Solucionario Módulo II Problemas Matemáticos (página 2)

del contenido en la vasija grande, es jugo de naranja.

Familiarización y comprensión:

Como cada uno de los cinco amigos lanzó dos dardos, en total fueron lanzados diez dardos y por dato cada uno llegó a una región de diferente valor del 1 al 10. Es decir que hay que repartir los diez números en parejas para cada uno de los cinco amigos.

Diseño del plan

Habrá que hacer un examen de las posibilidades buscando entre los puntajes obtenidos a aquellos que tengan menos combinación de parejas, por ejemplo 4 solo puede descomponerse en 1+3.

Ejecución del plan:

Los puntajes alcanzados por los dardos son números diferentes del 1 al 10.

1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10(

Como Benjamín obtuvo 4 puntos con sus dos dardos, se deduce que los puntos alcanzados por sus dardos fueron ( y ( ya que ésta es la única pareja de números diferentes de la lista que suman 4.

Como Carla obtuvo 7 puntos, entonces los puntos obtenidos por sus dardos podrían haber

sido: (1+6) ó (2+5) ó (3+4).

Pero como ninguno de sus dardos podrían alcanzar las zonas de puntajes 1 y 3, porque estas zonas ya fueron ocupadas por los dardos de Benjamín, resulta que los dardos lanzados por Carla solo pueden ser los que llegaron a las zonas 2 y 5.

Como David obtuvo 10 puntos, con sus dos dardos y ninguno de sus dardos alcanzó las zonas de puntajes 1, 2, 3 y 5, (porque los dardos de Benjamín y Carla ya ocuparon estas zonas), solo quedarían dos números diferentes de la lista que sumen 10.

La única combinación posible sería: 4 + 6 = 10.

Respuesta: David alcanzó el dardo que llegó a la región que vale 6 puntos.

Primera forma:

Debemos darnos cuenta que si el auto recorriera los 300 km. usando solo cuatro llantas, cada una de estas cuatro llantas recorrería estos 300 km, y entre las cuatro llantas habría un recorrido total de: 4 x 300 = 1200 km.

Ahora como por dato, no se usaron cuatro, sino cinco llantas en este recorrido (intercambiándolas adecuadamente para que se desgasten igualmente) se deduce que en promedio cada llanta recorrió:

Respuesta: Cada llanta recorrió en promedio 240 km.

Segunda forma:

Numerando las 5 llantas por: 1, 2, 3, 4 y 5 y notando que hay 5 combinaciones posibles de 4

llantas para usarlas en el auto; (1, 2, 3, 4); (1, 2, 3, 5); (1, 2, 4, 5); (1, 3, 4, 5); (2, 3, 4, 5).

Dividiendo entonces los 300 km entre 5:

60 km nos dará la cantidad de kilómetros recorrido hecho con cada grupo de 4 llantas.

Sería éste un ejemplo:

Notaremos que cada llanta es usada en cuatro de estos tramos, o sea en: 4 x 60 = 240 km.

7.

Estamos representando la letra O por ( para no confundirnos con el valor posible "cero".

Al sumar los dígitos de la columna de centenas (c) se debe llevar algo (1 ó 2) a la columna

de unidades de millar (um) para que, al sumar a la cifra T pueda obtenerse el número de 2

cifras.

(1 ó 2) + T =

De esta última expresión, como el valor máximo de T es 9, y por condición S es diferente de

cero se deduce que: S= 1 . e I = 0 pues las cifras tienen que ser diferentes.

Además T puede ser 8 ó 9 (()

De la columna de unidades, como S = 1, se obtiene; E= 3

En la columna de decenas:

Reemplazando E = 3 tenemos: (()

Se observa que como siempre es número par, entonces siempre es impar y de

(() se deduce que T también debe ser impar y por ((): T = 9

Ahora en (() : y tendría que terminar en 6.

Luego ? debe ser una cifra que multiplicada por 2 termina en 6.

Ó sea ? podría ser: 3 ú 8, pero como E ya es 3 solo quedaría que ? = 8

En la columna de decenas, se tendría al sumar: 8 + 8 + 3 = 19

Dejamos 9 (T) y llevamos 1 a la columna de centenas

En centenas:

Como E = 3

De donde 2D + R = 12

de esta última expresión se deduce que R es par y el único valor posible de R que produce

un valor de D adecuado es: R = 2. y por lo tanto D = 5

Respuesta: S =1; I = 0; E = 3; T = 9; D = 5; ? = 8; R = 2

8.

Primera forma: Por falsa suposición

Como tanto las bicicletas como los triciclos tienen 2 pedales cada uno, al haber 38 pedales

se deduce que hay: = 19 móviles entre bicicletas y triciclos.

Ahora, aplicando el procedimiento de falsa suposición, diríamos:

Si todos los 19 móviles fueran bicicletas, habrían 19 x 2 = 38 ruedas.

Pero como en verdad hay 45 ruedas, nos faltan 45 – 38 = 7 ruedas, que debemos aumentar

a nuestra suposición:

¿Cómo?

Cambiando una bicicleta (de nuestra suposición) por un triciclo, la cantidad de móviles no varía pero el número de ruedas aumentaría en 1.

Luego, para aumentar 7 debemos cambiar;

bicicletas (de nuestra suposición) por 7 triciclos, quedando la situación así:

7 triciclos (que entraron por 7 bicicletas de nuestra suposición) y (19-7) = 12 bicicletas.

Comprobación

7 triciclos tienen : 7 x 3 = 21 ruedas

12 triciclos tienen : 12 x 2 = 24 ruedas

Total: 19 móviles con 45 ruedas

Respuesta: Hay 7 triciclos

Segunda Forma: Por ensayo y error

Confeccionaremos un cuadro colocando las diferentes posibilidades que podría tomar el número de bicicletas y de triciclos. (recordando siempre que la suma de los números de bicicletas y de triciclos es 19)

Notaremos que al disminuir una bicicleta y aumentar un triciclo el número total de ruedas aumenta en uno. Luego para que el número total de ruedas pase de 38 a 45 debemos llegar al renglón número 8 de nuestro cuadro y donde el número de bicicletas será: 19 – 7 = 12 y el número de triciclos será 0 + 7 = 7.

