Elaborado por: Lic. Eleazar J. García República Bolivariana de Venezuela. Tinaco.- Estado Cojedes 1 Teoría de Conjuntos y Funciones Este capítulo comienza con el estudio de las nociones de la teoría de conjuntos y está destinado a exponer temas básicos, que se utilizarán en desarrollos posteriores y que serán fundamentales para comprender lo expuesto en ellos. Estudiaremos las operaciones: inclusión, intersección, diferencia de conjuntos, etc., y luego extenderemos esos conceptos al conjunto de los números reales donde dichas operaciones son una herramienta imprescindible para calcular el dominio de funciones reales de una variable real. 1.1. Conjunto. La noción de conjunto la aceptamos como sinónimo de las nociones usuales de colección, agrupación de objetos, etc. Los objetos de un conjunto se llaman: miembros o elementos, sin embargo, de éstos dos términos el más usado es “elemento”. Cuando nos referimos a los objetos que componen un conjunto A, entonces usamos la palabra elementos del conjunto A. 1.2. Pertenencia: Lo necesario para dar un conjunto es conocer sus elementos. Estas dos palabras: conjunto y elemento, están relacionadas por la pertenencia o no de un determinado objeto a un determinado conjunto. Las palabras conjunto y elemento son precisadas por las siguientes reglas: a) Un conjunto X está bien definido cuando se dispone de un criterio para afirmar que cualquier objeto a, pertenece al conjunto X o si no pertenece al conjunto X. Si el objeto a pertenece al conjunto X se usa el símbolo de pertenencia “?” escribiendo a?X, el cual se lee “a pertenece a X” o “a es un elemento de X”. Si el objeto a no pertenece al conjunto X se usa el símbolo de no pertenencia “?”, así escribimos a?X, el cual se lee “a no pertenece a X” o “a no es elemento de X”. b) Un objeto no puede ser a la vez un conjunto y un elemento de ese conjunto, es decir, no es aceptado que pueda suceder a?a. 1.3. Formas de expresar los conjuntos: Los conjuntos pueden ser expresados de las siguientes formas: 1.3.1. Por extensión: Cuando se nombran todos y cada uno de sus elementos. Ejemplos 1.1. A ={a,e,i,o,u} B ={0,1,2,3,4,5} C ={-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5} D ={-4,-2,0,,2,4,6} E ={Venezuela,Colombia,Ecuador,Bolivia,Perú}.
Lic. Eleazar J. García Teoría de Conjuntos y Funciones 1.3.2. Por comprensión: Cuando se indica una propiedad que caracteriza a sus elementos. Ejemplos 1.2. A = {Las vocales} B ={x?N/0 = x =5} C ={x?Z/-3= x =5} D ={x?Z / -4 = x = 6 ? x es un múltiplo 2} E ={Paises libertados por Simón Bolívar}.
Como podemos observar en los ejemplos 1.1, se nombran los todos elementos de cada conjunto, mientras que en los ejemplos 1.2 se indicó la característica común a los elementos de cada conjunto.
1.4. Ejercicios propuestos. Exprese los siguientes conjuntos por comprensión: 1) A={-5,-1,-2,-4,-3,0,4,1,3,2} 2) B ={-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8} 3) C ={2,4,6,8,10,12} 4) D ={3,6,9,12,15,18,21} 5) E ={4,8,12,16,20,24,28} Exprese los siguientes conjuntos por extensión: 6) A={x?Z/-8= x = -3} 7) B ={x?Z/-2< x < 12} 8) C ={x/ x es par ? 9< x = 20} 9) D ={x/ x es múltiplo de 3 ? 6 = x < 31} 10)E ={x?N/3< x < 18}
Los conjuntos pueden ser vinculados entre sí mediante relaciones, las cuales pueden generar otros conjuntos. Consideramos en primer lugar una relación entre conjuntos llamada inclusión.
1.5. Inclusión: Sean A y B dos conjuntos. El conjunto A está incluido en el conjunto B si se verifica que cada elemento de A pertenece a B. Esto se indica de la manera siguiente A? B , que se lee A es un subconjunto de B. A? B ? ?x?A? x?B
Veamos esta relación representada en un diagrama sagital.
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Teoría de Conjuntos y Funciones Lic. Eleazar J. García A B A ? B A B Ejemplo 1.3. Si A = {0, 3, 4, 1} y B = {0,1, 2, 3, 4}, como cada elemento del conjunto A es elemento de B, entonces A? B . Como todos los elementos de A pertenecen a B, se dice, que A esta estrictamente incluido en B. El conjunto vacío, denotado por Ø (conjunto que carece de elementos) es subconjunto de cualquier conjunto, es decir,?A,Ø ? A,y todo conjunto A es subconjunto de sí mismo, esto es, ?A, A? A. Si un conjunto A no es un subconjunto de otro B, se indica de la manera siguiente: A? B. Por ejemplo, C ={-3,6,8,19}no es un subconjunto de D ={-3,6,8,10},puesto que, 19?D, lo que se expresa así: C ? D. Otras relaciones entre conjuntos son las denominadas unión e intersección de conjuntos, las cuales conoceremos a continuación.
1.6. Unión: Sean A y B dos conjuntos. La unión de A y B es el conjunto formado por los elementos de A o de B o de ambos conjuntos. Se le designa A?B, que se lee A unión B. A?B ={x/ x? A? x?B}
A(B Ejemplo 1.4. Si A = {0,1, 2, 3, 4} y B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, entonces, A?B ={0,1,2,3,4,5,6,7,8}. Es de notar que los elementos de A?B pertenecen al conjunto A o pertenecen al conjunto B o a ambos si los conjuntos A y B no son disjuntos1. Si los conjuntos A y B son disjuntos, entonces los elementos de A? B pertenecen al conjunto A o al B, pero no a ambos, como 1 Dos conjuntos A y B son disjuntos si no tienen elementos comunes, es decir, AnB = Ø.
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Lic. Eleazar J. García Teoría de Conjuntos y Funciones es el caso de la unión de los conjuntos C ={a,b,c,d}y D ={e, f ,g,h,i, j}, donde evidentemente cada elemento de C ? D ={a,b,c,d,e, f ,g,h,i, j} pertenece al conjunto C o al D. 1.7. Intersección: Sean A y B dos conjuntos. La intersección de A y B es el conjunto formado por los elementos comunes a ambos conjuntos. Se le designa AnB, que
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