Si A = {0, 1, 2, 3, 4} y B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, entonces An B ={3,4}. Como podemos evidenciar los elementos de AnB, pertenecen a ambos conjuntos. La intersección de dos conjuntos disjuntos es Ø, como es el caso de los conjuntos + –
1.8. Diferencia: Sean A y B dos conjuntos tales que B ? A. La diferencia de A menos B (o complemento de B en A) es el conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen a B. ? x?B} B CAB = A- B ={x/ x? A
A CA B Ejemplo 1.6. Si A ={a,b,c,d} y B ={a,c}, entonces: A C B = A- B ={b,d}. Como podemos observar los elementos del conjunto A C B son los elementos de A que no son elementos de B.
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Teoría de Conjuntos y Funciones Lic. Eleazar J. García 5 A C Ø = A. Además, A C El complemento de Ø en cualquier conjunto A es A, es decir, A = Ø. 1.9. Diferencia simétrica: Sean A y B dos conjuntos tales que AnB ? Ø. La diferencia simétrica de A y B es el conjunto formado por los elementos de (A?B)-(An B). A?B =(A- B)?(B- A) A B AÛB A-B B-A 1.10. Ejercicios propuestos. Hallar la unión, la intersección y el complemento (del primer conjunto respecto al segundo) 1) A ={-8,-2,-4,0,5,7,4} y B ={15,-4,11,-2,-3,4,5,-8,0,7} 2) C ={0,1,2,3,4} y N 3) Ø y E ={5,2,3,6,8,7} 4) Z+ y Z
1.11. Cota superior de un conjunto: k es una cota superior de un conjunto C de números reales, si y sólo si, k es un número que no es superado por ningún elemento del conjunto. k es cota superior de C ? ?x?C ? x = k Si k es cota superior del conjunto C, entonces, cualquier número real mayor que k es cota superior de C. El conjunto de los números reales negativos2 R-está acotado superiormente, ya que, cualquier número no negativo3 es una cota superior de dicho conjunto. Es de citar que si un conjunto tiene una cota superior, tiene infinitas cotas superiores. En el ejemplo anterior, el número 0 es una cota superior, puesto que, cualquier número negativo es menor que 0, además, cualquier número mayor que 0 es una cota superior para R-. El conjunto de los números reales no está acotado superiormente, pues, para cualquier número real k, siempre existe otro número real x > k. 2 3 El conjunto de los números reales negativos es el formado por los números reales menores que cero. El conjunto de los números reales no negativos es el formado por el cero y los números reales mayores que cero.
Lic. Eleazar J. García Teoría de Conjuntos y Funciones 1.12. Extremo superior o supremo: s es un extremo superior de un conjunto C de números reales, si y sólo si: 1) s es una cota superior de C, y 2) Si k es una cota superior de C, entonces s = k.
“Un extremo superior o supremo de un conjunto C de números reales es la menor de las cotas superiores”. Para el conjuntoR-, 0 es el extremo superior, ya que, el 0 es la menor cota superior de dicho conjunto. El extremo superior de un conjunto acotado superiormente puede pertenecer o no al conjunto. En el caso del conjuntoR-, formado por los números reales negativos, el extremo superior 0 no pertenece al conjunto. Ahora, si consideramos el conjunto de los números reales no positivos4, el extremo superior también es 0, pero, en éste caso el 0 pertenece al conjunto. Si consideramos los conjuntos siguientes: A ={x/ x?R ? 2< x < 5} B ={x/ x?R ? 2< x = 5} Ambos conjuntos están acotados superiormente y el extremo superior para ambos es el número 5, pero 5? A y en cambio, 5?B.
1.13. Cota inferior de un conjunto: h es cota inferior de un conjunto C de números reales si y sólo si es un número real que no supera a ningún elemento de C.
h es cota inferior de C ? x?C ? x = h
Si h es cota inferior del conjunto C, entonces, cualquier número real menor que h es cota inferior de C. El conjunto de los números reales positivosR+, está acotado inferiormente, pues 0 y todos los números reales menores que 0 son cotas inferiores deR+. 1.14. Extremo inferior o ínfimo: r es un extremo inferior de un conjunto C de números reales si y sólo si: 1) r es una cota inferior de C, y 2) Si h es una inferior de C, entonces h = r.