9. Sea x el número de paltas que llevó la vendedora.

Lo primero que debemos darnos cuenta es que, para que al vender la mitad de x, más media palta y no se corte ninguna palta, x debe ser un número impar.

Por ejemplo: si tengo 13 paltas y vendo la mitad (seis y media palta) más media palta se habrían vendido 7 paltas y quedarían 6 paltas, no habiendo sido necesario partir ninguna palta.

Puedes hacer las pruebas necesarias para comprobar ésto y hasta es probable que encuentres la respuesta a este problema por "ensayo y error" debido a que los datos son pequeños.

También debe saberse, que cuando vendo la mitad de alguna cantidad me queda la otra mitad de dicha cantidad. Por ejemplo:

Si tengo x y vendo me quedará x

Como por dato nos dicen que al final a la vendedora le quedó 1 palta, entonces nos conviene emplear el método de regresión.

Primera Forma: Aplicando "Pensamiento Regresivo"

En este procedimiento, hallaré lo que me va quedando después de cada operación (ojo: lo que me va quedando, no lo que se ha vendido).

Ahora:

El problema se ha transformado en el siguiente:

En hallar un número de tal forma que si le quito la mitad menos un medio y luego otra vez le quito la mitad menos un medio me da cómo resultado 1.

Y para hallar este número es que emplearemos el método de "Pensamiento Regresivo" empezando en 1 y aplicándole las operaciones inversas correspondientes hasta llegar al número inicial

Aplicando el pensamiento regresivo, obtenemos:

Respuesta: La vendedora había llevado al mercado 7 paltas

Segunda Forma: Una forma más especializada, cuando se repite un mismo proceso en cada etapa es deducir una "fórmula de regresión" así:

Si llamamos A, a lo que se tiene antes de la etapa y D a lo que quedaría después de dicha etapa, se tendría:

Si vendo la mitad de A más palta, quedará la otra mitad de A menos palta, o sea:

D = A –

Y despejando A de esta ecuación obtenemos que:

A = 2D + 1 Fórmula de regresión

Esta fórmula servirá para determinar lo que había antes de una etapa (A) conociendo lo que quedó después de ésta etapa (D)

Para nuestro problema:

Al final de la 2º venta quedó según dato: 1 palta (D)

Luego antes de la 2º venta había (aplicando la fórmula): A = 2(1) + 1 = 3 paltas

Ahora:

Al final de la 1º venta quedó según hemos hallado en el paso anterior: 3 paltas (ahora esto sería el nuevo valor de D)

Luego: antes de la 1º venta había (aplicando la fórmula): A = 2(3) + 1 = 7 paltas

10.

Primera Forma:

El precio del televisor, incluido el IGV es: S/. 1 666

Si V es el "valor de venta" y el IGV es: 19% de V,

entonces el precio del televisor incluyendo el IGV, es decir el valor facturado, es:

V + 19% V = S/. 1 666

119% V = 1 666

Pues V = 100% de V

Usando nociones de proporcionalidad (regla de tres simple directa) diríamos:

Como la relación proporcional es directa despejamos x de la siguiente manera:

Respuesta: El valor del I.G.V. de este televisor es: 266 soles.

Segunda Forma: Cuando hay proporcionalidad entre los datos y el resultado, se puede aplicar el método de suposición de la siguiente forma:

Hemos escogido 100, por que es más fácil calcular porcentajes de 100.

Sea el valor de venta del televisor: V = S/. 100 (valor supuesto)

Ahora por dato el I.G.V. será el 19% de 100 que es: S/. 19

Luego: El valor total facturado sería: 100 + 19 = S/. 119

Ahora aplicando nociones de proporcionalidad (regla de tres simple directa) tenemos que:

De donde despejando x = (valor de venta verdadero)

Y el I.G.V. sería: 1666 – 1400 = S/. 266

RAZONAMIENTO LÓGICO:

• 11. Las afirmaciones hechas por Arturo y Bertha son "CONDICIONALES":

Esto significa que si el antecedente p es verdadero, para que el condicional (si p entonces q) sea verdadero, el consecuente, q, también debe ser verdadero.

Y si el antecedente p es falso, el condicional (p ? q) siempre es verdadero, sin importar si el consecuente "q" es verdadero o falso.

Ahora: según dato, son verdaderas las dos afirmaciones siguientes:

Arturo dijo: " si me ponen quince, entonces le pondrán quince a Bertha (Verdadero)

Bertha dijo: "Si me ponen quince, entonces le pondrán quince a Diana (Verdadero)

1º Posibilidad: Si a Arturo le pusieron 15, sería verdadero el antecedente de la afirmación de Arturo; luego también debe ser verdadero el consecuente: "le pondrán 15 a Bertha".

Y si a Bertha le ponen 15, sería verdadero el antecedente de la afirmación de Bertha; luego también debe ser verdadero el consecuente: "le pondrán 15 a Diana".

Si se cumple esta posibilidad, entonces a los tres le habrían puesto 15, lo que contradice el dato de que sólo a dos le pusieron 15.

Luego: ¡Esta posibilidad no se cumple!.

2º Posibilidad: Si a Arturo no le pusieron 15, sería falso el antecedente de la afirmación de Arturo; luego el consecuente ("le pondrán 15 a Bertha") puede ser verdadero o falso, y la afirmación de Arturo seguirá siendo verdadera.

Y si a Bertha le ponen 15, sería verdadero el antecedente de la afirmación de Bertha; luego el consecuente ("le pondrán 15 a Diana") también debe ser verdadero.

