Al igual que en cada proceso del desarrollo de la sociedad humana, las leyes de la dialéctica están presentes en la Matemática mediante la actividad de los hombres, donde "Actividad" incluye la discusión sobre hipótesis y teorías, y la búsqueda de la solución a las dificultades encontradas. Por tanto, también en la Matemática se realiza el proceso cognoscitivo independientemente de la conciencia de cada uno mediante las leyes de la dialéctica. Esto se puede ilustrar por medio de muchos ejemplos en la Historia de la Matemática. Para el profesor de Matemática resulta una necesidad obtener conocimientos buenos y sólidos de la Historia de la Matemática para influenciar en la educación de los alumnos.
En este trabajo queremos presentar algunos datos históricos y ejemplos donde se ponga de manifiesto la importancia de la Convergencia Uniforme, así como también su proceso dialéctico.
Consideramos que estos conocimientos tienen una gran significación para la formación de los estudiantes en la Licenciatura en Educación especialidad Matemática, porque la Convergencia Uniforme juega un papel importante en su ciclo matemático.
Es un hecho bien conocido que Abel y Cauchy crearon por primera vez, al comenzar el siglo XIX, una teoría rigurosa de las series.
Hasta entonces, se manejaba este algoritmo sin tener idea clara de su significado. Por ejemplo, Euler para demostrar que la serie
1-1+1-1+……..
tiene como suma , procede así:
Después de la organización de la teoría de las series por Cauchy, este razonamiento nos parece totalmente inadmisible. Si un alumno de Universidad diera hoy esta demostración en los exámenes, revelando el desconocimiento de las más elementales precauciones que exponen todos los tratados, a cerca el manejo de series, sería suspenso sin titubear.
En los siglos XVIII y principios del XIX, había una gran dificultad en la fundamentación del Análisis Matemático. Cauchy, con su teoría de las series trató de dar una solución, pero su método no era suficientemente completo. Se necesitaban suposiciones no demostradas, sin las cuales no era posible el desarrollo posterior de las series. Veamos:
Suposición de Cauchy: "Sean las funciones definidas y continuas sobre el intervalo
, y la serie
convergente en todo punto de
,entonces la suma S(x) es otra vez una función continua sobre
". Cauchy trató de demostrar el teorema:
"La ecuación .donde
son funciones de una variable x, continua sobre el intervalo [x0 , x] implica la ecuación siguiente:
La opinión de Cauchy sobre las condiciones suficientes para la continuidad de la función S(x), así como el teorema correspondiente, sabemos que son falsos.
Alrededor de 1840 los matemáticos Seidel y Stokes encontraron contraejemplos para demostrar dicha falsedad. Veamos:
Todos los términos de esta serie son funciones continuas sobre todo Ñ ; para cualquier x la serie es absolutamente convergente. A pesar de todo eso, su suma no es una función continua, pues para
se cumple 
y para 
.La justificación de lo anterior viene dado porque se trata de una progresión geométrica de la forma
,
Luego su suma, 
- Sea la serie
- La serie cuyo término n-ésimo es:
es convergente sobre [0,1]. La suma es 
= 0 para todo 
; sus términos son funciones continuas sobre 
.
Integrando la serie por términos entre 0 y 1, se obtiene una serie numérica convergente cuya suma es igual a 1. Al mismo tiempo se cumple que: 
En este caso la suma = 0 porque:
Luego:
Seide, Stokes y Weierstrass descubrieron las causas de estos hechos "paradójicos", demostraron que una condición suficiente para la continuidad de una serie convergente de funciones continuas y definidas sobre el intervalo es la Convergencia Uniforme de esta serie sobre
El teorema de Cauchy con respecto a la integración por términos, de una serie de funciones es válido si se le añade la exigencia de la convergencia uniforme de la serie dada sobre
Si las funciones 
son continuas sobre pero la serie
no converge uniformemente sobre , entonces su suma puede tener sobre
puntos de discontinuidad.
El concepto de Convergencia Uniforme permitió desarrollar y precisar los métodos sobre la teoría de las series de funciones, pero no niega el método de Cauchy.
En efecto: Una serie convergente en todo punto de es uniformemente convergente sobre
, si y solo si, para todo
existe un número N independiente de x tal que para todo n > N la desigualdad 
se cumple para todo 
.
Otro ejemplo de negación dialéctica en el desarrollo de las matemáticas es el siguiente:
En 1750 Euler definia el concepto de función del modo siguiente: " Se dice que Y es función de X, cuando a todo valor de X corresponde uno o varios valores de Y". Definición que a primera vista, parece coincidir con la actualmente admitida. Pero para Euler esta relación no es completamente arbitraria. El distingue entre correspondencias arbitrarias y correspondencias expresables por los símbolos del análisis; distingue cuidadosamente entre curvas arbitrarias, esto es, dibujadas a capricho, y curvas geométricas, es decir, representables por medio de combinaciones mas o menos complicadas, de potencias, de exponenciales y logaritmos, de senos y arco tangentes, etc.
Este antagonismo entre curvas arbitrarias y curvas geométricas subsistió en la ciencia solamente hasta Fourier(1807).
Quien primero puso a prueba el valor de esta distinción entre curvas arbitrarias y curvas geométricas, fue uno de los Bernoulli con motivo del famoso problema e las cuerdas vibrantes(1753).
Desviemos de su posición de equilibrio una cuerda tirante, de longitud l, sujeta en dos puntos fijos, abandonándola sin velocidad inicial, si es Y la desviación del punto de abscisa X en el momento t, demuestra Bernoulli la fórmula:
(k constante de la cuerda).
Dando ésta como solución más general del problema.
El sagaz espíritu de Euler hizo la observación siguiente: si eso es cierto, haciendo t = 0, la fórmula
(A), debe representar la posición inicial de la cuerda; pero siendo esta curva arbitraria, trazable a nuestra voluntad, resultaría e aquí que toda curva empírica puedo expresarla por medio de un desarrollo en serie del tipo (A), es decir, por una expresión analítica. Y esta conclusión, en el estado de las Matemáticas de entonces, se refutaba absurda.
Mas todavía: si la posición inicial de la cuerda fuese un polígono, resultaría, de ser cierta la afirmación de Bernoulli, que una sola expresión analítica puede representar varios segmentos rectilíneos; es decir, coincide con una función lineal en un intervalo, y es igual a otra función lineal en otro intervalo. Esto parecía entonces tan paradójico y tan absurdo, que ni siquiera fue tomado por muchos en consideración.
El mismo problema se le presentó mas tarde a Fourier(1807) en la teoría el calor, y mas atrevido que Euler, contesta afirmativamente, demostrando por primera vez que las series trigonométricas lo mismo sirven para representar curvas geométricas que curvas arbitrarias, y, en particular, curvas compuestas de arcos geométricos cualesquieras. He aquí uno de los ejemplos mas sencillos de Fourier:
La función que hace corresponder a x el valor 0 en todo el intervalo 
y el valor 
en todo el intervalo 
, o sea,
; admite el siguiente desarrollo en serie convergente:
El único criterio en que apoyaban las Matemáticas su distinción entre funciones analíticas y correspondencias arbitrarias, entre curvas empíricas y curvas geométricas, cayó así por su base. Se planteo inmediatamente el siguiente dilema. O no se consideran las series trigonométricas como funciones, es decir, se excluye el símbolo lim entre los admitidos para definir funciones, en cuyo caso habría que suprimir gran parte del análisis matemático, o se amplia el significado de la palabra función.
La elección no era dudosa; la Matemática prefiere siempre el grado máximo de generalidad, porque generalidad significa supresión de excepciones, y por tanto mayor sencillez y belleza. Así se llegó al amplísimo concepto general de función formulado por Dirichlet y Riemann, quedando definitivamente incorporado a la Matemática: Función es toda correspondencia entre dos conjuntos, cualquiera que sea el modo de establecerla.
Si una función f es representable mediante una serie de potencias, esta serie es la serie de McLaurin, es decir, la representación es única. Una cuestión análoga, respecto a la unicidad de la representación de una función f mediante una serie trigonométrica. Al principio se formuló el problema de unicidad de la representación mediante una serie trigonométrica de la manera siguiente:
¿Pueden existir dos series trigonométricas distintas que convergen a la misma función en todo punto del intervalo 
?
Esta pregunta equivale a la siguiente: ¿Existe una serie trigonométrica que converge a cero en todo punto de 
salvo en el caso de que todos sus coeficientes sean iguales a cero?
El problema e la unicidad e la representación de una función mediante una serie trigonométrica, la llamada serie trigonométrica de Fourier, logró importancia fundamental cuando Seidel, Stokes y Weierstrass descubrieron que la integración por término de un aserie de funciones, si no es uniforme convergente, en general, no es permisible. Por lo tanto, surgieron dudas en cuanto a la deducción de las fórmulas de Fourier para calcular los coeficientes de una serie trigonométrica mediante integraciones por término. Otra dificultad era cómo las matemáticas podían demostrar que las series trigonométricas no son necesariamente series de Fourier.
Cantor en 1872 demostró que la unicidad e la representación se conserva si los puntos de divergencia de la serie trigonométrica sobre , forma un conjunto infinito de oren n, donde n es un número natural cualquiera.
Esto no fue la solución completa del problema. Dirichlet (1829) demostró por primera vez el fundamental teorema que lleva su nombre:
"Toda función que cumple las condiciones de Dirichlet en un intervalo, se puede desarrollar en serie de Fourier:
f(x) = 
La cual expresa el valor de la función en los puntos de continuidad, y es igual a la semisuma de los valores límites de f(x) en los puntos de discontinuidad ordinaria. "Este desarrollo es único, y los coeficientes están dados por las fórmulas:
Durante mucho tiempo se admitió como verdad inconclusa (que no ofrece dudas) que toda función continua tiene derivada en cada uno de sus puntos convicción nada extraña, puesto que las funciones mas sencillas, únicas hasta entonces consideradas, son en efecto, derivables.
Weierstrass (1872) dio el primer ejemplo de una función continua que no admite derivada en ninguno de sus puntos. Un caso particular de la función de Weierstrass es la siguiente:
Ñ
Para probar que esta función es continua en todo Ñ hay que apoyarse en los teoremas siguientes:
- "Toda sucesión uniformemente convergente de funciones continuas posee una función límite continua".
- Prueba M de Weierstrass:"Si para una serie
de funciones 
definidas en D existe una serie numérica convergente 
con 
para todo 
entonces la serie 
es uniformemente convergente".
Y como las 
son continuas en todo Ñ y además en virtud de 
entonces se satisfacen las condiciones (1) y (2) y la función 
Ñ ; es continua.
En Calculus, Michael Spivak Pág. 623-626 puede verse la gráfica de las primeras sumas parciales 
de 
. Cuando n aumenta, las gráficas se hacen cada vez más difíciles de dibujar y la suma 
es absolutamente no dibujable. Además, en dicho texto puede verse la demostración de la no deribavilidad de en ninguno de sus puntos.
Luego, la función de Weierstrass es una función continua que no admite derivadas para ningún valor de x y no es susceptible de representación gráfica. Esto último es una contradicción con la síntesis cartesiana, que identifica la noción geométrica de curva con la noción abstracta de función. Esta contradicción fue tal que el famoso matemático Hermite expresó: "Yo me aparto con horror y terror de esa plaga lamentable de las funciones continuas, que no tienen derivadas"
Hemos bosquejado la evolución histórica que condujo al concepto de convergencia uniforme. Concepto este más general que el concepto simple de convergencia, sin embargo la convergencia uniforme no niega esta, sino por el contrario la lleva dentro, pues se cumple que "toda sucesión uniformemente convergente es convergente"
Hemos visto como la convergencia uniforme la respuesta afirmativa a las siguientes preguntas:
En una serie de funciones 
convergentes a 
.
- ?
- Si todas las
son funciones continuas de x en un intervalo, ¿lo es la suma - ¿Si es integrable, entonces se cumple que
estando el intervalo 
comprendido en el intervalo de convergencia?
Por último hemos tratado de mostrar como cada crisis o situación paradójica hace realmente pasar de un nivel inferior del conocimiento a un nivel superior, poniendo de manifiesto el desarrollo dialéctico de las matemáticas.
Lenin escribió en Materialismo y Empirocriticismo:
"El pensamiento humano, por su naturaleza, es capaz de proporcionarnos, y proporciona en realidad, la verdad absoluta que resulta de la suma de verdades relativas.
Cada fase del desarrollo de la ciencia añade nuevos granos a esta suma de verdad absoluta; pero los límites de la verdad de cada tesis científica son relativos, tan pronto ampliados como restringidos por el progreso consecutivo de los conocimientos".
Lenin, V.I. (1979) Materialismo y Empirocriticismo. Editorial Progreso, Moscú.
Sánchez, C. (1982) Análisis Matemático I. Pueblo y Educación. La Habana.
Spivak, M. (1966) Calculus. Editora Revolucionaria. La Habana.
Vorobiov, N. N. (1979) Teoría de series. Editorial Nauka. Moscú.
Autor:
Profesor Luis del Pino Vidal
graduado de Licenciatura en Matemática.
Josefa Pérez Rodríguez
graduada de Licenciatura en Educación, especialidad Matemática, correo electrónico: