= x (1 N2 = x (1 @x = 1 @x = 1 @x = 2x @x2 = 0 = =2 6x L(N2) = 2 6x + x (1 h i Wl L(u) + p d X X Si analizamos las ecuaciones de gobierno comparándolas con las expresiones generales (28) y (29), se tiene que: L() = @2 () @x2 + () p =1 M() = () r = 0 en x = 0 M() = () r = 1 en x = 1 ^ La aproximación , estará formada por la función a la que le exigiremos que cumpla las condiciones de contorno y una familia de funciones de prueba Nm = 0 en el borde. Se propone: ^ + a1 N1 + a2 N2 = = x N1 N2 = x(1 2 x) x) 2 L( ) = 0 + x L(N1) = 2 + x(1 x) Entonces: = x N1 = x(1 2 x) x) @ @N1 @N2 2x 3×2 @2 @2N1 @x2 @2N2 @x2 2 x) Z Wl R d = Z ^ = 1 Z 0 " Wl L( + 2 m=1 amNm) + p # dx = 1 Z 0 WlL( ) dx + 2 m=1 am 1 Z 0 WlL(Nm) dx + 1 Z 0 Wl p dx Agrupando, se obtienen: Klm = 1 Z Wl L(Nm) dx fl = 1 0 Z 0 Wl p dx + 1 Z 0 Wl L( ) dx Utiliaremos las diferentes funciones de peso para encontrar las soluciones aproximadas. Colocación por puntos Wl = (x xl) Elegimos los puntos de colocación a x1 = 1=3 y x2 = 2=3: 13
a1 = 416 1 1 1 1 1 1 K11 =
K12 =
f1 =
K21 =
K22 =
f2 = 1 R 0
R 0 (x
(x 1 R 0
R 0 R (x x1)L(N1)dx 0 R (x x1)L(N2)dx 0 x1)L( )dx + (x R (x x2)L(N1)dx 0 R (x x2)L(N2)dx 0 x1)L( )dx + (x =
=
x1)pdx =
=
=
x1)pdx = 16 9
2 27
4 3
16 9
50 27
5 3 El sismema a resolver y su solución son: 16 9 16 9 2 27 50 27 a1 a2 = 4 3 5 3 ) 9 315 a2 = 52 ^ = x + 315 416 x(1 x) + 9 52 x2 (1 x) Colocación por subdominios Wl = 1 0 si xl < x < xl+1 si x < xl o x > xl+1 0: Se elige el primer subdominio entre x1 = 0 a x2 = 0:5 y el segundo entre x2 = 0:5 a x3 = 1. R5 K11 = 1 L(N1) dx = 0:916666 K12 = 0: 0 R5 1 L(N2) dx = 0:2760416 f1 = 0: R5 0 0 1 L( ) dx + 0: R5 1 p dx = 0:625000 1 K21 =
K22 = 1 R 0:5 R 0 1 L(N1) dx
1 L(N2) dx =
= 0:916666
1:1927083 f2 = 1 R 0:5 1L( ) dx + 1 R 0:5 1 p dx = 0:87500 0:5 El sistema y su solución: 0:916666 0:916666 0:2760416 1:1927083 a1 a2 = 0:625000 0:87500 ) a1 = 0:733075435193 a2 = 0:170212765992 (42) ^ = x + 0:733075435193x(1 x) + 0:170212765992×2 (1 x) (43) Galerkin Wl = Nl (44) 14
a1 = 123 7 2 @x2 + 1 1 1 1 1 1 K11 =
K12 =
f1 =
K21 =
K22 =
f2 = 1 R 0
R 0 1 R N1 L(N1)dx = 0 R N1L(N2)dx = 0 R N1L( )dx + N1 p dx = 0 R N2 L(N1)dx = 0 R N2 L(N2)dx = 0 R N2 L( )dx + N2 p dx = 0 3 10
3 20
1 4
3 20
13 105
2 15 El sistema y su solución: 3 10 3 20 3 20 13 105 a1 a2 = 1 4 2 15 ) 7 92 a2 = 41 ^ = x + 92 123 x(1 x) + x 41 x (1 x) En el siguiente grá…co se han superpuesto la solución analítica y las soluciones aproximadas obtenidas. EJEMPLO 4: Se propone resolver el problema esta de…nido por: @2 + 1 = 0 para 0 x 1 = 0 en x = 0 @ Solución analítica = cos(x) + 3:40822344sin(x) 1 Soluciones aproximadas por residuos ponderados Con funciones que no satisfacen las condiciones de borde Si analizamos las ecuaciones de gobierno comparándolas con las expresiones generales (28) y (29), se tiene:
15
N1 = x =1 N2 = x2 = 2x N3 = x @x = 3x h i Wl L(u) + p d + h i Wl M(u) + r d X X X X X L() = @2 () @x2 + () p =1 M() = () r = 0 en x = 0 M() = @ () @x r = 1 en x = 1 La aproximación, con la función = 0 (que cumple las condiciones de contorno en x = 0) y las Nm = 0 en x = 0, se propone la siguiente aproximación: ^ = a1N1 + a2 N2 + a3 N3 N1 = xm m = 1;2;::;M =0 =2 = 6x Entonces: @N11 @2N1 @x @x2 @N2 @2N2 @x @x2 3 @N3 2 @2N3 @x2 La expresión del residuo: 0= Z ^ Z ^ = 1 Z " Wl L( 2 amNm) + p # dx + WlM( 2 m=1 amNm) + r ! x=0 0
+ WlM( m=1 m=1 2 amNm) + r ! x=1 Como las funciones de prueba elegidas Nm(0) = 0 entonces no tengo residuo en x = 0. 0= 2 m=1 am 1 Z 0 WlL(Nm) dx + 1 Z 0 Wl p dx + 0 + 0 + 2 m=1 amWlM(Nm) x=1 + Wl r x=1 Klm = 1 Agrupando convenientemente, se obtiene:
Z Wl L(Nm) dx + Wl M(Nm) x=1 fl = 1 0 Z 0 Wl p dx + Wl r x=1 Ka + f = 0 Explícitamente: Klm = 1 Z
0 Wl @2Nm @x2 + Nm dx + Wl @Nm @x x=1 = 1 Z
0 Wl @2 (Nm) @x2 dx + 1 Z
0 WlNmdx + Wl @Nm @x x=1 16
R R @x dx + N1N1dx = R R @x dx + N1N2dx = R R + N1N3dx = @x dx R @N2 @N1 R @x dx + N2N1dx = R @N2 @N2 R @x dx + N2N2dx = R R @x dx + N2N3dx = R @N3 @N1 R @x dx + N3N1dx = R R @x dx + N3N2dx = R R @x dx + N3N3dx = Integrando por partes el primer término de la expresión anterior, para obtener la forma débil: 1 Z
0 Wl @2Nm @x2 dx = 1 Z
0 @Wl @Nm @x @x dx + Wl @Nm @x x=0 + Wl @Nm @x x=1 Considerando Galerkin (Wl = Nl), tendremos que Wl = 0 en x = 0. Reemplazando: Klm = 1 Z
0 @Wl @Nm @x @x dx + 1 Z
0 WlNmdx + Wl @Nm @x x=1 + Wl @Nm @x x=1 Los dos últimos términos pueden cancelarse si se eligen Wl (1) = Wl (1). Entonces solo queda: Klm = 1 Z 0 @Wl @Nm @x @x dx + 1 Z 0 WlNmdx fl = 1 Z 0 Wl p dx + ( Wl r)x=1 Ka + f = 0 1 1 K11 =
K12 =
K13 =
f1 =
K21 =
K22 =
K23 =
f2 =
K31 =
K32 =
K33 =
f3 = 1 R 0
R 0
R 0 @N1 @N1 @x 0 0 @N1 @N2 @x 0 0 @N1 @N3 @x 0 0 N11 dx + ( N1(1)) ( 1) dx =
@x 0 0
@x 0 0 @N2 @N3 @x 0 0 N21 dx + ( N2(1)) ( 1) dx =
@x 0 0 @N3 @N2 @x 0 0 @N3 @N3 @x 0 0 N31 dx + ( N3(1)) ( 1) dx = 2 3
3 4
4 5
3 2
3 4
17 15
4 3
4 3
4 5
4 3
58 35
5 4 Para M = 1;2 el sistema a resolver y su solución son: 2 3 3 4 3 4 17 15 a1 a2 = 3 2 4 3 ) a1 = a2 = 504 139 170 139 ^ = 504 139 x 170 139 x2 Para M = 1;2;3 el sistema a resolver y su solución son:
17
5 ) a2 = a3 = 14216 5845 3 2 4 2 3 3 4 4 5 3 4 17 15 4 3 4 5 4 3 58 35 32 3 2 a1 54 a2 5 = 4 a3 3 2 4 3 5 4 3 6090 a1 = 1777 1080 1777 5845 ^ = 6090 1777 x 1080 1777 x2 14216 x En el siguiente grá…co se han superpuesto la solución analítica y las soluciones aproximadas: Con el …n de “ver”las distintas funciones, se presenta el siguiente grá…co: 18
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