Luego: Le pusieron 15 a Bertha y a Diana

Respuesta: Las dos que recibieron 15 fueron Bertha y Diana

• 12. Por dato, los asientos están numerados así:

y Bernardo está en el asiento Nº 3

La 1º afirmación de José: "Bernardo está al lado de Carlos", por dato es falsa, luego su negación "Bernardo no está al lado de Carlos" será verdadera y por lo tanto Carlos debe ocupar el asiento Nº 1.

La 2º afirmación de José "Ana está entre Bernardo y Carlos" es falsa, lo que significa que en verdad: Ana no está entre Bernardo y Carlos y por lo tanto Ana ocupará el asiento Nº 4.

Por último, el único asiento que queda vacío: el Nº 2 será ocupado por Diana.

Respuesta: Diana está sentada en el asiento Nº 2

• 13. Cuando se quiere determinar la correspondencia "uno a uno" entre los elementos de un conjunto de n objetos (personas, animales; etc.) con "n" características de esos objetos, es conveniente usar una TABLA DE DECISIONES como la mostrada abajo.

Las casillas serán llenadas por "SI" o por "NO" según sea correcta o no la relación existente entre el nombre de la persona de la fila con la característica de la columna donde se encuentra la casilla.

Aplicaremos esto, a nuestro problema:

De la afirmación: "Ana y la saxofonista practican después del colegio", se deduce que Ana no es la saxofonista (De la oración se deduce que la saxofonista es otra persona).

Igualmente, de la afirmación: "Emma y la flautista…" se deduce que Emma no es flautista; y como nos dicen que Ana está en 4º grado y la flautista esta en 5º grado, se deduce que Ana no puede ser flautista.

Luego, la tabla quedaría así:

Si Ana no toca la flauta ni el saxofón, lo único que queda es que toque los tambores, por lo que colocaremos "si" en la casilla correspondiente:

Ahora, si ya se determinó que Ana toca los tambores, las demás personas NO pueden tocar los tambores, por lo que las demás casillas debajo del SI deben ser llenadas con NO.

De esta última tabla se deduce que como Emma no toca la flauta ni los tambores, debe tocar el saxofón y por último Lidia tocará la flauta.

Respuesta: Ana toca los tambores

• 14. La condición principal que debe cumplirse es que: De las dos afirmaciones que hizo cada persona, una debe ser verdadera y la otra debe ser falsa.

Para darnos cuenta de la verdad (V) o falsedad (F) de las afirmaciones tomaremos lo que dijo una persona y probaremos los dos casos posibles: que una de sus afirmaciones es (V) y que la otra es (F); y luego de debemos verificar como correcto, el caso que no produce contradicción.

1º caso: Supongamos que la 1ª afirmación de Karim es falsa y la segunda es verdadera:

Karim: Liliana fue primera (F) y Ursula fue segunda (V).

Como es verdadero que Ursula fue segunda, Karim ya no puede ser segunda. Cuando Liliana dijo que Karim fue segunda, ésta afirmación será la falsa de Liliana

Liliana: Tania fue última (V) y Karim fue segunda (F)

Como es verdadero que Tania fue última, entonces lo que dijo Ursula: "Tania fue tercera" será la afirmación falsa de Ursula.

Ursula: Liliana fue segunda (V) y Tania fue tercera (F).

Pero en este caso la afirmación de Ursula: "Liliana fue segunda", tendría que ser verdadera y esto contradice nuestro resultado de que Ursula fue segunda.

Luego este 1er caso conduce a contradicción y por lo tanto no se cumplirá.

2º caso: Se cumplirá entonces que:

Karim: Liliana fue primera (V) y Ursula fue segunda (F).

Como es verdadero que Liliana fue primera, entonces cuando Ursula dijo que "Liliana fue segunda", ésta era la Falsa de sus afirmaciones y la otra afirmación de Ursula debe ser verdadera.

Ursula: Liliana fue segunda (F) y Tania fue tercera (V)

Como es verdadero que Tania fue tercera, y Liliana dijo que "Tania fue última" esta era la falsa de sus afirmaciones y la otra tiene que ser verdadera.

Liliana: Tania fue última (F) y Karim fue segunda (V).

Como no hay contradicción, éste caso sería el correcto y el orden sería:

1º) Liliana

2º) Karim

3º) Tania

4º) Ursula

Respuesta: Liliana, Karim, Tania y Ursula.

• 15. Del dato "La señora Arévalo llegó quinta, justo después de su esposo" se deduce la siguiente disposición:

Como por dato la Sra. Gutiérrez, llegó antes que el Sr. Arévalo, pero por condición la Sra. Gutiérrez llegó después de su esposo se deduce que la Sra. Gutiérrez llegó en el segundo o tercer lugar.

Además el Sr. Castillo no puede ocupar el 6º puesto, porque por lo menos debe superar a su esposa y como el Sr. Castillo fue superado por una dama que no puede ser ni su esposa, ni la Sra. Arévalo, se deduce que el Sr. Castillo fue superado por la Sra. Gutiérrez, quedando ésta entonces en el segundo lugar.

Luego la situación final será:

Respuesta: El Señor y la Sra. Castillo quedaron en el 3º y 6º puesto respectivamente.

• 16. La condición principal que debe cumplirse es que de las cuatro afirmaciones: tres deben ser falsas (F) y sólo una debe ser verdadera (V).

Entonces se pueden presentar los siguientes 4 casos según cual de los 4 afirmaciones es la verdadera:

Señor Carpintero : "Yo soy el lechero"

Señor Ingeniero : "Yo soy el carpintero"

Señor Mayordomo : "Yo no soy el lechero

Señor Lechero : "Yo no soy el mayordomo"

Si se cumpliera el 1º caso:

Por la 1º afirmación que es Verdadera, el Sr. Carpintero sería lechero

Y por la 3º afirmación, que es falsa, el Sr. Mayordomo sería lechero (habría contradicción)

Si se cumpliera el 2º caso:

Por la 2º afirmación que es verdadera, el Sr. Ingeniero es carpintero;

Por la 3º afirmación que es falsa, el Sr. Mayordomo es lechero

Por la 4º afirmación que es falsa, el Sr. Lechero es mayordomo

Luego, quedaría que el Sr. Carpintero es Ingeniero (Y esto es COMPATIBLE).

