Concepto de Ortogonalidad Ortogonalidad de las funciones seno y coseno Serie trigonométrica de Fourier Cálculo de los coeficientes de la Serie de Fourier Simetrías en señales periódicas Forma Exponencial Compleja de la Serie de Fourier Espectros de frecuencia discreta Potencia y Teorema de Parseval De la serie a la Transformada de Fourier
Ortogonalidad Se dice que dos funciones f(t) y g(t) son ortogonales en el intervalo a< t< b si se cumple que:
Ejemplo: las funciones t y t2 son ortogonales en el intervalo –1< t < 1 :
Ejemplo: Las funciones sen t y cos t son ortogonales en el intervalo –p< t < p :
Norma de una función Se define la norma de la función f(t) en el intervalo a< t< b como:
Ortogonalidad de un conjunto de funciones Se dice que las funciones fk(t) son ortogonales en el intervalo a< t< b si dos funciones cualesquiera fm(t), fn(t) de dicho conjunto cumplen
Conjunto ortonormal de funciones Se dice que las funciones fk(t) son ortonormales en el intervalo a< t< b si dos funciones cualesquiera fm(t), fn(t) de dicho conjunto cumplen
Ortogonalidad de senos y cosenos El conjunto infinito de funciones seno y coseno forman un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo -T/2< t< T/2.
1,cosw0t, cos2w0t,cos3w0t,…, senw0t,sen2w0t,sen3w0t,…
w0=2p/T
Ortogonalidad de senos y cosenos
1.- f(t)=1 Vs. cos(mw0t):
Ortogonalidad de senos y cosenos 2.- f(t)=1 Vs. sen(mw0t):
3.- cos(mw0t) Vs. cos(nw0t):
Ortogonalidad de senos y cosenos 4.- sen(mw0t) Vs. sen(nw0t):
5.- sen(mw0t) Vs. cos(nw0t):
Las integrales se pueden obtener con las identidades trigonométricas:
cos A cos B = ½[cos(A+B)+cos(A-B)] sen A sen B = ½[-cos(A+B)+cos(A-B)] sen A cos B = ½[sen(A+B)+sen(A-B)] sen2q = ½ (1-cos2q) cos2q = ½ (1+cos2q)
Serie Trigonométrica de Fourier Sea f(t) una función periódica con período T :
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