“Un extremo inferior de un C de números reales es la mayor de las cotas inferiores”. Un extremo inferior puede pertenecer o no al conjunto. 4 El conjunto de los números reales no positivos es el conjunto formado por el cero y los números reales menores que cero.
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Teoría de Conjuntos y Funciones Lic. Eleazar J. García El extremo inferior del conjunto R+ es 0, pues el 0 es la mayor de las cotas inferiores de R+. Consideremos los conjuntos: A ={x/ x?R? x > 0} B ={x/ x?R? x = 0} El conjunto A está acotado inferiormente pues 0 y todos los números reales menores que 0 son cotas inferiores de A. El número 0 es el extremo inferior de A; el conjunto B también está acotado inferiormente y tiene como extremo al número 0. 1.15. Conjunto mayorante: El conjunto mayorante de un conjunto A, es el conjunto formado por todas las cotas superiores de A. 1.16. Conjunto minorante: El conjunto minorante de un conjunto A, es el conjunto formado por todas las cotas inferiores de A. “Un conjunto está acotado si y sólo si admite cota superior y cota inferior”.
Ejemplos 1.7. 1) Consideremos el conjunto A ={x/ x?R?0= x < 5} Algunas de las cotas inferiores de A son: 0, -1,- 34, – 7, etc., el ínfimo de A es el número 0. Algunas de las cotas superiores de A son: 5, 10, 109, etc. El supremo de A es el número 5. Ahora, como A admite cotas inferiores y cotas superiores, entonces es un conjunto acotado. {x/ x?R? x = 5} y, El Además, el conjunto mayorante de A es el conjunto conjunto minorante de A es el conjunto {x/ x?R? x = 0}. 2) El conjunto Res no acotado. No admite cotas inferiores ni superiores. 3) Los conjuntos R- y R+son no acotados, pues el conjuntoR- no admite cotas inferiores y el conjunto R+no admite cotas superiores. La geometría analítica establece una correspondencia entre los puntos de una recta y los números reales, esto es, a cada punto de la recta le corresponde un único número real y a cada número real le corresponde un punto único en la recta. Esta correspondencia entre los puntos de una recta y los números reales facilita la interpretación de muchas demostraciones y es un gran auxiliar para su interpretación. Gráficamente, para representar una recta se indica un punto origen que corresponde al 0 y otro punto a su derecha para representar al 1, con lo cual queda establecida una escala. La relación de orden definida en Rse interpreta geométricamente considerando que si b>a el punto b está a la derecha del punto a. Por la correspondencia entre los números reales y la recta, ésta recibe el nombre de recta real. Seguidamente se muestra dicha recta.
7
Lic. Eleazar J. García Teoría de Conjuntos y Funciones a b Recta real
En la recta real se verifica que 0 > -3, puesto que 0 está a la derecha de -3 A continuación consideramos otras definiciones útiles, relacionadas con los intervalos los cuales son subconjuntos de la recta real.
1.17. Intervalos. Sea, a < b, a?R ? b?R 1.17.1. El intervalo cerrado [a; b], es el conjunto de números reales formado por a, b y todos los comprendidos entre ambos. [a;b]={x/ x?R?a = x = b}
???????•——————–•?–????? a
La longitud del intervalo [a; b] es el número positivo b – a. 1.17.2. El intervalo abierto (a; b), es el conjunto de números reales comprendidos entre a y b. (a;b) ={x/ x?R?a < x < b}
??????? ——————– ?–????? La longitud del intervalo (a; b) es también el número positivo b – a. 1.17.3. El intervalo semiabierto a la izquierda o semicerrado a la derecha (a; b], es el conjunto de números reales formado por b y los números comprendidos entre a y b. (a;b]={x/ x?R?a < x = b}
??????? ——————–•?–????? a
1.17.4. El intervalo semicerrado a la izquierda o semiabierto a la derecha [a; b), es el conjunto de números reales formado por a y los números comprendidos entre a y b. [a;b) ={x/ x?R?a = x < b}
8
Teoría de Conjuntos y Funciones Lic. Eleazar J. García ???????•——————– ?–????? a
Las definiciones anteriores se pueden generalizar considerando la semirrecta y la recta como intervalos no acotados, lo que se expresa utilizando los símbolos + 8 y – 8. Estos símbolos deben ser considerados con especial atención, recordando que se usan solamente por conveniencia de notación y nunca como números reales. 1.17.5. El intervalo [a; + 8), es el conjunto de números reales formado por a y los números mayores que a. [a;+8) ={x/ x?R? x = a}
??????•———————?–?????+8 a
1.17.6. El intervalo (b; + 8), es el conjunto de números reales mayores que b. (b;+8) ={x/ x?R? x > b}
?????? ———————?–?????+8 b
1.17.7. El intervalo (- 8; c], es el conjunto de números reales formado por c y todos los números menores que c. (-8;c]={x/ x?R? x = c}
-8 ???????———————•?–????- c
1.17.8. El intervalo (- 8; d), es el conjunto de números reales menores que d. (-8;d) ={x/ x?R? x < d}
-8 ???????——————— ?–????- d
La unión y la intersección de conjuntos son operaciones que pueden realizarse dados dos o más intervalos; las operaciones antes mencionadas son de gran utilidad en la determinación del dominio de funciones reales de una variable real.
1.18. Entorno. Si a es un punto cualquiera de la recta real y h un número positivo, un entorno de centro a y radio h es el intervalo abierto (a – h; a + h). Se le designa E(a, h).
E(a, h) = {x / a – h < x < a + h}
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Lic. Eleazar J. García Teoría de Conjuntos y Funciones 10 ó E(a, h) = {x / | x – a | < h}
a
1.19. Entorno reducido. Si a es un punto cualquiera de la recta real y h > 0, el entorno reducido de centro a y radio h es el conjunto de puntos del intervalo abierto (a – h; a + h) del cual se excluye el punto a. Se le designa E’(a, h). E’(a, h) = {x/ x ? a?a-h < x < a+h} ó
E’(a, h) = {x / 0 < | x – a | < h}
??????? ———- ———- ?–?????
Un entorno reducido es la unión de los intervalos (a-h;a) y (a;a+h), por lo tanto, podemos considerar E’ = {x/ x?R? x?(a-h;a)?(a;a+h)} 1.20. Punto de Acumulación. Si C es un conjunto de puntos de la recta real, un punto a es punto de acumulación de C si a todo entorno reducido de a pertenece por lo menos un punto de C. El punto a puede pertenecer o no al conjunto C, pero la definición exige que en cualquier entorno del punto exista por lo menos un punto de C distinto de a.
Ejemplos 1.8. 1) Si el conjunto C es un intervalo cerrado, todos sus puntos son de acumulación. 2) Si el conjunto C es un intervalo abierto, todos sus puntos son de acumulación y también los extremos son puntos de acumulación aunque no pertenecen al conjunto. 3) El conjuntoN de los números naturales no tiene puntos de acumulación. Si a es cualquier número natural, basta considerar un entorno reducido de centro a y radio h < 1 y a ese entorno reducido no pertenece ningún número natural.
1.21. Conjunto Derivado. El conjunto formado por todos los puntos de acumulación de un conjunto C es el conjunto derivado de C y se designa C’. De acuerdo a los ejemplos anteriores: 1) Si C = [a; b] ? C’ = [a; b] 2) Si C = (a; b) ? C’ = [a; b] 3) Si C = N ? C’ = Ø 4) Si C = [a; b) ? C’ = [a; b]
Teoría de Conjuntos y Funciones Lic. Eleazar J. García 3 ? ? 1.22. Teorema 1.1. Si a es un punto de acumulación del conjunto C, entonces, cualquier entorno del punto a tiene infinitos puntos de C.
Ejemplo 1.9. -5
5 y radio10-5, contiene infinitos puntos de A, ya que, todos los puntos en el intervalo (5;5+10-5) pertenecen al conjunto A.
1.23. Teorema 1.2 (de Bolzano-Weierstrass) Si un conjunto infinito está acotado, entonces, dicho conjunto tiene por lo menos un punto de acumulación.
Ejemplos 1.10. 1) El conjunto B ={x/ x?R? 5 = x = 6} es un conjunto acotado y todos los puntos en el intervalo ?35;6? son puntos de acumulación de B. 2) Sea el conjunto C ={x/ x?R?-p < x < p}. C es un conjunto acotado y tiene infinitos puntos de acumulación, dichos puntos son los del intervalo [-p;p].
1.24. Ejercicios propuestos Representar gráficamente los siguientes conjuntos de números reales. Hallar el máximo, mínimo, conjunto mayorante y el conjunto minorante en cada caso, si existen. 1) A ={x/ x?R?| x|< 3} 2) B ={x/ x?R?| x|=5} 3) C ={x/ x?R?| x|> 4} 4) D ={x/ x?R?| x-2|=10} 5) E ={x/ x?R?(x?(-1;3)? x = 7)} 6) F ={x/ x?R?(x?(0;6]? x =8)}
1.25. Conjunto cerrado. Un conjunto al cual pertenecen todos sus puntos de acumulación se denomina cerrado. Es decir, un conjunto es cerrado, si y sólo si, le pertenecen todos sus puntos de C es cerrado ? (a punto de acumulación de C ? a ?C )
11 acumulación.
Ejemplos 1.11.
Lic. Eleazar J. García Teoría de Conjuntos y Funciones 1) El conjunto Rde los números reales es cerrado pues le pertenecen todos sus puntos de acumulación los cuales son los números reales. 2) Un intervalo cerrado como su nombre lo indica es un conjunto cerrado.
Además, cualquier conjunto que no tiene punto de acumulación es un conjunto cerrado. En efecto, sea C un conjunto que no tiene punto de acumulación. Para que C sea un conjunto cerrado debe ser verdadera la siguiente implicación: “Si a es un punto de acumulación de C, entonces a pertenece a C” Pero hemos supuesto que el conjunto C no tiene puntos de acumulación, por lo tanto, el antecedente de dicha implicación es falso y así la implicación es verdadera, pues cualquier implicación con antecedente falso es verdadera5. Los conjuntos N y Z son conjuntos cerrados, pues ellos no tienen puntos de acumulación. El conjunto U ={x/ x?Z? x =5} es un conjunto cerrado, pues no tiene puntos de acumulación. Un conjunto no es cerrado, si y sólo si, tiene un punto de acumulación que no le pertenece. C no es cerrado ? ? a / (a es punto de acumulación de C ? a?C Ejemplos 1.12. El conjunto Q de los números racionales no es cerrado pues sus puntos de acumulación son los números reales y de estos los números irracionales no pertenecen al conjunto Q. El conjunto A ={x/ x?R?6< x =11}no es cerrado, ya que, el 6 es un punto de acumulación de A y no pertenece a ese conjunto. Además, cualquier intervalo abierto es un conjunto abierto. En general, los intervalos (a;b),(-8;b),(a;+8),[a;b) y(a;b], con a< b, a, b ?R no son conjuntos cerrados.
1.26. Teorema 1.3 La intersección de dos conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.
Ejemplos 1.13. 1) Considerando los conjunto cerrados N y Z , entonces, NnZ = N lo verifica que la intersección de éstos dos conjuntos cerrados es un conjunto cerrado. 2) Dados los conjuntos A ={x/ x?R?-5= x =10} y B ={x/ x?R?5= x =12}, luego, AnB ={x/ x?R?5= x =10} el cual es un conjunto cerrado. 5 La lógica proposicional asegura que el valor de verdad de la implicación de una proposición cuyo antecedente es falso es verdadero.
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