1 DEFINICIÓN Y RELACIÓN CON LA TRANSFORMADA DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO. Una generalización de la Transformada de Fourier es la transformada Z.
Ventajas de la Transformada Z La Transformada de Fourier no converge para todas las secuencias La transformada Z tiene la ventaja de que, en problemas analíticos, el manejo de su notación, expresiones y álgebra es con frecuencia más conveniente El empleo de la transformada Z en señales discretas tiene su equivalente en la transformada de Laplace para señales continuas y cada una de ellas mantiene su relación correspondiente con la transformada de Fourier. El empleo de la transformada Z en señales discretas tiene su equivalente en la transformada de Laplace para señales continuas y cada una de ellas mantiene su relación correspondiente con la transformada de Fourier.
Transformada de Fourier La transformada de la misma secuencia tambien se define como Segun la variable compleja continua z La correspondencia entre una secuencia y su transformada se denota como: La transformada de Fourier es simplemente con La transformada de Fourier es la transformada Z tomando
Si tomamos La transformada evaluada en los puntos de dicha circunferencia es la transformada de Fourier .
2 REGION DE CONVERGENCIA La convergencia de la transformada Z depende solamente de entonces: La región en donde se cumple la desigualdad es la región de convergencia. Los valores sobre la circunferencia definida como están dentro de la región de convergencia. La transformada Z es una función analítica en todos los puntos de la región de convergencia; de aquí que la transformada Z y todas sus derivadas con respecto a son funciones continuas en dicha región.
3 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z La transformada Z posee propiedades que facilitan la solución de ecuaciones en diferencias lineales usando simplemente manipulaciones algebraicas. SUPERPOSICIÓN Se compone de las características de:
1)Homogeneidad:
2)Aditividad:
si: la transformada Z es: b) CORRIMIENTO A LA DERECHA (RETRASO) La respuesta del sistema se define por:
La transformada de la salida y(k) se define a su vez como:
Desarrollando: La representación en diagrama de bloques para la propiedad de corrimiento a la derecha se muestra abajo:
C) PROPIEDAD DE CONVOLUCIÓN Para el siguiente sistema: Su salida se define como una suma de convolución: Quedando: Factorizando: La transformada queda:
Factorizando
D) PROPIEDAD DE “SUMACIÓN”
Sean las secuencias y si entre ellas es posible establecer la relación: para queda con
E) PROPIEDAD DE MULTIPLICACIÓN POR Sean las secuencias y Si entre ellas se establece la siguiente relación: entonces la transformada se determina como sigue: para
F) PROPIEDAD DE DERIVACIÓN para Derivando Multiplicando por -z ,
G) TEOREMA DEL VALOR INICIAL Es posible determinar el término inicial, , de una secuencia , a partir de la transformada correspondiente. Si entonces H) TEOREMA DEL VALOR FINAL Para f(k) donde sea analítica para
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