Solucionario del tercer módulo de resolución de problemas (página 2)

También recordaremos que las cifras del dividendo, se van bajando de "una en una" y cada vez que se baje una cifra, se colocará a la derecha del residuo. Siempre se debe dividir este número formado, entre el divisor, para obtener una cifra en el cociente.

Con estas ideas trataremos de reconstruir la división propuesta.

Ejecución: Sea el dividendo: y el divisor:

Según el dato, la primera división se hizo entre y

(o sea que es menor que y digamos que la primera cifra del cociente es p.

Esta primera división fue exacta, porque según vemos, en el dato, el residuo fue cero.

Ahora, al bajar la cifra "d" del dividendo, notamos que no contendrá al divisor (ya que d es menor que lo que daría un 0 al cociente.

Luego bajaríamos la siguiente cifra "e", y según dato el número contiene al divisor 8 veces (cociente 8 fue dado como dato). Al multiplicar este 8 por el divisor debe dar un número de dos cifras que se colocó debajo de

De (2) notaremos que 8 multiplicado por el divisor produce un número de dos cifras y de (1) notaremos que "p" multiplicado por el mismo divisor produce un número de tres cifras. Entonces "p" debe ser una cifra mayor que 8 y la única posibilidad es que sea 9.

Ahora en (1):

Y en (2):

Se observa de estas relaciones que debe ser un número de dos cifras que multiplicado por 8 da otro número de dos cifras. Luego podría ser 10; 11; ó 12 por que estos son los únicos números de dos cifras que multiplicados por 8 producen en número también de dos cifras.

Pero de la relación (1) el número multiplicado por 9 da un número de tres cifras. Luego, de los números 10, 11 ó 12, el único valor que cumpliría esto sería: 12.

Y y como este valor se restaría de dando una cifra de residuo (según el diagrama inicial).

Al bajar la cifra "f" del dividendo, el número de dos cifras que se forma con el residuo se divide entre el divisor 12, pero según el dato este número debe ser menor que el divisor (ya que la división no se hizo con dos cifras) por lo cual la cifra que sigue en el cociente es 0 y se deduce entonces que la cifra que había quedado como residuo era 1.

De aquí se deduce que = 96 + 1 = 97

Y al bajar la cifra "g", el número que se forma con el residuo es se divide entre 12 dando como cociente una cifra que multiplicada por 12 debe dar tres cifras, según está indicado en el dato. Pero según hemos visto la única cifra que multiplicada por 12 da un número de tres cifras es 9.

De donde: (

Respuesta: El dividendo es: 1089716.

• 4. Familiarización y comprensión

Como nos piden determinar la suma de los números que aparecen en la décima columna del siguiente diagrama:

Debemos encontrar cuántos y cuáles son los números de esta décima columna, para luego aplicar la forma o fórmula adecuada para hallar su suma.

Búsqueda de una estrategia:

En este problema debemos encontrar el PATRÓN que sigue la distribución de los números en cada columna.

En primer lugar ¿cuántos números hay en cada columna?

¿Cómo se relacionará este número con el lugar de la columna?

¿En qué número empieza o termina cada columna?

¿Cómo hallar la suma de los elementos de cada columna?

Ejecución del plan:

La 1ª columna tiene 1 sumando (2 x 1 – 1) = 1

La 2ª columna tiene 3 sumandos (2 x 2 – 1) = 3

La 3ª columna tiene 5 sumandos (2 x 3 – 1) = 5

La 4ª columna tiene 7 sumandos (2 x 4 – 1) = 7

Se deduce que la décima (10ª) columna tendrá: (2 x 10 – 1) = 19 sumandos

Ahora: Observaremos que el último número de cada columna es un cuadrado perfecto.

El último número de la 1ª columna es 1 (12) = 1

El último número de la 2ª columna es 4 (22) = 4

El último número de la 3ª columna es 9 (32) = 9

Luego: El último número de la 10ª columna será: 102 = 100

Y el primer número de esta columna será el que sigue al último número de la 9ª columna, o sea: 92 + 1 = 82.

Luego: la suma pedida es la suma de los siguientes 19 sumandos.

Como hay un número impar de sumandos, separamos el 100 y agrupamos por parejas los sumandos equidistantes a los extremos, así:

Se producen: parejas que suman 181, y dejamos aparte el 100

Luego la suma será: 9 x 181 + 100 = 1729

Respuesta: La suma de los números de la décima columna es 1729

• 5. Según dato, se tendría que cumplir la siguiente relación:

Reconstruyendo:

a) En la columna de unidades:

3 × e debe ser un número terminado en 1.

Como 7 es la única cifra que multiplicada por 3 termina en 1, entonces y ya que 3 × 7 = 21, quedará 1 en la columna de unidades del resultado y llevaremos 2 al siguiente orden:

• b) En la columna de decenas:

(3 × d + 2) debe terminar en 7, o sea que 3 × d debe terminar en 5.

De donde

Ahora al hacer el producto: 3 × 5 + 2 = 17, y quedará 7 en la columna de decenas y se llevará 1 a las centenas.

• c) En la columna de centenas:

(3 × c + 1) debe terminar en 5, o sea que 3 × c debe terminar en 4

De donde

Ahora al hacer el producto: 3 × 8 + 1 = 25, dejaremos 5 en las centenas del resultado y llevaremos 2 a la columna de unidades de millar.

• d) En la columna de unidades de millar:

(3 × b + 2) debe terminar en 8, o sea 3 × b debe terminar en 6

De donde

Como: 3 × 2 + 2 = 8, quedará 8 en la columna de unidades de millar del resultado y no se lleva nada a la siguiente columna.

• e) En la columna de decenas de millar:

3 × a termina en 2

De donde

Como: 3 × 4 = 12, queda 2 en esta columna y llevamos 1 a la siguiente columna

El número se halla entonces reemplazando los valores encontrados dando como resultado: 142857

Comprobándose que: 142857 × 3 = 428571, lo cual es correcto.

Respuesta: El número es 142857.

• 6. Familiarización y comprensión:

Dado un número, por ejemplo: 2354

éste se puede descomponer en forma polinómica considerando el valor relativo de cada una de sus cifras, así:

2354 = 2000 + 300 + 50 + 4 [forma desarrollada de 2354 ó descomposición polinómica de 2354]

Pero también se puede descomponer "en bloques" de cifras así:

2354 = 2300 + 54 = 23 × 1000 + 54 [descomposición polinómica de 2354 en bloques: 23 y 54]

ó

2354 = 2000 + 354 = 2 × 1000 + 354 [descomposición polinómica de 2354 en bloques: 2 y 354]

Búsqueda de estrategias:

Como en el enunciado de este problema nos piden explícitamente aplicar la descomposición polinómica de los números, así lo haremos.

Ejecución del plan:

Por dato:

Si consideramos el número como un bloque incógnita, esta expresión sería una ecuación con una sola incógnita, de la cual se puede despejar

En como 1 ocupa el orden de centena de millar, este 1 valdría 100 000.

Luego:

Igualmente:

Reemplazando en el dato:

Efectuando:

De donde:

y el número resulta: 142 857

Respuesta: el número es 142 857.

• 7. El número 142 857 es circular ó cíclico.

Si lo multiplicamos por 2; 3; 4; 5 y 6 obtenemos:

142 857 × 2 = 285 714

142 857 × 3 = 428 571

142 857 × 4 = 571 428

142 857 × 5 = 714 285

142 857 × 6 = 857 142

Como se observa, los resultados están formados por las mismas cifras del número 142 857 pero permutadas circularmente (o sea manteniendo la misma posición relativa de las cifras, unas con otras).

Un número N es circular cuando todos los números obtenidos al permutar circularmente sus cifras, son MÚLTIPLOS de N.

Así: Si N = 142 857

Los números que se obtengan al permutar circularmente sus cifras son:

El enunciado y la solución dependen de cada Institución Educativa.

Se considerará para la calificación la originalidad del enunciado del problema, el uso de las cuatro operaciones fundamentales (suma, resta, multiplicación y división) y las estrategias aplicadas para resolverlo.

• 9. Analizando los datos, notamos que los resultados son números cuadrados perfectos:

El patrón sería:

La suma de los cubos de los números del 1 al "n" es igual al cuadrado de la suma de los números del 1 al "n".

De donde deducimos que:

será igual a:

y como ya sabemos:

Entonces:

Respuesta: El valor es: 3025.

• 10. Generalizando el patrón encontrado en el problema anterior diremos que:

La suma de los cubos de los números de 1 al "n" es igual al cuadrado de la suma de los números del 1 al "n", o sea:

PATRÓN:

Como la expresión pedida es la siguiente diferencia:

Esta será igual a CERO, pues como observamos en el patrón, los dos términos de la sustracción anterior, son iguales.

Respuesta: El resultado de la operación de sustracción es cero.

II. RAZONAMIENTO LÓGICO:

• 11. Según dato, de las tres afirmaciones dadas una exactamente es verdadera y las otras dos son falsas.

Consideraremos entonces, tres casos:

1er Caso:

De la 3ª afirmación, que es falsa, se deduce que: Cecilia es la menor.

De la 2ª afirmación que es falsa, Amalia no es la mayor y como ya Cecilia es la menor, entonces Amalia deber ser la segunda.

Pero, de la 1ª afirmación que es verdadera, Blas no es el mayor, y Blas tendría que ser el segundo ó el menor, pero esto no puede ser porque Amalia y Cecilia son la segunda y la menor respectivamente.

( Este caso no es posible.

2° Caso:

De la 1ª afirmación que es falsa, se deduce que Blas es el mayor.

Y de la 2ª afirmación que es verdadera, Amalia es la mayor.

Esto no es posible porque Blas y Amalia, ambos serían los mayores.

( Este caso no es posible.

3° Caso:

De la 1ª afirmación que es falsa, se deduce que Blas es el mayor.

De la 3ª afirmación que es verdadera, Cecilia no es la menor, o sea Cecilia sería la segunda y por lo tanto Amalia tendría que ser la menor, lo que concuerda porque la 2ª afirmación que dice que es falso que Amalia es la mayor.

Luego: Sólo es posible que se cumpla el tercer caso y se tendrá por lo tanto que:

• Blas es el Mayor;

• Cecilia es la segunda

• Amalia es la menor.

Respuesta: Blas, Cecilia y Amalia.

• 12. Familiarización y comprensión:

Una forma adecuada para resolver los problemas donde hay varias personas que negocian entre sí, es considerar un SISTEMA CERRADO entre las personas y donde no influyen elementos externos.

El sistema cerrado en este problema lo constituyen: Pepe; el Sr. Zapatero y el Sr. Pérez.

Ahora, en todo sistema cerrado si alguien del sistema gana alguna cantidad, otro o la suma de los otros del sistema deben perder esa cantidad.

Ejecución

Primera Forma:

Analizaremos qué personas ganaron y qué personas perdieron en el sistema cerrado de: Pepe; Sr. Zapatero y Sr. Pérez.

( El Sr. Pérez ¿ganó o perdió al cambiar el billete?

No ganó ni perdió porque al final el Sr. Zapatero le dio un billete de S/. 100 nuevo y bueno.

Luego, el Sr. Pérez quedará eliminado del análisis.

( Pepe ¿ganó o perdió?

Ganó, porque por un papel que no tenía valor (el billete falso de S/. 100) le dieron el par de zapatos (80 soles) más el vuelto (20 soles).

o sea Pepe ganó 80 + 20 = S/. 100

( Luego el Sr. Zapatero perdió, y es lógico deducir que lo que perdió, lo tuvo que ganar Pepe y como Pepe ganó S/. 100, entonces el Sr. Zapatero perdió S/. 100.

Respuesta: El Sr. Zapatero perdió S/. 100.

Segunda forma:

Si el billete de S/. 100 con el que pagó Pepe hubiera sido bueno, nadie hubiera ganado ni perdido nada, o sea no hubiera habido engaño ni estafa.

Esto significa que el engaño o estafa es porque el billete S/. 100 es falso; luego el engaño es por S/. 100.

y como el Sr. Pérez no ganó ni perdió, Pepe obtuvo el equivalente de S/. 100 por el billete falso y el Sr. Zapatero tuvo que haber perdido esta suma.

Respuesta: El Zapatero perdió S/. 100.

Si Karim dijo: "El año próximo cumpliré 22 años".

Entonces, Karim está hablando en un día del año en que cumple 21 años, pero no necesariamente cuando ya cumplió 21 años.

Como según Karim, "Anteayer tenía 19 años", la única posibilidad de que esto sea verdadero es que el día de ayer cumplió 20 años, porque así en el día de anteayer todavía tendría 19 años.

Ahora, el día de "ayer", donde cumplió 20, debe estar en el año anterior al año del día en que habló Karim para que en este año cumpla 21 y el año próximo cumpla 22.

Luego Karim hizo esta afirmación el: 1° de Enero de un cierto año.

y había cumplido años el día anterior o sea el 31 de Diciembre, como se muestra en el diagrama.

Respuesta: El día de cumpleaños de Karim es el 31 de Diciembre. El día 1º de Enero hizo esta curiosa afirmación.

• 14. Como sólo hubo tres participantes, con los números 344, 129 y 210, se podrían haber presentado 6 casos, respecto al orden de llegada.

• Si se cumpliera el primer caso, las tres afirmaciones del 1er nativo serían verdaderas y por lo tanto el 1er nativo sería: Limón.

Y las tres afirmaciones del 2º nativo serían falsas y por lo tanto el 2º nativo sería Rojo.

Pero, al ser el primer nativo preguntado por el otro diría la verdad o se que es Rojo y no anaranjado como nos indican en el dato. Luego, este caso no se presentó.

• Si se cumpliera el 2º caso: con respecto al 1er nativo: su 1ª afirmación sería verdadera, la 2º sería falsa y la 3ª también sería falsa; y la sucesión de sus afirmaciones serían: V; F y F lo cual no encaja en ningún tipo de nativo. Luego, este caso no se presentó.

• Si se cumpliera el 3º caso, con respecto al 1er nativo su 1ª afirmación sería falsa, la 2ª también sería falsa y la 3ª sería verdadera. Esta sucesión F; F y V no corresponde a ningún tipo de nativo. Luego este tercer caso no se cumple.

• Si se cumpliese el 4º caso, con respecto al 1er nativo en 1ª afirmación sería falsa, la 2ª sería falsa y la 3ª también sería falsa, siendo por lo tanto este nativo: un ROJO.

Con respecto al 2º nativo: su 1ª afirmación sería falsa; la 2ª sería falsa y la tercera también sería falsa, siendo por lo tanto este nativo también un ROJO.

Como ambos mienten siempre, al preguntarle por el otro cada uno podría decir que el otro es un Naranjo. Luego este caso es compatible y la respuesta sería 129, 210 y 344.

Respuesta: 1º) 129 2º) 210 3º) 344

• Análogamente, si se cumpliera el 5º caso, las tres afirmaciones del 1er nativo serían falsas, lo que significa que el 1er nativo es ROJO y las tres afirmaciones dl 2º nativo serían verdaderas lo que diría que este 2º nativo es LIMÓN, pero al preguntarle a este LIMÓN por el otro, diría la verdad o sea que es ROJO y no NARANJO como afirman en el dato.

Luego, esta 5º caso no se presentó.

• Por último si se cumpliera el 6º caso, las afirmaciones del 1er nativo serían: F ; V y F lo que diría que es un NARANJO; y las afirmaciones del 2º nativo serían; V; F y F lo cual no encaja en ningún tipo de nativo.

Luego, este 6º caso no se presentó.

Única respuesta:

El puesto ocupado por cada uno de los tres participantes fue:

1º) 129 2º) 210 3º) 344

• 15. Recordaremos que ninguno de los perros de una persona lleva el nombre de su dueño y que hay dos perros menos con cada uno de los nombres de los hermanos.

Entonces podemos construir la siguiente tabla:

Como ninguno de los perros de Alberto se llama Daniel y ninguno de los de Carlos se llama Alberto, se tienen:

Del cuadro anterior se deduce que uno de los perros de Alberto se llama Bernardo y el otro se llama Carlos (Digamos B1 y C1). Igualmente uno de los perros de Carlos se llama Bernardo y el otro se llama Daniel (Digamos B2 y D1):

Del cuadro anterior se observa que uno de los perros de Daniel se debe llamar Alberto y el otro Carlos, digamos A1 y C2; quedando para Bernardo los perros llamados: A2 y D2, así:

Luego, los nombres de los perros de cada hermano son:

Ahora, como por dato hay tres labradores y Bernardo no tiene ningún labrador, se deduce que los otros tres: Alberto; Carlos y Daniel, tienen cada uno un labrador; y como ninguno de los labradores se llama Daniel, entonces el labrador de Carlos (mirando el cuadro anterior) se llama: Bernardo; luego el labrador de Alberto (ya no se puede llamar Bernardo) se llama Carlos y el labrador de Daniel (ya no se puede llamar Carlos) se llama Alberto, quedando el cuadro así:

Como también hay 3 pastores y por dato ninguno de los pastores se llama Alberto, sólo quedarían como nombre para los pastores: Bernardo; Daniel y Carlos.

