p(a) 5 GRAVEDAD CUÁNTICA EN EL BRANEWORLD Ha(g;p(a)) = R p ^ g g 1 3p2 p [ ^ 5 +2 2
5 + p(a)p (a)] . (50) Entonces para un funcional dado F(g ;p ) de…nido en el espacio de fase del braneworld, la propagación de F a lo largo de ya es dada por el corchete de Poisson con cada hamiltoniano separadamente F ya = [F;Ha] = F g Ha p (a) F p (a) Ha g . (51) donde denota la derivada funcional estándar en el espacio de fase. Así obtenemos las ecuaciones de Hamilton para el braneworld respecto a cada una de las coordenadas extras ya las cuales pueden ser escritas como dg dya = p Ha (a) = [g ;Ha] = 2k a , (52) dp(a) dya = Ha g = [p(a);Ha] . (53) Como puede observarse, las diferencias entre la formulación canónica del braneworld y la formulación ADM de la relatividad general se sigue de el Hamiltoniano Ha no nulo, como una consecuencia del esquema braneworld para resolver el problema de jerarquías. Con este resultado, el programa de cuántización ADM puede ser retomado, con la diferencia que la ecuación cuántica debe describir los "estados" de subvariedades en el bulk, con respecto a las dimensiones extras[15][16]. 5.3 Estados cuánticos de Tomonaga-Schwinger La ecuación de Tomonaga-Schwinger originada del formalismo seguido por Dirac para la teoría cuántica relativ- ista, en el cual un conjunto de n-electrones estan asociados a n-tiempos propios que satisfacen n-ecuaciones como de Schrodinger. El límite continuo de esta ecuación fue formulado por Tomonaga para de…nir un campo relativ- ista en una región del espaciotiempo caracterizado por una 3-hipersuper…cie como de espacio que evoluciona i} en la dirección del tiempo unida a cada uno de sus puntos. Esta extensión geométrica de Dirac puede señalar muchos tiempos, lo cual puede ser comparado prontamente para que sea equivalente a la representación de la interacción de la mecánica cuántica desarrollada por Schwinger. Aquí, es más conveniente observar la ecuación de Tomonaga-Schwinger desde el punto de vista geométrico escrita como
^ = H , (54) la cual representa una generalización de la ecuación de Schrödinger, que describe el funcional de estados cuánticos de una 3-hipersuper…cie como de espacio sumergida en un espciotiempo de Minkowski. En el lado derecho, el operador Hamiltoniano describe la operación de traslación a lo largo de la línea temporal ortogonal a : También la derivada temporal en el lado izquierdo es de…nida mediante el límite = lim V !0 ( 0) ( ) V , (55) donde V denota el volumen local elemental entre dos hipersuper…cies y 0 vecinas. El principal inconveniente con la ecuación de Tomonaga-Schwinger es que no es integrable facilmente. En el ^ ^ caso partícular donde [H ;H 0] = 0 la ecuación puede ser integrada facilmente, porque las hipersuper…cies son planas, es decir no hay gravedad. En el caso general cuando las hipersuper…cies son curvas, la solución de la ecuación puede ser determinada como una aproximación después de aplicar el formalismo de Yang-Feldmann y la expresión de Dyson para la matriz S: La di…cultad en resolver la ecuación reside en que no es claro como
13
!0 y jj jj = 6 CONCLUSIONES de…nir que tan cerca está de 0, lo cual solo puede ser de…nido después de resolver la ecuación cuántica en sí 0 0 misma usando algún método de aproximación cuántica. En las aplicaciones de la ecuación de Tomonaga-Schwinger al braneworld , la operación de límite entre dos braneworld cuadri-dimensionales 4 y 4 a nivel clásico está en de…nir la separación entre las dos sub-variedades. En otras palabras, cada uno de los braneworlds fue generado por una perturbación clásica de una sub-variedad inicial 4; entonces el volumen elemental que se requiere especi…car en la ecuación debe hacerse con el parámetro ya de la geometría perturbada. En la práctica puede dividirse el volumen V entre 4 y 4 como un producto a ya ! 0 , entonces respecto a cada ya , de tal manera que es su…ciente especi…car la operación de límite con dimensión extra puede ser simpli…cado a[11][12][13] = lim a ( 0) ( ) ya = @ @ya . (56) Realizando lo mismo en cada dimensión extra, encontramos que la ecuación de Tomonaga-Schwinger puede ser extendida al braneworld, como un sistema de n ecuaciones parciales, lo cual se expresar como i} @ a @ya ^ = H a , a = 5;6;::::;D (57) ^ en la cual se interpreta cada H como el operador de traslación en cada dimensión extra. Con todo esto, podemos obtener o expresar de forma general el estado cuántico …nal como una superposición de los n-estados separados a , que se puede expresar como = X Ba a , (58) el estado del funcional densidad representa las ‡uctuaciones cuánticas de la sub-variedad braneworld en el 2 bulk en la escala de energías de