Matemática Intermedia

Ejercicio 57/Página 1166

Un equipo de oceanógrafos está elaborando un mapa del fondo del mar para intentar recuperar un barco hundido. Por medio del sonar, desarrollan un modelo:

, ,

donde x, y denotan las distancias en kilómetros y D la profundidad en metros.

a)Representar la superficie en una calculadora.

b)Como la gráfica de a) representa la profundidad, no es un mapa del fondo oceánico. ¿Cómo se podría cambiar el modelo de modo que se obtuviera con él la gráfica del fondo?

c)¿A qué profundidad está el barco, si se encuentra en el punto de coordenadas X = 1, y = 0.5?

metros

d)Calcular la pendiente del fondo en la dirección del semieje x positivo en el punto donde se encuentra situado el barco.

e)Calcular la pendiente del fondo en la dirección del semieje y positivo en el punto donde se encuentra situado el barco.

f)Hallar la dirección de máximo cambio de profundidad en el punto posición del barco.

La dirección de máximo crecimiento de f viene dada por Ñ f(x,y).

Ejercicio 31/Página 1175

Consideremos la función en los intervalos y .

a)Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para la recta normal y una ecuación del plano tangente a la superficie en el punto (1,1,1).

El vector normal () del plano es igual al vector director () de la recta y viene dado por el gradiente de la función F(x,y,z) = 0.

Siendo el vector director igual a –1k, en el punto (1,1,1) las ecuaciones paramétricas de la recta normal a la superficie en ese punto son:

, &

Siendo el vector normal igual a –k, en el punto (1,1,1) la ecuación del plano tangente a la superficie en ese punto es:

b)Repetir el apartado a) para el punto (-1,2,- ).

Siendo el vector director igual a j – 1k, en el punto (-1,2, ) las ecuaciones paramétricas de la recta normal a la superficie en ese punto son:

, &

Siendo el vector normal igual a j – 1k, en el punto (-1,2, ) la ecuación del plano tangente a la superficie en ese punto es:

c)Representar en una calculadora la superficie, las rectas normales y los planos tangentes obtenidos en a) y b).

a)

b)

d)Explicar en unas líneas la estructura de la superficie en los dos puntos estudiados, usando información analítica y gráfica.

Ejercicio 55/Página 1185

Consideremos la función , 0 < < .

a)Representarla con ayuda de una calculadora, para a =1 y b = 2, e identificar sus extremos o puntos silla.

Búsqueda de puntos críticos:

1)

2)

Para la ecuación No. 1, si:

Para la ecuación No. 2, si:

Entonces: , & ; , & . Los puntos críticos son:

, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

, , y .

**No se puede concluir.

**No se puede concluir.

b)Ídem para a = -1 y b =2.

Búsqueda de puntos críticos:

1)

2)

Para la ecuación No. 1, si:

Para la ecuación No. 2, si:

Entonces: & ; & . Los puntos críticos son:

, , , , , , , y .

c)Generalizar los resultados de los apartados a) y b) para la función f.

Ejercicio 19/Página 1191

Los centros de venta están situados en (0,0), (4,2) y (-2,2), y el centro de distribución en (x,y), de modo que la suma S de sus distancias es función de x & y.

a)Escribir la expresión de S y representarla en una calculadora. ¿Tiene la superficie algún mínimo?

distancia del punto (-2,2) al punto (x,y). distancia del punto (0,0) al punto (x,y).

distancia del punto (4,2) al punto (x,y).

, &

b)Obtener mediante cálculo simbólico en una calculadora, Sx y Sy. Salta a la vista que la resolución del sistema Sx = 0, Sy = 0 es difícil. Por tanto, hay que estimar la localización óptima del centro de distribución.

c)Una estimación inicial del punto crítico es (x1,y1) = (1,1). Calcular -Ñ S(1,1), con componentes

-Sx(1,1) y -Sy(1,1). ¿Qué dirección señala el vector -Ñ S(1,1)?

Como las dos componentes del vector gradiente son negativas, este debe localizarse en el tercer cuadrante, entonces su dirección (ángulo q ) es:

q = 6° + 180° = 186°

d)La segunda estimación del punto crítico es (x2,y2) = (x1 – Sx(x1,y1)t, y1 – Sy(x1,y1)t). Si se sustituyen esas coordenadas en S(x,y), S se convierte en una función de la variable t. Calcular el valor de t que minimiza S. Con ese valor de t, estimar (x2,y2).

e)Completar dos iteraciones más del proceso del apartado a) para hallar (x4,y4).Para esta localización del centro de distribución, ¿cuál es la suma de distancias a los puntos de venta?

f)Explicar por qué se ha utilizado -Ñ S(x,y) para aproximar el valor mínimo de S. ¿En qué tipo de problemas se utilizaría Ñ S(x,y)?

Ejercicio 43/Página 1203

Consideremos la función objetivo , sujeta a la restricción de que sean los ángulos de un triángulo.

a)Usar multiplicadores de Lagrange para hacer máximo el valor de .

Ligadura: Þ

Si y

b)Mediante la ligadura, reducir a una función de dos variables independientes. Usar una calculadora para representar la gráfica de la superficie definida por . Identificar en la gráfica los valores máximos.

Si

Ejercicio 36/Página 1239

Las secciones horizontales de un bloque de hielo desprendido de un glaciar tiene forma de cuarto de círculo aproximado 50 pies. La base se subdivide en 20 subregiones. En el centro de cada subregión, se mide la altura del hielo, lo que da los siguientes puntos en coordenadas cilíndricas.

, , , , , , , , , , , , , , , , , , , .

Aproximar:

a)El volumen del bloque.

De r = 0 a r = 10:

Altura = Z = 7, 9, 9 y 5 Þ (promedio) =

=

De r = 10 a r = 20:

Z = 8, 10, 11 y 8 Þ (altura promedio) =

De r = 20 a r = 30:

Z = 10, 14, 15 y 11 Þ (promedio) =

De r = 30 a r = 40:

Z = 12, 15, 18, 16 Þ (promedio) =

De r = 40 a r = 50:

Z = 9, 10 , 14 y 12 Þ (promedio) =

b)Su peso, suponiendo que el hielo pesa 56 libras/pies3.

Peso = * =

c)El número de galones de agua que contiene el bloque, si hay 7.48 galones en cada pie cúbico.

# galones H2O = * =

Elías Felipe Nij Patzán

Universidad de San Carlos de Guatemala

Facultad de Ingeniería

Escuela de Ciencias

Matemática Intermedia 2

Cat. Ing. Oscar Martínez