Los perros llamados Bernardo y Carlos que quedan por ubicar son únicos y pertenecen a Alberto y Daniel respectivamente; y por lo tanto serían pastores.

Ahora el único pastor que falta ubicar sería el llamado Daniel.

El perro de Carlos llamado Daniel no puede ser el pastor, porque si fuera así los dos perros de Bernardo serían los 2 dálmatas que quedan y esto no se cumple por condición.

Luego el perro de Bernardo llamado Daniel es el Pastor y los dos perros que quedan (Alberto de Bernardo y Daniel de Carlos son los Dálmatas).

Respuesta: Los dueños de los Dálmatas son Bernardo y Carlos y estos dálmatas se llaman: Alberto y Daniel respectivamente.

• 16. Familiarización y comprensión:

La proposición: "todos los P son Q", indica que P es está incluido en Q o que P es subconjunto de Q, y esto significa que todos elementos de P también son elementos de Q.

Gráficamente esta relación se indica así:

Ejecución:

Llamaremos A al conjunto de los Abbs

B al conjunto de los Babs

C al conjunto de los Cabs

De los datos, tenemos las siguientes relaciones datos:

Todos los Abbs son Babs

Todos los Babs son Cabs

Uniendo estos dos diagramas, aplicando la propiedad transitiva de la relación subconjunto, tendremos que:

Diremos que n(A) representa al número de elementos de A.

Por dato: n(A) = 20 …………… (1)

n(C) = 71 …………….. (2)

Como 28 Cabs no son Babs, esto se indica por:

n(C) – n(B) = 28 …….(3)

Reemplazando (2) en (3): 71 – n(B) = 28, de donde

n(b) = 71 – 27 = 43 …….. (4)

El número de Babs que no son Abbs

viene dado por: n(B) – n(A)

o sea n(B) – n(A) = 43 – 20 = 23

Respuesta: El número de Babs que no son Abbs es 23.

Por dato el total de habitantes de las cinco islas es: 750.

De la 1ª pista, la isla menos poblada alberga a un décimo del total de habitantes, o sea: 750 ÷ 10 = 75 habitantes.

De la 5ª pista, Loma tiene 100 habitantes más que la isla menos poblada, o sea Loma tiene: 75 + 100 = 175 habitantes.

De la 2ª pista, Lema es la isla más poblada y alberga a un tercio de la población o sea Lema tiene: 750 ÷ 3 = 250 habitantes.

De la 4ª pista, en una de las islas vive un quinto del total de habitantes, o sea: 750 ÷ 5 = 150 habitantes.

Luego: El número de habitantes de la isla que falta considerar sería la cantidad que falta a la suma de los habitantes de las otras 4 islas para completar el total (750) o sea:

750 – (75 + 175 + 250 + 150) = 100

Ordenando el número de habitantes de mayor a menor:

NOMBRES

• 2) 250 habitantes ( LEMA

• 3) 175 habitantes ( LOMA

• 4) 150 habitantes (

• 5) 100 habitantes (

• 6)  75 habitantes (

Total: 750 habitantes

De la 6ª pista, "en Lima hay 50 habitantes más que en Luma". Como las únicas cantidades de habitantes que tenemos en la lista y que se diferencian en 50 son: 150 y 100, estas cantidades deben corresponder con el número de habitantes de Lima y Luma:

Luego: LIMA tiene 150 habitantes y LUMA tiene 100 habitantes quedando 75 habitantes para LAMA.

NOMBRES

• 1) 250 habitantes ( LEMA

• 2) 175 habitantes ( LOMA

• 3) 150 habitantes ( LIMA

• 4) 100 habitantes ( LUMA

• 5)  75 habitantes ( LAMA

Respuesta:

• 1) El orden de los nombres de las islas, de mayor a menor población es: LEMA, LOMA, LIMA, LUMA y LAMA.

• 2) La pista N° 3: "La isla menos poblada no es Luma" no era necesaria.

• 18.  Haciendo un diagrama:

En un día normal, la esposa llega en el tren a la estación del pueblo a las 6:30 p.m. y su esposo llega en ese mismo momento a recogerla y se dirigen a casa.

Hoy día la esposa llegó a la estación del pueblo a las 6:00 p.m. y se dirigió a pie hacia su casa. Su esposo que no sabía nada del adelanto salió como de costumbre

y pensaba llegar a la estación a las 6:30 p.m. En el camino se encontró con su esposa y dieron vuelta hacia su casa llegando 10 minutos antes de lo habitual.

Sea E el punto en el que el esposo recogió a su esposa.

Se observa que el ahorro de 10 minutos que tuvieron fue debido a que el esposo dio vuelta en E y ya no llegó hasta la estación.

Este ahorro entonces es igual al tiempo de ida y vuelta del esposo desde E hasta la estación. Luego el esposo desde E hasta la estación demora exactamente:

Y como a la estación iba a llegar a las 6:30 p.m. en punto, se deduce que recogió a su esposa en el punto E, 5 minutos antes de las 6:30 p.m. o sea a las 6:25 p.m.

Luego, la esposa caminó desde las 6:00 p.m. que llegó a la estación hasta las 6:25 p.m. que fue recogida en el punto E por su esposo o sea la esposa caminó 25 minutos.

Respuesta: La mujer llevaba caminando 25 minutos cuando su esposo la recogió en el camino.

• 19. Para resolver este problema representaremos las relaciones dadas mediante un diagrama vertical

De la 4ª afirmación: Carlos es hermano de Lucas y de la 6ª afirmación: Lucas es hijo de José, se tiene que José es Padre de Carlos y Lucas, y sólo de ellos, porque según dato José sólo tiene dos hijos.

De la 1ª afirmación, Román y Miguel son hijos de Lucas:

Como José es abuelo de Claudio, Claudio sólo podrá ser hijo de Carlos, porque según dato Lucas no es padre de Claudio.

Luego, el padre de Claudio se llama: Carlos.

Respuesta: El padre de Claudio se llama Carlos.

Como por dato (del cuadro) el número 8514 tiene 3 cifras buenas y 0 regulares (tercera pista), se deduce que sólo tres cifras de este número corresponden en valor y posición a las del número secreto.

Luego el número secreto sólo podría tener una de estas formas:

Analizando los casos:

• El 1er caso: 851* no puede ser el número secreto porque la 1ª pista: 8157 tendría por los menos el valor de tres cifras acertadas (8;1 y 5) y según datos los aciertos de esta primera pista fueron 2.

• El 2° caso: 85*4 no puede ser el número secreto porque la 2ª pista: 7610 podría tener como máximo un solo valor acertado posible, y según dato este número 7610 tiene 2 cifras buenas con el número secreto.

• 4° caso *514 no puede ser el número secreto porque la 3ª pista: 7435 tendría por lo menos 2 aciertos en valor de las cifras (4 y 5 por lo menos) y según dato 7435 solo debe tener un acierto.

• 3° caso: luego, el número secreto deber ser de la forma: 8*14

Ahora:

Luego la cifra faltante del número secreto debe ser el 6 para que 7610 tenga dos cifras buenas (6 y 1).

O sea el número secreto sería: 8614.

Respuesta: El número secreto es 8614.

MODELACIÓN ALGEBRAICA:

• 21. Empleando un diagrama:

Por dato:

A recibió: B recibió: C recibió:

Como el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones es

esto nos sugiere dividir el total en doce partes iguales de la siguiente manera:

Notaremos entonces que lo que quedó para C representa 7 partes de cada una.

Como por dato lo que recibió C es 56 soles, se deduce que cada una de estas partes debe valer:

56 ÷ 7 = 8 soles

Luego el total T será 12 veces el valor de una de estas partes como indica el diagrama:

T = 12 × 8 = 96 soles

Respuesta: La suma total repartida por el padre fue 96 soles.

• 22. Formando una ecuación:

Si A recibió:

B recibió:

C recibió:

Para formar la ecuación aplicaremos que:

El Total es igual a la suma de todas las partes.

Para simplificar multiplicamos cada uno de los términos de la ecuación anterior por 12 que es el MCM de 4 y 6.

Efectuando las operaciones y simplificando:

Reduciendo términos semejantes:

De donde despejando el valor de T:

y

Respuesta: La suma total repartida por el padre fue 96 soles.

• 23. Por suposición:

• 1. Supongamos que T = S/. 12 (

A recibiría:

B recibiría:

Entonces C recibiría:

Luego, por regla de tres simple directa:

Si T = S/. 12 entonces C recibe S/. 7

Cuanto debe ser T para que C reciba: S/. 56

De donde despejando:

Respuesta: La suma total repartida por el padre fue: 96 soles.

24. Los años del siglo XX van desde 1901 hasta 2000.

Pedro no pudo nacer en el 2000 porque en el año 2006 debería cumplir:

(2 + 0 + 0 + 0) = 2 años lo que no es correcto porque cumpliría 6.

Luego: Pedro nació en un año de la forma:

donde a y b son dígitos que pueden valer de 0 a 9.

Para determinar cuántos años cumplió Pedro en el 2006,

se restará:

y según dato esta cantidad debe ser igual a la suma de las cifras de su año de nacimiento:

(1 + 9 + a + b)

Luego, la ecuación que se forma sería:

Recordaremos que: es un número de 4 cifras cuya forma desarrollada (ó descomposición polinómica) es:

Luego reemplazando

ó

y efectuando

de donde

Esta última es una ecuación con 2 incógnitas, pero como las incógnitas deben ser números enteros positivos, se pueden encontrar sus valores por tanteos, así:

Despejando "a":

Notaremos ahora que cuando b va tomando los valores: 0, 1, 2, 3, …. etc.

el valor del numerador va disminuyendo de 2 en 2, así 96; 94; 92,… etc.

y como tenemos que llegar a un número divisible entre 11 (para que "a" sea entero y exacto), encontraremos el valor de "a" cuando en el numerador lleguemos a 88.

Luego:

y

Reemplazando: a = 8 y b = 4 obtenemos que Pedro nació en el año: 1984.

y en el 2006 cumplió: 2006 – 1984 = 22 años (1+9+8+4)

Respuesta: Pedro nació en el año 1984.

• 25. Por dato:

30% de A = 45% de 2006

Pero sabemos que 30% equivale a la fracción

y 45% equivale a la fracción

Luego, en la relación dada:

Despejando "A":

Cancelando 100 y simplificando:

Respuesta: El valor de A es 3009.

• 26. Primera forma: Planteando una ecuación

Sea "X" lo que se le paga al peón por un mes de trabajo

y "T" lo que vale el televisor.

Del primer dato, por 8 meses de trabajo se le hubiera pagado al peón: 2320 soles más un televisor, o sea:

Del segundo dato, por 5 meses de trabajo se le pagó al peón: S/. 1270 más el televisor, o sea:

Restando miembro a miembro las ecuaciones (1) y (2), obtenemos:

de donde cancelando T y despejando X, tenemos que:

(pago mensual del peón en soles).

Ahora reemplazando en (1) obtenemos:

De donde:

Respuesta: El valor del televisor es S/. 480.

Segunda forma: Por comparación:

1° CONTRATO: Por 8 meses se le paga S/ 2320 más un televisor.

2° CONTRATO: Por 5 meses se le paga S/ 1270 más un televisor.

Comparando, nos damos cuenta que si el peón después de recibir los 1270 más el televisor por sus 5 meses de trabajo, hubiera seguido trabajando los 3 meses más que le faltaban, tendría que recibir por estos 3 meses: 2320 – 1270 = 1050 soles,

o sea: por mes (que vendría a ser su pago mensual).

Ahora por los 5 meses de trabajo debió recibir: 5 × 350 = S/. 1750 pero como recibió solo S/. 1270 más el televisor, se deduce que el televisor valía lo que le falta a S/. 1270 para completar los S/. 1750, o sea:

Valor del televisor: 1750 – 1270 = S/. 480.

27.

Gustavo tiene sólo dos clases de monedas: de 20 céntimos y de 10 céntimos, y el número total de monedas es 23.

Si Gustavo tiene "X" monedas de 20 céntimos, el resto o sea:

(23 – X) monedas serán de 10 céntimos.

y el total de céntimos que posee es:

20 X + 10 (23 – X) …………………… (1)

Pero, por dato, si las monedas de 10 céntimos fueron de 20 y las monedas de 20 fueron de 10, Gustavo tendría 70 céntimos más de los que posee.

En este caso tendría: (23 – X) monedas de 20 céntimos

y X monedas de 10 céntimos

y tendría en total:

20 (23 – X) + 10 X …………………… (2)

Pero por dato, lo que tendría en (2) es 70 céntimos más de lo que posee en (1).

O sea: 20 (23 – X) + 10X = 20 X + 10 (23 – X) + 70

Efectuando las operaciones de multiplicación, aplicando la ley distributiva, tenemos:

20 × 23 – 20 × X + 10X = 20X + 10 × 23 – 10 × X + 70

Pasando los términos en X al 2° miembro y los independientes al 1°

460 – 230 – 70 = 20X – 10X + 20X – 10X

160 = 20X

De donde: X =

Luego: Gustavo tiene 8 monedas de 20 céntimos y (23 – 8) = 15 monedas de 10 céntimos, lo que daría un total de:

8 monedas de 20 céntimos: 8 × 20 = 160 céntimos

Más 15 monedas de 10 centavos: 15 × 10 = 150 céntimos

Total: 310 céntimos

Respuesta: Gustavo tiene 310 céntimos.

28. Familiarización y comprensión:

El biólogo, identificado por: "Profesor K", ha hecho un informe de la expedición que ha realizado al planeta L y donde menciona ciertas características de los seres de este planeta, comparados con las características de los seres que son como el profesor K.

Un error común al leer el informe del profesor K es asumir que el profesor K (que ha redactado el informe) es como nosotros (los que leemos el informe para resolver el problema) pues esto no se especifica en el problema.

Dicho de otra forma, no debemos asumir las características del profesor K ni las de los seres del planeta L, sólo debemos tener en cuenta las relaciones dadas.

Búsqueda de estrategias:

Como nos dicen que el número total de dedos que tiene el profesor K es igual al número total de dedos que tiene cada uno de los seres del planeta L, formaremos una ecuación.

Ejecución y solución:

Digamos que el profesor K tiene "a" extremidades y "b" dedos en cada extremidad, lo que daría un total de a × b dedos y esta cantidad, por dato, es igual a veinte.

Del informe, los seres del planeta L tendrían (a – 1) extremidades y (b + 1) dedos en cada extremidad, lo que daría un total de (a – 1) × (b + 1) dedos y esta cantidad también es veinte.

Igualando (1) y (2) a × b = (a – 1) (b + 1)

Efectuando: a × b = a × b + a – b – 1

Cancelando a × b; queda: (3)

De (1) y (3) se deduce entonces que a y b son dos números que multiplicados dan 20 y restados dan 1, pero además nótese que "a" es mayor que "b".

Luego fácilmente: y

Ahora sí, podemos conocer las características, tanto del profesor K como las de los seres del planeta L, reemplazando en el cuadro anterior los valores de:

a = 5 y b = 4.

El profesor K tiene a = 5 extremidades y b = 4 dedos en cada una (veinte dedos)

Y los seres del planeta L tienen a – 1 = 4 extremidades y b + 1 = 5 dedos en cada extremidad (lo que también daría 20 dedos).

Respuesta: Los seres del planeta L tienen 4 extremidades.

COMBINATORIA, INCERTIDUMBRE:

Para nuestro problema, debemos hallar: "La probabilidad de que al escoger al azar, un número de tres cifras, la representación de este número sea "CAPICÚA", o sea:

Para hallar la cantidad total de números de tres cifras:

El conjunto de los números de 3 cifras en base diez es:

De donde, la cantidad total de números de 3 cifras es:

Para hallar la cantidad de números de tres cifras que son CAPICÚAS:

Y como ya hemos visto en el solucionario del módulo anterior, hay 10 capicúas que empiezan y terminan en 1; 10 que empiezan y terminan en 2; y así sucesivamente hasta que por último hay 10 capicúas que empiezan y terminan en 9, lo que hace un total de:

Luego, reemplazando en la fórmula:

Respuesta: La probabilidad de que al escoger un número de 3 cifras sea capicúa es ó 0,10 ó 10%.

En los módulos anteriores hemos resuelto problemas de este tipo y donde aplicábamos el método del "caso más desfavorable" ó "caso crítico", pero en este nuevo problema hay una pequeña diferencia; los guantes vienen confeccionados para una determinada mano: hay guantes para la mano derecha y guantes para la mano izquierda, y éstos no pueden ser usados en la mano que no les corresponde.

Alicia tiene mezclados y revueltos:

• 1° par de guantes marrones: 1 guante marrón derecho y 1 guante marrón izquierdo.

• 2° pares de guantes blancos: 2 guantes blancos derechos y 2 guantes blancos izquierdos.

• 3° pares de guantes negros: 3 guantes negros derechos y 3 guantes negros izquierdos.

El caso más desfavorable posible que puede ocurrir y en el cual todavía no se tiene un par de guantes negros sería cuando Alicia saque:

Todos los guantes marrones (2) +

todos los guantes blancos (4)

todos los guantes negros pero de una misma mano (3)

Total 9

o sea que sacando 9 guantes no se tendría la certeza de contar con un par de guantes negros que pueda usarse.

Luego, si sacamos una más ya se tendría, con certeza, un par de guantes negros que se puedan usar.

Respuesta: Alicia deberá sacar como mínimo 10 guantes, para estar segura de tener un par de guantes negros que pueda usar.

• 31. En la urna hay dentro:

3 bolitas verdes

4 bolitas azules y

2 bolitas amarillas.

o sea un total de: 3 + 4 + 2 = 9 bolitas.

Si una bolita se escoge al azar, la probabilidad de que la bolita escogida sea amarilla, viene dada por:

Reemplazando:

Respuesta: La probabilidad de que la bolita escogida sea amarilla es

• 32. Las palabras de tres letras que se pueden formar con las letras U; M y C son:

UMC; UCM; MUC; MCU; CUM y CMU ó sea un total de 6 palabras.

Pero sólo una de ellas es la palabra: UMC.

Luego, la probabilidad de que la "palabra" formada al azar con las letras U; M y C sea la "palabra" UMC es: una de un total de 6, o sea:

Respuesta: La probabilidad de que la "palabra" formada sea UMC es

• 33. Si A = { 1; 2; 3 } B = { 1; 4; 9 }

El número total de parejas que se pueden formar con los elementos de A y B, por el principio de la multiplicación en combinatoria, es:

(Número de elementos del conjunto A) × (Número de elementos del conjunto B)

3 × 3 = 9 parejas

Estas parejas son:

Ahora, las parejas que cumplen la condición de que el producto de sus elementos es menor que 9, son:

Luego, la probabilidad pedida es:

Reemplazando los valores obtenidos, tenemos que:

Respuesta: La probabilidad de que el producto de 2 elementos escogidos al azar sea menor que 9 es

• 34. La urna contiene 3 bolas blancas, llamémoslas: B1; B2 y B3

y 2 bolas negras, llamémoslas: N1 y N2.

Como se va a extraer de la urna 2 bolas al azar, las parejas que se pueden obtener son:

{(B1; B2), (B1; B3), (B1; N1), (B1; N2), (B2; B3), (B2; N1), (B2; N2), (B3; N1), (B3; N2), (N1; N2)}

En total hay 10 parejas posibles.

• a) Las parejas donde ambas bolas son blancas son: (B1 ;B2), (B1 ; B3), (B2 ; B3)

Luego, la probabilidad de que al extraer al azar 2 bolas, ambas sean blancas es:

• b) Las parejas donde ambas bolas son negras es solo una: (N1 ; N2)

Luego, la probabilidad de que al extraer al azar 2 bolas, ambas sean negras es:

• c) Las parejas donde una sea blanca y la otra sea negra son: 6 (o sea el resto de las 10 parejas).

(B1 ; N1), (B1 ; N2), (B2 ; N1), (B2 ; N2), (B3 ; N1), (B3 ; N2)

Luego, la probabilidad de que al extraer al azar 2 bolas, una sea blanca y la otra sea negra es:

Respuesta:

• a) Probabilidad de que ambas sean blancas:

• b) Probabilidad de que ambas sean negras:

• c) Probabilidad de que una sea blanca y la otra sea negra:

• d) Comprobación:

Esto es debido a que:

La suma de las parejas de bolas extraídas en las que ambas son blancas, más las parejas en las que ambas son negras, más las parejas en las que una es blanca y la otra es negra es exactamente el total de parejas posibles, es decir el total de casos posibles.

• 35. Familiarización y comprensión:

Debemos recordar que cada punto P de un plano cartesiano, representa un par ordenado de la forma (a; b)

donde a indica el valor del eje de abscisas (eje x) y

b el valor del eje de ordenadas (eje y), que están relacionadas entre sí.

Para hallar los valores de a y b basta con trazar por el punto p, paralelas a los ejes y donde estas paralelas corten a dichos ejes, leeremos los valores de a y de b.

Búsqueda de Estrategias:

También debemos recordar que cuando nos piden el porcentaje de variación que sufrió una cantidad, este porcentaje se calcula tomando como base el valor inicial de dicha cantidad que se considera como el 100%.

Ejecución del plan:

Para nuestro problema, cada punto indica un par ordenado, que tiene como abscisa el año y como ordenada el número de matriculados en ese año.

Del gráfico, trazando las líneas paralelas (a los ejes) que pasan por los puntos que corresponden a los años 1995 y 1996 obtenemos que:

En 1995 los alumnos matriculados fueron 200. (valor inicial)

En 1996 los alumnos matriculados fueron 400. (valor final)

Luego, la variación experimentada fue un aumento de

400 – 200 = 200 alumnos.

Esta variación en porcentaje se calculará así:

De donde: % variación = 100% de aumento

Respuesta: El número de alumnos matriculados de 1995 a 1996 varió en un 100%.

• 36. En el Histograma dado, la altura del rectángulo corresponde al valor correspondiente de la ordenada (o valor en el eje Y).

En nuestro problema:

Podemos obtener observando el gráfico anterior que la:

Producción en el año 1993 fue: 10 millones de tornillos

Producción en el año 1994 fue: 12 millones de tornillos

Producción en el año 1995 fue: 16 millones de tornillos

Producción en el año 1996 fue: 20 millones de tornillos

Producción en el año 1997 fue: 12 millones de tornillos

Producción en el año 1998 fue: 12 millones de tornillos

Total: 82 millones de tornillos

Respuesta: Desde el año 1993 hasta el año 1998 se produjeron 82 millones de tornillos.