TeV, sujeta a la incertidumbre cuántica y a la probabilidad de estados dada por Z y y v . (59) h j ^ g j i = Entonces, un observador con…nado al braneworld, puede evaluar el valor esperado cuántico de la métrica del braneworld y la curvatura extrinseca dadas mediante las siguientes expresiones Z y ^ g y v , (60) h j K j i = Z y K y v , (61) pero como K a es la derivada de la métrica g respecto a ya , podemos involucrar esto en las condiciones de frontera sobre estas cantidades en la braneworld inicial ya = 0 para determinar la solución …nal. A decir verdad una formulación cuántica de la gravedad del braneworld no se tiene completamente, lo hecho anteriormente solo es una aproximación o caso partícular, como es sabido la formulación de la gravedad cuántica en relatividad general, no se ha logrado de forma completa y satisfactoría, existen hoy día varias propuestas, pero a la fecha se sigue desarrollando la investigación en torno a este tema. 6 Conclusiones Podemos concluir lo siguiente: Los modelos braneworld, constituyen una teoría que tiene como pretención incluir y explicar nuevos fenómenos físicos, como son matería y energía oscura, expansión acelerada del universo, uni…c- ación de interacciones fundamentales, posible formulación de la gravedad cuántica, entre otros muchos aspectos. Aquí, se ha mostrado unos pocos elementos de naturaleza cuántica en torno a los modelos braneworld, no pre- tende esto ser un asunto completo ni riguroso, sólo informar sobre la existencia de estos temas frente a un posible
14
6 CONCLUSIONES modelo que intenta ser más general y predictivo que los modelos estándar. También, a manera de sugerencia, se hace un enfásis un poco mayor en torno a la posible formulación de la gravedad cuántica en este marco, lo que puedo decir acerca de ello, es que la naturaleza de la gravedad, en mi ingenua interpretación, es que es un asunto muy complejo, al parecer su naturaleza cuántica como también su desconcertante disminución en su intensidad, su posible uni…cación con otras interacciones, o la curvatura del espaciotiempo como imágen mental de ella, se hace aun más complejo en el marco del braneworld, pero a su vez permite contar con procesos y descripciones que son más claras en está teoría, me re…ero a que la disminución de su intensidad, o la posible interacción entre branes mediante fuerza Casimir se haría mucho más clara en el contexto de un universo braneworld; bueno, esto es un intento novedoso de explicar la naturaleza, es muy atractivo un esquema con dimensiones adicionales, aunque mucho más engorroso matemáticamente, quizá la naturaleza sí permite la existencia de otras dimensiones o de otras extensiones mucho más exóticas, no lo sabemos, pero un punto de inicio es mostrar que se puede por lo menos pensar en ello, demarcar algunos límites formales y cotejar esto con la observación, experimentación, simulación y con los resultados y predicciones de las teorías convencionales. Finalmete mostramos algunas representaciones artísticas de braneworlds Estas imagenes son recreaciones artisticas de las branes o del modelo braneword, tenemos allí, colisión de branes y branes interactuando. Imagenes tomadas de Google imagenes. En estas imagenes, igualmente artísticas, se pueden considerar como el surgimiento por tunelamiento y posterior evolución de branewords. Imagenes tomadas de Google imagenes.
15
REFERENCES
References
[1] Martens, R., “Brane-World Gravity”, Living Reviews in Relativity, gr-qc/0101059
[2] Randall, L., and Sundrum, R., “An Alternative to Compacti…cation”, Phys. Rev. Lett., 83, 4690-4693 (1999)
[3] Randall, L., and Sundrum, R., “ Large Mass Hierarchy from a Small Extra Dimension”, Phys. Rev. Lett., 83, 3370-3373 (1999).
[4] S. K. Lamoreaux, Phys. Rev. Lett. 78 (1975) 5
[5] S. Blau, M. Visser and A. Wipf, Nucl. Phys. B 310, 163 (1988)
[6] J. S. Dowker and J. S. Apps, Class. Quant. Grav. 12, 1363 (1995)
[7] C. Misner, Rev. Mod. Phys. 29, 497 (1957)
[8] N. Arkani-Hamed et Al, Phys. Lett. B429,263 (1998), hep-ph/9807344 Phys. Rev. Lett.84, 586 (2000)
[9] P. Horava & E. Witten, Nuc. Phys. B475, 94 (1996)
[10] P.A.M. Dirac, Proc. Roy. Soc. London 136, 453 (1932)
[11] S. Tomonaga, Prog. Theor. Phys. 1,27 (1946)
[12] J. Schwinger, Phys. Rev. 74, 1439 (1948)
[13] S. Hawking, Phys. Rev. D72, 084013 (2005), hep-th/0507171
[14] M. D. Maia, Int. J. Mod. Phys. D14, 2251 (2005), gr-qc/0505119
[15] T. Thiemann, AEI-2006-066, hep-th/0608210
[16] J. D. Brown and C. Teitelboim, Nucl. Phys. B297, 787 (1988)
[17] A. Gorsky and K. Selivanov, Nucl. Phys. B571, 120 (2000), hep-th/9904041
[18] S. Coleman and F. De Luccia, Phys. Rev. D21, 3305 (1980) 16
| Página siguiente |