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1.1 Antecedentes del método de elementos …nitos
Introducción En ingeniería cuando se quiere encontrar una descripción cuantitativa de un fenómeno físico lo primero que se hace es plantear un conjunto de ecuaciones de gobierno, que en general consiste en un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias o a derivadas parciales, en una dada región o dominio y las condiciones de contorno e iniciales. El segundo paso es resolver ese sistema para un dado conjunto de datos. En este punto es donde aparecen los inconvenientes, pues solo es posible resolverlas exactamente (analíticamente) si las ecuaciones son muy simples y estan de…nidas en un dominio de geometría simple. Asi y todo si el número de variables dependientes aumenta, suelen encontrarse de…cultades para resolver el sistema. Para salvar este problema y utilizar una de las mas potentes herramientas (la computadora) se debe replantear el problema de una manera puramente algebraica. Para llevar a cabo esto puede utilizarse alguna de las formas de discretización del problema continuo de…nido por las ecuaciones diferenciales. En esta discretización el conjunto in…nito de números que representa a la/s función/es solución desconocida/s es reemplazado por un número …nito de parámetros desconocidos. En este proceso se requiere alguna forma de aproximación. Una de las formas de discretización posible, y una de las mas simples, es el proceso de diferencias …nitas. En lo que sigue veremos varias aproximaciones por funciones de prueba que caen dentro de la clasi…cación general que se conoce como método de elementos …nitos. Para poder avanzar, vamos a concentrar la atención en algunos problemas particulares simples. Estos problemas servirán para desarrollar ejemplos y para introducir los principios generales de aproximación, de modo tal que luego puedan aplicarlos a sus propios casos especiales sea que generen sus propios programas o que utilicen un programa desarrollado con esta metodología. Problema: ‡ujo de calor en un dominio bidimensional Planteo: utilizaremos la notación qx para el calor que ‡uye en la dirección del eje x en la unidad de tiempo y qy cuando ocurre en la dirección del eje y. La diferencia D entre el calor que entra y el que sale de un elemento de tamaño dx dy viene representado por la expresión: D = qx + @qx @x dx qx dy + qy + @qy @x dy qy dx (1) Por conservación de la energía, D debe ser igual a la suma del calor generado en el elemento y al calor liberado en el mismo en la unidad de tiempo. Para el calor generado utilizaremos la notación Q dx dy donde Q podrá variar con la posición (coordenada (x;y) del punto dentro del dominio) y del tiempo, y para el calor liberado c (@ = @t)dx dy donde c es el calor especí…co, la densidad y (x;y;t) es la distribución de temperatura en el tiempo t. El requerimiento de igualdad nos lleva a la relación diferencial, que debe satisfacerse en todo el dominio: @qx @x + @qy @x Q + c @ @t =0 (2) La ley física que gobierna el ‡ujo de calor en un medio isotrópico, puede escribirse para la componente de ‡ujo en una dirección cualquiera n qn = k @ @n (3) Donde k es una propiedad conocida del medio, conductividad térmica. Para las direcciones x e y especí…camente: (4) qx
qy =
= k
k @ @x @ @y Las relaciones (2) y (4) de…nen un sistema de ecuaciones diferenciales que gobiernan el problema y requieren la solución para las tres variables dependientes qx, qy y . Tal solución requiere se especi…quen
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las condiciones iniciales (por ejemplo la distribución de temperatura) en todo el dominio para t = to y las condiciones de contorno (o borde) en el borde del dominio. Tipicamente podremos encontrarnos con dos clases de condiciones de borde involucradas en el pro- blema. La primer clase de condición aplicable a la parte del contorno donde se especi…can los valores (x;y;t) de la temperatura. A este tipo de condición se la suele denominar condición de Dirichlet o condición esencial. Podemos escribirla como: =0 en (5) La segunda clase de condición de borde que se aplica a la parte q , que es lo que resta del borde del dominio, donde se especi…ca el valor del ‡ujo de calor referido a la dirección n normal al borde q(x;y;t). A este tipo de condición se la suele denominar condición de Newman o condición natural. Se la puede escribir como: qn q =0 (6) El problema esta completamente de…nido por las ecuaciones (2), (4), (5) y (6) y los números que representan la distribución de , qx y qy para todo tiempo t pueden ser, en principio, obtenidas resolviendo este conjunto de ecuaciones. Cabe remarcar que todo punto del contorno debe tener especi…cada alguna condición, lo cual lleva a que en todos los casos se cumpla que: = + q (7) La ecuación (2) puede expresarse de una forma alternativa utilizando (4) para eliminar como incógnitas a qx y qy. Como consecuencia obtenemos la siguiente ecuación diferencial de mayor orden: @ @x k @ @x + @ @y k @ @y + Q c @ @t =0 (8) Esta ecuación diferencial también requiere que se especi…quen las condiciones iniciales y de contorno. Esta ecuación representa a un problema de…nido en el dominio del tiempo y del espacio. Si suponemos que para nuestro problema se esta en estado estable (o estacionario) entonces @ =@t = 0 y la ecuación de gobierno se simpli…ca a: @ @x k @ @x + @ @y k @ @y + Q =0 (9) Esta última solo requiere que se especi…quen las condiciones de contorno como en (5) y (6). Principalmente vamos a trabajar con esta última forma de de…nir el problema, por ser más simple y porque varias situaciones físicas
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