Influencia de la contracción en los parámetros geométricos de los engranajes plásticos asimétricos (página 2)
Enviado por jorgemr
En la Tabla 12 se muestra la matriz ortogonal cerrada de los experimentos. En ella, se sustituyen los valores de cada corrida experimental con los dieciséis experimentos a realizar, así como los parámetros geométricos teóricos calculados y afectados por el coeficiente de contracción según lo planteado por el método tradicional. Estos valores numéricos servirán de base para la modelación que se realizará utilizando el Mechanical Desktop.
Tabla 12 Matriz ortogonal con los parámetros geométricos utilizados en los experimentos según el método tradicional.
La Tabla 13 brinda los desplazamientos resultantes obtenidos mediante el MEF, para el diseño experimental planteado. Estos valores se obtienen como resultado de la medición realizada en el diámetro exterior del diente después de simulado el proceso. Se tomó un margen de error entre las corridas dentro de ±5%, para indicar la convergencia entre estas.
Tabla 13 Desplazamientos obtenidos en cada experimento para los diferentes parámetros geométricos que se miden en las corridas.
Para el análisis estadístico de los experimentos, se utilizarán software tales como el Statgraphics Centurion XV y el SPS. Ello permitirá, establecer la matriz experimental que servirá de base para conocer las ecuaciones de regresión múltiples que describen el comportamiento de cada variable.
Análisis de los resultados de los experimentos. Ecuaciones de regresión.
Sobre la validez estadística de las ecuaciones de regresión se deben tener en cuenta dos cuestiones fundamentales:
1. Validez estadística.
2. Validez predictiva.
Para medir la validez estadística hay que atender a las siguientes cuestiones:
El valor de la F de Fisher en el Análisis de Varianza debe ser significativo.
El valor de al menos un coeficiente de la ecuación debe ser significativo.
Deben cumplirse los prerrequisitos de la regresión sobre los residuales, a saber:
Los residuales deben distribuirse normalmente con media cero.
Debe existir homogeneidad de las varianzas
No deben depender de la variable dependiente
No estar autocorrelacionados.
La validez predictiva se refiere a la medida en que la ecuación de regresión proporciona la precisión del pronóstico que el usuario requiere. Una ecuación de regresión puede ser estadísticamente válida y no tener validez predictiva por las exigencias del usuario. Para el caso que se analiza hay validez predictiva. De hecho, hay una validación externa cuyos resultados se correspondieron con la realidad.
Ahora bien, la ecuación de regresión que ajusta los datos no es única. Incluso el modelo lineal no es único y varias ecuaciones pueden ser significativas. Entonces se usa el R cuadrado ajustado para compararlas entre sí y determinar la mejor.
A continuación se muestran varios intentos de encontrar las ecuaciones para cada una de las variables, diámetro exterior, diámetro de fondo y el espesor de la cabeza del diente.
Ecuaciones de regresión para el diámetro exterior.
Ecuación que incluye las cuatro variables.
En este caso se busca una ecuación de la forma:
da= ß0 + ß1 m + ß2 Z + ß3 X + ß4 C (18)
Se aplica el método de los mínimos cuadrados para encontrar los coeficientes ßi i=1,2, 3,4 que mejor aproximan a da. El resultado de la Tabla 14 muestra que la F del análisis de varianza que correspondiente a la regresión es significativa.
Tabla 14 Análisis de varianza para el diámetro exterior para el modelo que incluye las cuatro variables.
a. Predictores:( constante), Coeficiente de asimetría, Coeficiente de corrección, Número de dientes, módulo.
La Tabla 15 muestra los coeficientes de la ecuación y demuestra que el módulo y el número de dientes son significativos es decir tienen una influencia decisiva sobre el diámetro exterior.
Tabla 15 Coeficientes de la ecuación de regresión que incluye las 4 variables.
En esta ecuación los residuales de esta regresión no son buenos, pero al menos son simétricos y no están autocorrelacionados: Los resultados que aparecen en la Tabla 16, así como la Figura 21 y 22 dan fe de ello.
Tabla 16 Valor de R cuadrado para el diámetro exterior que incluye las cuatro variables.
Figura 21 Histograma de residuales estandarizados de la regresión del diámetro exterior para el modelo que incluye las cuatro variables.