Luego: Sr. Carpintero : Ingeniero

Sr. Ingeniero : Carpintero

Sr. Mayordomo : Lechero

Sr. Lechero : Mayordomo

Si se cumpliera el 3º caso:

Por la 4ª afirmación que es falsa, el Sr. Lechero es mayordomo

Por la 2ª afirmación que es falsa el Sr. Ingeniero no es carpintero y como tampoco puede ser Ingeniero ni mayordomo, se deduce que es: lechero.

Por la 1ª afirmación que es falsa, el Sr. Carpintero no es lechero; y como tampoco puede ser mayordomo, ni carpintero, entonces debe ser ingeniero.

Por último quedaría que el Sr. Mayordomo sería el carpintero (que es COMPATIBLE).

Luego: Sr. Carpintero : Ingeniero

Sr. Ingeniero : Lechero

Sr. Mayordomo : Carpintero

Sr. Lechero : Mayordomo

Si se cumpliera el 4º caso:

Por la 3º afirmación que es falsa, el Sr. Mayordomo es lechero,

Por la 2º afirmación que es falsa el Sr. Ingeniero no es carpintero, y como tampoco puede ser ingeniero ni lechero, luego el Sr. Ingeniero sería: mayordomo.

Por la 1º afirmación que es falsa, el Sr. Carpintero no es lechero; y como tampoco puede ser carpintero, ni mayordomo, tendrá que ser ingeniero.

Entonces quedaría que el Sr. Lechero es carpintero (COMPATIBLE con la 4º afirmación que es verdadera).

Sr. Carpintero : Ingeniero

Sr. Ingeniero : Mayordomo

Sr. Mayordomo : Lechero

Sr. Lechero : Carpintero

Como podemos notar, hay tres casos posibles que cumplen las condiciones, (2º, 3º y 4º casos) pero en los tres casos, el Ingeniero es el Sr. Carpintero.

Respuesta: El ingeniero es el Sr. Carpintero.

• 17. Como todas las afirmaciones son verdaderas, se deduce:

1º) El castillo de Alicia es más bajo que el de Susana.

2º) El castillo de Susana es más alto que el de Katy:

3º) El castillo de Eva es más bajo que el de Alicia:

4º) El castillo de Eva no es el más bajo de todos.

Uniendo el primer y tercer diagrama, tenemos que:

Del 2º diagrama se sabe que K está debajo de S, pero para que E no sea el más bajo de todos, K debe estar debajo de E.

Luego, la situación final sería:

Respuesta: El orden de los nombres de los que construyeron los castillos de menor a mayor altura son: Katy; Eva; Alicia y Susana.

• 18. Colocando (V) en los días que Ernesto dice la verdad y (F) en los días en que miente, se tendrá el siguiente cuadro:

Un día, Ernesto dijo: "Mañana yo diré la verdad"

Casos posibles que se puedan presentar:

• i. Si el día en que hizo la afirmación, Ernesto dice la verdad entonces al día siguiente también debe decir la verdad, o sea tendrá que haber dos días seguidos en los cuales Ernesto dice la verdad, pero como observamos en el cuadro, ésta situación no se presenta; por lo tanto ese día Ernesto mentía.

• ii. Ya que el día en que hizo la afirmación Ernesto miente; y como lo que dijo: "Mañana yo diré la verdad" debe ser falso, entonces se deduce que el día de mañana también mentirá.

Por lo tanto, Ernesto hizo la afirmación en un día en que miente y tal que al siguiente día también miente.

Observando el cuadro, notamos que esto sólo pudo ocurrir en el día: Sábado.

Respuesta: Cuando Ernesto dijo eso era día SÁBADO.

19. Familiarización:

El texto hay que comprenderlo estrictamente, es decir primero se nos dice que los tres dados son idénticos, en segundo lugar se nos dice que al lanzar su dado se observa tres colores. Si hacemos la experiencia física concluiremos que cuando observamos un dado podemos, como máximo, ver tres caras:

Notaremos que los lados opuestos de un dado no se pueden ver a la vez.

Diseño del plan

Nos conviene hacer un diagrama para organizar los colores en el dado, podemos hacernos un dado físico, pero también podemos utilizar un dibujo del dado en el plano, para esto usemos el desarrollo de un cubo.

Ejecución del plan:

Si desdoblamos el dado y llamamos 1, 2, 3, 4, 5, 6 a las caras, tendremos la malla:

Empecemos considerando las 3 caras que vió David: Azul; Blanco y Amarillo, y digamos que están en la posición: Azul (5); Blanco (2) y Amarillo (3).

Como Félix vio las caras: Blanco; Verde y Anaranjado se deduce que el Verde y Anaranjado son las caras (1) y (4) ó (4) y (1), pero como Gustavo vio las caras Anaranjado, Azul y Rojo, se deduce que el Anaranjado debe ocupar la cara (1); y la Verde debe ser la cara (4), y por lo tanto la cara (6) debe ser del color que queda, o sea Rojo.

La cara 6 opuesta a la cara Blanca (2) es la cara de color Rojo.

Respuesta: El color de la cara opuesta a la de Blanco es Rojo

• 20. Considerando un calendario de 31 días como se muestra más abajo (todavía no sabemos que día corresponde a cada columna, pero son días consecutivos en orden).

Si Estornudo y Gruñón sólo barrieron cuatro veces en el mes, significa que el día en que barrieron debe estar en la 4º, 5º, 6º ó 7º columna del calendario mostrado.

