Solucionario Módulo II Problemas Matemáticos (página 3)

Podemos "inducir" entonces que cuando se tiene un cuadriculado de 20 x 20 cuadraditos, el número total de cuadrados que se puedan contar será:

202 + 192 + …….+ 32 + 22 + 12

y ésta suma, por fórmula de la suma de los primeros cuadrados perfectos es:

Respuesta: En un cuadrado de 20 x 20 se podrán contar 2870 cuadrados

Como por dato los tres rectángulos son congruentes, el área de cada uno de los tres rectángulos es la tercera parte del área del rectángulo ABCD.

Luego: El Área de un rectángulo pequeño será:

Pero de acuerdo a la disposición de los tres rectángulos pequeños se observa que el largo de cada uno es el doble de su ancho.

Si llamamos x al ancho de cada rectángulo pequeño, su largo será 2x

Y el área del rectángulo pequeño será:

(2x) • (x) = 450cm2.

De donde: 2×2 = 450

y: x2 = 225

Aunque hay dos valores de "x" que elevados al cuadrado dan 225 y son:

y

Pero como "x" representa el ancho de cada rectángulo pequeño, debe tener un valor positivo.

Y por lo tanto será: ? x = 15 cm m

Luego, El perímetro (p) del rectángulo ABCD será:

p = 2x + (x + 2x) + (x + x) + (2x + x)

p = 10 x

reemplazando el valor de x = 15, se obtiene:

p = 10 x 15 = 150 cm.

Respuesta: El perímetro del rectángulo ABCD es 150 cm.

• 45. En un cuadrado, las medidas de sus 4 lados son iguales.

Luego, como (4x – 15) metros es la medida de uno de los lados del cuadrado y (20 – 3x) es

la medida de otro de sus lados, estos valores deben ser iguales.

4x – 15 = 20 – 3x

Trasponiendo términos: 7x = 35

Dividiendo entre 7: x = 5 metros m

Luego, el lado del cuadrado medirá:

4x – 15 = 4(5) – 15 = 5 metros.

Y su área será: A = (5 m)2 = 25 m2.

Respuesta: El área del terreno en metros cuadrados es 25.

Recordar que un cuadrante de un meridiano terrestre es la cuarta parte de la longitud de todo el meridiano. Por lo tanto la medida del cuadrante será el arco de la circunferencia terrestre que corresponde a un ángulo de 90°

Como el metro es la "diez millonésima parte de la medida del cuadrante de un meridiano terrestre" se deduce que la medida del cuadrante es: diez millones de metros, y por lo tanto la circunferencia de la tierra (suponiéndola una esfera) tendría una longitud igual a 4 veces la del cuadrante.

Luego, Longitud de la circunferencia de la tierra = 4 x 10 000 000 = 40 000 000 metros.

Pero por fórmula, esta longitud es igual a 2( multiplicado por el radio de la tierra.

2( × rTierra = 40 000 000 metros ×2(

y despejando: rTierra =

Efectuando: rTierra = 6 366 182,83 metros

Y dividiéndolo entre 1 000 para obtener esta medida en Kilómetros

rTierra =6 366 Kilómetros (aproximadamente)

Respuesta: El radio de la Tierra mide aproximadamente 6366 Kilómetros.

• 47. Sea el segmento AB:

Como tiene una longitud de 12 centímetros

Y por dato:

y:

Ubicando en el segmento los puntos C, E y D de acuerdo a las medidas encontradas:

Obtenemos el orden de los puntos, que sería: A; C; E; D y B.

Respuesta: De izquierda a derecha el orden de los 5 puntos es: A; C; E; D y B.

• 48. Si llamamos P al punto de intersección de las diagonales del cuadrado ABCD, P también sería el centro del círculo.

Entonces podemos observar en la figura, las siguientes formas geométricas:

• a. CIRCULO de centro P.

• b. CUADRADO ABCD porque por las condiciones, se sabe que los 4 lados tienen igual longitud y sus 4 ángulos interiores son rectos.

• c. RECTÁNGULO ABCD, ya que todo cuadrado, también es rectángulo.

• d. TRIÁNGULO RECTÁNGULO: Hay varios, por ejemplo el triángulo ABC, con ángulo recto en B. (pues y son perpendiculares).

• e. TRIÁNGULO ISOSCELES: Hay varios, por ejemplo, el triángulo APB, ya que AP tiene la misma medida que BP (son mitades de las diagonales de un mismo cuadrado).

Pero, la forma geométrica que no se observa en la figura es el TRIÁNGULO EQUILÁTERO, porque no hay ningún triángulo con tres lados de la misma longitud. Además ningún triángulo tiene ángulos de 60° como deberían ser cada uno de los tres ángulos de un triángulo equilátero.

Respuesta: La figura que no aparece en la figura es el TRIÁNGULO EQUILÁTERO.

INVESTIGACIÓN Nº 1 : BILLAR DE PAPEL

Investigación N° 1

Después de realizar la experiencia para distintos tableros de m x n casillas cuadradas, obtener los valores pedidos para cada caso:

Caso (4) Tablero de 4 x 6

Número de Toques en los lados: 5

Número de casilleros que cruza: 12

Caso (5) Tablero de 6 x 9

Número de Toques en los lados: 5

Número de casilleros que cruza: 18

Caso (6) Tablero de 10 x 15

Número de Toques en los lados: 5

Número de casilleros que cruza: 30

Después de realizar las experiencias anteriores llevamos los resultados al siguiente cuadro:

Podemos luego darnos cuenta que el número de toques en los lados y el número de casilleros que cruza la bola, depende de m y n; y también del "mayor factor común" ó Máximo Común Divisor de m y n.

El cuadro de valores podríamos escribirlo así:

Luego:

(b) La fórmula sería:

(c) Si en un tablero de m x n la bola toca 8 veces los lados,

entonces: 8 ………………………… (1)

y si la bola cruza 30 cuadrados,

entonces: = 30 ………………………. (2)

si m y n tuvieran como Máximo Factor Común: D, entonces, se podría escribir que:

m = D x p

n = D x q

Siendo p y q números enteros que son primos entre si (ó sea números que tienen como único divisor común a la unidad).

Luego, en (1):

De donde: p + q = 8

en (2):

de donde:

Probando las dos posibilidades:

( i ) Si p = 5 y q = 3, entonces:

y m y n serían y

Solución: El tablero es de 10 x 6 casillas

( ii ) Si p = 7 y q = 1, entonces:

(no hay solución entera)

Respuesta: Las dimensiones del tablero serían: 10 x 6.

INVESTIGACIÓN N° 2: EL TUNEL

Teniendo en cuenta que cuando cruzan dos personas que caminan a diferente velocidad deben viajar a la velocidad de la persona más lenta se tiene la siguiente secuencia:

Autor:

Carlos Alberto Yampufe Requejo