Figura 22 Residuales de la regresión con todas las variables.
Ecuación que incluye las variables significativas.
En esta segunda variante se busca una ecuación similar a la (18), en la cual van a estar incluidas sólo los coeficientes significativos. Ello se determina con un método paso a paso (Stepwise). Véanse como se alcanzan los resultados en dos iteraciones Tabla 17 y Tabla18.
Tabla 17 Análisis de varianza para la ecuación que incluye solamente las variables significativas del diámetro exterior.
a. Predictores en la primera iteración: (Constante), módulo.
b. Predictores en la segunda iteración: (Constante), módulo, número de dientes.
Tabla 18 Coeficientes de la ecuación de regresión que incluye sólo las variables significativas.
Tabla 19 Valor de R cuadrado para el diámetro exterior para el modelo que incluye sólo las variables significativas.
a. Predictores: (Constantes), Módulo.
b. Predictores: (Constantes), Módulo, Número de dientes.
Figura 23 Histograma de los residuales estandarizados de la regresión del diámetro exterior para el modelo que incluye sólo las variables significativas.
Figura 24 Residuales de la regresión del diámetro exterior para el modelo que incluye sólo las variables significativas.
El método no incluyó finalmente los coeficientes de corrección y asimetría porque no eran significativos. Resulta interesante que mejoró la distribución de los residuales, como se puede observar en las Figura 23 y 24. Además se mantiene un buen valor de Durbin Watson (1.939) y mejora el R cuadrado ajustado (0.927).
Ecuación que incluye las variables y las interacciones significativas.
En esta tercera variante se busca la ecuación en la forma:
da= ß0 + ß1 m + ß2 Z + ß3 X + ß4 C + ß5 m * Z + ß6 m * X + ß7 m * C +
ß8 Z * X + ß9 Z * C + ß10 X * C (18)
Pero se utilizará de nuevo el método paso a paso de manera que quedarán incluidos solo aquellos términos cuyo coeficiente es significativo. Los resultados del análisis se alcanzan en 4 iteraciones:
En la Tabla 20 se puede apreciar como la interacción del módulo y el número de dientes, así como la interacción del módulo y el coeficiente de corrección fueron más importantes que las variables individuales.
En esta ecuación mejora sustancialmente el comportamiento de los residuales. En la Tabla 21 se puede apreciar que se mantiene un buen valor de Durbin Watson (2.081) y se alcanza un R cuadrado ajustado máximo (1.000).
Tabla 20 Coeficientes de la ecuación de regresión con interacciones significativas (da).
Tabla 21 Valor de R cuadrado para el diámetro exterior del modelo que incluye las variables y las interacciones significativas
a. Predictores: (Constantes), Interacción del módulo y el número de dientes.
b. Predictores: (Constantes), Interacción del módulo y el número de dientes, Interacción del módulo y el coeficiente de corrección.
c. Predictores: (Constantes), Interacción del módulo y el número de dientes, Interacción del módulo y el coeficiente de corrección, módulo.
d. Predictores: (Constantes), Interacción del módulo y el número de dientes, Interacción del módulo y el coeficiente de corrección, módulo, Interacción del número de dientes y el coeficiente de corrección.
Figura 25 Histograma de los residuales estandarizados de la regresión del diámetro exterior para el modelo que incluye las variables y las interacciones significativas
Figura 26 Residuales de la regresión del diámetro exterior para el modelo que incluye las variables y las interacciones significativas.
Definitivamente las tres ecuaciones son estadísticamente válidas pero la tercera es la mejor.
da = -0.409 + 1.007m * Z + 1.808m * X + 2.087 m + 0.018 Z * X (20)
El procedimiento utilizado, en el análisis de la variable dependiente del diámetro de fondo (da) fue empleado tanto para diâmetro de fondo (df )como para el espesor de la cabeza del diente (Sa ).
Ecuaciones de regresión para el diámetro de fondo.
También en este caso se buscaron tres modelos para el diámetro de fondo. Los resultados, en esencia, fueron los siguientes:
Modelo lineal con todas las variables:
df= -95.81 + 24.826 m + 3.546 Z + 7.058 X – 0.031 C (21)
(Significación del ANOVA=0.000, R2=0.902, Durbin-Watson=2.012)
Modelo lineal con las variables significativas:
df= -92.307 + 24.826 m + 3.546 Z (22)
(Significación del ANOVA=0.000, R2=0.911, Durbin-Watson=1.933)
Modelo con variables e interacciones significativas:
df= -4,453 + 0.967 m * Z + 0.251 Z * X (23)
(Significación del ANOVA=0.000, R2=0.998, Durbin-Watson=1.855)
Nuevamente el tercer modelo tiene el mayor valor de R cuadrado y es el escogido.
Ecuaciones de regresión para el espesor de la cabeza del diente.
También en este caso se buscaron tres modelos para el diámetro de fondo. Los resultados, en esencia, fueron los siguientes:
Modelo lineal con todas las variables:
Sa= -1768 + 0.558 m + 0.016 Z – 0.747 X + 1.339 C (24)
(Significación del ANOVA=0.000, R2=0.849, Durbin-Watson=2.448)
Modelo lineal con las variables significativas:
Sa = -1.362 + 0.558 m – 0.747 X + 1.339 C (25)
(Significación del ANOVA=0.000, R2=0.838, Durbin-Watson=2.028).
Modelo con variables e interacciones significativas:
Sa = -0.125 + 0.440 m * C – 0.206 m * X+ 0.005 m * Z (26)
(Significación del ANOVA=0.000, R2=0.899, Durbin-Watson=2.816)
Nuevamente el tercer modelo tiene el mayor valor de R cuadrado y es el escogido.
8. Conclusiones
1. Se diseñó y fabricó un molde para engranajes plásticos de dientes rectos con perfiles asimétricos, que permitió medir la contracción real después del moldeado y realizar el análisis estadístico de las mismas.
2. Se simuló y modeló utilizando software de avanzada el proceso de contracción en los modelos obtenidos mediante un diseño experimental de tipo factorial. Con la utilización de la simulación utilizando el MEF no fue necesario fabricar 16 moldes según plantea el diseño de experimentos, permitiendo además eliminar el método de prueba y error trayendo consigo el ahorro por concepto de fabricación de herramental.
3. Se obtuvieron ecuaciones de regresión con valor estadístico y predictivo que permiten tener en cuenta el comportamiento de la contracción dentro de los parámetros geométricos diámetro exterior, diámetro de fondo y espesor de la cabeza del diente para un rango de:
Módulo (m) entre 2 y 5.
Número de dientes (Z) entre 17 y 35.
Coeficiente de corrección (x) entre 0 y 1.
Coeficiente de asimetría (c) entre 1y 1.25.
Material PA tipo 6.
Estas ecuaciones cuentan con una validez predictiva del 99,788% para el diámetro exterior, de 99.96% para el diámetro de fondo y de un 95.659% para el espesor de la cabeza de diente.
Las expresiones obtenidas son:
Diámetro exterior.
da = -0.409 + 1.007 m * Z + 1.808 m * X + 2.087 m + 0.018 Z * X
Diámetro de fondo.
df= -4,453 + 0.967 m * Z + 0.251 Z * X
Espesor de la cabeza del diente.
Sa = -0.125 + 0.440 m * C – 0.206 m * X+ 0.005 m * Z
Las expresiones anteriores solamente son válidas para engranajes normales así como para los que se le puede aplicar la corrección de altura.
4. El diseño experimental utilizado de conjunto con el MEF para conocer la influencia de la contracción en el diámetro exterior, el diámetro de fondo y el espesor de la cabeza del diente en los engranajes plásticos de perfil asimétrico constituye un procedimiento que puede ser extendido para otros intervalos de módulos, números de dientes, coeficientes de asimetrías, coeficientes de corrección. Además, pueden ser estudiados otros parámetros geométricos que describen la forma del diente utilizando otros materiales tales como el Acetal, demás resinas que componen las series Amidas y el Acetato de Celulosa.
5. El modelo empleado se calibró y corroboró con la realidad, debido a que se obtuvieron márgenes de errores entre las mediciones realizadas de la rueda moldeada y lo simulado por el MEF de 0.034% para el diámetro exterior, 0.0096% para el diámetro de fondo y de 1,56% para el espesor de la cabeza del diente.
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Autor:
Dr. Ing. Ángel Rafael García Martínez
Dr. Ing. Jorge L. Moya Rodríguez
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