Ecuaciones de primer grado

Muchos problemas de la vida diaria pueden plantearse a través de una relación de igualdad, llamada ecuación. Las ecuaciones tienen aplicación en todas las ramas de la Matemática y de las ciencias en general, por lo que su estudio es de suma importancia.

Definición

Ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, que solo se verifica para ciertos valores determinados.

En el caso de

la igualdad se cumple si y sólo si x vale 2, por lo tanto es una ecuación.

En la caso de

la igualdad se cumple para cualquier valor de x, por lo tanto no es una ecuación. En este caso de trata de una identidad. La identidad también es una igualdad entre dos expresiones algebraicas al igual que una ecuación, pero que se verifica para cualquier valor.

Las igualdades de los productos y cocientes notables, estudiadas en el capítulo anterior, son identidades.

Términos de una Ecuación

Son cada una de las cantidades que están conectadas por los signos + ó –

El primer miembro corresponde a toda la expresión que está antes del signo =.

El segundo miembro corresponde a toda la expresión que está después del signo =

Los términos 5 y 7 que no están acompañados de letras se llaman términos independientes.

La letra o letras presentes en la ecuación se llaman incógnitas o valores desconocidos

Grado de una Ecuación

El grado de una ecuación está dado por el mayor exponente de la incógnita.

La ecuación

es una ecuación de segundo grado o cuadrática, ya que el mayor exponente de x es 2

Solución de una Ecuación.- Es averiguar el valor o los valores de la incógnita. Este valor se llama raíz.

Para encontrar la solución o raíz de una ecuación se despeja la incógnita mediante la transposición de términos con operación contraria (Si está sumando pasa al otro miembro de la ecuación a restar o viceversa, si está multiplicando pasa al otro miembro a dividir o viceversa.)

El principio de la transposición de términos se fundamenta en las siguientes propiedades de las igualdades:

– Si a los dos miembros de una ecuación se suma o resta una misma cantidad, la igualdad subsiste.

– Si a los dos miembros de una ecuación se multiplican o dividen una misma cantidad, la igualdad subsiste.

-Si a los dos miembros de una ecuación se elevan a una misma potencia o se extrae una misma raíz, la igualdad subsiste.

Ejemplos ilustrativos

1)

Como la cantidad que se obtuvo en el primer miembro es igual a la cantidad que se obtuvo en el segundo miembro, queda comprobado que la solución de la ecuación es correcta.

2)

Solución:

Comprobación:

3)

4)

Nota: La comprobación queda como tarea para el estudiante

5)

6)

7) El duplo de un número es igual al número aumentado en 10. Hallar el número

Solución:

a) Se trasforma el enunciado del problema al lenguaje matemático, a través del simbolismo algebraico, para lo cual se requiere alcanzar destreza en el manejo del siguiente simbolismo:

El duplo de un número = 2x, Número aumentado en 10 = x+10

d) Se realiza la comprobación. Cuando se trata de problemas que se resuelven con ecuaciones, la comprobación se hace en base a los resultados obtenidos.

Se evidencia que 10 es el número que cumple las condiciones del presente problema.

8) La suma de dos números es 10 y su diferencia es 4. Hallar los números

Solución:

9) Hallar tres números impares consecutivos es cuya suma es 45.

Solución:

a) Se trasforma el enunciado del problema al lenguaje matemático

10) En un curso de 30 estudiantes hay 10 hombres más que mujeres. ¿Cuántos hombres y cuántas mujeres hay?

Solución:

a) Se trasforma el enunciado del problema al lenguaje matemático

11) El largo de un terreno rectangular excede al ancho en 30 m. Si el largo se aumenta en 10 m y el ancho se disminuye en 6m el área no varía. Hallar el área del terreno.

