Serie Trigonométrica de FourierForma compacta
Una función periódica f(t) se puede escribir como la suma de componentes sinusoidales de diferentes frecuencias wn=nw0.
A la componente sinusoidal de frecuencia nw0: Cncos(nw0t+qn) se le llama la enésima armónica de f(t).
A la primera armónica (n=1) se le llama la componente fundamental y su periodo es el mismo que el de f(t)
A la frecuencia w0=2pf0=2p/T se le llama frecuencia angular fundamental.
Componentes y armónicas A la componente de frecuencia cero C0, se le llama componente de corriente directa (cd) y corresponde al valor promedio de f(t) en cada periodo.
Los coeficientes Cn y los ángulos qn son respectiva-mente las amplitudes y los ángulos de fase de las armónicas.
Ejercicio: Encontrar la serie de Fourier para la siguiente señal senoidal rectificada de media onda de periodo 2p.
(Gp:) -6 (Gp:) -4 (Gp:) -2 (Gp:) 0 (Gp:) 2 (Gp:) 4 (Gp:) 6 (Gp:) -0.2 (Gp:) 0 (Gp:) 0.2 (Gp:) 0.4 (Gp:) 0.6 (Gp:) 0.8 (Gp:) 1 (Gp:) Senoidal rectificada de media onda (Gp:) t (Gp:) f(t)
Funciones Pares e Impares Una función (periódica o no) se dice función par (o con simetría par) si su gráfica es simétrica respecto al eje vertical, es decir, la función f(t) es par si f(t) = f(-t)
Funciones Pares e Impares En forma similar, una función f(t) se dice función impar o con simetría impar, si su gráfica es simétrica respecto al origen, es decir, si cumple lo siguiente: -f(t) = f(-t)
Funciones Pares e Impares Ejemplo: ¿Las siguientes funciones son pares o impares? f(t) = t+1/t g(t) = 1/(t2+1)
Solución: f(-t) = -t-1/t = -f(t), por lo tanto f(t) es función impar.
g(-t)=1/((-t)2+1) = 1/(t2+1)=g(t), por lo tanto g(t) es función par.
Funciones Pares e Impares Ejemplo: ¿La función h(t)=f(1+t2) es par o impar?, donde f es una función arbitraria. Solución: Sea g(t)= 1+t2, Entonces h(t)=f(g(t)) Por lo tanto h(-t) = f(g(-t)), Pero g(-t)=1+(-t)2 = 1+t2=g(t), finalmente h(-t)=f(g(t))=h(t), por lo tanto h(t) es función par, sin importar como sea f(t).
Funciones Pares e Impares Ejemplo: De acuerdo al ejemplo anterior, todas las siguientes funciones son pares: h(t) = sen (1+t2) h(t) = exp(1+t2)+5/ (1+t2) h(t) = cos (1+t2)+1 h(t) = (1+t2)-(1+t2)1/2 etc… Ya que todas tienen la forma f(1+t2)
Funciones Pares e Impares Como la función sen(nw0t) es una función impar para todo n?0 y la función cos(nw0t) es una función par para todo n, se tiene que:
Si f(t) es par, su serie de Fourier no contendrá términos seno, por lo tanto bn= 0 para todo n
Si f(t) es impar, su serie de Fourier no contendrá términos coseno, por lo tanto an= 0 para todo n
Funciones Pares e Impares Por ejemplo, la señal cuadrada, ya analizada en un ejemplo previo:
Es una función impar, por ello su serie de Fourier no contiene términos coseno: (Gp:) 1 (Gp:) f(t) (Gp:) t (Gp:) . . . -T/2 0 T/2 T . . . (Gp:) -1
Simetría de Media Onda Una función periodica de periodo T se dice simétrica de media onda, si cumple la propiedad
Es decir, si en su gráfica las partes negativas son un reflejo de las positivas pero desplazadas medio periodo:
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