Como Estornudo barre los lunes y Gruñón barre los viernes, para que el lunes y el viernes encajen en las columnas de la 4º a la 7º, solo podría cumplirse cuando la 4º columna es VIERNES, la 5º sería sábado, la 6º sería domingo y la 7º sería LUNES.

Luego, el calendario quedaría así:

Y aquí notamos que el primer día de la semana sería Martes y según dato los Martes barre Dormilón.

Respuesta: El primer día de este mes barrió Dormilón.

MODELACIÓN ALGEBRAICA:

• 21. Llamaremos "g" al precio de un gato.

Por dato:

Un conejo vale el doble de lo que vale un gato ó sea: 2g

Un perro vale el doble de lo que vale un conejo ó sea: 2(2g) = 4g

Luego los totales de cada persona se pueden colocar en función de lo que vale un gato o sea en función de g

Cuenta de Sergio: Compró: (3 gatos + 5 conejos + 7 perros), lo que equivale a:

3g + 5 (2g) + 7 (4g) = 41 g = 41 gatos.

Cuenta de Rosa: Compró (5gatos + 7 conejos + 3 perros), lo que equivale a:

5g + 7(2g) + 3(4g) = 31 g = 31gatos.

Pero por dato:

la cuenta de Rosa (31 gatos) es 400 soles menos que la cuenta de Sergio (41 gatos)

de donde deducimos que los 400 soles equivalen al valor de (41 – 31): 10 gatos

y por lo tanto cada gato vale: soles

Respuesta: Un gato vale 40 soles.

Primera forma:

Sea "x" la longitud de la vela más larga.

Como dura 7 horas en gastarse, se deduce que en 1 hora se gasta

Después de estar prendida durante 4 horas se gastará:;

y le quedará una longitud de:

Análogamente si "y" es la longitud de la vela más corta:

Como dura 10 horas en gastarse, se deduce que un 1 hora se gasta:

Después de estar prendida durante 4 horas se gastará:

y le quedará una longitud de:

Pero, por dato, las longitudes que quedaron después de las 4 horas son iguales:

Luego, igualando las longitudes que quedaron:

De donde: ó

Respuesta: La razón entre el largo original de la vela más corta "y" y de la vela más larga "x" es:

Segunda forma:

Como no nos piden las longitudes reales de las velas sino la relación entre estas longitudes, podemos aplicar "suposición y proporcionalidad", así:

Como la primera vela duró 7 horas y la segunda vela duró 10 horas, después de estar prendidas 4 horas las longitudes que quedan de ambas velas son iguales y ésta longitud debe consumirse en 3 horas para el caso de la primera y en 6 horas para el caso de la segunda

Supongamos que después de estar prendidas 4 horas, las longitudes que quedan de ambas velas son iguales a: 6 cm (que es el MCM de 3 y 6).

Del diagrama se observa que los 6 cm que quedarían de la 1º vela se consumirían en 3 horas

o sea y como por dato ésta vela duró en total 7 horas, su longitud sería:

Igualmente los 6 cm que quedarían de la 2º vela se consumirían en 6 horas o sea

cm por hora y como ésta vela duró en total 10 horas, su longitud sería

Luego: La vela más larga mediría 14 cm y la más corta mediría 10 cm.

Por nociones de proporcionalidad sabemos que las proporciones se mantienen

( La relación entre el largo de la vela más corta y el de la vela más larga es de:

• 23. Primera forma:

Sean "x" niños e "y" niñas en la familia Quiroz.

Cuando se considera un niño, éste tendrá "(x-1)" hermanos e "y" hermanas.

Pero por dato estas cantidades son iguales: x – 1 = y (1)

Cuando se considera una niña, ésta tendrá: "x" hermanos e "(y – 1)" hermanas

y por dato el número de sus hermanos es doble que el de sus hermanas:

x = 2 (y – 1) (2)

Reemplazando (2) en (1) 2 (y – 1) – 1 = y

2y – 2 – 1 = y

De donde: y = 3 n

Y en (1): xx = 3 + 1 = 4 n

Luego, en la familia Quiroz hay: x = 4 niños, e y = 3 niñas

Lo que da un total de: 4 + 3 = 7 hijos.

Respuesta: El número de hijos de la Familia Quiroz es 7.

Segunda forma:

Como cada niño tiene igual número de hermanos que de hermanas, se deduce que el número de niños es 1 más que el número de niñas, ó lo que es lo mismo: la diferencia entre los niños y las niñas es 1.

Ahora, cuando se considera una niña, (o sea se excluye esta niña del análisis) la diferencia entre sus hermanos y hermanas aumentará en 1 y será ahora 2 y como por dato en este caso los hermanos son el doble que las hermanas, tenemos que buscar dos números, uno el doble del otro, y tal que su diferencia sea 2.

Los números naturales más pequeños, tal que uno sea el doble del otro son 2 y 1; pero en éste caso la diferencia sería 1; luego para que la diferencia sea 2, hay que multiplicar a éstos números (2 y 1) por 2 y darían: 2 x 2 = 4 y 1 x 2 = 2.

Los números adecuados serían entonces: 4 y 2.

ó sea una niña tendrá 4 hermanos y 2 hermanas.

Entonces contándose esa niña habrán: 4 niños y 3 niñas, lo que da un total de: 4 + 3 = 7 hijos en la Familia Quiroz.

• 24. Primera forma:

Sea "x" el número de personas e "y" el número de sillas.

Por dato: Los personas ocupan: sillas.

Como la cantidad de personas sentadas debe ser igual al número de sillas ocupadas:

De donde: (1)

Pero las sillas desocupadas son:

y por dato estas deben ser 6.

Luego: de donde y = 24 m

Y en la relación (1) reemplazando "y" por 24, se obtiene de donde

Respuesta: En el salón hay 27 personas

Segunda forma:

Como se ocuparon las del número de sillas, entonces quedaron sin ocupar: del número de sillas, y según dato esta cantidad equivale a 6.

Luego,

De donde, el número de sillas es: 4 x 6 = 24

Ahora: Según dato fueron ocupadas las del número de sillas o sea: de 24 = 18 sillas

Y estas sillas fueron ocupadas por de las personas.

Luego: del número de personas = 18

De donde Nº personas =

• 25. Primera forma: "Forma algebraica"

Sea x el número de páginas del libro.

El 1º día Ruth leyó:

páginas. Quedaron por leer:

páginas

El 2º día Ruth leyó:

Quedaron por leer: páginas

El 3º día Ruth leyó:

Quedaron por leer: páginas

El 4º día Ruth leyó:

Quedaron por leer:

Y este último número de páginas que quedó por leer después del 4° día debe ser igual a cero.

Igualando:

Notaremos que para despejar x, del número de la derecha (0) se le debe sumar 5 y luego multiplicar por 2, y luego hacer lo mismo con el resultado y así sucesivamente, dando:

páginas

Este procedimiento es muy complicado y sería muy engorroso aplicarlo si se tiene más etapas.

Respuesta: 150 páginas

Segunda forma: Por "Pensamiento regresivo"

Como después del 4º día quedaron 0 páginas por leer (dato final) y en cada etapa ocurre lo mismo "lee la mitad de las páginas que quedan + 5" se puede encontrar una "FÓRMULA DE REGRESIÓN" (fórmula para regresar) de la siguiente manera.

Sea A la cantidad de páginas que había antes de empezar un día y D la cantidad de páginas que quedaron después de ese día:

Despejando A:

A = (D + 5) x 2 "Fórmula de regresión"

Esta fórmula nos servirá para "regresar".

Conociendo el dato D que quedó después de una etapa, se obtiene lo que había antes de dicha etapa (A)

Para los datos del problema:

Como hemos calculado, antes de empezar el primer día habían: 150 páginas.

Respuesta: El libro tenía 150 páginas

• 26. Podemos notar que en cada factor, el resultado es un número predecible:

En general:

Reemplazando en la expresión dada el resultado de cada factor:

x ….x x x x….x

x

Como el segundo miembro es un producto de fracciones, se pueden simplificar los factores comunes del numerador y del denominador.

Notaremos que el denominador de una fracción cualquiera es igual al numerador de la fracción siguiente, por lo tanto, se simplificarán.

Simplificando los denominadores con los numeradores de las siguientes fracciones quedará:

Respuesta: El producto como una fracción simplificada es

• 27. Digamos que cuando la novela se dividió en 3 volúmenes con igual número de páginas, en cada volumen hubieron "x" páginas.

El Libro tenía en total 3x páginas.

En el 1º volumen están las páginas desde la página: 1 hasta la página: x

En el 2º volumen están las páginas desde la página: (x+1) hasta la página: 2x

En el 3º volumen están las páginas desde la página: (2x+1) hasta la página: 3x

Pero por dato la suma de los números que están en la 1º página de cada volumen es 1 353.

ó sea: 1+ (x+1) + (2x+1) = 1 353

de donde: 3x = 1 350

y: x = 450

Respuesta: Cada volumen tiene 450 páginas

• 28. Primera forma:

Representaremos un apretón como un segmento.

Para dos personas: hay 1 apretón = 1

Para tres personas: hay 3 apretones = 2 + 1

Para cuatro personas: hay 6 apretones = 3 + 2 + 1

Para cinco personas: hay 10 apretones = 4 + 3 + 2 + 1

Luego podemos "inducir" que:

Para 20 personas, el número de apretones será: 19 + 18 + 17 +…+ 3 + 2 + 1

y esta suma se puede hallar aplicando la Ley asociativa, así:

Respuesta: En dicha reunión hubieron 190 apretones de mano.

Segunda forma:

Como cada una de las 20 personas le da la mano a las otras 19, se producirán teóricamente (20×19) apretones, pero como cada uno de estos apretones se han contado 2 veces cada uno (por ejemplo el apretón entre A y B, se contó cuando se contaron los apretones de A y cuando se contaron los apretones de B ).

Luego, también el número real de apretones fue:

Este procedimiento se puede generalizar para "n" personas.

El número de apretones de mano (ó de abrazos, etc.) entre n personas es:

COMBINATORIA, INCERTIDUMBRE:

29. Los números de 4 cifras que son capicúas (o palíndromos) son de la forma:

Donde a y b son cifras que pueden valer como máximo hasta 9.

Primera forma:

Los números capicúas de 4 cifras son: 1001; 1111; …. , 9889; 9999

Los capicúas de 4 cifras que comienzan y terminan en 1 son {1001; 1111;…, 1991}: 10 números.

Igualmente, los capicúas de 4 cifras que comienzan y terminan en 2 son: {2002; 2112;…2992}: 10 números.

Análogamente, también habrán 10 números capicúas de 4 cifras que acaban y terminan en 3 y 10 que acaban y terminan en 4, etc., hasta 10 que acaban y terminan en 9, lo que dará un total de 9 veces 10 = 9 x 10 = 90 números capicúas de 4 cifras.

Respuesta: Hay 90 números de 4 dígitos que son capicúas ó palindromos.

Segunda forma:

Notaremos que en los números de la forma la parte "independiente" (o sea que puede variar libremente) es y que la parte no puede variar independientemente pues los valores de ó dependen de los valores de "a" y "b" únicamente.

Luego: Podemos afirmar que habrán tantos capicúas de la forma como números de 2 cifras podamos formar libremente.

ó sea que la respuesta a nuestro problema viene dada por la cantidad de números de 2 cifras que se pueden escribir en base diez.

{10; 11; 12,…. ; 98; 99}

Son 99 – 9 = 90 números.

Tercera forma: (Usando combinatorias)

Podemos considerar que escribir un número de la forma es un proceso de 2 etapas:

1º Etapa: Escoger "a":

Nótese que "a" no puede ser cero (por que si lo fuera el número sería sólo de tres cifras).

Luego: "a" puede ser: 1; 2; 3; 4; 5 ; 6; 7; 8 ó 9 ( 9 valores

2º Etapa: Escoger "b":

"b" puede ser: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 ó 9 ( 10 valores

Aplicando el principio de la multiplicación:

Tendremos que hay: 9 x 10 = 90 combinaciones posibles

Nótese, que cada una de las 90 combinaciones producirá un número capicúa de la forma que se formará agregando a la derecha los valores correspondientes de "b" y "a".

Luego: Habrán 90 números capicúas de 4 cifras.

30. Sean a, b y c la cantidad de lápices que recibe cada amigo A, B y C respectivamente.

Por condiciones: a, b y c deben ser números naturales mayores que 0 y como máximo alguno de ellos puede valer hasta 4, porque si alguno de los amigos recibiera 5 lápices de todas maneras uno de los otros dos recibiría 0 lápices.

Para responder a este problema, realizaremos una LISTA SISTEMÁTICA.

Empezaremos colocando 4 lápices para a y los valores de b los variaremos desde el mayor hasta el menor posible y por diferencia obtendremos c.

Luego colocaremos a a 3 lápices y haremos lo mismo con b, …

La lista que se obtiene nos dará todas las posibilidades de repartir 6 lápices entre A, B y C.

Recuerden que a + b + c = 6

Contando: hay 10 maneras diferentes en que A, B y C pueden tener un total de 6 lápices y donde cada uno de los tres tiene al menos un lápiz.

Respuesta: Hay 10 formas diferentes.

• 31. Los puntajes que aparecen en las caras de un dado son: 1, 2, 3, 4, 5 y 6 (6 valores).

Luego, las combinaciones posibles de puntajes que se pueden obtener al lanzar dos dados son: 6 x 6 = 36 casos.

Estas formas son:

De estas casos las que tienen como suma de puntos igual a 5 son:

(1; 4); (2; 3); (3; 2) y (4; 1) (son 4 casos(

Como sabemos la probabilidad de un evento es.

Luego: La probabilidad de obtener 5 como suma de puntos al arrojar 2 dados es:

Ahora, las combinaciones que producen 9 como suma de puntos son:

(3; 6); (4; 5); (5; 4); (6; 3) (también 4 casos(

y la probabilidad de obtener 9 como suma de puntos al tener 2 dados es:

Luego: Hay igual probabilidad de obtener 5 que 9, como suma de puntos al arrojar 2 dados.

Respuesta: Al arrojar dos dados, es igualmente probable obtener 5 que 9 como suma de puntos.

• 32. Consideraremos que a la fiesta asistieron:

X mujeres solteras e

Y hombres casados con sus Y esposas respectivamente.

Luego, la probabilidad de que una mujer, seleccionada al azar, sea soltera es:

Y como por dato esta probabilidad es

se tendrá que cumplir que:

Despejando, multiplicando en aspa, tenemos:

5x = 2x + 2y

ó 3x = 2y

Las mujeres solteras (x), son proporcionales a: 2

De donde: ? Las mujeres casadas (y), son proporcionales a: 3

Los hombres casados (y), son proporcionales a: 3

Luego la fracción de las personas que son hombres casados viene dada por:

Nótese que la fracción "f" no variará si escogemos cualquier grupo de tres números que sean entre sí como 2; 3 y 3 como por ejemplo: 2k; 3k y 3k.

Respuesta: Los

de las personas en la fiesta son hombres casados.

• 33. Para viajar de A a C, hay dos posibilidades que son excluyentes: pasar por (A – B – C) ó pasar por (A – D – C).

En la 1º posibilidad:

(pasando por B)

Para viajar de A a B hay dos caminos y para viajar de B a C hay tres caminos, luego: el número de formas diferentes de viajar de A a C por el principio de la multiplicación en combinatoria es:

2 x 3 = 6 formas

En la 2º posibilidad:

(pasando por D)

Análogamente, el número de formas diferentes de viajar de A a C es:

3 x 4 = 12 formas.

Luego, el número total de formas diferentes en que se puede viajar de A a C sería, sumando:

6 + 12 = 18 formas.

Respuesta: Se puede viajar de A a C, de 18 formas diferentes.

• 34. El caso más desfavorable que se podría presentar para que no haya dos personas con el mismo mes de nacimiento es que al escoger a las personas, éstas tengan, todos, meses diferentes de nacimiento, pero esto podría ocurrir como máximo hasta 12 (ya que hay 12 meses diferentes), por lo que la 13º persona tendría obligatoriamente un mes de nacimiento repetido (igual a alguno de las 12 personas anteriores).

Igualmente podríamos decir que el caso más desfavorable que podría presentarse para que no hayan 7 personas que tengan el mismo mes de nacimiento es que hayan 6 x 12 = 72 personas, donde en cada mes del año, hayan nacido 6 de estas personas o sea con 72 personas tendríamos exactamente 6 personas que cumplen años en cada uno de los 12 meses.

Luego, si consideramos una persona más (73 personas en total), ésta obligatoriamente producirá un grupo de 7 personas con igual mes de nacimiento.

Respuesta: El grupo deberá tener como mínimo 73 personas.

• 35. Por dato en el saco hay 6 fichas azules.

Digamos también que el número de fichas verdes es "x".

El total de fichas en el saco será: (6 + x)

Por fórmula:

La probabilidad de extraer al azar una ficha azul del saco es

Al reemplazar los valores se tendrá:

Pero por dato esta probabilidad es

Luego:

Despejando "x" multiplicando en aspa se tiene:

24 = 6 + x

De donde: x = 18

Respuesta: El número de fichas verdes en el saco es 18.

• 36. De acuerdo a las condiciones, el ( no puede contener a P; ni Q; ni R porque están en su misma fila, ni tampoco puede contener a S, porque están en la misma diagonal.

Respuesta: En la casilla sombreada debe colocarse el símbolo Q.

• 37. Primera forma:

Si hay 25 tarjetas numeradas del 1 al 25, el número total de casos posibles que se pueden presentar al tomar una tarjeta al azar es 25.

Para que la tarjeta contenga un múltiplo de 2 ó de 5, los casos favorables posibles son: 2; 4; 5; 6; 8; 10; 12; 14; 15; 16; 18; 20; 22; 24; 25 en total: 15 casos.

Luego, la probabilidad de que al tomar una tarjeta al azar se obtenga un múltiplo de 2 ó de 5 es:

Respuesta: La probabilidad de que el número sobre la tarjeta de Sara sea un múltiplo de 2 ó de 5 es:

Segunda forma: Sea el espacio muestral: ( = {1; 2; 3,…;24; 25} que tiene 25 elementos

Sea A el conjunto de múltiplos de 2 del 1 al 25

A = (2; 4;……; 22; 24 (

( ( ( (

2×1 2×2 2×11 2×12

El número de elementos de A es: 12.

Si B es el conjunto de múltiplos de 5 del 1 al 25.

B = (5; 10; 15; 20; 25 (

El número de elementos de B es: 5

Luego la intersección de A y B será: y tiene dos elementos.

Anotaremos estos resultados en el siguiente diagrama de Venn:

La probabilidad de que al escoger una tarjeta al azar, sea múltiplo de 2 ó de 5, se puede expresar así:

Y como los eventos A y B no son excluyentes

• 38. El caso más desfavorable que se podría presentar, en el cual no se tenga certeza de que haya 10 bolitas del mismo color, será cuando saquemos:

9 rojas + 9 verdes + 9 amarillas + 10 = 37 bolitas

Pero la siguiente bolita que saquemos (ó sea la 38º) será: roja o verde o amarilla y completará con certeza 10 bolitas del mismo color.

Respuesta: Debemos sacar 38 bolitas del saco para tener la certeza de que habrán 10 bolitas del mismo color.

IMAGINACIÓN GEOMÉTRICA:

• 39. Cada una de las 10 zonas sombreadas de la bandera, son triángulos:

Nosotros sabemos que el área de un triángulo es igual a la mitad de la base por su altura correspondiente.

Primera forma:

Luego, la suma de estas 6 áreas sombreadas será:

También podemos observar que los 4 triángulos sombreados que tienen sus bases en los anchos de la bandera tienen igual área, porque sus bases son iguales y sus alturas también son iguales..

Luego, la suma de éstas 4 áreas sombreadas será:

Luego, El área total de la región sombreada será: 450 + 300 = 750 cm2.

Respuesta: El área de la región sombreada es: 750 cm2

Segunda forma:

Podemos notar (haciendo los cálculos) que los 10 triángulos sombreados tienen igual área:

Los triángulos cuya base están en los "largos" de la bandera (arriba y abajo), tienen como base: y como altura:

El área de cada uno de estos triángulos será entonces:

Igualmente los triángulos cuya base están en los anchos (a la izquierda y a la derecha) tienen como base: y como altura:

El área de cada uno de estos triángulos será:

Luego, entonces todos los 10 triángulos sombreados tienen igual área.

y como son 10 triángulos, el área sombreada total será: 10 x 75 = 750 cm2.

• 40. Como BCD es un triángulo equilátero, sus tres lados tendrán la misma medida.

DC = DB = BC = 68 m.

Como ABDE es un rectángulo, sus lados opuestos serán paralelos y congruentes.

Luego:

y también

y como por dato: El perímetro del polígono ABCDE es 456 m, se tendrá que

AB + BC + CD + ED + EA = 456

Reemplazando los valores hallados previamente

AB + 68 + 68 + AB + 68 = 456

Despejando, obtenemos que:

Respuesta: La longitud de AB es 126 m.

• 41. Dividiremos la figura en sectores; colocando letras a los puntos clave como indica la figura:

Se puede considerar que el área encerrada por el cuadrilátero abcda es:

por diferencia igual al área del cuadrado (ghci) – [las áreas de las zonas (1); (2); (3); (4) y (5)]

A sombreada = AT – [A1 + A2 + A3 +A4 + A5] …… ( a )

Aplicando Las fórmulas:

Como gich es un rectángulo su área es: base por altura.

AT = 10 x 10 = 100

Para el área de A1: Como agb es un triángulo rectángulo en g, su área será:

Para el área de A2: Como bhc es un triángulo rectángulo en h su área será:

Para el área de A3: Como el área dec es triángulo rectángulo en e, su área será:

Para el área de A4 : Como el aief es un rectángulo se área será:

Para el área de A5: Como afd es un triángulo rectángulo en f, su área será:

Reemplazando en ( a ):

A sombreada = 100 – 10 – 30 – 21 – 15 – 1,5 = 100 – 77,5 = 22,5 unidades cuadradas.

Respuesta: El área cuadrada encerrada por el cuadrilátero es: 22,5 u2.

• 42. Como por dato el triángulo ABC tiene un área de 50 cm2, y como por dato también la base de éste triángulo es 12,5 cm, aplicando la fórmula del área del triángulo, se puede determinar la longitud de la altura BC.

De donde:

12,5 cm

Ahora como el área del triángulo ABD (sombreado) es la mitad del área del triángulo ya que tiene la misma base, pero su altura es la mitad, se tendría que:

Área del triángulo

Faltaría calcular el área sombreada de la zona circular, que es igual a:

Por fórmula:

Luego, el área circular sombreada es aproximadamente:

( El área total sombreada es: 25 + 18,84 = 43,84 cm2.

Respuesta: El área de la zona sombreada es 43,84 cm2 (aproximadamente).

• 43. Haciendo un análisis inductivo, contaremos cuántos cuadrados en total se pueden ver en un cuadriculado de 2 x 2; luego en uno de 3 x 3; y en el de 4 x 4: