La circunferencia

DEFINICIÓN

Es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado CENTRO (C). La distancia fija se llama RADIO ( r ) de la circunferencia.

Una circunferencia queda completamente determinada si se conocen su centro y su radio.

ECUACIÓN ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA

Observemos el gráfico. Sea una circunferencia de centro (h,k) y radio r.

Por la ecuación de distancia entre dos puntos tenemos:

Eliminando la raíz y transponiendo términos se obtiene:

Si el centro está en el origen de coordenadas, C (0,0), la ecuación se reduce a

DEDUCCIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA

La ecuación ordinaria de la circunferencia es

Realizando las operaciones indicadas se transforman en

Transpongamos r2 y ordenemos los términos

Que representa la forma

Ecuación general de la circunferencia

En donde: D = -2h ; E = -2K y F = h2 + k2 – r2

Caso Recíproco

Si escribimos la ecuación general en la forma x2 + Dx + y2 + Ey = -F y sumamos y restamos los términos que se indican para completas trinomios cuadrados perfectos se tiene

Factorando en el primer miembro y sumando en el segundo se tiene

Comparando con (x-h) 2 + (y– k) 2 = r2, se concluye que

El centro C es y el radio r =

Como D2 + E2 – 4F da el valor del radio, los casos que pueden presentarse son:

a) Si D2 + E2 – 4F ( 0 existe circunferencia, r es real

b) Si D2 + E2 – 4F ( 0 no existe circunferencia, r es imaginario

c) Si D2 + E2 – 4F = 0 no existe circunferencia, la ecuación representa al punto (-D/2 , -E/2).

FAMILIA DE CIRCUNFERENCIAS

Son todas las circunferencias que pasan por el punto de la intersección de dos circunferencias, la ecuación de todas ellas está dado por:

x2 + y2 + D1x + E1y + F1 + K ( x2 + y2 + D2x + E2y + F2) = 0

Esta expresión representa una circunferencia para los valores de K, excepto para K= -1. Para K=-1 la ecuación se reduce a una recta, que es la cuerda común de dichas circunferencias.

EJE RADICAL

Es la recta que pasa por la intersección de dos circunferencias.

Sean las circunferencias x2 + y2 + D1x + E1y + F1 = 0

x2 + y2 + D2x + E2y + F2 = 0

La ecuación del eje radical se obtiene restando las ecuaciones de las circunferencias.

Ejemplo Ilustrativo N° 1

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (2,3) y (3,6) y sea tangente a la recta 2x+y-2=0

Calculando la pendiente con los puntos (2,3) y (3,6) se obtiene:

Calculando la pendiente de la mediatriz que pasa pos los puntos (2,3) y (3,6) se obtiene:

Como la mediatriz es perpendicular al segmento formado al unir los puntos (2,3) y (3,6), por lo tanto la pendiente es la inversa negativa de 3, lo que da

Calculando el punto medio de (2,3) y (3,6) se obtiene:

Calculando la ecuación de la mediatriz al segmento formado por los puntos (2,3) y (3,6) se obtiene:

Realizando un gráfico ilustrativo se tiene:

Reemplazando los puntos (2,3) y (3,6) en la ecuación ordinaria de la circunferencia se obtiene:

Igualando las 2 ecuaciones anteriores de r2

Dividiendo por 2

Que es la ecuación de la mediatriz calculada anteriormente

Despejando h

Calculando la distancia del radio de la circunferencia aplicando la ecuación de distancia de un punto C(h,k) a la recta 2x+y-2=0 se tiene:

Elevando al cuadrado la ecuación anterior:

Igualando la ecuación (6) con la (1)

Reemplazando la ecuación (3) en la anterior se tiene:

Resolviendo la ecuación obtenida:

Reemplazando los valores de k obtenidos en la ecuación (3) se halla los valores de h

Por lo tanto el centro C(h,k) de las circunferencias son:

Reemplazando los valores obtenidos en la ecuación (6) se calcula los radios:

Reemplazando los valores de h, k, y r en la ecuación ordinaria de la circunferencia se obtiene la solución al ejercicio

Ejemplo Ilustrativo N° 2

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (-2,2) y por los puntos de intersección de las circunferencias x2+y2+3x-2y-4=0 y x2+y2-2x-y-6=0.

Aplicando la ecuación de familia de circunferencias

Reemplazando el valor encontrado se tiene:

Graficando se obtiene:

Ejemplo Ilustrativo N° 3

Determinar el ángulo formado por la intersección de la recta y la circunferencia

Encontrando el centro y el radio de la circunferencia dada:

Calculando los puntos de intersección entre la recta y la circunferencia:

Graficando:

Calculando la pendiente del radio (El radio es perpendicular a la tangente de la circunferencia)

Calculando la pendiente de la tangente a la circunferencia por el punto (1,2)

Calculando la ecuación de la tangente a la circunferencia por el punto (1,2)

Calculando la pendiente de la recta

Calculando el ángulo de intersección entre la recta y la circunferencia

BIBLIOGRAFÍA

LEHMANN, C.(1977). Geometría Analítica. México: Editorial LIMUSA

LONDOÑO, N. Y BEDOYA, H.(1993) Geometría Analítica y Trigonometría. Colombia: Editorial NORMA

KINDLE, J.(1973). Teoría y Problemas de Geometría Analítica. Serie de Compendios SCHAUM. México: Editorial McGRAW-HILL

SUÁREZ, M. (2004). Interaprendizaje Holístico de Matemática. Ecuador, Ibarra: Gráficas Planeta.

Autor:

Mario Suarez