’ = 0, t’ = -a. Dicho fotón avanzara en el espacio a c=1, por lo tanto en nuestro grafico de dos ejes tendrá coordenadas t’ = 0 cuando x’ = a, ya que se mueve en una recta de 45 0, no olvidemos como construimos el diagrama de Minkowsky. Si en dicha posición x’ = a existe un espejo que refleja al fotón, este seguirá un camino inverso hasta volver a la posición x’ = 0 pero cuando t’ = a. De la misma manera que antes se mueve en una dirección que forma un ángulo de 45 0 con la horizontal.
4. Ahora llevamos esta metodología de construcción a nuestros grafico original en donde ya tenemos el sistema S (x,t) con ejes ortogonales, y el eje t’ de nuestro sistema S’; faltando solo dibujar el eje x’. Sobre el eje t’ dibujamos el punto –a donde sale el fotón. Dado que en el sistema S este fotón también viaja a c = 1, la dirección que adopta formara un ángulo de 45 0 con la horizontal paralela al eje x, a esta recta la llamamos L1. Sobre esta L1 se debe encontrar un punto del eje x’. Dado que por construcción dijimos que los orígenes de ambos sistemas coinciden, el otro punto será O=O’, de esta manera podemos trazar el eje x’.
5. ¿Dónde esta dicho punto? Sabemos también de nuestro razonamiento anterior en un S’ con ejes ortogonales, que el fotón retornara al eje t’ en un punto t’ = a, por lo tato allí pasara nuestro fotón luego de haber sido reflejado en un espejo situado sobre el punto del eje x’ que estamos intentando detectar donde esta. ¿Con que dirección llega al punto a? Formando un ángulo de 45 0 con la vertical paralela al eje t. A esta línea la llamamos L2 .
6. Donde se cruza L2 con L1 tenemos el punto sobre x’ que estaba faltando para ahora si construir este eje, que como vemos x’ y t’ no son ejes ortogonales dado que fueron construidos de manera tal que se mantenga el principio de la constancia de la velocidad de la luz c para ambos sistemas S y S’.

La escala para medir longitudes en el espacio-tiempo S’ es diferente a la existente para el espacio S. La misma se deduce a partir del teorema de la invarianza del intervalo. Así como en un espacio euclidiano de tres dimensiones la separación entre dos puntos se denomina distancia la cual es invariante y se calcula con la formula d2=x2+y2+z2, en el espacio-tiempo se denomina intervalo a lo mismo, salvo que ahora dado que la dimensión tiempo esta dada por i.c.t, su cuadrado será -c2t2, y como adoptamos para c un valor 1, dicho termino será –t2.

El teorema de invarianza del intervalo dice que la el intervalo permanece constante en los diferentes sistemas de referencia, por lo tanto dados dos eventos E y P su intervalo será tal que (Δx)2+(Δy)2+(Δz)2-(Δt)2=0

El intervalo de los mismos eventos en el espacio-tiempo S’ será invariante siendo entonces que (Δx’)2+(Δy’)2+(Δz’)2-(Δt’)2=0 . A partir de esto definimos como intervalo entre cualquier de dos eventos, los cuales no necesariamente estarán en la misma línea del mundo del mismo haz de luz al valor Δs tal que (Δs)2=(Δx)2 +(Δy)2+(Δz)2-(Δt)2 Si (Δs)2=0 para dos eventos en el sistema K (t,x,y,z), entonces por el teorema de la invarianza de los intervalos, (Δs’)2=0 para los mismos eventos usando sus coordenadas en el sistema K’ (t’,x’,y’,z’).

Se demuestra que (Δs)2=(Δs’)2. Es decir el intervalo entre dos eventos es el mismo cuando es calculado por un observador inercial.

Si (Δs)2>0, significa que (Δx)2+(Δy)2 +(Δz)2 >(Δt)2 en cuyo caso al ser los incrementos espaciales superiores al incremento temporal, se dice que los eventos están separados espacialmente. Por el contrario si ocurre lo contrario ( Δs)2 <0, los eventos se dice que están separados temporalmente. Si (Δs)2 =0 los eventos están sobre los mismos rayos de luz, y su separación es nula

Aquellos eventos que están sobre los mismos rayos de luz tendrán separación nula con otro evento determinado llamado A y en un grafico tridimensional espacio-tiempo (dos dimensiones espaciales y una temporal) se ubicaran sobre un doble cono invertido cuyo vértice es el evento A. A este doble cono se lo llama cono de luz del evento A y muestra las posiciones posibles de eventos ocurridos en el pasado y ene el futuro del evento A.

Autor:

Eduardo Yvorra