Solución:

a) Se trasforma el enunciado del problema al lenguaje matemático

TAREA

a) Resolver las siguientes ecuaciones y realizar la respectiva comprobación

b) Resolver los siguientes problemas

1) El duplo de un número es igual al número aumentado en 20. Hallar el número

S = 20

2) El triple de un número es igual al número aumentado en 8. Hallar el número

S = 4

3) El duplo de un número disminuido en uno es igual al número aumentado en 3. Hallar el número

S = 4

4) El triple de un número disminuido en dos es igual al duplo del número aumentado en 3. Hallar el número

S = 5

5) La suma de dos números es 20 y su diferencia es 10. Hallar los números

S = 15 y 5

6) La suma de dos números es 15 y su diferencia es 11. Hallar los números

S = 13 y 2

7) Hallar dos números consecutivos cuya suma sea 27

S = 13 y 14

8) Hallar dos números pares consecutivos cuya suma sea 50

S = 24 y 26

9) Hallar tres números impares consecutivos cuya suma sea 15

S = 3, 5 y 7

10) Hallar tres números pares consecutivos cuya suma sea 24

S = 6, 8 y 10

11) En un hotel de dos pisos hay 48 habitaciones. Si las habitaciones del segundo piso son la mitad de las del primero. ¿Cuántas habitaciones hay en cada piso?

S: 1er piso = 32 habitaciones, 2do piso = 16 habitaciones

12) En una competencia atlética de resistencia en la que participan 80 deportistas el número que llegan a la meta es 4 veces el número de los que no llegan. ¿Cuántos llegan y cuántos nos llegan a la meta?

S = Llegan 64 ; no llegan 16

13) Anita tiene tres veces el número de manzanas que su hermano y entre los dos tienen 48 manzanas. ¿Cuántas manzanas tine cada uno?

S : Anita= 36 manzanas ; hermano = 12 manzanas

14) La suma de las edades de un padre y su hijo es 78 años y la edad del padre es el doble de la edad del hijo. ¿Cuál es la edad de cada uno?

S : Hijo = 26 años ; padre = 52 años

15) En un curso de 47 estudiantes hay 9 hombres más que mujeres. ¿Cuántos hombres y cuántas mujeres hay?

S = 19 mujeres y 28 hombres

16) En un estacionamiento hay 100 vehículos entre automóviles y camiones, si hay 38 automóviles más que camiones. ¿Cuántos vehículos de cada clase hay?

S = 31 camiones y 69 automóviles

17) Un terreno rectangular tiene de largo el doble que su ancho, si el perímetro es 24m. ¿Cuál es el largo del terreno?

S = 8 m

18) Un patio rectangular tiene de largo el triple que su ancho, si el perímetro es 56 m. ¿Cuál es el largo del patio?

S = 21 m

19) Un rectángulo tiene de largo 6m más que su ancho, si el perímetro es 40m. ¿Cuál es el largo del rectángulo?

S = 13 m

20) Un terreno rectangular tiene de ancho 5 m menos que su largo, si el perímetro es 70m. ¿Cuál es área del terreno?

S = 300 m2

21) El perímetro de un triángulo es 26 m. El lado "b" mide 2m más que el lado "c" y el lado "a" es el tercio del lado "b". ¿Cuánto mide cada lado del triángulo?

S: a = 4 m, b = 12 m, c = 10 m

22) El perímetro de un triángulo es 37 m. El lado "b" mide 5m más que el lado "c" y el lado "a" es el 80% del lado "b". ¿Cuánto mide cada lado del triángulo"

S: a = 12 m, b = 15 m, c = 10 m

23) Una habitación rectangular tiene doble largo que ancho. Si el largo se disminuye en 6m y el ancho se aumenta en 4 m, el área de la habitación no varía. Hallar el perímetro de la habitación.

S: 72 m

24) El largo de un rectángulo excede al ancho en 4 m. Si el largo se aumenta en 5 m y el ancho se disminuye en 2m el área no varía. Hallar el área del rectángulo.

S = 60 m2

25) Un terreno rectangular tiene 20 m más de largo que de ancho. Si el largo tuviese 100 m más y el ancho 40m menos el área no varía. Hallar el perímetro del terreno.

S: 360 m

26) Un rectángulo y un cuadrado tienen la misma área. El largo del rectángulo excede en 3 m al lado del cuadrado y su ancho es 2m menor que el lado del cuadrado. Hallar el área del rectángulo.

S: 36 m2

Referencias bibliográficas

SUÁREZ I., Mario O., (2004), Hacia un Interaprendizaje Holístico de Álgebra y Geometría, Editorial Gráficas Planeta, Ibarra, Ecuador.

Autor:

Mario Orlando Suárez Ibujes