• 37. La producción anual promedio de la fábrica vendría dada por el promedio aritmético de las producciones anuales o sea:

ó 13,66… millones de tornillos.

Respuesta: La producción anual promedio en millones de tornillos fue: 13,66…

• 38. Del gráfico anterior se obtiene que:

En el año 1993 la producción fue: 10 millones.

y en el año 1995 la producción fue: 16 millones.

Luego, el aumento fue de: 16 – 10 = 6 millones y esto en porcentaje con respecto al valor inicial de 10 millones es:

Respuesta: El aumento de la producción del año 1993 al año 1995 fue del 60%.

IMAGINACIÓN GEOMÉTRICA:

• 39.  Observaremos que se formarán dos nudos: un nudo en la letra k (primera letra) y otro en la letra G del diagrama de la palabra Kangourou (canguro en francés), mostrado abajo:

Respuesta: Se formarán dos nudos: uno en la letra K y otro en la letra G.

• 40. Sería muy laborioso si tratamos de armar el rompecabezas probando con cuales cuatro de las cinco piezas dadas se forma un cuadrado grande.

Mejor sería eliminar primero la pieza que no corresponde al rompecabezas, y luego ya con las piezas que quedan armamos el cuadrado grande.

Como el rompecabezas "armado" forma un cuadrado, significa que el número de cuadraditos pequeños que lo forman debe ser un cuadrado perfecto, o sea el cuadrado grande puede contener:

2 × 2 = 4 ó 3 × 3 = 9 ó 4 × 4 = 16 ó 5 × 5 = 25 ó 6 × 6 = 36 cuadraditos pequeños

Por otro lado, si todas las cinco piezas fueran consideradas en el rompecabezas, el número total de cuadraditos pequeños sería:

4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30 cuadraditos pequeños

Luego, para que quede un número de cuadraditos pequeños que sea cuadrado perfecto, debemos eliminar la pieza que tenga un número de cuadraditos que al ser restado de 30 produzca un cuadrado perfecto. Esto es posible si la pieza que se elimina tiene cinco cuadraditos pequeños (la pieza B) y quedarán 30 – 5 = 25 cuadraditos pequeños.

Ahora sí es fácil, con las cuatro piezas restantes: A, C, D y E, armar el rompecabezas como se muestra en la figura:

Respuesta: La pieza (B) no pertenece al rompecabezas.

Llamamos ( ; ( y( a las medidas de los ángulos internos del triángulo formado en la figura:

Sabemos que: ( + ( +( = 180° (1)

Pero del gráfico se observa que:

153 + ( = 180

y 117 + ( = 180°

Despejando: ( + ( de las dos relaciones anteriores:

( = 180 – 153 = 27°

( = 180 – 117 = 63°

y reemplazando en (1): 27° + ( + 63 = 180

De donde: ( = 180 – 27 – 63 = 90°

Pero como x y ( son ángulos opuestos por el vértice, sus medidas deben ser iguales.

Luego: x = ( = 90°

Respuesta: La medida del ángulo x es 90°

• 42. Como el Área del rectángulo es igual al producto de su largo por su ancho (a).

Aunque podríamos resolver esta ecuación de 2° grado aplicando el método correspondiente, es preferible, cuando las incógnitas son números enteros positivos, realizar una "identificación de factores" de la siguiente forma:

Como (x + 4) y (x – 4) son números cuya diferencia es 8 (ya que uno es igual a un número x más 4 y el otro es igual al mismo número x pero menos 4) y su producto es 65.

Si descomponemos 65 en factores primos, tenemos:

65 = 65 × 1 = 5 × 13

y nos damos cuenta que precisamente los factores 5 y 13 se diferencian en 8.

(x + 4) (x – 4) = 65 = 5 × 13

Luego, el mayor factor (x + 4) debe ser igual al mayor de los factores de 5 y 13.

y así: x + 4 = 13

de donde:

Respuesta: El valor de x deber ser 9 centímetros.

• 43. Familiarización y comprensión:

El enunciado del problema afirma que el siguiente cuadrilátero ABCD es un TRAPECIO RECTÁNGULO.

Y nos piden determinar su perímetro y su área; y para esto nos faltaría averiguar cual la medida del cuarto lado AD.

Búsqueda de estrategias:

Para hallar la medida del cuarto lado y luego hallar el perímetro y el área del trapecio ABCD, es conveniente trazar por el punto B la perpendicular (BE) al lado AD, y así formar un rectángulo y un triángulo rectángulo.

Lo que se debe recordar es:

O sea:

Ejecución:

Trazando por el punto B, el segmento que sea perpendicular a la base se formará el triángulo AEB (rectángulo en E) y el rectángulo EBCD.

Como los lados opuestos en el rectángulo son paralelos y tienen la misma medida, se cumplirá que:

tiene la misma medida que ó sea que la medida de es 5 unidades y

tiene la misma medida que ó sea que la medida de es 6 unidades

Ahora, aplicando el Teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo AEB, (siendo x la medida de se tiene que:

102 = 62 + x2

De donde despejando: x2 = 102 – 62 = 100 – 36 = 64

Aunque hay 2 valores de x que elevados al cuadrado dan 64, (x = 8 ó x = -8), debemos escoger el valor positivo por que x es la medida del lado de un triángulo.

Luego: X = 8 unidades.

El gráfico entonces quedó así:

Primera forma:

Podemos hallar ahora el área del trapecio ABCD, descomponiéndolo en dos partes:

Aplicando las fórmulas ya conocidas para las áreas de un triángulo y de un rectángulo, tenemos:

Área ABCD =

Segunda forma:

También podríamos haber aplicado la fórmula general del área de un trapecio que es: